平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)k（k≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓就是阿波羅尼(Apollonius of Perga, 262BC-190BC)圓。

Apollonius of Perga Back

希臘人（262BC~190BC），寫(xiě)了八冊(cè)圓錐曲線論（Conics）著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書(shū)中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，如切線、共軛直徑、極與極軸、點(diǎn)到錐線的最短與最長(zhǎng)距離等，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題。他與阿基米德、歐幾里德被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家。

      阿波羅尼奧斯圓，談?wù)搩蓚�(gè)相關(guān)的圓圈家族。第一個(gè)家族的每一個(gè)藍(lán)圓圈與第二個(gè)家族的每一個(gè)紅圓圈相互正交。這些圓圈形成了雙極坐標(biāo)系的基。阿波羅尼奧斯圓是著名的希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯 (?πολλ?νιο?) 發(fā)現(xiàn)的。

　　阿波羅尼奧斯圓圈可以由線段定義的，標(biāo)記此線段為 。第一個(gè)家族的任何一個(gè)藍(lán)圓圈 Bk 所包含的每一點(diǎn) Pk，離點(diǎn) C 與點(diǎn) D 的距離呈固定比例 k >0：cpk:dpk=k.

　　不一樣圓圈的固定比例 必不一樣。圓圈與圓圈之間互不同心，互不相交。

　　每一個(gè)藍(lán)圓圈與每一個(gè)紅圓圈的直角相交，可以簡(jiǎn)易地解釋如下：關(guān)于一個(gè)圓心為點(diǎn) C 的圓圈 Q ，一家族的藍(lán)阿波羅尼奧斯圓圈的反演，造成了一組同心圓，其圓心在點(diǎn) D’ 。點(diǎn) D 關(guān)于圓圈 Q 的反演是點(diǎn) D’ 。同樣地運(yùn)算將一家族的紅圓圈 反演為一組從點(diǎn) D’ 放射出來(lái)的直線。這樣，反演將雙極座標(biāo)變換為極座標(biāo)。在極座標(biāo)里，每一條徑向線與 圓心為原點(diǎn)的圓圈 以直角相交。由于反演是一個(gè)共形變換，所以，每一個(gè)藍(lán)圓圈與每一個(gè)紅圓圈以直角相交。

　　阿波羅尼奧斯 問(wèn)題是由公元前３世紀(jì)下半葉古希臘數(shù)學(xué) 家阿波羅尼奧斯提出的幾何作圖問(wèn)題，載于他的《論接觸》中，惜原書(shū)已失傳。后來(lái)公元４ 世紀(jì)學(xué)者帕波斯記載了其中所提出的一個(gè)作圖問(wèn)題：設(shè)有３個(gè)圖形，可以是點(diǎn)、直線或圓，求作一圓通過(guò)所給的點(diǎn)（如果３個(gè)圖形中包含點(diǎn)的話）并與所給直線或圓相切。當(dāng)中共有１０ 種可能情形，其中最著名的是：求作一圓與３個(gè)已知圓相切，常稱為阿波羅尼奧斯問(wèn)題（ Apollonius’problem）。據(jù)說(shuō)阿波羅尼奧斯本人解決了問(wèn)題，可惜結(jié)果沒(méi)有流傳下來(lái)。

　�。保叮埃澳攴▏�(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在一篇論著中 應(yīng)用了兩個(gè)圓相似中心的歐幾里得解法，通過(guò)對(duì)每一種特殊情況的討論，嚴(yán)格陳述了該問(wèn)題的解。后來(lái)牛頓、蒙日、高斯等許多數(shù)學(xué)家都對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，得到多種解決方法。

 其中以法國(guó)數(shù)學(xué)家熱爾崗約于１８１３年給出的解法較有代表性。以上所說(shuō)都是通常的標(biāo)尺 作圖法。如果放寬作圖條件限制，則有多種簡(jiǎn)捷的解法。

