人物生平
人物簡介
魏爾斯特拉斯（Weierstrass）德國數(shù)學(xué)家，1815年10月31日生于德國威斯特伐利亞地區(qū)的奧斯登費(fèi)爾特，1897年2月19日卒于柏林。 魏爾斯特拉斯作為現(xiàn)代分析之父，工作涵蓋：冪級(jí)數(shù)理論、實(shí)分析、復(fù)變函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、無窮乘積、變分學(xué)、雙線型與二次型、整函數(shù)等。在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，他接受康托爾的想法（甚至因此與多年好友克羅內(nèi)克絕交）。 他的論文與教學(xué)影響了整個(gè)二十世紀(jì)分析學(xué)（甚至整個(gè)數(shù)學(xué)）的風(fēng)貌。
魏爾斯特拉斯以其解析函數(shù)理論與柯西、黎曼同為復(fù)變函數(shù)論的奠基人�？巳R因在比較魏爾斯特拉斯與黎曼時(shí)說："黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有時(shí)代的數(shù)學(xué)家。魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學(xué)者，他緩慢的、系統(tǒng)的逐步前進(jìn)。在他工作的分支中，他力圖達(dá)到確定的形式。”
龐加萊評(píng)價(jià)時(shí)寫到："黎曼的方法首先是一種發(fā)現(xiàn)方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法。"
此外，魏爾斯特拉斯還在橢圓函數(shù)論，變分法，代數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域中作出了巨大的貢獻(xiàn)。而且，他培養(yǎng)了大批的著名數(shù)學(xué)家，其中有Engel, Bolza, Frobenius, Hensel, Holder, Hurwitz, Klein, Killing, Lie, Minkowsky, Runge, Schwarz, Stolz等。
人物經(jīng)歷
父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國雇傭的海關(guān)職員，威廉在家里十分嚴(yán)厲而且專斷。14歲卡爾進(jìn)附近帕德博恩城的一所天主教預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)，在那里學(xué)習(xí)德語、拉丁語、希臘語和數(shù)學(xué)。中學(xué)畢業(yè)時(shí)成績優(yōu)秀，共獲7項(xiàng)獎(jiǎng)，其中包括數(shù)學(xué)，但不容卡爾有半句分辯，他的父親卻把他送到波恩大學(xué)去學(xué)習(xí)法律和商業(yè)，希望他將來在普魯士民政部當(dāng)一名文官。
魏爾斯特拉斯對(duì)商業(yè)和法律都毫無興趣。在波恩大學(xué)他把相當(dāng)一部分時(shí)間花在自學(xué)他所喜歡的數(shù)學(xué)上，攻讀了包括拉普拉斯的《天體力學(xué)》在內(nèi)的一些名著。他在波恩的另一部分時(shí)間則花在了擊劍上。魏爾斯特拉斯體魄魁偉，擊劍時(shí)出手準(zhǔn)確，加上旋風(fēng)般的速度，很快就成為波恩人心目中的擊劍明星。這樣在波恩大學(xué)度過四年之后，魏爾斯特拉斯回到家里，沒有得到他父親所希望的法律博士學(xué)位，連碩士學(xué)位也沒有得到。這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個(gè)“從軀殼到靈魂都患病的人”。這時(shí)多虧他家的一位朋友建議，魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準(zhǔn)備教師資格考試。1841年，他正式通過了教師資格考試。在這期間，他的數(shù)學(xué)老師居德曼認(rèn)識(shí)到他的才能。居德曼（C.Gudermann）是一位橢圓函數(shù)論專家，他的橢圓函數(shù)論給了魏爾斯特拉斯很大影響，魏爾斯特拉斯為通過教師資格考試而提交的一篇論文的主題就是求橢圓函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。居德曼在這篇論文的評(píng)語中寫道：“論文顯示了一位難得的數(shù)學(xué)人才，只要不被埋沒荒廢，一定會(huì)對(duì)科學(xué)的進(jìn)步作出貢獻(xiàn)”。
居德曼的評(píng)語并沒有引起任何重視，魏爾斯特拉斯在獲得中學(xué)教師資格后開始了漫長的中學(xué)教師生活。他在兩處偏僻的地方中學(xué)度過了包括30歲到40歲的這段數(shù)學(xué)家的黃金歲月。他在中學(xué)不光是教數(shù)學(xué)，還教物理、德文、地理甚至體育和書法課，而所得薪金連進(jìn)行科學(xué)通信的郵資都付不起。但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力，過著一種雙重的生活。他白天教課，晚上攻讀研究阿貝爾等人的數(shù)學(xué)著作，并寫了許多論文。其中有少數(shù)發(fā)表在當(dāng)時(shí)德國中學(xué)發(fā)行的一種不定期刊物“教學(xué)簡介”上，但正如魏爾斯特拉斯后來的學(xué)生、瑞典數(shù)學(xué)家米塔。列夫勒所說的那樣：“沒有人會(huì)到中學(xué)的教學(xué)簡介中去尋找有劃時(shí)代意義的數(shù)學(xué)論文”。不過魏爾斯特拉斯這一段時(shí)間的業(yè)余研究，卻奠定了他一生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基礎(chǔ)。
