基本信息
| 出生 | 1856年8月30日(1856-08-30)德國不來梅 |
|---|---|
| 逝世 | 1927年1月3日 （70歲）德國哥廷根 |
| 居住地 | 德國 |
| 公民權(quán) | 德國人 |
| 國籍 | 德國 |
| 研究領(lǐng)域 | 數(shù)學(xué)，物理學(xué) |
| 任職于 | 漢諾威萊布尼茲大學(xué)(1886 年-1904 年)哥廷根大學(xué)(1904 年-1925 年) |
| 母校 | 柏林大學(xué) |
| 博士導(dǎo)師 | 卡爾·魏爾施特拉斯，Ernst Kummer |
| 博士學(xué)生 | 馬克斯·玻恩 |
| 著名成就 | 龍格－庫塔法，龍格現(xiàn)象，拉普拉斯-龍格-楞次矢量 |
人物生平
卡爾·龍格(CarlRunge1856年8月30日－1927年1月2日）
1880 年，他得到柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)博士，是著名德國數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”的卡爾·魏爾施特拉斯的學(xué)生。1886 年，他成為在德國漢諾威的漢諾威萊布尼茲大學(xué)的教授。
他的興趣包括數(shù)學(xué)，光譜學(xué)，大地測量學(xué)，與天體物理學(xué)。除了純數(shù)學(xué)以外，他也從事很多涉及實(shí)驗(yàn)的工作。他跟海因里希·凱瑟一同研究各種元素的譜線，又將研究的結(jié)果應(yīng)用在天體光譜學(xué)。
1904 年，因?yàn)楦缤⒏髮W(xué)教授，菲利克斯·克萊因的主動(dòng)邀請，他同意去那里教書。1925 年，他在哥廷根大學(xué)退休。
月球的龍格隕石坑(Runge crater) 是因他而命名的。
龍格庫塔法
數(shù)值分析中，龍格－庫塔法（Runge-Kutta）是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術(shù)由數(shù)學(xué)家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔于1900年左右發(fā)明。
經(jīng)典四階龍格庫塔法
對于一階精度的歐拉公式有：
yi+1=yi+h*K1 K1=f(xi,yi)
當(dāng)用點(diǎn)xi處的斜率近似值K1與右端點(diǎn)xi+1處的斜率K2的算術(shù)平均值作為平均斜率K*的近似值，那么就會(huì)得到二階精度的改進(jìn)歐拉公式：
yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h,yi+h*K1)
依次類推，如果在區(qū)間[xi,xi+1]內(nèi)多預(yù)估幾個(gè)點(diǎn)上的斜率值K1、K2、……Km，并用他們的加權(quán)平均數(shù)作為平均斜率K*的近似值，顯然能構(gòu)造出具有很高精度的高階計(jì)算公式。經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)、求解，可以得出四階龍格－庫塔公式，也就是在工程中應(yīng)用廣泛的經(jīng)典龍格－庫塔算法：
yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)
K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)
K4=f(xi+h,yi+h*K3)
通常所說的龍格-庫塔法是指四階而言的，我們可以仿二階、三階的情形推導(dǎo)出常用的標(biāo)準(zhǔn)四階龍格-庫塔法公式。龍格-庫塔法具有精度高，收斂，穩(wěn)定（在一定條件下），計(jì)算過程中可以改變步長，不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，但仍需計(jì)算 在一些點(diǎn)上的值，如四階龍格-庫塔法每計(jì)算一步需要計(jì)算四次 的值，這給實(shí)際計(jì)算帶來一定的復(fù)雜性，因此，多用來計(jì)算“表頭”。
龍格現(xiàn)象
在計(jì)算方法中，有利用多項(xiàng)式對某一函數(shù)的近似逼近，這樣，利用多項(xiàng)式就可以計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值。例如，在事先不知道某一函數(shù)的具體形式的情況下，只能測量得知某一些分散的函數(shù)值。例如我們不知道氣溫隨日期變化的具體函數(shù)關(guān)系，但是我們可以測量一些孤立的日期的氣溫值，并假定此氣溫隨日期變化的函數(shù)滿足某一多項(xiàng)式。這樣，利用已經(jīng)測的數(shù)據(jù)，應(yīng)用待定系數(shù)法便可以求得一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)f（x）。應(yīng)用此函數(shù)就可以計(jì)算或者說預(yù)測其他日期的氣溫值。一般情況下，多項(xiàng)式的次數(shù)越多，需要的數(shù)據(jù)就越多，而預(yù)測也就越準(zhǔn)確。例外發(fā)生了：龍格在研究多項(xiàng)式插值的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有的情況下，并非取節(jié)點(diǎn)（日期數(shù)）越多多項(xiàng)式就越精確。著名的例子是f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處發(fā)生劇烈的波動(dòng)，造成較大的誤差。究其原因，是舍入誤差造成的。
具體的情況可參考下列Mathematica程序：
n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2);
p =Transpose[{x, y}]; Clear[t];
f = LagrangeInterpolation[x, y, t];
Show[ Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}], ListPlot[p, PlotStyle -> PointSize[0.02]] ]
拉普拉斯龍格楞次矢量
在經(jīng)典力學(xué)里，拉普拉斯-龍格-楞次矢量（簡寫為 LRL 矢量）主要是用來描述，當(dāng)一個(gè)物體環(huán)繞著另外一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環(huán)繞著太陽公轉(zhuǎn)。在一個(gè)物理系統(tǒng)里，假若兩個(gè)物體以萬有引力相互作用，則 LRL 矢量必定是一個(gè)運(yùn)動(dòng)常數(shù)，不管在軌道的任何位置，計(jì)算出來的 LRL 矢量都一樣；也就是說， LRL 矢量是一個(gè)保守量。更廣義地，在開普勒問題里，由于兩個(gè)物體以有心力相互作用，而有心力遵守反平方定律，所以，LRL 矢量是一個(gè)保守量。氫原子是由兩個(gè)帶電粒子構(gòu)成的。這兩個(gè)帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用．靜電力是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的反平方有心力。所以，氫原子內(nèi)部的微觀運(yùn)動(dòng)是一個(gè)開普勒問題。在量子力學(xué)的發(fā)展初期，薛定諤還在思索他的薛定諤方程的時(shí)候，沃爾夫?qū)づ堇褂?LRL 矢量，關(guān)鍵性地導(dǎo)引出氫原子的發(fā)射光譜。這結(jié)果給予物理學(xué)家很大的信心，量子力學(xué)理論是正確的。
在經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)里，因?yàn)槲锢硐到y(tǒng)的某一種對稱性，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)或多個(gè)對應(yīng)的保守值。 LRL 矢量也不例外。可是，它相對應(yīng)的對稱性很特別；在數(shù)學(xué)里，開普勒問題等價(jià)于 一個(gè)粒子自由地移動(dòng)于四維空間的三維球；所以，整個(gè)問題涉及四維空間的某種旋轉(zhuǎn)對稱。
拉普拉斯-龍格-楞次矢量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯，卡爾·龍格，與威爾漢·楞次而命名。它又稱為拉普拉斯矢量，龍格-楞次矢量，或楞次矢量。有趣的是，LRL 矢量并不是這三位先生發(fā)現(xiàn)的！這矢量曾經(jīng)被重復(fù)地發(fā)現(xiàn)過好幾。它等價(jià)于天體力學(xué)中無量綱的離心率矢量。發(fā)展至今，在物理學(xué)里，有許多各種各樣的 LRL 矢量的推廣定義；牽涉到狹義相對論，或電磁場，甚至于不同類型的有心力。