       復(fù)數(shù)不同于實(shí)數(shù) ,它是二元數(shù) ,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) ,這就決定了其必然具有豐富的幾何內(nèi)涵 .事實(shí)上 ,許多復(fù)數(shù)問(wèn)題都有著直觀的幾何背景 ,給解題帶來(lái)了無(wú)限生機(jī) .而這些對(duì)于掌握好復(fù)數(shù)的知識(shí)非常有益 .本文擬從這一點(diǎn)出發(fā) ,舉幾個(gè)例子 ,以期起到拋磚引玉的作用 .眾所周知 ,平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ(λ >0 ,且λ≠ 1 )的點(diǎn)的軌跡是圓 ,這個(gè)圓就是阿波羅尼 (希臘 ,Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ,2 6 0～ 1 90�。� .Ｃ .)圓 .運(yùn)用復(fù)數(shù)知識(shí)可以表述如下 :設(shè)Ｚ1、Ｚ2 是復(fù)平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn) ,復(fù)數(shù)ｚ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Ｚ如果滿足|ｚ -ｚ1||ｚ -ｚ2 | =λ(λ >0 ,且λ≠ 1 ) ,①則點(diǎn)Ｚ的集合是阿波羅尼圓 .如果把λ視作分有向線段Ｚ1Ｚ2 的定比的絕對(duì)值 ,那么它對(duì)應(yīng)的內(nèi)分點(diǎn)、外分點(diǎn)就是該圓一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn) .由此 ,不難推知圓①的方程可以表示為ｚ -ｚ1-λ2 ｚ21 -λ2 =λ| 1 -λ2 | ·|ｚ2 -ｚ1| .②許多復(fù)數(shù)問(wèn)題都可以化歸為方程①的形式 ,利用方程②而順利求解.

     阿波羅尼奧斯(Apollonius of Perga) 約公元前262年生于佩爾格；約公元前190年卒，數(shù)學(xué)家。他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地。

       阿波羅尼斯定理

b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；

c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；

a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

此定理可由斯特瓦爾特定理（Stewart theorem)證明。

2、橢圓兩共軛直徑的平方和等于長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)的平方和；雙曲線兩共軛直徑的平方差等于長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)的平方差。

   “用圓規(guī)和直尺作出與三個(gè)已知圓相切的圓”。這就是幾何學(xué)中有名的作圖問(wèn)題，通常稱它為阿波羅尼斯問(wèn)題（簡(jiǎn)稱AP）。這個(gè)問(wèn)題可用反演方法來(lái)解決。已經(jīng)證明：

1、若三個(gè)圓中的每個(gè)圓都在其它兩個(gè)圓之外，則AP有8解；

2、若三個(gè)圓相切于一個(gè)公共點(diǎn)，則AP有無(wú)數(shù)解；

3、若一個(gè)圓處在另一個(gè)圓內(nèi)部，則AP無(wú)解。

AP的特殊情況，即一個(gè)著名問(wèn)題：作出與兩條已知直線（相交或平行）相切并過(guò)已知點(diǎn)的圓。

    阿波羅尼斯被公認(rèn)為『最偉大的幾何學(xué)家』。關(guān)于阿波羅尼斯的生平事跡記載并不多，但他的著作對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展確實(shí)具有十分重大的影響，特別是他那本介紹了許多名詞（例如：拋物線、橢圓、雙曲線）的有名的著作Conics。

在古希臘，阿波羅尼斯是一個(gè)常被大家使用的名字，大家千萬(wàn)不要把數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius of Perga）與其他的希臘學(xué)者阿波羅尼斯搞混了，例如：Apollonius of Rhodes是一為希臘的的詩(shī)人與文法家；Apollonius of Tralles是一位希臘的雕刻家，而Apollonius of Tyre則是為文學(xué)家等等。因?yàn)樵诠畔ＥD時(shí)代，阿波羅尼斯可是個(gè)大家都喜歡取的名字。

