Taylor - 人物簡介

18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德爾塞克斯的埃 德蒙頓出生。1709年后移居倫敦，獲法學碩士學位。他在 1712年當選為英國皇家學 會會員，并于兩年后獲法學博士學位。同年（即1714年）出任 英國皇家學會秘書，四年 后因健康理由辭退職務。1717年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程。 最后在1731年1 2月29日于倫敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，書內(nèi)以下列形式陳述出他已于 1712年7月給其老師梅欽（數(shù)學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式內(nèi)v為獨立變量的增量， 及 為流數(shù)。他假定z隨時間均勻變化，則 為常數(shù)。上述公式以現(xiàn)代 形式表示則為：這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發(fā)展而成 的，當x＝0時便稱作馬克勞林定理。1772年 ，拉格朗日強調(diào)了此公式之重要性，而且 稱之為微分學基本定理，但泰勒于證明當中并沒有考慮 級數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴謹， 這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。
泰勒定理開創(chuàng) 了有限差分理論，使任何單變量 函數(shù)都可展成冪級數(shù)；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者 。 泰勒于書中還討論了微積分對一系列物理 問題之應用，其中以有關(guān)弦的橫向振動之結(jié)果尤為重要 。他透過求解方程 導出了基本頻率公式，開創(chuàng)了研究弦振問題之先 河。此外，此書還包括了他于 數(shù)學上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率 問題之研究等。
1715年，他出版了另一名著《線性透 視論》，更發(fā)表了再版的《線性透視原理》（1719） 。他以極嚴密之形式展開其線性透 視學體系，其中最突出之貢獻是提出和使用「沒影點」概念， 這對攝影測量制圖學之發(fā)展有 一定影響。另外，還撰有哲學遺作，發(fā)表于1793年泰勒展開式e

 

Taylor - 展開式e簡介

e的發(fā)現(xiàn)始於微分,當 h 逐漸接近零時,計算 之值,其結(jié)果無限接近一定值 2.71828...,這個定值就是 e,最早發(fā)現(xiàn)此值的人是瑞士著名數(shù)學家歐拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數(shù).
計算對數(shù)函數(shù) 的導數(shù),得 ,當 a=e 時, 的導數(shù)為 ,因而有理由使用以 e 為底的對數(shù),這叫作自然對數(shù).
若將指數(shù)函數(shù) ex 作泰勒展開,則得
以 x=1 代入上式得
此級數(shù)收斂迅速,e 近似到小數(shù)點后 40 位的數(shù)值是
將指數(shù)函數(shù) ex 擴大它的定義域到復數(shù) z=x+yi 時,由
透過這個級數(shù)的計算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函數(shù)的和差角公式等等都可以輕易地導出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,
我們不僅可以證明 e 是無理數(shù),而且它還是個超越數(shù),即它不是任何一個整系數(shù)多項式的根,這個結(jié)果是 Hermite 在1873年得到的.
甲)差分.
考慮一個離散函數(shù)(即數(shù)列) R,它在 n 所取的值 u(n) 記成 un,通常我們就把這個函數(shù)書成 或 (un).數(shù)列 u 的差分 還是一個數(shù)列,它在 n 所取的值以定義為
以后我們乾脆就把 簡記為
(例):數(shù)列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分數(shù)列為 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我們說「數(shù)列」是「定義在離散點上的函數(shù)」如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當,因為這樣才跟連續(xù)型的函數(shù)具有完全平行的類推.
差分算子的性質(zhì)
(i) [合稱線性]

