Omar Khayyami（約1048～1131） 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家。生于波斯胡拉桑州內(nèi)布爾，卒于同地。早年受到 良好的教育，愛(ài)好詩(shī)歌，的一些詩(shī)集流傳至今。曾在內(nèi)沙布爾天文臺(tái)工作，和他學(xué)者一起對(duì)當(dāng)時(shí)的歷法進(jìn)行了一次改革。奧馬·海姆最著名的數(shù)學(xué)著作是《代數(shù)問(wèn)題的證明》，其阿拉文手稿和拉丁文譯本已保存下來(lái)，近代被譯成多種文字。 此書(shū)定義 代數(shù)學(xué)為“ 解方程的科學(xué)”，這定義一直保到19世紀(jì)末。

背景介紹

　　奧馬出生之前，西亞地區(qū)政局動(dòng)蕩不安．11—12世紀(jì)，塞爾柱(Seljuk)突厥人(Turk)在那里建立一個(gè)龐大但不穩(wěn)固的軍事帝國(guó)，占有兩河流域和現(xiàn)在的伊朗、敘利亞、巴勒斯坦、格魯吉亞、亞美尼亞等地．奧馬早年在家鄉(xiāng)受教育，以后成為一名家庭教師，生活是清苦的，沒(méi)有很多閑暇去從事科學(xué)研究．奧馬在他的《代數(shù)學(xué)》中寫(xiě)道：“我不能集中精力去學(xué)習(xí)這種u2018代數(shù)學(xué)u2019，時(shí)局的變亂阻礙著我，……．”盡管如此，奧馬仍然寫(xiě)出了頗有價(jià)值的《算術(shù)問(wèn)題》(Problems of arithmetic)和一本關(guān)于音樂(lè)的小冊(cè)子．

工作經(jīng)歷

　　1070年左右，奧馬來(lái)到撒馬爾罕(Samarkand，今屬烏茲別克)．在當(dāng)?shù)亟y(tǒng)治者阿布u2022塔希爾(Ab&T1hir)的庇護(hù)下，奧馬寫(xiě)成他的主要代數(shù)著作《還原與對(duì)消問(wèn)題的論證》

　　(Ris1la fiu2019l－bar1hīnu2018al1 mas1u2019il aljabr wau2019l-muq1bala，Treatise on demonstration of problems of algebra and almuqa－bala)，簡(jiǎn)稱(chēng)《代數(shù)學(xué)》．不久，他又接受塞爾柱蘇丹(Sultan，最高統(tǒng)治者的稱(chēng)號(hào))杰拉勒丁u2022馬利克沙(Jal1l al-Dīn Malik-sh1h，1055—1092)和他的大臣尼贊u2022穆勒克(Niz1m al－Mulk)的邀請(qǐng)，前往伊斯法罕(lsfahan，今伊朗西部)，管理那里的天文臺(tái)，進(jìn)行歷法改革．他在那里工作了18年之久．這是他一生中最安謐的日子．

　　1092年，政治氣候突變，馬利克沙去世，庇護(hù)人尼贊u2022穆勒克遭到暗殺，奧馬備受冷遇．馬利克沙的第二個(gè)妻子土坎u2022哈通(Turk1n－Kh1t&n)接替執(zhí)政二年，對(duì)奧馬很不友善，撤消了天文臺(tái)的資助，研究工作被迫止，歷法改革半途而廢．奧馬雖已失去昔日的恩寵，但仍留在塞爾柱的宮廷里，盡力勸說(shuō)馬利克沙的繼承者重新支持天文臺(tái)和開(kāi)展一般的科學(xué)研究．他描述伊朗古代的統(tǒng)治者寬宏大量，尊重學(xué)者，致力于興辦教育，發(fā)展科學(xué)，為文化事業(yè)立下不朽的功勛．

　　奧馬始終未能說(shuō)服當(dāng)權(quán)者．1118年，馬利克沙的第三子桑賈爾(Muu2018izz ad－Dīn Sanjar，1084？—1157)登上王位．奧馬離開(kāi)伊斯法罕，到塞爾柱王朝的新首都梅爾夫[Merv，今馬雷(MapЬI)，屬土庫(kù)曼]．他和弟子們一起寫(xiě)了《智慧的天平》(Balance of wisdoms)等書(shū)，研究如何利用金屬比重去確定合金的成分，所用方法是純粹代數(shù)的．這問(wèn)題源出于阿基米德的研究．

　　奧馬是一個(gè)淵博的科學(xué)家，但在西方卻以詩(shī)人而聞名．他寫(xiě)了很多四行詩(shī)(quatrain)，其中透露出無(wú)神論的自由思想．這在他的一生中導(dǎo)致很多麻煩．晚年的時(shí)候，他甚至到麥加去朝覲，力圖洗刷人們對(duì)他的無(wú)神論的指控．

       奧馬在伊斯法罕期間，領(lǐng)導(dǎo)一批天文學(xué)家編制天文表，為了紀(jì)念庇護(hù)人，定名為《馬利克沙天文表》(Zīj Malik-sh1hī，Maliksh1hAstronomical Tables)，現(xiàn)在只有一小部分流傳下來(lái)，其中包括黃道坐標(biāo)表和100顆最亮星的星表等．

