數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)
1862年 Hilbert 生於 哥尼斯堡(K?nigsberg)（當(dāng)時為東普魯士首都，二次大戰(zhàn)畫入俄羅斯版圖），1880年進(jìn)入當(dāng)?shù)卮髮W(xué)，1884年得博士學(xué)位，1886年起在該大學(xué)教書，1892年成為教授并成婚。1895年成為 Goettingen 大學(xué)教授，一直到過世為止。
Hilbert 做數(shù)學(xué)的特色是每一時期只專注於一個領(lǐng)域，把主要問題解決後，就轉(zhuǎn)往另一領(lǐng)域。
1884至1892年，Hilbert 專注於代數(shù)不變量，證明代數(shù)式之任一變換群的不變量，都有一組有限的基底，而且可以實際建構(gòu)出來。1892至1898年則專注於代數(shù)數(shù)論，奠定了類體論的基礎(chǔ)。1898年開始專注於平面幾何公理化的問題，結(jié)果在次年完成《幾何的基礎(chǔ)》一書，為平面幾何建立了完整的公理化系統(tǒng)。1899到1901年則是 Hilbert 的變分法時期，以嚴(yán)格的證明，確立了Dirichlet 原理：在邊界曲線及邊界值有稍許限制下，有既定邊界值且有連續(xù)偏導(dǎo)的所有可能的函數(shù)中，會有某一個函數(shù)的雙重積分值會達(dá)到最小值。1902年，Hilbert 轉(zhuǎn)向積分方程，由此導(dǎo)出無窮維線性空間（Hilbert 空間），為隨後的量子物理學(xué)儲備了犀利的數(shù)學(xué)工具。
除了在各領(lǐng)域有杰出的成就外，Hilbert 將幾何嚴(yán)格公理化的想法很快普及到數(shù)學(xué)的各領(lǐng)域，而 Hilbert 自己也認(rèn)真學(xué)習(xí)物理，想把物理的各分支公理化；不過他在物理學(xué)公理化方面的成就有限。
1922年，Hilbert 轉(zhuǎn)到研究公理化本身，希望證明一般的公理化系統(tǒng)在獨(dú)立性、一致性及完備性都不成問題。但1930年代，Gödel 的幾篇論文卻使這樣的希望未能完全實現(xiàn)。
此外，Hilbert 於1900年巴黎第二屆國際數(shù)學(xué)會議演講也深深影響了二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。他認(rèn)為問題是數(shù)學(xué)活動的泉源，而問題有些來自經(jīng)驗與自然現(xiàn)象，有些則因為要將一門學(xué)問做邏輯整合、一般化、特殊化而產(chǎn)生。這種理論與經(jīng)驗的交互作用使得數(shù)學(xué)變得非常有用。他在此定名為「數(shù)學(xué)問題」的演講後半中，舉了23個有待二十世紀(jì)數(shù)學(xué)家來解決的問題，一一加以說明其背景。這就是著名的 Hilbert 問題，它們的確在二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展中扮演很重要的角色。
Hilbert 對知識取得這件事一直是樂觀的，相應(yīng)於哲學(xué)家 du Bois-Reymond 的悲觀說法：我們是無知的，而且我也會一直是無知的，Hilbert 提出了終身的信念則是：我們一定要知道，我們一定會知道。
70歲以後的 Hilbert 身體不太好，記憶也減退。有一天，Hasse 和 Hilbert 談起類體論，Hilbert 卻要求把類體論的基本概念及結(jié)果解釋給他聽，隨後 Hilbert 的反應(yīng)卻是：這的確很漂亮，是誰發(fā)明的？
1933年希特勒當(dāng)權(quán)，開始迫害猶太人，Hilbert 的故舊門生紛紛離開德國。Hilbert 變得孤獨(dú)，再也沒有活力，就此拖完馀生。
23個問題
希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)。希爾伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠的個人品質(zhì)吸引了來自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng)在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時，德國《自然》雜志發(fā)表過這樣的觀點：世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，在整個數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。 1900年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯浚@就是著名的"希爾伯特23個問題"。
1975年，在美國伊利諾斯大學(xué)召開的一次國際數(shù)學(xué)會議上，數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個世紀(jì)以來希爾伯特23個問題的研究進(jìn)展情況。當(dāng)時統(tǒng)計，約有一半問題已經(jīng)解決了，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。
1976年，在美國數(shù)學(xué)家評選的自1940年以來美國數(shù)學(xué)的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無上光榮。
下面摘錄的是1987年出版的《數(shù)學(xué)家小辭典》以及其它一些文獻(xiàn)中收集的希爾伯特23個問題及其解決情況：
1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1874年，康托猜測在可列集基數(shù)和實數(shù)基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨(dú)立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。
2． 算術(shù)公理的相容性歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。
1988年出版的《中國大百科全書》數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問題尚未解決。
3． 兩個等底等高四面體的體積相等問題
問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。
4． 兩點間以直線為距離最短線問題此問題提得過于一般。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。
《中國大百科全書》說，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進(jìn)展，但問題并未解決。
5.一個連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個群的函數(shù)不假定是可微的這個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德里雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。
6.物理學(xué)的公理化希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來在量子力學(xué)、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。
7.某些數(shù)的無理性與超越性1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨(dú)立地解決了問題的后半部分，即對于任意代數(shù)數(shù)α≠0 ，1，和任意代數(shù)無理數(shù)β證明了αβ 的超越性。
8.素數(shù)問題包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數(shù)問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。孿生素數(shù)問題的最佳結(jié)果屬于陳景潤、陶哲軒、張益唐等人，張益唐證明了存在無窮多個差小于7000萬的素數(shù)對。
9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律該問題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。
10．丟番圖方程的可解性能求出一個整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。
11． 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結(jié)果。
12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去這一問題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。
13． 不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程七次方程 的根依賴于3個參數(shù)a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問題尚未解決。
14． 證明某類完備函數(shù)系的有限性這和代數(shù)不變量問題有關(guān)。1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。
15． 舒伯特計數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。
16．代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯栴}這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論 的極限環(huán)的最大個數(shù)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環(huán)的個數(shù)不超過3，但這一結(jié)論是錯誤的，已由中國數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。
17． 半正定形式的平方和表示一個實系數(shù)n元多項式對一切數(shù)組(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。
18． 用全等多面體構(gòu)造空間由德國數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。
19． 正則變分問題的解是否一定解析對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。
20． 一般邊值問題這一問題進(jìn)展十分迅速，已成為一個很大的數(shù)學(xué)分支。還在繼續(xù)研究。
21． 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。
22． 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān).克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。
23．變分法的進(jìn)一步發(fā)展出這并不是一個明確的數(shù)學(xué)問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀(jì)以來變分法有了很大的發(fā)展。
這23問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)大部分重要領(lǐng)域，推動了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。
