基本內(nèi)容
戈特弗里德·威廉·萊布尼茨
弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年—1716年），德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，和牛頓先后獨(dú)立發(fā)明了微積分。有人認(rèn)為，萊布尼茨最大的貢獻(xiàn)不是發(fā)明微積分，而是微積分中使用的數(shù)學(xué)符號(hào)，因?yàn)榕ｎD使用的符號(hào)普遍認(rèn)為比萊布尼茨的差。他所涉及的領(lǐng)域及法學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等40多個(gè)范疇，被譽(yù)為十七世紀(jì)的亞里士多德。
中文名:弗里德·威廉·萊布尼茨
外文名:GottfriedWilhelmLeibniz
國(guó)籍:德國(guó)
民族:薩克森
出生地:神圣羅馬帝國(guó)萊比錫
出生日期:1646年(丙戌年)7月1日
逝世日期
1716年11月14日
職業(yè)
數(shù)學(xué)家，哲學(xué)家，邏輯學(xué)家
畢業(yè)院校
萊比錫大學(xué)
主要成就
發(fā)明微積分
單子論
戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年7月1日－1716年11月14日），德意志哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他的著書(shū)約四成為拉丁文、約三成為法文、約一成五為德文。萊布尼茨是歷史上少見(jiàn)的通才，被譽(yù)為十七世紀(jì)的亞里士多德。他本人是一名律師，經(jīng)常往返于各大城鎮(zhèn)，他許多的公式都是在顛簸的馬車上完成的，他也自稱具有男爵的貴族身份。
萊布尼茨在數(shù)學(xué)史和哲學(xué)史上都占有重要地位。在數(shù)學(xué)上，他和牛頓先后獨(dú)立發(fā)明了微積分。有人認(rèn)為，萊布尼茨最大的貢獻(xiàn)不是發(fā)明微積分，而是發(fā)明了微積分中使用的數(shù)學(xué)符號(hào)，因?yàn)榕ｎD使用的符號(hào)被普遍認(rèn)為比萊布尼茨的差。萊布尼茨還對(duì)二進(jìn)制的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。
在哲學(xué)上，萊布尼茨的樂(lè)觀主義最為著名，例如他認(rèn)為，“我們的宇宙，在某種意義上是上帝所創(chuàng)造的最好的一個(gè)。”他和笛卡爾、巴魯赫·斯賓諾莎被認(rèn)為是十七世紀(jì)三位最偉大的理性主義哲學(xué)家。萊布尼茨在哲學(xué)方面的工作在預(yù)見(jiàn)了現(xiàn)代邏輯學(xué)和分析哲學(xué)誕生的同時(shí)，也顯然深受經(jīng)院哲學(xué)傳統(tǒng)的影響，更多地應(yīng)用第一性原理或先驗(yàn)定義，而不是實(shí)驗(yàn)證據(jù)來(lái)推導(dǎo)以得到結(jié)論。
萊布尼茨對(duì)物理學(xué)和技術(shù)的發(fā)展也做出了重大貢獻(xiàn)，并且提出了一些后來(lái)涉及廣泛——包括生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、概率論、心理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)和信息科學(xué)——的概念。萊布尼茨在政治學(xué)、法學(xué)、倫理學(xué)、神學(xué)、哲學(xué)、歷史學(xué)、語(yǔ)言學(xué)諸多方向都留下了著作。
萊布尼茨對(duì)如此繁多的學(xué)科方向的貢獻(xiàn)分散在各種學(xué)術(shù)期刊、成千上萬(wàn)封信件、和未發(fā)表的手稿中，截止至2010年，萊布尼茨的所有作品還沒(méi)有收集完全。戈特弗里德·威廉·萊布尼茨圖書(shū)館的萊布尼茨手稿藏品——Nieders?chischeLandesbibliothek2007年被收入聯(lián)合國(guó)教科文組織編寫(xiě)的世界記憶項(xiàng)目。
由于萊布尼茨曾在漢諾威生活和工作了近四十年，并且在漢諾威去世，為了紀(jì)念他和他的學(xué)術(shù)成就，2006年7月1日，也就是萊布尼茨360周年誕辰之際，漢諾威大學(xué)正式改名為漢諾威萊布尼茨大學(xué)。
1646年7月1日萊布尼茨出生于神圣羅馬帝國(guó)的萊比錫，祖父三代人均曾在薩克森政府供職，父親是FriedrichLeibnütz，母親是CatherinaSchmuck。長(zhǎng)大后，萊布尼茨名字的拼法才改成“Leibniz”，但是一般人習(xí)慣寫(xiě)成“Leibnitz”。晚年時(shí)期，他的簽名通常寫(xiě)成“vonLeibniz”，以示貴族身份。萊布尼茨死后，他的作品才公諸于世，作者名稱通常是“Freiherr[Baron]G.W.vonLeibniz.”，但沒(méi)有人確定他是否確實(shí)有男爵的貴族頭銜。
