數(shù)學(xué)研究
建樹
波利亞的數(shù)學(xué)研究的最顯著特點(diǎn)是他有極為廣泛的興趣，他在概率論、組合數(shù)學(xué)、圖論、幾何、代數(shù)、數(shù)論、函數(shù)論、微分方程、數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域都有過建樹．他撰寫（包括與他人合作）的250多篇論文，被收集整理成四卷本的論文集，由美國(guó)麻省理工學(xué)院出版社出版（前兩卷在1974年出版，后兩卷在1984年出版）．當(dāng)有人問及為什么他對(duì)差異如此之大的數(shù)學(xué)分支進(jìn)行研究時(shí)，他回答說(shuō)：「是受了我的老師以及當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)風(fēng)尚的影響，后來(lái)又受到自己發(fā)現(xiàn)興趣的驅(qū)使．」
概率論
如前所述，1912年他提交了概率論方面的博士論文，由于當(dāng)時(shí)在布達(dá)佩斯沒有人對(duì)概率論感興趣，因此他的這篇論文是在沒有得到導(dǎo)師幫助的情況下寫成的．此后，他開始了對(duì)概率論的一系列富有成效的研究．早期工作主要涉及幾何概率方面．有人認(rèn)為，波利亞是第一個(gè)在論著中使用「中心極限定理」這一術(shù)語(yǔ)的人．波利亞還進(jìn)一步研究了概率論中的特征函數(shù)，提出所謂的「波利亞準(zhǔn)則」．他的一個(gè)典型的例子——罐子模型（thePolyaurnsche-me），即在一個(gè)罐子中，放有r個(gè)紅球和b個(gè)黑球，當(dāng)隨機(jī)取出一個(gè)球后，就另外取來(lái)與其同色的c個(gè)球代替它而放入罐子中．這個(gè)模型經(jīng)常用來(lái)描述蔓延現(xiàn)象，它的一個(gè)分支就是所謂的波利亞分布．
波利亞對(duì)概率論最重要的貢獻(xiàn)是他在1921年發(fā)表的有關(guān)隨機(jī)游動(dòng)的論文．他首創(chuàng)了術(shù)語(yǔ)「隨機(jī)游動(dòng)」（randomwalk）．所謂隨機(jī)游動(dòng)問題指的是，在一個(gè)無(wú)窮大平面內(nèi)，有兩組等距離的平行直線，這兩組直線互相垂直，這像一幅規(guī)則整齊的城市街道圖：所有樓區(qū)大小一樣，街道交叉成直角．設(shè)有一個(gè)人站在街道中的某一個(gè)拐角處．他可以有四個(gè)不同的走向：東、西、南、北．選擇一個(gè)樓區(qū)時(shí)，仍面臨同樣的情況，這就是二維的隨機(jī)游動(dòng)．而一維的隨機(jī)游動(dòng)是在一條數(shù)軸上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從整數(shù)點(diǎn)開始的向前或向后走動(dòng)，方動(dòng)，賭幣的兩個(gè)面中的哪一個(gè)面向上相當(dāng)于點(diǎn)的向前或向后，因而決定了賭博的贏或輸．一般地，考慮用互相正交的直線將d維格點(diǎn)（d個(gè)坐標(biāo)都是整數(shù)的d維空間的點(diǎn)）連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成d維格網(wǎng)，在每一個(gè)格點(diǎn)上都有d條直線相交，因而有2d個(gè)方向可供選擇，選擇每一方向的概率是1/2d．在1921年的論文中，他證明了一個(gè)引人注意的定理：在一維與二維格網(wǎng)中，只要次數(shù)足夠大，任意游動(dòng)的點(diǎn)必定返回到它的起始點(diǎn)；但在更高維的格網(wǎng)中，這并不是必然發(fā)生的．波利亞曾將二維隨機(jī)游動(dòng)的這一結(jié)論形象地說(shuō)成：「平面上的道路條條通羅馬！」1964年在紐約世界博覽會(huì)上，國(guó)際商用機(jī)器公司(IBM）在它的展覽廳內(nèi)當(dāng)眾演示了隨機(jī)游動(dòng)．
函數(shù)論
雖然波利亞在概率論方面的成就是引人注目的，但他的最深?yuàn)W、最艱難的工作要算復(fù)變函數(shù)論了．特別是全平面內(nèi)沒有奇點(diǎn)的單值整函數(shù)的研究．在這個(gè)領(lǐng)域中所使用的術(shù)語(yǔ)，例如「波利亞峰」、「波利亞表示」和「波利亞間隙定理」就表明了波利亞在這一領(lǐng)域中所做出的貢獻(xiàn)．
1914年他和德國(guó)猶太數(shù)學(xué)家I．舒爾(Schur）合作引進(jìn)了波利亞-舒爾函數(shù)，包括J．舍恩伯格(Schoenberg）樣條函數(shù)逼近工作．1957年，波利亞與舍恩伯格提出了一個(gè)有關(guān)冪級(jí)數(shù)的猜想：能夠?qū)挝粓A映入凸區(qū)域的兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的阿達(dá)馬積，仍是一個(gè)具有同樣性質(zhì)的冪級(jí)數(shù)．這就是著名的波利亞-舍恩伯格猜想．經(jīng)過一些數(shù)學(xué)家的不懈努力，15年后，在1973年由德國(guó)維爾茨堡的S．路什科威（Ruscheweyh）和英國(guó)約克的T．小希爾(Sheil-small）合作下最后獲得證明．舍恩伯格在1947年解決了一個(gè)矩問題，它與波利亞在1915年的一篇論文有關(guān)，為此舍恩伯格引進(jìn)了一些頻率函數(shù)，并稱之為波利亞頻率函數(shù)．
