建樹

波利亞的數(shù)學研究的最顯著特點是他有極為廣泛的興趣，他在概率論、組合數(shù)學、圖論、幾何、代數(shù)、數(shù)論、函數(shù)論、微分方程、數(shù)學物理等領域都有過建樹．他撰寫（包括與他人合作）的250多篇論文，被收集整理成四卷本的論文集，由美國麻省理工學院出版社出版（前兩卷在1974年出版，后兩卷在1984年出版）．當有人問及為什么他對差異如此之大的數(shù)學分支進行研究時，他回答說：「是受了我的老師以及當時的數(shù)學風尚的影響，后來又受到自己發(fā)現(xiàn)興趣的驅使．」

概率論

如前所述，1912年他提交了概率論方面的博士論文，由于當時在布達佩斯沒有人對概率論感興趣，因此他的這篇論文是在沒有得到導師幫助的情況下寫成的．此后，他開始了對概率論的一系列富有成效的研究．早期工作主要涉及幾何概率方面．有人認為，波利亞是第一個在論著中使用「中心極限定理」這一術語的人．波利亞還進一步研究了概率論中的特征函數(shù)，提出所謂的「波利亞準則」．他的一個典型的例子——罐子模型（thePolyaurnsche-me），即在一個罐子中，放有r個紅球和b個黑球，當隨機取出一個球后，就另外取來與其同色的c個球代替它而放入罐子中．這個模型經(jīng)常用來描述蔓延現(xiàn)象，它的一個分支就是所謂的波利亞分布．

波利亞對概率論最重要的貢獻是他在1921年發(fā)表的有關隨機游動的論文．他首創(chuàng)了術語「隨機游動」（randomwalk）．所謂隨機游動問題指的是，在一個無窮大平面內(nèi)，有兩組等距離的平行直線，這兩組直線互相垂直，這像一幅規(guī)則整齊的城市街道圖：所有樓區(qū)大小一樣，街道交叉成直角．設有一個人站在街道中的某一個拐角處．他可以有四個不同的走向：東、西、南、北．選擇一個樓區(qū)時，仍面臨同樣的情況，這就是二維的隨機游動．而一維的隨機游動是在一條數(shù)軸上，一個動點從整數(shù)點開始的向前或向后走動，方動，賭幣的兩個面中的哪一個面向上相當于點的向前或向后，因而決定了賭博的贏或輸．一般地，考慮用互相正交的直線將d維格點（d個坐標都是整數(shù)的d維空間的點）連結起來，構成d維格網(wǎng)，在每一個格點上都有d條直線相交，因而有2d個方向可供選擇，選擇每一方向的概率是1/2d．在1921年的論文中，他證明了一個引人注意的定理：在一維與二維格網(wǎng)中，只要次數(shù)足夠大，任意游動的點必定返回到它的起始點；但在更高維的格網(wǎng)中，這并不是必然發(fā)生的．波利亞曾將二維隨機游動的這一結論形象地說成：「平面上的道路條條通羅馬！」1964年在紐約世界博覽會上，國際商用機器公司(IBM）在它的展覽廳內(nèi)當眾演示了隨機游動．

函數(shù)論

雖然波利亞在概率論方面的成就是引人注目的，但他的最深奧、最艱難的工作要算復變函數(shù)論了．特別是全平面內(nèi)沒有奇點的單值整函數(shù)的研究．在這個領域中所使用的術語，例如「波利亞峰」、「波利亞表示」和「波利亞間隙定理」就表明了波利亞在這一領域中所做出的貢獻．

1914年他和德國猶太數(shù)學家I．舒爾(Schur）合作引進了波利亞-舒爾函數(shù)，包括J．舍恩伯格(Schoenberg）樣條函數(shù)逼近工作．1957年，波利亞與舍恩伯格提出了一個有關冪級數(shù)的猜想：能夠將單位圓映入凸區(qū)域的兩個冪級數(shù)的阿達馬積，仍是一個具有同樣性質(zhì)的冪級數(shù)．這就是著名的波利亞-舍恩伯格猜想．經(jīng)過一些數(shù)學家的不懈努力，15年后，在1973年由德國維爾茨堡的S．路什科威（Ruscheweyh）和英國約克的T．小希爾(Sheil-small）合作下最后獲得證明．舍恩伯格在1947年解決了一個矩問題，它與波利亞在1915年的一篇論文有關，為此舍恩伯格引進了一些頻率函數(shù)，并稱之為波利亞頻率函數(shù)．

