數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)
1862年 Hilbert 生於 哥尼斯堡(K?nigsberg)（當(dāng)時(shí)為東普魯士首都，二次大戰(zhàn)畫(huà)入俄羅斯版圖），1880年進(jìn)入當(dāng)?shù)卮髮W(xué)，1884年得博士學(xué)位，1886年起在該大學(xué)教書(shū)，1892年成為教授并成婚。1895年成為 Goettingen 大學(xué)教授，一直到過(guò)世為止。
Hilbert 做數(shù)學(xué)的特色是每一時(shí)期只專(zhuān)注於一個(gè)領(lǐng)域，把主要問(wèn)題解決後，就轉(zhuǎn)往另一領(lǐng)域。
1884至1892年，Hilbert 專(zhuān)注於代數(shù)不變量，證明代數(shù)式之任一變換群的不變量，都有一組有限的基底，而且可以實(shí)際建構(gòu)出來(lái)。1892至1898年則專(zhuān)注於代數(shù)數(shù)論，奠定了類(lèi)體論的基礎(chǔ)。1898年開(kāi)始專(zhuān)注於平面幾何公理化的問(wèn)題，結(jié)果在次年完成《幾何的基礎(chǔ)》一書(shū)，為平面幾何建立了完整的公理化系統(tǒng)。1899到1901年則是 Hilbert 的變分法時(shí)期，以嚴(yán)格的證明，確立了Dirichlet 原理：在邊界曲線(xiàn)及邊界值有稍許限制下，有既定邊界值且有連續(xù)偏導(dǎo)的所有可能的函數(shù)中，會(huì)有某一個(gè)函數(shù)的雙重積分值會(huì)達(dá)到最小值。1902年，Hilbert 轉(zhuǎn)向積分方程，由此導(dǎo)出無(wú)窮維線(xiàn)性空間（Hilbert 空間），為隨後的量子物理學(xué)儲(chǔ)備了犀利的數(shù)學(xué)工具。
除了在各領(lǐng)域有杰出的成就外，Hilbert 將幾何嚴(yán)格公理化的想法很快普及到數(shù)學(xué)的各領(lǐng)域，而 Hilbert 自己也認(rèn)真學(xué)習(xí)物理，想把物理的各分支公理化；不過(guò)他在物理學(xué)公理化方面的成就有限。
1922年，Hilbert 轉(zhuǎn)到研究公理化本身，希望證明一般的公理化系統(tǒng)在獨(dú)立性、一致性及完備性都不成問(wèn)題。但1930年代，Gödel 的幾篇論文卻使這樣的希望未能完全實(shí)現(xiàn)。
此外，Hilbert 於1900年巴黎第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議演講也深深影響了二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。他認(rèn)為問(wèn)題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的泉源，而問(wèn)題有些來(lái)自經(jīng)驗(yàn)與自然現(xiàn)象，有些則因?yàn)橐獙⒁婚T(mén)學(xué)問(wèn)做邏輯整合、一般化、特殊化而產(chǎn)生。這種理論與經(jīng)驗(yàn)的交互作用使得數(shù)學(xué)變得非常有用。他在此定名為「數(shù)學(xué)問(wèn)題」的演講後半中，舉了23個(gè)有待二十世紀(jì)數(shù)學(xué)家來(lái)解決的問(wèn)題，一一加以說(shuō)明其背景。這就是著名的 Hilbert 問(wèn)題，它們的確在二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展中扮演很重要的角色。
Hilbert 對(duì)知識(shí)取得這件事一直是樂(lè)觀(guān)的，相應(yīng)於哲學(xué)家 du Bois-Reymond 的悲觀(guān)說(shuō)法：我們是無(wú)知的，而且我也會(huì)一直是無(wú)知的，Hilbert 提出了終身的信念則是：我們一定要知道，我們一定會(huì)知道。
70歲以後的 Hilbert 身體不太好，記憶也減退。有一天，Hasse 和 Hilbert 談起類(lèi)體論，Hilbert 卻要求把類(lèi)體論的基本概念及結(jié)果解釋給他聽(tīng)，隨後 Hilbert 的反應(yīng)卻是：這的確很漂亮，是誰(shuí)發(fā)明的？
1933年希特勒當(dāng)權(quán)，開(kāi)始迫害猶太人，Hilbert 的故舊門(mén)生紛紛離開(kāi)德國(guó)。Hilbert 變得孤獨(dú)，再也沒(méi)有活力，就此拖完馀生。
23個(gè)問(wèn)題
希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國(guó)乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個(gè)世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)。希爾伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠(chéng)的個(gè)人品質(zhì)吸引了來(lái)自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng)在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時(shí)，德國(guó)《自然》雜志發(fā)表過(guò)這樣的觀(guān)點(diǎn)：世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，在整個(gè)數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。 1900年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)最重要的問(wèn)題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯�，這就是著名的"希爾伯特23個(gè)問(wèn)題"。
1975年，在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)召開(kāi)的一次國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個(gè)世紀(jì)以來(lái)希爾伯特23個(gè)問(wèn)題的研究進(jìn)展情況。當(dāng)時(shí)統(tǒng)計(jì)，約有一半問(wèn)題已經(jīng)解決了，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。
1976年，在美國(guó)數(shù)學(xué)家評(píng)選的自1940年以來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)的十大成就中，有三項(xiàng)就是希爾伯特第1、第5、第10問(wèn)題的解決。由此可見(jiàn)，能解決希爾伯特問(wèn)題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無(wú)上光榮。
下面摘錄的是1987年出版的《數(shù)學(xué)家小辭典》以及其它一些文獻(xiàn)中收集的希爾伯特23個(gè)問(wèn)題及其解決情況：
1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1874年，康托猜測(cè)在可列集基數(shù)和實(shí)數(shù)基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德?tīng)栕C明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨(dú)立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否。希爾伯特第1問(wèn)題在這個(gè)意義上已獲解決。
2． 算術(shù)公理的相容性歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德?tīng)柊l(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國(guó)數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。