而且，這一段當(dāng)時(shí)看起來默默無聞的生活，其實(shí)蘊(yùn)含著巨大的力量——這就不得不提到魏爾斯特拉斯一個(gè)最大的特點(diǎn)：他不僅是一位偉大的數(shù)學(xué)家，而且是一位杰出的教育家！他是如此熱愛教育事業(yè)，如此愛護(hù)他的學(xué)生，以致先不要提他日后培養(yǎng)出的一大批有成就的數(shù)學(xué)人才（其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡婭（1850.1.15-1891.2.10，俄國女?dāng)?shù)學(xué)家、作家、政論家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，Hermann Amandus，1843.1.25-1921.11.30，法國數(shù)學(xué)家）、I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833.5.5-1902.4.26，法國數(shù)學(xué)家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846.3.16-1927.7.7，瑞典數(shù)學(xué)家）、F.H.朔特基（Schottky，F(xiàn)riedrich Hermann，1851.7.24-1935.8.12，法國數(shù)學(xué)家）、L.柯尼希貝格（Konigsberger，Leo，1837.10.15-1921.12.15，法國數(shù)學(xué)家）等。 ），即便是在這偏僻的中學(xué)當(dāng)預(yù)科班的數(shù)學(xué)老師的時(shí)候，他為了能夠讓自己的學(xué)生們更好地理解微積分中最重要的極限概念，而改變了柯西等人當(dāng)時(shí)對(duì)極限的定義，創(chuàng)造了著名的、直到今天大學(xué)數(shù)學(xué)分析教科書中一直沿用的極限的ε-δ定義，以及完整的一套類似的表示法，使得數(shù)學(xué)分析的敘述終于達(dá)到了真正的精確化。
一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文寄給了德國數(shù)學(xué)家克雷爾主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（常常簡稱《數(shù)學(xué)雜志》），這才使他時(shí)來運(yùn)轉(zhuǎn)�？死谞柕碾s志素以向有創(chuàng)造力的年青數(shù)學(xué)家開放而著稱。阿貝爾的論文在受到柯西等名家冷落的情況下卻被克雷爾雜志在1827年刊登出來；雅可比的橢圓函數(shù)論論文、格林的位勢(shì)論論文等數(shù)學(xué)史上的重要文獻(xiàn)，也都是在別處得不到發(fā)表而在克雷爾的幫助下用他的雜志發(fā)表的。這一次克雷爾又出場(chǎng)了。他接受了魏爾斯特拉斯的論文并在第二年就發(fā)表出來，隨即引起了轟動(dòng)。哥尼斯堡大學(xué)一位數(shù)學(xué)教授親自到魏爾斯特拉斯當(dāng)時(shí)任教的布倫斯堡中學(xué)向他頒發(fā)了哥尼斯堡大學(xué)博士學(xué)位證書。普魯士教育部宣布晉升魏爾斯特拉斯，并給了他一年假期帶職從事研究。此后，他再也沒有回到布倫斯堡。1856年，也就是他當(dāng)了15年中學(xué)教師后，魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教授，同年被選進(jìn)柏林科學(xué)院。他后來又轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)任教授直到去世。
主要成就
學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)
1、在解析函數(shù)方面
他用冪級(jí)數(shù)來定義解析函數(shù)，并建立了一整套解析函數(shù)理論，與柯西（Cauchy，Augustin-Louis ，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard ，1826.9.17-1866.7.20）一起被稱為函數(shù)論的奠基人。從已知的一個(gè)在限定區(qū)域內(nèi)定義一個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)出發(fā)，根據(jù)冪級(jí)數(shù)的有關(guān)定理，推導(dǎo)出在其它區(qū)域中定義同一函數(shù)的另一些冪級(jí)數(shù)，這是他的一項(xiàng)重要發(fā)現(xiàn)。他把整函數(shù)定義為在全平面上都能表示為收斂的冪級(jí)數(shù)的和的函數(shù)；還斷定，若整函數(shù)不是多項(xiàng)式，則在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有一個(gè)本性奇點(diǎn)。魏爾斯特拉斯關(guān)于解析函數(shù)的研究成果，組成了現(xiàn)今大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)中復(fù)變函數(shù)論的主要內(nèi)容。
2、在橢圓函數(shù)方面
橢圓函數(shù)是雙周期亞純函數(shù)，是從求橢圓弧長引起的。有關(guān)研究是19世紀(jì)的熱門課題。繼阿貝爾、雅克比之后，魏爾斯特拉斯在這方面作出了巨大貢獻(xiàn)。1882年，他將橢圓函數(shù)分別化成含有一個(gè)三次多項(xiàng)式的平方根的3個(gè)不同形式，把通過“反演”的第一個(gè)積分所得的橢圓函數(shù)作為基本的橢圓函數(shù)，還證明了這是最簡單的雙周期函數(shù)。他證明了每個(gè)橢圓函數(shù)均可用這個(gè)基本橢圓函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)簡單地表示出來�？傊籂査固乩拱褭E圓函數(shù)論的研究推到了一個(gè)新的水平，進(jìn)一步完備了、改寫了、并且美化了其理論體系。
3、在代數(shù)領(lǐng)域
1858年，他對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和給出了一般方法，并證明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，這個(gè)化簡也是可能的。1868年，他已完成二次型的理論體系，并將這些結(jié)果推廣到了雙線性型。
4、在變分學(xué)方面
1879年，他證明了弱變分的3個(gè)條件，即函數(shù)取得極小值的充分條件。此后，他轉(zhuǎn)向了強(qiáng)變分問題，并得到了強(qiáng)變分的極大值的充分條件。在變分學(xué)方面還得到了不少的其它成果。
5、在微分幾何方面