萊布尼茨的父親是萊比錫大學(xué)的倫理學(xué)教授，在萊布尼茨6歲時(shí)去世，留下了一個(gè)私人的圖書(shū)館。12歲時(shí)自學(xué)拉丁文，并著手學(xué)習(xí)希臘文。14歲時(shí)進(jìn)入萊比錫大學(xué)念書(shū)，20歲時(shí)完成學(xué)業(yè)，專攻法律和一般大學(xué)課程。1666年他出版第一部有關(guān)于哲學(xué)方面的書(shū)籍，書(shū)名為《論組合術(shù)》（deartecombinatoria）
1666年萊布尼茨于Altdorf拿到博士學(xué)位后，拒絕了教職的聘任，并經(jīng)由當(dāng)時(shí)政治家Boineburg男爵的介紹，任職服務(wù)于美茵茨選帝侯大主教JohannPhilippvonSch?nborn的高等法庭。
1671年發(fā)表兩篇論文《抽象運(yùn)動(dòng)的理論》（Theoriamotusabstracti）及《新物理學(xué)假說(shuō)》（Hypothesisphysicanova），分別題獻(xiàn)給巴黎的科學(xué)院和倫敦的皇家學(xué)會(huì)，在當(dāng)時(shí)歐洲學(xué)術(shù)界增加了知名度。
1672年萊布尼茨被JohannPhilipp派至巴黎，以動(dòng)搖路易十四對(duì)入侵荷蘭及其它西歐日爾曼鄰國(guó)的興趣，并轉(zhuǎn)投注精力于埃及。這項(xiàng)政治計(jì)劃并沒(méi)有成功，但萊布尼茨卻進(jìn)入了巴黎的知識(shí)圈，結(jié)識(shí)了馬勒伯朗士和數(shù)學(xué)家惠更斯等人。這一時(shí)期的萊布尼茨特別研究數(shù)學(xué)，而發(fā)明了微積分。
1672及1673年Boineburg和JohannPhilipp卻相繼過(guò)世，迫使萊布尼茨最后于1676年離開(kāi)巴黎而轉(zhuǎn)任職服務(wù)于漢諾威的JohannFriedrich公爵。于上任時(shí)，順道于海牙拜訪斯賓諾莎，與其數(shù)天一同討論哲學(xué)。之后萊布尼茨就到漢諾威管理圖書(shū)館，并擔(dān)任公爵法律顧問(wèn)。
1680至1685年間，擔(dān)任哈茨山銀礦礦采工程師。在這期間，萊布尼茨致力于風(fēng)車設(shè)計(jì)，以抽取礦坑中的地下水。然而受限于技術(shù)問(wèn)題和礦工傳統(tǒng)觀念的阻力，計(jì)劃沒(méi)有成功。
1685年起，再受繼任的公爵ErnstAugust所托，轉(zhuǎn)而開(kāi)始做其Braunschweig-Lüneburg貴族族譜研究。這項(xiàng)計(jì)劃一直到萊布尼茨去世前都沒(méi)有完成。
1686年完成《形而上學(xué)論》(Discoursdemétaphysique)。
1689年為完成Braunschweig-Lüneburg族譜研究，游歷于意大利。其時(shí)結(jié)識(shí)耶穌會(huì)派遣于中國(guó)的傳教士，而開(kāi)始對(duì)中國(guó)事物有更強(qiáng)烈的興趣。
1695年于期刊發(fā)表《新系統(tǒng)》，進(jìn)而使萊布尼茨哲學(xué)中，關(guān)于實(shí)體間與心物間之“預(yù)定和諧”理論，被廣泛認(rèn)識(shí)。
1700年萊布尼茨說(shuō)服勃蘭登堡選帝侯腓特烈三世于柏林成立科學(xué)院，并擔(dān)任首任院長(zhǎng)。
1704年完成《人類理智新論》。本文針對(duì)洛克的《人類理智論》，用對(duì)話的體裁，逐章節(jié)提出批評(píng)。然因洛克的突然過(guò)世，萊布尼茨不愿被落入欺負(fù)死者的口實(shí)，所以本書(shū)在萊布尼茨生前一直都沒(méi)有出版。
1710年，出于對(duì)1705年過(guò)世的普魯士王后SophieCharlotte的感念，出版《神義論》(EssaisdeThéodicée)。
1714年于維也納著寫(xiě)《單子論》（LaMonadologie；標(biāo)題為后人所加）及《建立于理性上之自然與恩惠的原理》。同年，漢諾威公爵GeorgLudwig繼任為英國(guó)國(guó)王喬治一世，卻拒絕將萊布尼茨帶至倫敦，而將他疏遠(yuǎn)于漢諾威。
1716年11月14日萊布尼茨于漢諾威孤獨(dú)地過(guò)世，除了他自己的秘書(shū)外，即使GeorgeLudwig本人正巧在漢諾威，宮廷無(wú)其他人參加他的喪禮。直到去世前幾個(gè)月，才寫(xiě)完一份關(guān)于中國(guó)人宗教思想的手稿：《論中國(guó)人的自然神學(xué)》。