1988年出版的《中國(guó)大百科全書(shū)》數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問(wèn)題尚未解決。
3． 兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問(wèn)題
問(wèn)題的意思是，存在兩個(gè)等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對(duì)此問(wèn)題給出了肯定解答。
4． 兩點(diǎn)間以直線(xiàn)為距離最短線(xiàn)問(wèn)題此問(wèn)題提得過(guò)于一般。滿(mǎn)足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對(duì)稱(chēng)距離情況下，問(wèn)題獲得解決。
《中國(guó)大百科全書(shū)》說(shuō)，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進(jìn)展，但問(wèn)題并未解決。
5.一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是可微的這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)連續(xù)群的解析性，即：是否每一個(gè)局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933，對(duì)緊群情形）、邦德里雅金（1939，對(duì)交換群情形）、謝瓦莢（1941，對(duì)可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。
6.物理學(xué)的公理化希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來(lái)在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤(pán)公理化，很多人表示懷疑。
7.某些數(shù)的無(wú)理性與超越性1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨(dú)立地解決了問(wèn)題的后半部分，即對(duì)于任意代數(shù)數(shù)α≠0 ，1，和任意代數(shù)無(wú)理數(shù)β證明了αβ 的超越性。
8.素?cái)?shù)問(wèn)題包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤(rùn)（1966），但離最解決尚有距離。孿生素?cái)?shù)問(wèn)題的最佳結(jié)果屬于陳景潤(rùn)、陶哲軒、張益唐等人，張益唐證明了存在無(wú)窮多個(gè)差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)。
9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律該問(wèn)題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國(guó)數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。
10．丟番圖方程的可解性能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱(chēng)為丟番圖方程可解。希爾伯特問(wèn)，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。
11． 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個(gè)問(wèn)題上獲得重要結(jié)果。
12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去這一問(wèn)題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。
13． 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程七次方程 的根依賴(lài)于3個(gè)參數(shù)a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個(gè)函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來(lái)？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題尚未解決。
14． 證明某類(lèi)完備函數(shù)系的有限性這和代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān)。1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。
15． 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)一個(gè)典型問(wèn)題是：在三維空間中有四條直線(xiàn)，問(wèn)有幾條直線(xiàn)能和這四條直線(xiàn)都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀(guān)解法。希爾伯特要求將問(wèn)題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。
16．代數(shù)曲線(xiàn)和代數(shù)曲線(xiàn)面的拓?fù)鋯?wèn)題這個(gè)問(wèn)題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線(xiàn)含有閉的分枝曲線(xiàn)的最大數(shù)目。后半部分要求討論 的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式.蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱(chēng)證明了n=2時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過(guò)3，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，已由中國(guó)數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。
17． 半正定形式的平方和表示一個(gè)實(shí)系數(shù)n元多項(xiàng)式對(duì)一切數(shù)組(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能寫(xiě)成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對(duì)的。
18． 用全等多面體構(gòu)造空間由德國(guó)數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。
19． 正則變分問(wèn)題的解是否一定解析對(duì)這一問(wèn)題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。
20． 一般邊值問(wèn)題這一問(wèn)題進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。還在繼續(xù)研究。
21． 具有給定單值群的線(xiàn)性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。
22． 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān).克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。
23．變分法的進(jìn)一步發(fā)展出這并不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只是談了對(duì)變分法的一般看法。20世紀(jì)以來(lái)變分法有了很大的發(fā)展。
這23問(wèn)題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)大部分重要領(lǐng)域，推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。