魏爾斯特拉斯研究了側(cè)地線和最小曲面。
6、在數(shù)學(xué)分析方面
在數(shù)學(xué)史上，魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。他是把嚴(yán)格的論證引進(jìn)分析學(xué)的一位大師，為分析嚴(yán)密化作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)，是分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)的開創(chuàng)者之一。這種嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套語言，用以重建分析體系。他批評(píng)柯西等前人采用的“無限地趨近”等說法具有明顯的運(yùn)動(dòng)學(xué)含義，代之以更嚴(yán)密的 表述，用這種方式重新定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等分析基本概念，特別是通過引進(jìn)以往被忽視的一致收斂性而消除了微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂�？梢哉f，數(shù)學(xué)分析達(dá)到今天所具有的嚴(yán)密形式，本質(zhì)上歸功于魏爾斯特拉斯的工作。
他證明了（1860）：任何有界無窮點(diǎn)集，一定存在一個(gè)極限點(diǎn)。早在1860年的一次演講中，他從自然數(shù)導(dǎo)出了有理數(shù)，然后用遞增有界數(shù)列的極限來定義無理數(shù)，從而得到了整個(gè)實(shí)數(shù)系。這是一種成功地為微積分奠定理論基礎(chǔ)的理論。
為了說明直覺的不可靠，1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏林科學(xué)院的一次講演中，構(gòu)造了一個(gè)連續(xù)函數(shù)卻處處不可微的例子，由此一舉改變了當(dāng)時(shí)一直存在的“連續(xù)函數(shù)必可導(dǎo)”的重大誤解，震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界！這個(gè)例子推動(dòng)了人們?nèi)?gòu)造更多的函數(shù)，這樣的函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)或處處連續(xù)，但在一個(gè)稠密集或在任何點(diǎn)上都不可微，從而推動(dòng)了函數(shù)論的發(fā)展。
早在1842年，魏爾斯特拉斯就有了一致收斂的概念，并利用這一概念給出了級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分和在積分號(hào)下微分的條件。
1885年，魏爾斯特拉斯所證明的用多項(xiàng)式任意逼近連續(xù)函數(shù)的定理，是二十世紀(jì)的一個(gè)廣闊研究領(lǐng)域函數(shù)構(gòu)造論，即函數(shù)的逼近與插值理論的出發(fā)點(diǎn)之一。
另外，魏爾斯特拉斯還研究了天文學(xué)中的n體問題和光的理論。
教育上的貢獻(xiàn)
魏爾斯特拉斯一生熱愛數(shù)學(xué)，熱愛教育事業(yè)，熱情指導(dǎo)學(xué)生，終身孜孜不倦。他不計(jì)個(gè)人名利，允許學(xué)生們或別人把他的研究成果用種種方式傳播，而不計(jì)較功績誰屬的問題，這種高貴品德也是十分可貴的。他培養(yǎng)出了一大批有成就的數(shù)學(xué)人才，尤其是世界歷史上第一位數(shù)學(xué)女博士：柯瓦列夫斯卡婭（Софья Васильевна Ковалевская，1850年1月15日－1891年2月10日，俄國女?dāng)?shù)學(xué)家。德國格丁根大學(xué)哲學(xué)博士。曾任瑞典斯德哥爾摩大學(xué)教授。在偏微分方程和剛體旋轉(zhuǎn)理論等方面有重要貢獻(xiàn)。1888年因解決剛體繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題而獲得法蘭西科學(xué)院鮑廷獎(jiǎng)，并成為圣彼得堡科學(xué)院院士，是俄國歷史上獲此稱號(hào)的第一個(gè)女性。）。
要知道，在當(dāng)時(shí)的整個(gè)歐洲社會(huì)風(fēng)氣下，大多數(shù)人反對(duì)婦女受正規(guī)教育，婦女根本不能進(jìn)大學(xué)的門！柯瓦列夫斯卡婭為了能在彼得堡進(jìn)大學(xué)聽課，是付出了“假結(jié)婚”的代價(jià)，才脫離了父母的監(jiān)護(hù)和控制�？杉幢闳绱�，她在彼得堡也只能當(dāng)一個(gè)偷偷摸摸的旁聽生，在丈夫、親戚和好心的同學(xué)們掩護(hù)下，一次次躲過學(xué)校監(jiān)察人員的眼睛。而當(dāng)她和丈夫來到德國以后，雖然聽課的自由基本是有了，可無論是正式入學(xué)，還是參加考試，身為一個(gè)女性都面臨著極為嚴(yán)苛的歧視�？峦吡蟹蛩箍▼I雖然表現(xiàn)了極好的人品以及數(shù)學(xué)天賦，可是在海德堡卻找不到一位數(shù)學(xué)教授能夠收她為弟子，因?yàn)槿搜钥晌贰?/p>
于是柯瓦列夫斯卡婭不得不直接來柏林求助于人品有口皆碑的魏爾斯特拉斯。在親自考查并寫信詢問了海德堡這個(gè)特殊的女學(xué)生的數(shù)學(xué)專業(yè)能力以及人品后，魏爾斯特拉斯深深為索菲婭?柯瓦列夫斯卡婭的抱負(fù)所感動(dòng)。于是他決定單獨(dú)在家里教授她（因?yàn)樗约旱膶W(xué)生里就有不少堅(jiān)決反對(duì)女子入學(xué)的）——這一教，就是四年！
四年里，一直都是魏爾斯特拉斯在課堂講一遍，再回家里為柯瓦列夫斯卡婭單獨(dú)講一遍。四年中，索菲婭?柯瓦列夫斯卡婭不僅完成了所有大學(xué)課程，而且還完成了三篇重要的數(shù)學(xué)論文，而這時(shí)她才23歲。這三篇論文每一篇都足以使她獲得“數(shù)學(xué)家”的稱號(hào)。于是，又是魏爾斯特拉斯親自張羅，才讓既是受歧視的女性、又是德語并不純熟的“外來戶”的柯瓦列夫斯卡婭順利拿到了數(shù)學(xué)博士學(xué)位。而未來這個(gè)女學(xué)生的成就，足以證明她導(dǎo)師愛惜人才、培養(yǎng)人才的眼光之準(zhǔn)，心胸之寬闊。