(ii) (常數(shù)) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列數(shù)列.
(iv) 叫做自然等比數(shù)列.
(iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列(幾何數(shù)列)rn 之差分數(shù)列(即「導函數(shù)」)為 rn(r-1)
(乙).和分
給一個數(shù)列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎麼算呢 我們有下面重要的結(jié)果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到一個數(shù)列 (vn),使得 ,則
和分也具有線性的性質(zhì):
甲)微分
給一個函數(shù) f,若牛頓商(或差分商) 的極限 存在,則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數(shù),記為 f'(x0) 或 Df(x),亦即
若 f 在定義區(qū)域上每一點導數(shù)都存在,則稱 f 為可導微函數(shù).我們稱 為 f 的導函數(shù),而 叫做微分算子.
微分算子的性質(zhì):
(i) [合稱線性]
(ii) (常數(shù)) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列 ax 之導函數(shù)為
(乙)積分.
設(shè) f 為定義在 [a,b] 上的函數(shù),積分的問題就是要算圖甲陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割:
;其次對每一小段 [xi-1,xi] 取一個樣本點 ;再求近似和 (見圖乙);最后再取極限 (讓每一小段的長度都趨近於 0).
若這個極限值存在,我們就記為 的幾何意義就是圖甲陰影的面積.
(事實上,連續(xù)性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
圖甲
圖乙
積分算子也具有線性的性質(zhì):
定理2 若 f 為一連續(xù)函數(shù),則 存在.(事實上,連續(xù)性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
定理3 (微積分根本定理) 設(shè) f 為定義在閉區(qū)間 [a,b] 上的連續(xù)函數(shù),我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數(shù) g,使得 g'=f,則
注:(1)(2)兩式雖是類推,但有一點點差異,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣.
我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那麼對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.
甲)Taylor展開公式
這分別有離散與連續(xù)的類推.它是數(shù)學中「逼近」這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的:給一個函數(shù) f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很復雜而不易對付,於是我們就想法子去找一個較「簡單」的函數(shù) g,使其跟 f 很「靠近」,那麼我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現(xiàn).由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清
兩個問題:即如何選取簡單函數(shù)及逼近的尺度.
(一) 對於連續(xù)世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數(shù)作為簡單函數(shù),并且用局部的「切近」作為逼近尺度.說得更明白一點,給一個直到到 n 階都可導微的函數(shù) f,我們要找一個 n 次多項函數(shù) g,使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式.
g 在 x0 點附近跟 f 很靠近,於是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當f是足夠好的一個函數(shù),即是所謂解析的函數(shù)時,則 f可展成 Taylor 級數(shù),而且這個 Taylor 級數(shù)就等於 f 自身.
值得注意的是,一階 Taylor 展式的特殊情形,此時 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0)) 而且切於 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是,我們用過點 (x0,f(x0)) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化「用平直取代彎曲」的精神,是微分學的精義所在.
利用 Talor 展式,可以幫忙我們做很多事情,比如判別函數(shù)的極大值與極小值,求積分的近似值,作函數(shù)表(如三角函數(shù)表,對數(shù)表等),這些都是意料中事.事實上,我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」.
復次我們注意到,我們選取多項函數(shù)作為逼近的簡單函數(shù),理由很簡單:在眾多初等函數(shù)中,如三角函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),多項函數(shù)等,從算術(shù)的觀點來看,以多項函數(shù)最為簡單,因為要計算多項函數(shù)的值,只牽涉到加減乘除四則運算,其它函數(shù)就沒有這麼簡單.
當然,從別的解析觀點來看,在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數(shù).例如,三角多項式,再配合上某種逼近尺度,我們就得到 Fourier 級數(shù)展開,這在應用數(shù)學上占有舉足輕重的地位.(事實上,Fourier 級數(shù)展開是采用最小方差的逼近尺度,這在高等數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn),而且在統(tǒng)計學中也有應用.)
注:取 x0=0 的特例,此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或變數(shù)代換)就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式.
(二) 對於離散的情形,Taylor 展開就是:
給一個數(shù)列 ,我們要找一個 n 次多項式數(shù)列 (gt),使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」.所謂在 0 點具有 n 階差近是指:
答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式.
乙)分部積分公式與Abel分部和分公式的類推
(一) 分部積分公式:
設(shè) u(x),v(x) 在 [a,b] 上連續(xù),則
(二) Abel分部和分公式:
設(shè)(un),(v)為兩個數(shù)列,令 sn=u1+......+un,則
上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及萊布尼慈差分公式 的結(jié)論.注意到,這兩個萊布尼慈公式,一個很對稱,另一個則不然.
(丁)復利與連續(xù)復利 (這也分別是離散與連續(xù)之間的類推)
(一) 復利的問題是這樣的:有本金 y0,年利率 r,每年復利一次,要問 n 年后的本利和 yn= 顯然這個數(shù)列滿足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根據(jù)(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 這就是復利的公式.
(二) 若考慮每年復利 m 次,則 t 年后的本利和應為
令 ,就得到連續(xù)復利的概念,此時本利和為y(t)=y0ert
換句話說,連續(xù)復利時,t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.
由上述我們看出離散復利問題由差分方程來描述,而連續(xù)復利的問題由微分方程來描述.對於常系數(shù)線性的差分方程及微分方程,解方程式的整個要點就是疊合原理,因此求解的辦法具有完全平行的類推.
(戊)Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理(也是離散與連續(xù)之間的類推)
(一) Fubini 重和分定理:給一個兩重指標的數(shù)列 (ars),我們要從 r=1 到 m,s=1到 n, 對 (ars) 作和 ,則這個和可以這樣求得:光對 r 作和再對 s 作和(反過來亦然).亦即我們有
(二)Fubini 重積分定理:設(shè) f(x,y) 為定義在 上之可積分函數(shù),則
當然,變數(shù)再多幾個也都一樣.
(己)Lebesgue 積分的概念
(一) 離散的情形:給一個數(shù)列 (an),我們要估計和 ,Lebesgue 的想法是,不管這堆數(shù)據(jù)指標的順序,我們只按數(shù)值的大小來分堆,相同的分在一堆,再從每一堆中取一個數(shù)值,乘以該堆的個數(shù),整個作和起來,這就得到總和.
(二)連續(xù)的情形:給一個函數(shù) f,我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積.(見下圖)
Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割:
函數(shù)值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊,令其為 , 於是 [a,b] 就相應分割成 ,取樣本點 ,作近似和
讓影域的分割加細,上述近似和的極限若存在的話,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 積分.