1805年8月3日生于愛爾蘭首都都柏林。5歲時(shí)就能讀拉丁文、希臘文和希伯來文，14歲時(shí)就掌握了12種語言。1822年撰文指出了拉普拉斯的《天體力學(xué)》中的一個(gè)錯(cuò)誤。1823年考入都柏林三一學(xué)院學(xué)習(xí)。1827年被聘為該校的天文學(xué)教授并獲得皇家天文學(xué)家稱號(hào)。1832年成為愛爾蘭科學(xué)院院士，1837-1845年任院長(zhǎng)。由于哈密爾頓的學(xué)術(shù)成就和聲望，1835年在都柏林召開的不列顛科學(xué)進(jìn)步協(xié)會(huì)上被選為主席，同年被授予爵士頭銜。1836年，皇家學(xué)會(huì)因他在光學(xué)上的成就而授予皇家獎(jiǎng)?wù)拢?837年，哈密爾頓被任命為愛爾蘭皇家科學(xué)院院長(zhǎng)，直到1845年。1863年，新成立的美國(guó)國(guó)家科學(xué)院任命哈密爾頓為14個(gè)國(guó)外院士之一。

四元數(shù)是由哈密爾頓在1843年愛爾蘭發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)。根據(jù)哈密爾頓記述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運(yùn)河（Royal Canal）上散步時(shí)突然想到i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1的方程解。之后哈密爾頓立刻將此方程刻在附近布魯穆橋（Brougham Bridge，現(xiàn)稱為金雀花橋 Broom Bridge）。這條方程放棄了交換律，是當(dāng)時(shí)一個(gè)極端的想法（那時(shí)還未發(fā)展出向量和矩陣）。

不只如此，哈密而頓還創(chuàng)造了向量的內(nèi)外積。他亦把四元數(shù)描繪成一個(gè)有序的四重實(shí)數(shù)：一個(gè)純量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。若兩個(gè)純量部為零的四元數(shù)相乘，所得的純量部便是原來的兩個(gè)向量部的純量積的負(fù)值，而向量部則為向量積的值，但它們的重要性仍有待發(fā)掘。

哈密頓之后繼續(xù)推廣四元數(shù)，并出了幾本書。最后一本書《四元數(shù)的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，長(zhǎng)達(dá)八百多頁。

1843年，哈密爾頓發(fā)表了歷史性論文“一種動(dòng)力學(xué)的普遍方法”（On a general method in dynamics），成為動(dòng)力學(xué)發(fā)展過程中的新里程碑．文中的觀點(diǎn)主要是從光學(xué)研究中抽象出來的。

《光線論》1827

《動(dòng)力學(xué)一般方法》1834

《四元數(shù)的原理》

哈密爾頓的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他愛上了一位同學(xué)的姐姐卡塞琳·狄斯尼（Catherine Disney），但遭到她的拒絕，哈密爾頓卻終身不能忘情。在戀愛生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海倫·貝利（Helen Bayly）結(jié)婚．雖然生育二子一女，終因感情不合而長(zhǎng)期分居。哈密爾頓經(jīng)常不能正規(guī)用餐，而是邊吃邊工作。他去世后，在他的論文手稿中找到不少肉骨頭和吃剩的三明治等殘物。