魏爾斯特拉斯很少正式發(fā)表自己的研究成果，他的許多思想和方法主要是通過他在柏林工業(yè)大學(xué)和柏林大學(xué)的課堂講授而傳播的，其中有一些后來由他的學(xué)生整理發(fā)表出來。在1857年開始的解析函數(shù)論課程中，魏爾斯特拉斯給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義，這個(gè)定義大意是先從自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù)，然后通過無窮多個(gè)有理數(shù)的集合來定義實(shí)數(shù)。像大多數(shù)情況一樣，魏爾斯特拉斯只是在課堂上作了講授。1872年，有人曾建議他發(fā)表這一定義，但被魏爾斯特拉斯拒絕了。
他高尚的風(fēng)范和精湛的教學(xué)藝術(shù)是永遠(yuǎn)值得全世界數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)的光輝典范。1873年魏爾斯特拉斯出任柏林大學(xué)校長，從此成為大忙人。除教學(xué)外，公務(wù)幾乎占去了他全部時(shí)間，使他疲乏不堪。緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退。他的70年誕慶典規(guī)模頗大，遍布全歐各地的學(xué)生趕來向他致敬。10年后80大壽慶典更加隆重，在某種程度上他簡直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，后轉(zhuǎn)為肺炎，終至不治，于2月19日溘然上逝，享年82歲。
除柏林科學(xué)院外，魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)員（1856）、巴黎科學(xué)院院士（1868）、英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員（1881）。
分析的算術(shù)化
孕育于古希臘時(shí)代的微積分的思想與方法，經(jīng)過漫長時(shí)期的醞釀，到了十七世紀(jì)，在工業(yè)革命的刺激下，終于通過Newton和Leibniz的首創(chuàng)脫穎而出了。微積分的誕生，創(chuàng)造性地把數(shù)學(xué)推到了一個(gè)嶄新的高度。它宣告了古典數(shù)學(xué)的基本結(jié)束，同時(shí)標(biāo)志著以變量為研究主體的近代數(shù)學(xué)的開始。
盡管早期的微積分的概念還比較粗糙，可靠性還受到懷疑，但它在計(jì)算技術(shù)上展示出來的那種卓越的力量，使得前此一切傳統(tǒng)數(shù)學(xué)都相形見絀。透過微積分的發(fā)明，人們看到了數(shù)學(xué)的新的福地。整個(gè)十七、十八世紀(jì)，幾乎所有的歐洲數(shù)學(xué)家都對(duì)微積分表現(xiàn)出極大的興趣和積極的奉獻(xiàn)。對(duì)傳統(tǒng)的批判，對(duì)新方法的追求，對(duì)新領(lǐng)域的拓展，使他們共同譜寫了一曲數(shù)學(xué)史上的“英雄交響曲”！
正如當(dāng)代分析大師R.Courant指出：“微積分…這一學(xué)科乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶；這種奮斗已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年之久，它深深扎根于人類活動(dòng)的許多領(lǐng)域。并且，只要人們認(rèn)識(shí)自己和認(rèn)識(shí)自然的努力一日不止，這種奮斗就將繼續(xù)不已。”
“分析算術(shù)化”就是這種奮斗的一個(gè)側(cè)面的生動(dòng)體現(xiàn)。
揮之不去的“幽靈”
微積分創(chuàng)立之初，Newton和Leibniz都沒有清楚地理解也沒有嚴(yán)密地定義微積分的基本概念。首先的批評(píng)來自荷蘭的物理學(xué)家和幾何學(xué)家B.Nieuwentijdt，他批評(píng)新方法的含糊，他抱怨說無法理解無窮小量怎樣和0有區(qū)別，并質(zhì)問為什么無窮小量的和能是有限的量。他還質(zhì)問高階微分的意義和存在，質(zhì)問在推理的過程中為何舍棄無窮小量。
Leibniz在1695年的《教師學(xué)報(bào)》的一篇文章中對(duì)此作了各種回答，他承認(rèn)無窮小不是簡單的、絕對(duì)的零，而是相對(duì)的零。就是說，它是一個(gè)消失的量，但仍保持著它那正在消失的特征。Leibniz更強(qiáng)調(diào)他所創(chuàng)造的東西在做法上或算法上的價(jià)值。他確信只要他清楚地表述并且恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用他的運(yùn)算法，就會(huì)獲得合理而正確的結(jié)果，而不管所用符號(hào)的意義怎樣可疑。
隨著微積分的概念與技巧的擴(kuò)展，人們努力去補(bǔ)充被遺漏的基礎(chǔ)。Newton的英國追隨者試圖把微積分和幾何或物理概念聯(lián)結(jié)起來時(shí)，卻把Newton的“瞬”（moments,不可分增量）和“流數(shù)”（fluxions,連續(xù)變量）混淆了；追隨Leibniz的大陸學(xué)者致力于形式演算，也無法把概念嚴(yán)格化。法國數(shù)學(xué)家M.Rolle告誡說：微積分是巧妙的謬論的匯集。
十八世紀(jì)對(duì)微積分最強(qiáng)有力的批評(píng)來自George Berkeley主教。1734年，他發(fā)表了《分析學(xué)者，或致一個(gè)不信教的數(shù)學(xué)家。其中審查現(xiàn)代分析的對(duì)象、原則與推理是否比之宗教的神秘與信條，構(gòu)思更為清楚，或推理更為明顯》。Berkeley正確地批判了Newton的許多論點(diǎn)，他說Newton首先給出x一個(gè)增量，然后又讓它是零，這違背了“背反律”(the law of contradiction)，而且所得的“流數(shù)”實(shí)際上是 00 。對(duì)于dy與 dx之比，Berkeley說它們“既不是有限量也不是無窮小量，但又不是無”，這些變化率只不過是“消失的量的鬼魂”(the ghosts of departed quantities)。Berkeley還攻擊lu2019Hospital和其他歐洲學(xué)者提出的微分法。Berkeley說微分之比應(yīng)該決定割線而不是決定切線，依靠“忽略高級(jí)無窮小消除誤差”的做法是“錯(cuò)誤互相抵償”。Berkeley的批評(píng)一針見血，擊中要害。