波利亞在函數(shù)論方面最重要的工作是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)果，它與著名的黎曼猜想密切相關(guān)．1919年的論文「數(shù)論的種種評(píng)論」（VerschiedeneBemerkungenzurZahlentheone）提出了一個(gè)猜想，被稱為波利亞猜想，即：「對(duì)每個(gè)x>1，在不超過x的正整數(shù)中，含有奇數(shù)個(gè)素?cái)?shù)因子（不一定是不同的）的整數(shù)個(gè)數(shù)不少于含有偶數(shù)個(gè)素?cái)?shù)因子的整數(shù)個(gè)數(shù)．」在很長(zhǎng)時(shí)期里，人們都認(rèn)為波利亞猜想是正確的．直到1958年，C．B．B．哈茲爾格羅夫（Haselgrove）從理論上證明了存在著無(wú)窮多個(gè)反例，1962年R．S．S．萊曼(Lehman）找到了一個(gè)具體反例：906180359，從而推翻了波利亞猜想．發(fā)表于1926年的波利亞的另一篇論文「關(guān)于黎曼ξ函數(shù)的積分表示的評(píng)論」（BemerkungberdieIntegraldarstellungderRiemannschenξ-Funktion）明顯地涉及了黎曼猜想，雖然失敗了，但卻導(dǎo)致了統(tǒng)計(jì)方法的重大進(jìn)展．
組合數(shù)學(xué)
1935年，波利亞對(duì)化學(xué)中同分異構(gòu)體進(jìn)行了研究，表現(xiàn)了他對(duì)對(duì)稱性的極大興趣．自從19世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)了同分異構(gòu)體后，關(guān)于同分異構(gòu)體的計(jì)數(shù)問題長(zhǎng)期得不到解決．直到1874年，同時(shí)出現(xiàn)了三篇有關(guān)的論文，其一是德國(guó)籍化學(xué)家W．孔那（Korner）的，討論苯的取代物的同分異構(gòu)體；其二是荷蘭化學(xué)家J．H．H．范霍夫（Van’thoff）的，討論有機(jī)化合物的同分異構(gòu)體；其三是英國(guó)數(shù)學(xué)家A．凱萊（Cayley）的，運(yùn)用樹圖并引入母函數(shù)來(lái)研究同分異構(gòu)體的計(jì)數(shù)問題．到了20世紀(jì)30年代，美國(guó)化學(xué)家又在這方面做了更多的計(jì)算．但是這些方法都是針對(duì)個(gè)別情況而缺乏普遍性．在前人研究同分異構(gòu)體計(jì)數(shù)問題的基礎(chǔ)上，波利亞在1937年以「關(guān)于群、圖與化學(xué)化合物的組合計(jì)算方法」（KombinatorischeAnzahlbestimmungenfrGruppen，GraphenundChemischeVerbindungen）為題，發(fā)表了長(zhǎng)達(dá)110頁(yè)、在組合數(shù)學(xué)中具有深遠(yuǎn)意義的著名論文．在這篇論文中推廣了伯恩賽德(Burnside）引理，給出了普遍適用的一般計(jì)數(shù)方法．實(shí)際上，第一個(gè)提出這一理論的是美國(guó)一位工程師J．H．雷德菲爾德(Redfield），他在1927年發(fā)表的論文「群化分布的理論」（Thetheoryofgroupredu-ceddistribution）中解決了某種矩陣的計(jì)數(shù)問題．由于雷德菲爾德所使用的數(shù)學(xué)名詞不普遍，因而這篇論文幾乎沒有引起人們的注意．波利亞的工作更全面、更豐富，其主要定理現(xiàn)已稱為「波利亞計(jì)數(shù)定理」（Polya’senumerationtheorem）寫入組合數(shù)學(xué)的教材中，它提供了強(qiáng)有力的和巧妙的（對(duì)于那些僅有初等數(shù)學(xué)知識(shí)的人來(lái)說(shuō)又是易于理解的）方法，對(duì)圖及化合物進(jìn)行計(jì)數(shù)．
等周問題
在20世紀(jì)40年代后期，波利亞撰寫了一些有關(guān)微分方程的論文以及數(shù)學(xué)物理方面的一系列論文．其中有些內(nèi)容，后來(lái)出現(xiàn)在與賽格合著的書《數(shù)學(xué)物理中的等周不等式》（Isoperimetricinequalitiesinmathematicalphysics)中．他的有關(guān)等周問題、振動(dòng)模以及特征值的一系列工作一直持續(xù)到1960年．最古老的等周問題要追溯到遠(yuǎn)古，即所謂狄多（Dido）①（①狄多，希臘傳說(shuō)中迦太基著名的建國(guó)者，古代泰爾（Tyre）國(guó)古腓尼基南部之一海港，在今黎巴嫩）國(guó)王的女兒．）題：在面積給定的情況下，求周長(zhǎng)最小的平面區(qū)域，或等價(jià)地說(shuō)成，用給定的周長(zhǎng)圍成最大面積的平面區(qū)域．隨著數(shù)學(xué)物理的發(fā)展，產(chǎn)生了許多類似的問題.最著名的一個(gè)是由L．雷利（Rayleigh）提出來(lái)的：在鼓膜面積給定的條件下，它應(yīng)具有什么形狀，使震動(dòng)的頻率最��？很明顯，這個(gè)問題與狄多問題一樣，應(yīng)取圓形．但是要證明它卻并非易事．狄多問題的最精巧的、直觀的解法是由瑞士幾何學(xué)家J．斯坦納(Steiner）給出的「對(duì)稱法」．波利亞認(rèn)為同樣的方法也可以運(yùn)用于類似的幾何與數(shù)學(xué)物理問題中，并給出了雷利問題的最優(yōu)美的解答．