天才的智慧
萊布尼茲經(jīng)當(dāng)代智商測(cè)試研究，智商高達(dá)205，是人類歷史上少有的天才
符號(hào)思維
萊布尼茨有個(gè)顯著的信仰，大量的人類推理可以被歸約為某類運(yùn)算，而這種運(yùn)算可以解決看法上的差異：
"精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數(shù)學(xué)一樣切實(shí)，這樣我們能一眼就找出我們的錯(cuò)誤，并且在人們有爭(zhēng)議的時(shí)候，我們可以簡(jiǎn)單的說(shuō)：讓我們計(jì)算[calculemus]，而無(wú)須進(jìn)一步的忙亂，就能看出誰(shuí)是正確的。"(發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)1685,W51）
萊布尼茨的演算推論器，很能讓人想起符號(hào)邏輯，可以被看作使這種計(jì)算成為可行的一種方式。萊布尼茨寫(xiě)的備忘錄（帕金森1966年翻譯了它們）可以被看作是對(duì)符號(hào)邏輯的探索--所以他的演算--上路了。但是Gerhard和Couturat沒(méi)有出版這些著作，直到現(xiàn)代形式邏輯在1880年代于Frege的概念文字和CharlesPeirce及他的學(xué)生的著作中形成，所以就更在喬治·布爾和德·摩根在1847開(kāi)創(chuàng)這種邏輯之后了。
單子論
除了是一位出眾的天才數(shù)學(xué)家之外，萊氏亦是歐陸理性主義哲學(xué)的高峰。承斷了西方哲學(xué)傳統(tǒng)的思想，他認(rèn)為世界，因其確定（換句話說(shuō)，有關(guān)世界的知識(shí)是客觀普遍和必然的）之故，必然是由自足的實(shí)體所構(gòu)成。所謂的自足，是不依他物存在和不依他物而被認(rèn)知。萊氏的前輩斯賓諾莎以為實(shí)體只有一個(gè)，就是神/自然。萊氏對(duì)此不敢茍同，原因之一是斯氏的泛神觀和圣經(jīng)的神學(xué)有明顯沖突，其次，是因?yàn)樗故系睦碚摏](méi)有能夠解決由笛卡兒以降的二元對(duì)立論，令世界出現(xiàn)了斷層（他雖然強(qiáng)調(diào)世界為一，但沒(méi)有說(shuō)明這一個(gè)看來(lái)是二元對(duì)立的世界的一統(tǒng)是如何可能）。
萊氏以為實(shí)體是多的，是無(wú)限多的。跟隨亞里士多德的實(shí)體觀，他以為實(shí)體是一命題的主語(yǔ)。在一個(gè)命題S是P中，S就是實(shí)體。因?yàn)閷?shí)體是自足的，則它要包含所有可能的謂語(yǔ)，即是「……是P」。由此，我們可以推出，實(shí)體有四個(gè)特征︰不可分割性、封閉性、統(tǒng)有性和道德性。
不可分割性是指，任何有廣延的東西，即有長(zhǎng)度的東西，都可以被分割。被分割了的東西分別包含了自己的全部可能性，并且自足，則有廣延的東西的內(nèi)容，即可能性要依附于他的部份的可能性。如此類推，則只要有廣延性，就不自足，而要依他物而被知（對(duì)萊氏來(lái)說(shuō)，真正的知識(shí)就是要窮一物的可能性），就不是實(shí)體。故實(shí)體不可分割，是一沒(méi)有廣延的東西，在萊氏的晚年著作中（Monadology），他稱之為單子（Monad），單子的性質(zhì)就是思（thought）。這廣延的世界就是由無(wú)限多的單子構(gòu)成。
封閉性是說(shuō)每一單子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。則一單子不可能和另一單子有交互作用(interaction）。若一單子作用于另一單子，則后一單子有一可能性沒(méi)有包括在該單子之內(nèi)，即該單子沒(méi)能自足的包含自己的全部?jī)?nèi)容，而要依附于他物。因?yàn)閷?shí)體的定義，這是不可能的。故萊氏說(shuō)︰「單子之間沒(méi)有窗戶。」
統(tǒng)有性是指每一單子都必然以某種角度（perspective）包括了全世界。因?yàn)槭澜缡蔷o密的由因果所構(gòu)成，故A作用于B，其實(shí)不單單是作用于B，而是全世界。如果說(shuō)一單子的內(nèi)容包括自身的全部可能，則每一單子均以該單子自身為中心指向全世界。而這個(gè)世界是一的，不等于說(shuō)所有單子都是一樣的，因?yàn)橥皇澜缈梢圆煌慕嵌葋?lái)認(rèn)知，而不失為一一統(tǒng)的世界。
最后，單子的道德性則較復(fù)雜。這個(gè)特性的提出是基于兩個(gè)理由，
一、是世界的一統(tǒng)性（unity），
二、是世界的確定性。