按照數(shù)學(xué)本質(zhì)的現(xiàn)代觀點(diǎn)，Berkeley批評(píng)中哲學(xué)的想象多于數(shù)學(xué)的嚴(yán)格，但Newton 所用的很多名詞確實(shí)需要邏輯上的澄清。Berkeley批評(píng)的意義在于使這一事實(shí)引起了重視。結(jié)果，在此后的七年中，出現(xiàn)了約有30多種小冊(cè)子和論文，企圖糾正這種情形。如James Jurin于1734年發(fā)表《幾何學(xué)，非不信教的朋友》，Benjamin Robins在1735年著書《論Newton爵士的流數(shù)法以及最初比與最終比方法的本質(zhì)與可靠性》。為了答復(fù)Berkeley對(duì)Newton在《求積術(shù)》中給出的求流數(shù)方法的異議，Jurin說：在這種情況下，不是令增量為零，而是讓增量“成為消失”或“處在消失點(diǎn)上”，并聲稱“消失的增量是有最終比的”。Jurin回答表明他沒有足夠地理解Berkeley的論證或極限概念的本質(zhì)。Berkeley在《捍衛(wèi)數(shù)學(xué)中的自由思想》（1735）中批評(píng)Jurin是在“捍衛(wèi)他所不了解的東西”。在這篇著作中，Berkely再次抓住Newton觀點(diǎn)中的矛盾，以說明瞬、流數(shù)和極限等概念的含糊不清。Jurin同年在《小小數(shù)學(xué)家》中的回答，依然是躲躲閃閃地重復(fù)其辭。他說“一個(gè)初生的增量是一個(gè)剛開始存在于烏有中的增量，或剛開始生長的增量，但是還沒有達(dá)到任何可指定的無論怎樣小的量。”他對(duì)Newton的最終比還是照字義理解為“在消失那個(gè)瞬間的它們的比�！盝urin不用極限去解釋Newton關(guān)于乘積的“瞬”的引理，反而讓自己卷入了無窮小量的糾纏之中，可見這個(gè)“消失的量的鬼魂”是很難揮之而去的。
為了回?fù)鬊erkeley, Colin Maclaurin在他的《流數(shù)論》（1742）中，企圖建立微積分的嚴(yán)密性。Maclaurin喜愛幾何，因而他試圖根據(jù)希臘幾何和窮竭法建立流數(shù)學(xué)說，他希望這樣可以避開極限概念。這是一個(gè)值得贊揚(yáng)，卻不正確的努力。
新的探路者
當(dāng)英國的數(shù)學(xué)家們忙于論證流數(shù)法中所涉及的各種觀點(diǎn)的有效性時(shí)，微積分在歐洲大陸上正在快速地獲得人們的歡迎。
歐洲大陸的數(shù)學(xué)家更多的依靠代數(shù)表達(dá)式的形式演算，而不是幾何。這種方法的代表是Euler。Euler拒絕把幾何作為微積分的基礎(chǔ)，而是純粹形式地研究函數(shù)。
Euler形式化的方法的真正貢獻(xiàn)是把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術(shù)和代數(shù)的基礎(chǔ)上。這一步至少為基于實(shí)數(shù)系統(tǒng)的微積分的根本論證開辟了道路。但是，對(duì)這種形式主義的做法，仍有人表示憂慮。1743年du2019Alembert說，“直到現(xiàn)在，表現(xiàn)出更多關(guān)心的是去擴(kuò)大建筑，而不是在入口處張燈結(jié)彩；是把房子蓋的更高些，而不是給基礎(chǔ)補(bǔ)充適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度�！辈贿^，他鼓勵(lì)學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生：“堅(jiān)持，你就會(huì)有信心。 (Persists and faith will come to you.)”
Lagrange也決心給微積分提供全部的嚴(yán)密性，這從他《解析函數(shù)論》（1797）的小標(biāo)題“包含著微積分學(xué)的主要定理，不用無窮小、或正在消失的量、或極限和流數(shù)等概念，而歸結(jié)為有限量的代數(shù)分析藝術(shù)”可以看出他的雄心壯志。的確，流數(shù)法沒有引起Lagrange的興趣，因?yàn)樗昧恕边\(yùn)動(dòng)”這一無關(guān)的思想。Euler把dx和dy作為0的講法也不能使他滿意，因?yàn)閷?duì)兩個(gè)變成零的項(xiàng)的比，缺乏清楚而明確的認(rèn)識(shí)。Lagrange致力于尋找一個(gè)簡單的代數(shù)方法。在1759年，他似乎滿足地認(rèn)為已找到這個(gè)方法，因?yàn)樵谀且荒辏麑懶沤oEuler說，他相信已研究出力學(xué)和微分學(xué)原理盡可能深的真正理論基礎(chǔ)。不過，特別要指出，Lagrange的工作純粹是形式的，他用符號(hào)表達(dá)式來進(jìn)行計(jì)算，不涉及極限、連續(xù)等根本性的概念。
在十八世紀(jì)行將結(jié)束的時(shí)候，1797年出現(xiàn)了Lazare Carnot所寫的《關(guān)于無限小微積分的哲學(xué)思想》，這可能是解決困難的一次最著名的嘗試。鑒于當(dāng)時(shí)流行的有關(guān)微積分學(xué)的論文缺乏明確性和統(tǒng)一性，Carnot想搞出一套嚴(yán)格精確的理論。考慮到這一學(xué)科許多矛盾的理解，Carnot的目的是澄清“無限小分析真正的精神是什么�！痹谶x擇統(tǒng)一的原理時(shí)，卻做出了一個(gè)遺憾的選擇。他總結(jié)說，“無限小分析的真正的哲學(xué)原理…仍然是…誤差補(bǔ)償原理�！痹陉U述這一觀點(diǎn)時(shí)，他實(shí)質(zhì)上返回到Leibniz表達(dá)過的思想上去。他主張要肯定兩個(gè)指定量嚴(yán)格相等，只要證明它們的差不能是一個(gè)“指定量”就夠了。Carnot進(jìn)一步注釋Leibniz的觀點(diǎn)說：我們可以把任意一個(gè)量換成另一個(gè)與它相差無限小的量；無限小的方法只不過是把窮竭法簡化為一種計(jì)算方法；“無法感覺的量”只起輔助作用，引入它只是為了計(jì)算的方便，在得到最后結(jié)果以后就可以消除它。