波利亞在函數(shù)論方面最重要的工作是有關函數(shù)零點的結果，它與著名的黎曼猜想密切相關．1919年的論文「數(shù)論的種種評論」（VerschiedeneBemerkungenzurZahlentheone）提出了一個猜想，被稱為波利亞猜想，即：「對每個x>1，在不超過x的正整數(shù)中，含有奇數(shù)個素數(shù)因子（不一定是不同的）的整數(shù)個數(shù)不少于含有偶數(shù)個素數(shù)因子的整數(shù)個數(shù)．」在很長時期里，人們都認為波利亞猜想是正確的．直到1958年，C．B．B．哈茲爾格羅夫（Haselgrove）從理論上證明了存在著無窮多個反例，1962年R．S．S．萊曼(Lehman）找到了一個具體反例：906180359，從而推翻了波利亞猜想．發(fā)表于1926年的波利亞的另一篇論文「關于黎曼ξ函數(shù)的積分表示的評論」（BemerkungberdieIntegraldarstellungderRiemannschenξ-Funktion）明顯地涉及了黎曼猜想，雖然失敗了，但卻導致了統(tǒng)計方法的重大進展．

組合數(shù)學

1935年，波利亞對化學中同分異構體進行了研究，表現(xiàn)了他對對稱性的極大興趣．自從19世紀初發(fā)現(xiàn)了同分異構體后，關于同分異構體的計數(shù)問題長期得不到解決．直到1874年，同時出現(xiàn)了三篇有關的論文，其一是德國籍化學家W．孔那（Korner）的，討論苯的取代物的同分異構體；其二是荷蘭化學家J．H．H．范霍夫（Van’thoff）的，討論有機化合物的同分異構體；其三是英國數(shù)學家A．凱萊（Cayley）的，運用樹圖并引入母函數(shù)來研究同分異構體的計數(shù)問題．到了20世紀30年代，美國化學家又在這方面做了更多的計算．但是這些方法都是針對個別情況而缺乏普遍性．在前人研究同分異構體計數(shù)問題的基礎上，波利亞在1937年以「關于群、圖與化學化合物的組合計算方法」（KombinatorischeAnzahlbestimmungenfrGruppen，GraphenundChemischeVerbindungen）為題，發(fā)表了長達110頁、在組合數(shù)學中具有深遠意義的著名論文．在這篇論文中推廣了伯恩賽德(Burnside）引理，給出了普遍適用的一般計數(shù)方法．實際上，第一個提出這一理論的是美國一位工程師J．H．雷德菲爾德(Redfield），他在1927年發(fā)表的論文「群化分布的理論」（Thetheoryofgroupredu-ceddistribution）中解決了某種矩陣的計數(shù)問題．由于雷德菲爾德所使用的數(shù)學名詞不普遍，因而這篇論文幾乎沒有引起人們的注意．波利亞的工作更全面、更豐富，其主要定理現(xiàn)已稱為「波利亞計數(shù)定理」（Polya’senumerationtheorem）寫入組合數(shù)學的教材中，它提供了強有力的和巧妙的（對于那些僅有初等數(shù)學知識的人來說又是易于理解的）方法，對圖及化合物進行計數(shù)．

等周問題

在20世紀40年代后期，波利亞撰寫了一些有關微分方程的論文以及數(shù)學物理方面的一系列論文．其中有些內(nèi)容，后來出現(xiàn)在與賽格合著的書《數(shù)學物理中的等周不等式》（Isoperimetricinequalitiesinmathematicalphysics)中．他的有關等周問題、振動模以及特征值的一系列工作一直持續(xù)到1960年．最古老的等周問題要追溯到遠古，即所謂狄多（Dido）①（①狄多，希臘傳說中迦太基著名的建國者，古代泰爾（Tyre）國古腓尼基南部之一海港，在今黎巴嫩）國王的女兒．）題：在面積給定的情況下，求周長最小的平面區(qū)域，或等價地說成，用給定的周長圍成最大面積的平面區(qū)域．隨著數(shù)學物理的發(fā)展，產(chǎn)生了許多類似的問題.最著名的一個是由L．雷利（Rayleigh）提出來的：在鼓膜面積給定的條件下，它應具有什么形狀，使震動的頻率最��？很明顯，這個問題與狄多問題一樣，應取圓形．但是要證明它卻并非易事．狄多問題的最精巧的、直觀的解法是由瑞士幾何學家J．斯坦納(Steiner）給出的「對稱法」．波利亞認為同樣的方法也可以運用于類似的幾何與數(shù)學物理問題中，并給出了雷利問題的最優(yōu)美的解答．

幾何與數(shù)論

早在1913年，波利亞就描述了下面這樣一條皮亞諾（Peano)曲線，它通過一個區(qū)域中的每一個點至多三次．眾所周知，這樣的曲線必須有至少三重點，但波利亞證明了，這樣的曲線并不必須有更高重數(shù)的點，這一結論是很重要的．

波利亞對于數(shù)論的貢獻主要體現(xiàn)在解析數(shù)論領域、各種漸近公式、k冪剩余以及非剩余問題等．

3工作波利亞曾經(jīng)教過中學，長期從事大學數(shù)學教學工作．退休后，又從事中學數(shù)學教師的培訓工作．在漫長的歲月中，他的精湛的教學藝術與杰出的數(shù)學研究相結合，產(chǎn)生了他特有的豐富的數(shù)學教育思想．