數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯出生在當(dāng)代文化的中心——Perga（古代小亞細(xì)亞南岸地區(qū)），也就是位于今天的土耳其的位置。當(dāng)他還是個(gè)少年時(shí)，阿波羅尼斯前去亞歷山卓（埃及北部海港城市），并在歐幾里得（西元前300年 Alexandria 的數(shù)學(xué)家）門(mén)下求學(xué)，后來(lái)也在那邊從事教書(shū)工作。唯一關(guān)于阿波羅尼斯生平的描述，我們可以在他的著作Conics的前言中被找到，在書(shū)中前言里，我們得知阿波羅尼斯有個(gè)兒子也叫做阿波羅尼斯。Conics共有八冊(cè)，但在希臘文版本中只有前四冊(cè)被保存下來(lái)，然而阿拉伯文版本的Conics的前七冊(cè)均被保留了下來(lái)。

阿波羅尼斯亦是位利用數(shù)學(xué)方法研究相關(guān)天文學(xué)（即使用幾何的模型去解釋星球理論）的重要?jiǎng)?chuàng)始人，也是許多應(yīng)用的發(fā)明人，例如他發(fā)明了hemicyclium，即一個(gè)表面上有著時(shí)刻線的圓錐形的日晷，這個(gè)日晷帶給當(dāng)時(shí)的計(jì)時(shí)工作有更大的精確度

　《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，它可以說(shuō)是代表了希臘幾何的最高水平，自此以后，希臘幾何便沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步。直到17世紀(jì)的B.帕斯卡和R.笛卡兒才有新的突破 �！秷A錐曲線論》共8卷， 前4卷的希臘文本和其次 3卷的阿拉伯文本保存了下來(lái)，最后一卷遺失。此書(shū)集前人之大成，且提出很多新的性質(zhì)。他推廣了梅內(nèi)克繆斯（公元前4 世紀(jì)，最早系統(tǒng)研究圓錐曲線的希臘數(shù)學(xué)家）的方法，證明三種圓錐曲線都可以由同一個(gè)圓錐體截取而得，并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱。書(shū)中已有坐標(biāo)制思想。他以圓錐體底面直徑作為橫坐標(biāo)，過(guò)頂點(diǎn)的垂線作為縱坐標(biāo)，這給后世坐標(biāo)幾何的建立以很大的啟發(fā)。他在解釋太陽(yáng)系內(nèi)5大行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)， 提出了本輪均輪偏心模型，為托勒密的地心說(shuō)提供了工具。

　　阿波羅尼奧斯是佩爾格(Perga或Perge)地方的人．古代黑海與地中海之間的地區(qū)，稱為安納托利亞(Anatolia，今屬土耳其)，其南部有古國(guó)潘菲利亞(Pamphylia)，佩爾格是它的主要城市．

學(xué)習(xí)生涯

　　阿波羅尼奧斯年青時(shí)到亞歷山大跟隨歐幾里得的后繼者學(xué)習(xí)，那時(shí)是托勒密三世(Ptolemy Euergetes，公元前246—前221年在位)統(tǒng)治時(shí)期，到了托勒密四世(Ptolemy Philopator，公元前221—前205在位)時(shí)代，他在天文學(xué)研究方面已頗有名氣．

　　后來(lái)他到過(guò)小亞細(xì)亞西岸的帕加馬(Pergamum)王國(guó)，那里有一個(gè)大圖書(shū)館、規(guī)模僅次于亞歷山大圖書(shū)館．國(guó)王阿塔羅斯一世(Attalus ⅠSoter，公元前269—前197年，前241—197年在位)除崇尚武功外，還注重文化建設(shè)．阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》從第4卷起都是呈遞給阿塔羅斯的，后世學(xué)者認(rèn)為就是這位國(guó)王．(見(jiàn)[5]，p．126；[6]，p．227；[4]，p．595．)但存在一個(gè)疑點(diǎn)，他在寫(xiě)信給阿塔羅斯時(shí)直書(shū)其名，而沒(méi)有在前面加上“國(guó)王”的稱呼，這是違背當(dāng)時(shí)的禮儀習(xí)慣的．可能有兩種解釋，一是他指的不是國(guó)王而是另一個(gè)同名的人，二是阿波羅尼奧斯相當(dāng)放蕩不羈，而這位君主確能禮賢下士，不拘小節(jié)．