Carnot甚至用連續(xù)性定律(principle de continuite)來重復(fù)Leibniz所偏愛的解釋。他說，可以有兩種觀點(diǎn)來理解無限小分析，看你是把無限小當(dāng)作“有效量”，還是當(dāng)作“絕對(duì)的零”。在第一種情況中，Carnot認(rèn)為微分學(xué)可以用誤差補(bǔ)償作為基礎(chǔ)來解釋：“不完美方程”通過消除一些稱為誤差的量這一簡便的手段，就變成“完美精確”的了；在第二種情況，Carnot認(rèn)為微分學(xué)是相互比較消失量的一種“藝術(shù)”，從這些比較中尋找出那些給出量之間的關(guān)系。對(duì)于消失量既是零又不是零這種反對(duì)意見，Carnot回答說，“所謂無限小量并不是任意的零，而是為決定關(guān)系的那個(gè)連續(xù)性定律所給出的零。”雖然Carnot的著作受到了普遍的歡迎，直到1921年還在法國出版，并譯成了好幾種文字，但很難評(píng)價(jià)它是否正確引導(dǎo)了人們對(duì)分析學(xué)所包含的困難有較清楚的理解。
Carnot是一個(gè)著名的軍人、行政人員，并受到法國議會(huì)授予的“勝利的組織者”(Organizer of Victory)的稱號(hào)。作為一個(gè)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的價(jià)值是與科學(xué)應(yīng)用關(guān)系的數(shù)學(xué)家，分析學(xué)在他的思想中是方程而不是函數(shù)概念，盡管從他的書名看是偏重于理論，但書中對(duì)運(yùn)算法則在應(yīng)用上的方便，比所涉及的邏輯推理更加受到注意。
十八世紀(jì)的幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)家都對(duì)微積分的邏輯基礎(chǔ)作了一些努力，雖然一二個(gè)路子對(duì)頭，但所有的努力都沒有結(jié)果。在缺乏基礎(chǔ)的情況下，怎么對(duì)各種函數(shù)進(jìn)行分析演算呢？那就是：在他們的心里依靠物理和直觀，在他們的手中有著簡單的代數(shù)函數(shù)——從簡單而具體的函數(shù)中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，然后推廣到所有的函數(shù)上去。他們施展了高超的技巧，發(fā)掘并增進(jìn)了微積分的威力，大刀闊斧的拓展新的領(lǐng)地：無窮級(jí)數(shù)、微分方程、微分幾何和變分法，從而建立起現(xiàn)在數(shù)學(xué)中最廣闊的領(lǐng)域——數(shù)學(xué)分析。
十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們完全陶醉于自己取得的偉大成就，對(duì)于失去的嚴(yán)密性大都無動(dòng)于衷。正是因?yàn)槭耸兰o(jì)的數(shù)學(xué)家們?cè)跊]有邏輯支持的情況下，仍如此勇敢地沖殺向前，所以這段時(shí)期被稱為數(shù)學(xué)的“英雄年代(the heroic age ) ” 。
分析中注入嚴(yán)密性
1826年2月12日，Lobatchevshy在喀山大學(xué)宣讀了他的論文《論幾何原理》，這一天被認(rèn)為是非歐幾何誕生的日子。數(shù)學(xué)的觀念注定要在十九世紀(jì)發(fā)生根本的改變。也許是歷史的巧合，Abel在1826年給友人的信中表露出對(duì)分析的憂慮：
“人們?cè)诜治鲋写_實(shí)發(fā)現(xiàn)了驚人的含糊不清之處。這樣一個(gè)完全沒有計(jì)劃和體系的分析，竟有那么多人能研究它，真是奇跡。最壞的是，從來沒有嚴(yán)格對(duì)待過分析。在高等分析中只有很少幾個(gè)定理是用邏輯上站得住腳的方式證明的。人們到處發(fā)現(xiàn)這種從特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是這種方法只導(dǎo)致了極少幾個(gè)所謂的悖論�！�
真正在分析中注入嚴(yán)密性的工作是從Bolzano、Cauchy、Abel和Dirichlet的工作開始，而由Weierstrass進(jìn)一步發(fā)展了的。
Bolzano是波希米亞的教士和哲學(xué)家。1799年Gauss曾從幾何方面考慮，給出了代數(shù)基本定理—— 每一個(gè)有理的整數(shù)次方程必有一根 ——的一個(gè)證明。而Bolzano想要有一個(gè)單從算術(shù)、代數(shù)與分析推導(dǎo)出來的證明。正如Largrange認(rèn)為沒有必要將時(shí)間與運(yùn)動(dòng)引入數(shù)學(xué)一樣，Bolzano在他的證明中力求避免涉及空間直觀。這樣，首先就需要有一個(gè)合適的連續(xù)性定義。
實(shí)際上，當(dāng)Pythagoras學(xué)派以數(shù)去代替幾何量時(shí)，所遇到的就是連續(xù)性的困難；Newton試圖借助連續(xù)運(yùn)動(dòng)的直觀來避免這個(gè)困難，Leibniz則用他的連續(xù)性公設(shè)來繞過這個(gè)問題。如今，分析學(xué)又把數(shù)學(xué)家們領(lǐng)回到了歷史的起點(diǎn)。使得數(shù)學(xué)史家們困惑不解的是這一歷史性的突破，為什么會(huì)發(fā)生在遠(yuǎn)離歐洲數(shù)學(xué)中心的布拉格！Bolzano第一次明確指出連續(xù)觀念的基礎(chǔ)存在于極限概念之中：函數(shù)f(x)如果對(duì)于一個(gè)區(qū)間內(nèi)的任一值x，和無論是正或負(fù)的充分小的Δx，差f(x+Δx)- f(x)始終小于任一給定的量時(shí)，Bolzano定義這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為連續(xù)。這個(gè)定義和稍后Cauchy的定義沒有什么主要的差別。1843年，Bolzano給出了一個(gè)不可微分的連續(xù)函數(shù)的例子——這個(gè)例子在數(shù)學(xué)中作用，好比判決性實(shí)驗(yàn)(crucial experiment) 在科學(xué)中一樣，澄清了幾個(gè)世紀(jì)以來由幾何或物理的直觀所造成的印象，表明連續(xù)函數(shù)未必有導(dǎo)數(shù)！然而，由于Bolzano的工作大部分湮沒無聞，他的這些觀點(diǎn)對(duì)當(dāng)時(shí)的微積分并未產(chǎn)生決定性的影響。關(guān)于連續(xù)函數(shù)不可微分的問題，也要等到三分之一世紀(jì)以后，由Weierstrass的著名的例子才再次引起人們的關(guān)注。