波利亞數(shù)學教育思想有兩個基點：其一是關于對數(shù)學科學的認識，他認為數(shù)學有二重性，它既是歐幾里得式的演繹科學，但在創(chuàng)造與認識過程中，它又是一門實驗性的歸納科學．其二是關于對數(shù)學學習的認識，他認為生物發(fā)生律（也稱重演律）可以運用于數(shù)學教學與智力開發(fā)，為此他在1962年發(fā)表了題為「數(shù)學教學與生物發(fā)生律」（Theteachingofmathematicsandthebiogeneticlaw）的論文，1965年又在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》（Mathematicaldisco-very）一書中進一步強調(diào)人類的后代學習數(shù)學應重走人類認識數(shù)學的重大幾步．基于這種思想他對數(shù)學史、對許多著名數(shù)學家如歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）、R．笛卡兒(De-scartes）、C．笛卡兒（De-scartes）、C．F．F．高斯(Gauss），尤其是L．高斯（Gauss），尤其是L．歐拉（Euler）的論文進行了深入研究，認真剖析他本人及當代人發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理及其證明的認識過程，體察人類認識數(shù)學的思想、方法與途徑，從而提出了一些重大的數(shù)學教育思想與方法論原理．

1963年，他在《美國數(shù)學月刊（TheAmericanMathemati-calMonthly）撰文提出了著名的數(shù)學教學與學習的心理三原則，即主動學習原則、最佳動機原則以及階段循序原則．波利亞認為教師在學生的課堂學習中，僅僅是「助產(chǎn)士」，他的主導作用在于引導學生自己去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西；引導學生積極地參與提出問題、解決問題．他認為科學地提出問題需要更多的洞察力和創(chuàng)造性，很可能成為一項發(fā)現(xiàn)的重要組成部分，而學生一旦提出了問題，那么他們解決問題的注意力更集中，主動性會更強烈．教師的教學應立足于學生的主動學習，這就是主動性原則．但他又認為如果學習者缺少活動的動機，那么也不會有所行動．波利亞認為對所學材料產(chǎn)生興趣是最好的學習刺激，而緊張的思維活動后所感受到的快樂是對這種活動的最好獎賞．這就是最佳動機原則．這就是最佳動機原則．波利亞根據(jù)生物發(fā)生律的思想，將數(shù)學學習過程由低級到高級分成三個不同階段：⑴探索階段，是人類的活動與感受階段，處于直觀水平；⑵形式化階段，引入術語、定義、證明，上升到概念水平；⑶同化階段，將所學的知識消化、吸收、融匯于學習者的整體智力結構中．每一個人的思維必須有序地通過這三個階段，這就是階段循序原則．

他認為在課程設計及其教學時，「生物發(fā)生律」不僅可以決定應教什么內(nèi)容與理論，而且還可以預見到用什么樣的先后順序和適當方法來講授這些內(nèi)容與理論．據(jù)此，1965年正當「新數(shù)運動」方興未艾時，他提出了尖銳的反對意見．他說先講集合、群論等現(xiàn)代數(shù)學的東西，再學傳統(tǒng)數(shù)學內(nèi)容，無異于讓嬰兒先學開汽車，再讓他學會走路．直到1977年在回答「你希望今后若干年內(nèi)數(shù)學教育應朝什么方向發(fā)展」的問題時，仍激烈地堅持「離開新數(shù)學軌道，離得越遠越好」．

波利亞極其關心中學數(shù)學教師的培養(yǎng)，退休后親自主持了一些教師培訓班，制定了培訓計劃與課程．他主張課程要加強與初等數(shù)學的聯(lián)系，自始至終要強調(diào)方法論，要突出啟發(fā)式推理和歷史來源．他建議：

⑴培訓數(shù)學教師時應該向他們提供獨立工作的機會，其難度要適當，其形式可采取解題方法討論班或其它合適的形式．

⑵教法課必須緊密地與課程內(nèi)容或教學實習相聯(lián)系，講授教學法課的大學講師必須至少掌握碩士一級的數(shù)學知識，并且要有數(shù)學研究工作經(jīng)驗以及教學實際經(jīng)驗．

由于他在數(shù)學教育上的杰出工作，1980年被邀請擔任第四屆國際數(shù)學教育大會的名譽主席，并發(fā)表了題為「數(shù)學增進智力」的書面致詞．

當代數(shù)學家N．G、德布魯因（deBruijn）這樣評價他：“波利亞是對我的數(shù)學活動影響最大的數(shù)學家．他的所有研究都體現(xiàn)出使人愉快的個性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法論、簡捷的手段、有力的結果．如果有人問我，想成為什么樣的數(shù)學家，我會毫不遲疑地回答：波利亞�！�

——摘自賀賢孝(遼寧師范大學），《波利亞》，世界著名數(shù)學家傳記，1995，1407-1419