對(duì)于前者，所有的單子都包含全世界，但各以自己的角度，世界的一統(tǒng)性是不是假的呢？如果我們要說(shuō)一統(tǒng)，可以如何說(shuō)起呢？對(duì)于后者，世界是由單子構(gòu)成，單子只是其可能性的集合，世界亦只是一可能。那我們是不是不可能有一種不僅僅是可能，而是必然的知識(shí)呢？我們可以在甚么意義下說(shuō)有關(guān)世界的知識(shí)是真的、確定的呢？萊氏將之歸功于一神，世界的創(chuàng)造者。從一個(gè)方面說(shuō)，神在創(chuàng)造之前，沒(méi)有已成的材料，故沒(méi)有既成的有限處境，則創(chuàng)造是一純意志的創(chuàng)造，神是單憑其至善而創(chuàng)造這一個(gè)世界的。故此，如萊氏的名言，這一個(gè)確切成就了的世界是「眾多可能的世界之中最好的一個(gè)�！惯@乎合了萊氏的信仰要求。另一方面，要確定的了解一事物，則要了解其原因。要理解這一個(gè)原因，又要追索該原因的原因。如此類推，則世界的確定性知識(shí)不可能是一世界之內(nèi)的動(dòng)因（efficientcause），而是一超越的形上因（metaphysicalcause）。萊氏稱這個(gè)理論上必要設(shè)置的形上因?yàn)樯�。故，這一個(gè)世界之所以是如此，就是因?yàn)檫@是最好的，是至善的可能世界。人，要完全理解這神的至善意志，是不可能的，但可朝這一個(gè)方向邁進(jìn)，因?yàn)槿说男撵`作一特殊的單子，是有記憶的，可以基于過(guò)去，疇劃自己的未來(lái)，這是人類分享的神性，即道德的可能性。人可以透過(guò)開(kāi)放可能性，了解這個(gè)神創(chuàng)造的世界，而了解如何成為一個(gè)道德的人。
這一種世界的道德觀，可以被視為康德的先驅(qū)，分別在于萊氏獨(dú)斷的提出了神為道德的完滿，把可能性說(shuō)成了是在神的目光之下的實(shí)在，而沒(méi)有真正的將世界的可能性看作為可能性。而且萊氏對(duì)天賦觀念（innateidea）的批評(píng)，正是黑格爾對(duì)康德的批評(píng)，在這個(gè)意義上說(shuō)，康德一方面是被休謨（Hume）從萊氏的獨(dú)斷夢(mèng)中喚醒，可是同時(shí)亦到由洛克（Locke）起的哲學(xué)病變--對(duì)理性界限的審查--所污染。在這一方面，萊布尼茨卻比康德走前了一步。
形式邏輯
萊布尼茨是在亞里士多德和1847年喬治·布爾和德·摩根分別出版開(kāi)創(chuàng)現(xiàn)代形式邏輯的著作之間最重要的邏輯學(xué)家。萊布尼茨闡明了我們叫做合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性質(zhì)。萊布尼茨的邏輯原理和他的整個(gè)哲學(xué)可被歸約為兩點(diǎn)：
所有的我們的觀念（概念）都是由非常小數(shù)目的簡(jiǎn)單觀念復(fù)合而成，它們形成了人類思維的字母。
復(fù)雜的觀念來(lái)自這些簡(jiǎn)單的觀念，通過(guò)模擬算術(shù)運(yùn)算的統(tǒng)一的和對(duì)稱的組合。
數(shù)學(xué)家
微積分領(lǐng)域使用的符號(hào)仍是萊布尼茨所提出的。在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域，萊布尼茨判別法是用來(lái)判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性的。
微積分
萊布尼茨與牛頓誰(shuí)先發(fā)明微積分的爭(zhēng)論是數(shù)學(xué)界至今最大的公案。萊布尼茨于1684年發(fā)表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號(hào)dx，dy。1686年他又發(fā)表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號(hào)∫。依據(jù)萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學(xué)。
然而1695年英國(guó)學(xué)者宣稱：微積分的發(fā)明權(quán)屬于牛頓；1699年又說(shuō)：牛頓是微積分的“第一發(fā)明人”。1712年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)成立了一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此案，1713年初發(fā)布公告：“確認(rèn)牛頓是微積分的第一發(fā)明人�！比R布尼茨直至去世后的幾年都受到了冷遇。由于對(duì)牛頓的盲目崇拜，英國(guó)學(xué)者長(zhǎng)期固守于牛頓的流數(shù)術(shù)，只用牛頓的流數(shù)符號(hào)，不屑采用萊布尼茨更優(yōu)越的符號(hào)，以致英國(guó)的數(shù)學(xué)脫離了數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)代潮流。