圓錐曲線論

　　在帕加馬還認(rèn)識(shí)一位歐德莫斯(Eudemus)，《圓錐曲線論》的前3卷是寄給他的．在這書(shū)的第2卷的前言中，阿波羅尼奧斯說(shuō)他曾將這一卷通過(guò)他兒子交給歐德莫斯，并說(shuō)如果見(jiàn)到菲洛尼底斯(Philonides)時(shí)，請(qǐng)歐德莫斯將書(shū)也給他一閱．菲洛尼底斯是阿波羅尼奧斯在以弗所(Ephesus)結(jié)識(shí)的幾何學(xué)家，對(duì)圓錐曲線論頗感興趣，阿波羅尼奧斯曾介紹過(guò)他和歐德莫斯認(rèn)識(shí)．

　　第3卷沒(méi)有留下前言．第4卷的前言是寫(xiě)給阿塔羅斯的，開(kāi)頭說(shuō)這8卷著作的前3卷是交給歐德莫斯的，現(xiàn)在他已去世，我決定將其余各卷獻(xiàn)給你，因?yàn)槟憧释�得到我的著作�?/p>

　　由此可知阿波羅尼奧斯寫(xiě)此書(shū)是在晚年，至少是在兒子成年以后．又知道他到過(guò)以弗所．他的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論，總結(jié)了前人在這方面的工作，再加上自己的研究成果，撰成《圓錐曲線論》(Conics)8大卷，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地．直到17世紀(jì)的B．帕斯卡(Pascal)、R．笛卡兒(Descartes)，才有實(shí)質(zhì)性的推進(jìn)．歐托基奧斯(Euto-cius of Ascalon，約生于公元480年)在注釋這部書(shū)時(shí)說(shuō)當(dāng)時(shí)的人稱他為“大幾何學(xué)家”．

　　阿波羅尼奧斯常和歐幾里得、阿基米德合稱為亞歷山大前期三大數(shù)學(xué)家．時(shí)間約當(dāng)公元前300年到前200年，這是希臘數(shù)學(xué)的全盛時(shí)期或“黃金時(shí)代”．

貢獻(xiàn)

　　《圓錐曲線論》是一部極其重要的著作．在第1卷的前言中，阿波羅尼奧斯向歐德莫斯述說(shuō)撰寫(xiě)的經(jīng)過(guò)：“幾何學(xué)家諾克拉底斯(Naucrates)來(lái)到亞歷山大，鼓勵(lì)我寫(xiě)出這本書(shū)．我趕在他乘船離開(kāi)之前倉(cāng)促完成交給他，根本沒(méi)有仔細(xì)推敲．現(xiàn)在才有時(shí)間逐卷修訂，并分批寄給你”．

　　這部書(shū)是圓錐曲線的經(jīng)典著作，寫(xiě)作風(fēng)格和歐幾里得、阿基米德是一脈相承的．先設(shè)立若干定義，再由此依次證明各個(gè)命題．推理是十分嚴(yán)格的，有些性質(zhì)在歐幾里得《幾何原本》中已得到證明，便作為已知來(lái)使用，但原文并沒(méi)有標(biāo)明出自《原本》何處，譯本為了便于參考，將出處補(bǔ)上．(比較[6]pp．280—335中的希臘原文和英譯文．)后人對(duì)此頗有微詞．阿基米德的傳記作者甚至說(shuō)阿波羅尼奧斯將阿基米德未發(fā)表的關(guān)于圓錐曲線的成果據(jù)為己有．此說(shuō)出自歐托基奧斯的記載，但他同時(shí)說(shuō)這種看法是不正確的．帕波斯(Pappus)則指責(zé)阿波羅尼奧斯采用了許多前人(包括歐幾里德)在這方面的工作，而從未歸功于這些先驅(qū)者．當(dāng)然，他在前人的基礎(chǔ)上作出了巨大的推進(jìn)，其卓越的貢獻(xiàn)也是應(yīng)該肯定的．