幾何與數(shù)論
早在1913年，波利亞就描述了下面這樣一條皮亞諾（Peano)曲線，它通過一個(gè)區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)至多三次．眾所周知，這樣的曲線必須有至少三重點(diǎn)，但波利亞證明了，這樣的曲線并不必須有更高重?cái)?shù)的點(diǎn)，這一結(jié)論是很重要的．
波利亞對(duì)于數(shù)論的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在解析數(shù)論領(lǐng)域、各種漸近公式、k冪剩余以及非剩余問題等．
3工作波利亞曾經(jīng)教過中學(xué)，長(zhǎng)期從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作．退休后，又從事中學(xué)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)工作．在漫長(zhǎng)的歲月中，他的精湛的教學(xué)藝術(shù)與杰出的數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，產(chǎn)生了他特有的豐富的數(shù)學(xué)教育思想．
波利亞數(shù)學(xué)教育思想有兩個(gè)基點(diǎn)：其一是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識(shí)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)有二重性，它既是歐幾里得式的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造與認(rèn)識(shí)過程中，它又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．其二是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)，他認(rèn)為生物發(fā)生律（也稱重演律）可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)與智力開發(fā)，為此他在1962年發(fā)表了題為「數(shù)學(xué)教學(xué)與生物發(fā)生律」（Theteachingofmathematicsandthebiogeneticlaw）的論文，1965年又在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（Mathematicaldisco-very）一書中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)人類的后代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)重走人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重大幾步．基于這種思想他對(duì)數(shù)學(xué)史、對(duì)許多著名數(shù)學(xué)家如歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）、R．笛卡兒(De-scartes）、C．笛卡兒（De-scartes）、C．F．F．高斯(Gauss），尤其是L．高斯（Gauss），尤其是L．歐拉（Euler）的論文進(jìn)行了深入研究，認(rèn)真剖析他本人及當(dāng)代人發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理及其證明的認(rèn)識(shí)過程，體察人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想、方法與途徑，從而提出了一些重大的數(shù)學(xué)教育思想與方法論原理．