不過(guò)萊布尼茨對(duì)牛頓的評(píng)價(jià)非常的高，在1701年柏林宮廷的一次宴會(huì)上，普魯士國(guó)王腓特烈詢問(wèn)萊布尼茨對(duì)牛頓的看法，萊布尼茨說(shuō)道：
“
在從世界開(kāi)始到牛頓生活的時(shí)代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過(guò)了一半
”
牛頓在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的第一版和第二版也寫(xiě)道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家萊布尼茨的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫(xiě)道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒(méi)有什么不同，除了他的措詞和符號(hào)而外”（但在第三版及以后再版時(shí)，這段話被刪掉了）。
因此，后來(lái)人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茨是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的。
牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣高于萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認(rèn)識(shí)到好的數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被發(fā)表），總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說(shuō)明了自己成就的獨(dú)立性。
拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)鋵W(xué)最早稱之“位相分析學(xué)”（analysissitus），是萊布尼茨1679年提出的，這是一門研究地形、地貌相類似的學(xué)科，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問(wèn)題。關(guān)于萊布尼茨對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的貢獻(xiàn)，尚存爭(zhēng)論。Mates引用JacobFreudenthal1954年一篇論文里的話說(shuō)：
盡管萊布尼茨認(rèn)為一列點(diǎn)在空間中的位置是由其間距離唯一決定的——當(dāng)且僅當(dāng)距離發(fā)生變化時(shí)點(diǎn)的位置發(fā)生相應(yīng)的改變——他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文（1736年發(fā)表，解決了柯尼斯堡七橋問(wèn)題及其推廣）中，卻是在“拓?fù)渥冃螘r(shí)點(diǎn)的位置不發(fā)生變化”的意義下使用“幾何位置”這個(gè)名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個(gè)概念的創(chuàng)始者�！藗兂３Ｒ庾R(shí)不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個(gè)名詞的，因此被尊為數(shù)學(xué)的這個(gè)分支領(lǐng)域的奠基人并不恰當(dāng)。
但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說(shuō):
在萊布尼茨海量的科學(xué)成果中探索是發(fā)人深省的體驗(yàn)。除了微積分以及其他已經(jīng)完成的研究之外，大量涉及內(nèi)容廣泛且極富前瞻性的研究對(duì)科學(xué)發(fā)展的推動(dòng)力勢(shì)不可擋。在u2018填充理論u2019上即有例子，……在發(fā)現(xiàn)萊布尼茨還曾經(jīng)關(guān)注過(guò)幾何度量的重要性之后，我對(duì)他的狂熱更甚了。在“歐幾里德普羅塔”中……，其使得歐幾里德公理更加嚴(yán)格，他陳述道，……u2018對(duì)直線，我有數(shù)種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性；這不僅適用于曲線，而且適用于集合。u2019這個(gè)論斷今天已經(jīng)可以被證明。