也許Weierstrass的例子沒有早出現(xiàn)反到是微積分發(fā)展史上的幸事，正如Emile Picard在1905年所說的那樣：“如果Newton和Leibniz知道了連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，微分學(xué)將無以產(chǎn)生�！钡拇_，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷胗袝r(shí)也可以阻礙創(chuàng)造。
在關(guān)于微積分基礎(chǔ)的混沌一片的爭議中，Cauchy看出核心問題是極限。Cauchy的極限概念是基于算術(shù)的考慮的，但他在定義中“一個(gè)變量無限趨于一個(gè)極限”的說法，受到Weierstrass的批評(píng) “這種說法不幸的使人們想起時(shí)間和運(yùn)動(dòng)”。為了消除Bolzano和Cauchy在定義函數(shù)連續(xù)性和極限中用到的描述性的語言“變?yōu)槎冶３中∮谌我饨o定的量”的不確定性，Weierstrass給出了著名的“ε-N（ε-δ）”定義�！唉�-N（ε-δ）”定義第一次使極限和連續(xù)性擺脫了與幾何和運(yùn)動(dòng)的任何牽連，給出了只建立在數(shù)與函數(shù)概念上的清晰的定義，從而使一個(gè)模糊不清的動(dòng)態(tài)描述，變成為一個(gè)嚴(yán)密敘述的靜態(tài)觀念，這不能不認(rèn)為是變量數(shù)學(xué)史上的一次重大創(chuàng)新。今天“ε-N（ε-δ）”語言的精髓已經(jīng)深入到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的每一根血管,牽動(dòng)著每一根神經(jīng)。正因如此，Hilbert認(rèn)為：“Weierstrass 以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數(shù)學(xué)分析建立了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過澄清極小、極大、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等概念，他排除了在微積分中仍在出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤提法，掃清了關(guān)于無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源于無窮大、無窮小朦朧思想的困難�！ぁぁぁぁぁそ裉欤治鰧W(xué)能達(dá)到這樣和諧可靠和完美的程度······本質(zhì)上應(yīng)歸功于Weierstrass 的科學(xué)活動(dòng)”。
在極限有了嚴(yán)格的定義后，無窮小作為極限為0的變量，被歸入到函數(shù)的范疇，再也不是混在Archimedes數(shù)域里的一個(gè)桀驁不馴的冥靈了。
在極限、無窮小和函數(shù)的連續(xù)性等概念得到澄清后，分析中一些重要的性質(zhì)陸續(xù)登場(chǎng)。Weierstrass在1860年應(yīng)用Bolzano的“最小上界原理”證明了“聚點(diǎn)原則”，在柏林的講義中，Weierstrass證明了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理。1870年，Heine定義了一致連續(xù)性，而后證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)。在Heine的證明中，他利用了“有限覆蓋”性質(zhì)，這一性質(zhì)后為Emile Borel敘述為一個(gè)獨(dú)立的定理(1895)。“區(qū)間套”的性質(zhì)要到1892年才為Bachmann所認(rèn)識(shí)。連續(xù)性與可微性、連續(xù)性與可積性、無窮級(jí)數(shù)的收斂性也都得到了深入的研究。
分析算術(shù)化
Bolzano,Cauchy,Weiestrass和其他人的工作給分析提供了嚴(yán)密性。這些工作把微積分及其推廣從對(duì)幾何概念、運(yùn)動(dòng)和直覺了解的完全依賴中解放出來。這些研究一開始就造成了巨大的轟動(dòng)。據(jù)說，在巴黎科學(xué)院的一次科學(xué)會(huì)議上，Cauchy提出級(jí)數(shù)收斂性的理論，會(huì)后，Laplace急忙趕回家里避不見人，檢查他在《天體力學(xué)》中所用到的級(jí)數(shù)，幸而書中用到的每一個(gè)級(jí)數(shù)都是收斂的。
分析的嚴(yán)密化促進(jìn)了這樣的認(rèn)識(shí)：對(duì)于數(shù)系缺乏清晰的理解這件事本身非補(bǔ)救不可。例如Bolzano關(guān)于閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的“零點(diǎn)定理”的證明，一個(gè)關(guān)鍵的錯(cuò)誤就是因?yàn)閷?duì)實(shí)數(shù)系缺乏足夠的理解；對(duì)于極限的深入研究，也需要理解實(shí)數(shù)系。Cauchy不能證明他自己關(guān)于序列收斂準(zhǔn)則的充分性，也是由于他對(duì)實(shí)數(shù)系的結(jié)構(gòu)缺乏深入的理解。Weierstrass指出，為了要細(xì)致地建立連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，需要算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的理論——這正是分析算術(shù)化的根本基礎(chǔ)。
1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀(jì)念的一年。這一年，F(xiàn).Kline提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（Erlanger Programm），Weierstrass給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實(shí)數(shù)的三大派理論：Dedekind“分割”理論；Cantor、Henie、Meray的“基本序列”理論，以及Weierstrass的“有界單調(diào)序列”理論，同時(shí)在德國出現(xiàn)了。