　　《圓錐曲線論》的出現(xiàn)，立刻引起人們的重視，被公認(rèn)為這方面的權(quán)威著作．帕波斯曾給它增加了許多引理，塞里納斯(Serenus，4世紀(jì))及許帕提婭(Hypatia)都作過(guò)注解．歐托基奧斯校訂注釋前4卷希臘文本．9世紀(jì)時(shí)，君士坦丁堡(東羅馬帝國(guó)都城)興起學(xué)習(xí)希臘文化的熱潮，歐托基奧斯的4卷本被轉(zhuǎn)寫(xiě)成安色爾字體(uncial，手稿常用的一種大字體)并保存下來(lái)，不過(guò)有些地方已被竄改．

　　前4卷最早由敘利亞人希姆斯(Hilāl ibn Abī Hilāl alHimsī，卒于883或884)譯成阿拉伯文．第5—7卷由塔比伊本庫(kù)拉 (Thābit ibn Qurra，約公元826—901年)從另外的版本譯成阿拉伯文．納西爾丁(Nasīr ad-Dīn al-Tūsi，1201—1274)第1—7卷的修訂本(1248年)現(xiàn)有兩種抄本藏于英國(guó)牛津大學(xué)博德利(Bodleian)圖書(shū)館，一種是1301年的抄本，一種是1626年第5—7卷的抄本．

譯文

　　第1—4卷的拉丁文譯本于1537年由J．B．門(mén)努斯(Menus)在威尼斯出版．而較標(biāo)準(zhǔn)的拉丁文譯本由F．科曼迪諾(Commandino，1509—1575)譯出，于1566年在博洛尼亞出版．其中包括帕波斯的引理和歐托基奧斯的評(píng)注，還加上許多解釋以便于研讀．第5—7卷最早的拉丁譯本的譯者是A．埃凱倫西斯(Echellensis)及G．A．博雷利(Borelli，1608—1679)，1661年出版于佛羅倫薩，是從983年阿拉伯文抄本譯出的．天文學(xué)家E．哈雷(Halley，1656—1743)參考了各種版本，重新校訂了第1—7卷拉丁文本及第1—4卷希臘文本，1710年在牛津出版．

　　目前權(quán)威的第1—4卷希臘文、拉丁文對(duì)照評(píng)注本是J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928)的“Apollonii Pergaei quae Graeceexstant cum commentariis antiquis”(《佩爾格的阿波羅尼奧斯的現(xiàn)存希臘文著作，包括古代注釋》)2卷，1891—1893在萊比錫出版．阿拉伯文本只有第5卷的一部分正式出版。并附L．尼克斯(Nix)的德譯文(1889，萊比錫)．現(xiàn)代語(yǔ)的譯本有P．V．�？�(Eecke)的法文譯本“Les coniques d’Apollonius de Perge”(《佩爾格的阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論》)，前4卷根據(jù)希臘文本，后3卷是根據(jù)哈雷的拉丁文本，1923年出版于布魯日(Bruges)，1963年重印于巴黎．T．L．希思(Heath，1861—1940)編訂的英譯本“Apollonius of Perga，Treatise of conic sections”(《佩爾格的阿波羅尼奧斯，圓錐曲線論》)1896年劍橋大學(xué)出版社出版，1961年重�。�此書(shū)實(shí)際是意譯本或改編本．另一種英譯本為C．托利弗(Taliaferro)所譯(1939)，載于《西方名著叢書(shū)》(Great booksof the western world，1952，不列顛百科全書(shū)出版社)第11卷中，但只有1—3卷