1963年，他在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊（TheAmericanMathemati-calMonthly）撰文提出了著名的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的心理三原則，即主動(dòng)學(xué)習(xí)原則、最佳動(dòng)機(jī)原則以及階段循序原則．波利亞認(rèn)為教師在學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)中，僅僅是「助產(chǎn)士」，他的主導(dǎo)作用在于引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西；引導(dǎo)學(xué)生積極地參與提出問題、解決問題．他認(rèn)為科學(xué)地提出問題需要更多的洞察力和創(chuàng)造性，很可能成為一項(xiàng)發(fā)現(xiàn)的重要組成部分，而學(xué)生一旦提出了問題，那么他們解決問題的注意力更集中，主動(dòng)性會(huì)更強(qiáng)烈．教師的教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，這就是主動(dòng)性原則．但他又認(rèn)為如果學(xué)習(xí)者缺少活動(dòng)的動(dòng)機(jī)，那么也不會(huì)有所行動(dòng)．波利亞認(rèn)為對(duì)所學(xué)材料產(chǎn)生興趣是最好的學(xué)習(xí)刺激，而緊張的思維活動(dòng)后所感受到的快樂是對(duì)這種活動(dòng)的最好獎(jiǎng)賞．這就是最佳動(dòng)機(jī)原則．這就是最佳動(dòng)機(jī)原則．波利亞根據(jù)生物發(fā)生律的思想，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程由低級(jí)到高級(jí)分成三個(gè)不同階段：⑴探索階段，是人類的活動(dòng)與感受階段，處于直觀水平；⑵形式化階段，引入術(shù)語(yǔ)、定義、證明，上升到概念水平；⑶同化階段，將所學(xué)的知識(shí)消化、吸收、融匯于學(xué)習(xí)者的整體智力結(jié)構(gòu)中．每一個(gè)人的思維必須有序地通過這三個(gè)階段，這就是階段循序原則．
他認(rèn)為在課程設(shè)計(jì)及其教學(xué)時(shí)，「生物發(fā)生律」不僅可以決定應(yīng)教什么內(nèi)容與理論，而且還可以預(yù)見到用什么樣的先后順序和適當(dāng)方法來(lái)講授這些內(nèi)容與理論．據(jù)此，1965年正當(dāng)「新數(shù)運(yùn)動(dòng)」方興未艾時(shí)，他提出了尖銳的反對(duì)意見．他說(shuō)先講集合、群論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的東西，再學(xué)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，無(wú)異于讓嬰兒先學(xué)開汽車，再讓他學(xué)會(huì)走路．直到1977年在回答「你希望今后若干年內(nèi)數(shù)學(xué)教育應(yīng)朝什么方向發(fā)展」的問題時(shí)，仍激烈地堅(jiān)持「離開新數(shù)學(xué)軌道，離得越遠(yuǎn)越好」．
培養(yǎng)
波利亞極其關(guān)心中學(xué)數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)，退休后親自主持了一些教師培訓(xùn)班，制定了培訓(xùn)計(jì)劃與課程．他主張課程要加強(qiáng)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，自始至終要強(qiáng)調(diào)方法論，要突出啟發(fā)式推理和歷史來(lái)源．他建議：
⑴培訓(xùn)數(shù)學(xué)教師時(shí)應(yīng)該向他們提供獨(dú)立工作的機(jī)會(huì)，其難度要適當(dāng)，其形式可采取解題方法討論班或其它合適的形式．
⑵教法課必須緊密地與課程內(nèi)容或教學(xué)實(shí)習(xí)相聯(lián)系，講授教學(xué)法課的大學(xué)講師必須至少掌握碩士一級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且要有數(shù)學(xué)研究工作經(jīng)驗(yàn)以及教學(xué)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)．
評(píng)價(jià)
由于他在數(shù)學(xué)教育上的杰出工作，1980年被邀請(qǐng)擔(dān)任第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的名譽(yù)主席，并發(fā)表了題為「數(shù)學(xué)增進(jìn)智力」的書面致詞．
當(dāng)代數(shù)學(xué)家N．G、德布魯因（deBruijn）這樣評(píng)價(jià)他：“波利亞是對(duì)我的數(shù)學(xué)活動(dòng)影響最大的數(shù)學(xué)家．他的所有研究都體現(xiàn)出使人愉快的個(gè)性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法論、簡(jiǎn)捷的手段、有力的結(jié)果．如果有人問我，想成為什么樣的數(shù)學(xué)家，我會(huì)毫不遲疑地回答：波利亞�！�
——摘自賀賢孝(遼寧師范大學(xué)），《波利亞》，世界著名數(shù)學(xué)家傳記，1995，1407-1419