因而分形幾何（由本華·曼德博發(fā)揚(yáng)光大）理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續(xù)性原理中尋求支持：大自然沒(méi)有跳躍（拉丁語(yǔ)“naturanonfacitsaltus”，英語(yǔ)"naturedoesnotmakejumps"）。當(dāng)萊布尼茨在他的形而上學(xué)著作中寫(xiě)道，“直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類似的”，他實(shí)際上提前兩個(gè)世紀(jì)預(yù)言了拓?fù)鋵W(xué)的誕生。至于“填充理論”，萊布尼茨對(duì)他的朋友DesBosses說(shuō)，“你想象一個(gè)圓，然后用三個(gè)全等的最大半徑的圓填滿它，后來(lái)的三個(gè)小圓又可以以同樣的過(guò)程被更小的圓填充”。這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限地繼續(xù)下去，并由此生發(fā)出了自相似性的思想。萊布尼茨對(duì)于歐氏公理的改進(jìn)亦包含同樣的概念。
萊布尼茨與中國(guó)文化
萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人。法國(guó)漢學(xué)大師若阿基姆·布韋（JoachimBouvet，漢名白晉，1662－1732年）向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統(tǒng)。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽(yáng)”基本上就是他的二進(jìn)制的中國(guó)版。他曾斷言言：“二進(jìn)制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語(yǔ)言”。在德國(guó)圖林根，著名的郭塔王宮圖書(shū)館（SchlossbibliothekzuGotha）內(nèi)仍保存一份萊氏的手稿，標(biāo)題寫(xiě)著“1與0，一切數(shù)字的神奇淵源。”
事實(shí)上，說(shuō)萊布尼茨看到陰陽(yáng)才發(fā)明二進(jìn)制完全是斷章取義，相反手稿標(biāo)題全文是：《1與0，一切數(shù)字的神奇淵源�！@是造物的秘密美妙的典范，因?yàn)�，一切無(wú)非都來(lái)自上帝�！�，而且萊布尼茨自己寫(xiě)給若阿基姆·布韋的信中萊布尼茨寫(xiě)到的是：“第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最后的一天也是最完美的。因?yàn)椋藭r(shí)世間的一切都已經(jīng)被創(chuàng)造出來(lái)了。因此它被寫(xiě)作u20187u2019，也就是u2018111u2019（二進(jìn)制中的111等于十進(jìn)制的7），而且不包含0。只有當(dāng)我們僅僅用0和1來(lái)表達(dá)這個(gè)數(shù)字時(shí)，才能理解，為什么第七天才最完美，為什么7是神圣的數(shù)字。特別值得注意的是它（第七天）的特征（寫(xiě)作二進(jìn)制的111）與三位一體的關(guān)聯(lián)�！�。
中國(guó)有廣為流傳的觀點(diǎn)認(rèn)為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制來(lái)自于中國(guó)的八卦，但這早已被證明是一個(gè)神話。對(duì)這一錯(cuò)誤，郭書(shū)春在《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》一書(shū)461頁(yè)指出：“中國(guó)有所謂《周易》創(chuàng)造了二進(jìn)制的說(shuō)法，至于萊布尼茲受《周易》八卦的影響創(chuàng)造二進(jìn)制并用于計(jì)算機(jī)的神話，更是廣為流傳。事實(shí)是，萊布尼茲先發(fā)明了二進(jìn)制，后來(lái)才看到傳教士帶回的宋代學(xué)者重新編排的《周易》八卦，并發(fā)現(xiàn)八卦可以用他的二進(jìn)制來(lái)解釋。”因此，并不是萊布尼茨看到陰陽(yáng)八卦才發(fā)明二進(jìn)制。梁宗巨著《數(shù)學(xué)歷史典故》一書(shū)14～18頁(yè)對(duì)這一歷史公案有更加詳盡考察，想進(jìn)一步了解者可參考。
更進(jìn)一步，二進(jìn)制具有加減乘除運(yùn)算，具有與其他進(jìn)制的換算，而陰陽(yáng)八卦根本沒(méi)有加減乘除，與其他進(jìn)制的換算。因此，它們僅僅具有表面的相似，本質(zhì)上是不同的。