努力建立實(shí)數(shù)的目的是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做基礎(chǔ)，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長歲月的過程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達(dá)到。這里，Dedekind的工作受到了崇高的評(píng)價(jià)，這是因?yàn)�，由“Dedekind分割”定義的實(shí)數(shù)，是完全不依賴于空間與時(shí)間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。
1858年，Dedekind在講授微積分的時(shí)候就表示出要尋求使分析嚴(yán)格化途徑的愿望，他說：“…決不能認(rèn)為以這種方式引入微分學(xué)是科學(xué)的。這一點(diǎn)已經(jīng)得到公認(rèn)。至于我本人，也無法克制這種不滿意的感覺而下定決心研究這個(gè)問題，直到建立為無窮小分析原理建立純粹算術(shù)的和完全嚴(yán)格的基礎(chǔ)為止�！盌edekind不去考慮如何定義無理數(shù)，才能避免Cauchy的惡性循環(huán)，而是考慮如果算術(shù)方法明顯失敗，在連續(xù)幾何量中，究竟存在什么使它解決了這個(gè)困難：即連續(xù)性的本質(zhì)是什么？沿著這個(gè)方向去思索，Dedekind了解到一條直線的連續(xù)性，不能用模糊的聚在一起來說明，而只能作為將直線用點(diǎn)來劃分的性質(zhì)。他看出將直線上的點(diǎn)分成兩類，使一類中的每點(diǎn)都在另一類中每點(diǎn)的左邊，則存在一點(diǎn)而只有一點(diǎn)，產(chǎn)生這個(gè)劃分(cut)。這對(duì)有序的有理數(shù)系是不成立的。這就是為什么直線上的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)連續(xù)統(tǒng)（continuum），而有理數(shù)則不可能。正如Dedekind所說，“由這樣的平凡之見，暴露了連續(xù)性的秘密。”
實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。
接下來的目標(biāo)是給出有理數(shù)的定義與性質(zhì)。Ohm、Weierstrass、Kronecker、Peano在這方面做出了杰出的工作。在1859年前后，Weierstrass等人就認(rèn)識(shí)到：只要承認(rèn)了自然數(shù)，建立實(shí)數(shù)就不再需要進(jìn)一步的公理了。因此建立實(shí)數(shù)理論的關(guān)鍵是有理數(shù)系，而建立有理數(shù)系的核心，就在于構(gòu)造普通整數(shù)的基礎(chǔ)并確立整數(shù)的性質(zhì)。1872-78年間，Dedekind給出了一個(gè)整數(shù)理論。
1889年，Peano最先利用公理化的方法，用一組公理引進(jìn)了整數(shù)，從而建立了完備的自然數(shù)理論。Peano創(chuàng)設(shè)的符號(hào)， 如“∈”表示屬于，“ ”表示包含，N0表示自然數(shù)類，a+表示后繼于a的下一個(gè)自然數(shù)，對(duì)今天仍影響深遠(yuǎn)�？烧l能相信正是因?yàn)樗谡n堂上也使用這些符號(hào)，因而學(xué)生們?cè)炝朔�，他試著用全部及格的辦法去滿足他們，但沒有起作用。因而他被迫辭去在Turin大學(xué)的教授職位。
Kronecker說：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”(God made the integers, all the rest is the work of man)。(參考文獻(xiàn)[5],p477)但是，在分析算術(shù)化的進(jìn)程中，整數(shù)并沒有因?yàn)槭巧系鄣膶檭憾玫剿幕砻鈾?quán)。
尋求統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿Α；厮荨胺治鏊阈g(shù)化”的整個(gè)歷程，我們發(fā)現(xiàn)在起跑處人們并不知道終點(diǎn)在那里，也更不知道路該怎么走。從Pythagrass學(xué)派關(guān)于不可公度量的發(fā)現(xiàn)，到Zeno悖論引發(fā)的對(duì)無限概念的關(guān)切，從而孕育了導(dǎo)致微積分的各種研究。當(dāng)Dedekind、Cantor、Weierstrass等人把無理數(shù)建立在有理數(shù)的基礎(chǔ)上，而最后由Peano給出自然數(shù)的邏輯公理，終于完成了有理數(shù)論,因此實(shí)數(shù)系的基礎(chǔ)問題最終宣告完備。微積分學(xué)的基本概念——連續(xù)變量的極限：導(dǎo)數(shù)和積分，在邏輯上的嚴(yán)密性，在形式上的嚴(yán)謹(jǐn)性，有如Euclid幾何學(xué)一般的令人贊嘆！中國的先哲們有句古話：九九歸一！如果我們把這里的“一”理解為自然數(shù)之首的“1”，那么，關(guān)于微積分學(xué)的歷史發(fā)展，Pythagoras的名言是驚人的貼切：萬物皆數(shù)�。ˋll is number.）
1900年,在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，Poincare不無自豪的贊嘆到： “今天在分析中，如果我們不厭其煩地嚴(yán)格的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)只有三段論或歸結(jié)于純數(shù)的直覺是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱絕對(duì)的嚴(yán)密已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了。”