　　天文臺(tái)更重要的工作是進(jìn)行歷法改革．波斯地區(qū)自古以來(lái)就使用陽(yáng)歷，公元前1世紀(jì)施行瑣羅亞斯德教(Zoroaster，中國(guó)史稱(chēng)祆教、拜火教)的陽(yáng)歷，定一年為365天，分12個(gè)月．薩珊(S1s1n)王朝(公元226—621年)定陽(yáng)歷為官歷。阿拉伯人征服這個(gè)地區(qū)以后，實(shí)行伊斯蘭教的陰歷．這種歷分一年為12個(gè)月，6個(gè)大月，6個(gè)小月，大月30天，小月29天，全年354天．閏年增加一個(gè)閏日成為355天，30年加11個(gè)閏日．陰歷一年和實(shí)際的回歸年365.2422日相差約11天，因此和四季是不合拍的，這對(duì)農(nóng)業(yè)很不方便．奧馬時(shí)代，波斯人繼續(xù)使用傳統(tǒng)的陽(yáng)歷，但因置閏的方法不精，漸漸產(chǎn)生誤差．有識(shí)之士看到，歷法要符合天時(shí)，必須進(jìn)行根本的改革．

　　馬利克沙執(zhí)政后，在伊斯法罕興建天文臺(tái)，聘請(qǐng)以?shī)W馬為首的一群天文學(xué)家去完成改革的任務(wù)．奧馬提出在平年365天的基礎(chǔ)上，每33年365.2422 日僅相差19.37秒鐘，積4460年才差1天．而現(xiàn)行的公歷(格里歷)400年置97個(gè)閏日，歷年長(zhǎng)365.2425日，3333年差1天．

　　值得注意的是，如將0.2422展成連分?jǐn)?shù)，可知各個(gè)漸近分?jǐn)?shù)是

　　128年差1天．第2個(gè)分?jǐn)?shù)是29年7閏，1218年差1天．根據(jù)有理逼近的理論，比奧馬閏法(33年8閏)更精密的閏法有95年23閏，1萬(wàn)年以上才差1天．如果限定周期小于95年，那么33年8閏就是最佳的選擇．這表明奧馬有較高的理論水平．他以1079年3月16日為歷法的起點(diǎn)，定名為“馬利克紀(jì)元”(Malik9era)或“杰拉勒紀(jì)元”(Jal1l9 era)．可惜改歷工作隨著領(lǐng)導(dǎo)人的死亡而夭折．

　　伊斯蘭教的陰歷主要用于宗教，它最大的缺點(diǎn)是和寒暑完全脫節(jié)，夏天有時(shí)在1月，有時(shí)在6月．而奧馬改革后的陽(yáng)歷和四季是一致的．他對(duì)此頗感欣慰，曾作四行詩(shī)以詠其事：

　　啊，人們說(shuō)我的推算高明，

　　我曾經(jīng)把舊歷的歲時(shí)改正——

　　誰(shuí)知道那只是從歷書(shū)之中

　　消去未生的明日和已死的昨晨．

提出開(kāi)高次方根

　　奧馬在《代數(shù)學(xué)》一書(shū)中寫(xiě)道：“印度人有他們自己的開(kāi)平方、開(kāi)立方方法，……我寫(xiě)過(guò)一本書(shū)，證明他們的方法是正確的．我并加以推廣，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根．這些代數(shù)的證明僅僅以《幾何原本》的代數(shù)部分為根據(jù)．”

　　這里所說(shuō)他寫(xiě)的書(shū)可能就是《算術(shù)問(wèn)題》．現(xiàn)在萊頓大學(xué)藏有奧馬著作的手稿，但只有《算術(shù)問(wèn)題》的封面，內(nèi)容已遺失．

　　奧馬所了解的“印度算法”，實(shí)際來(lái)自兩本較早的書(shū)．一本是吉利(Kushy1ribn Labb1n al－J9l9)的《印度計(jì)算原理》(Princi-ples of Hindu reckoning)；另一本是奈塞維(u2018Al9 ibn Ahmadal－Nasaw9)的《印度計(jì)算必備》(Things sufficient to understandHindu reckoning)．然而這些書(shū)所記述的開(kāi)平方、開(kāi)立方法和印度文獻(xiàn)所載的相去頗遠(yuǎn)，倒是和中國(guó)古代的方法密近．中國(guó)的《九章算術(shù)》早已給出開(kāi)平方、開(kāi)立方的完整法則，并推廣用于方程的數(shù)值解．伊斯蘭數(shù)學(xué)很可能受到中國(guó)直接或間接的影響，因?yàn)樽怨乓詠?lái)絲綢之路就是中國(guó)和中亞的交通要道．不過(guò)由于他們使用了10個(gè)印度數(shù)碼，于是被誤認(rèn)為“印度算法”．

　　在現(xiàn)存的阿拉伯文獻(xiàn)中，最早系統(tǒng)地給出自然數(shù)開(kāi)高次方一般法則的是納西爾丁(Nasir ad－D9n al－T&9，也稱(chēng)圖斯)編纂的《算板與沙盤(pán)算術(shù)方法集成》(Collection on arithmetic by meansof board and dust)．他沒(méi)有指出發(fā)明者，但他非常熟悉奧馬的工作，故很可能來(lái)自?shī)W馬．

用圓錐曲線解三次方程

　　中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家對(duì)圓錐曲線作了很多探索．最值得稱(chēng)道的是奧馬海亞姆用圓錐曲線來(lái)解三次方程．這種方法可以溯源于希臘的門(mén)奈赫莫斯(Menaechmus)，事實(shí)上他就是為了解決倍立方問(wèn)題(相當(dāng)于三次方程x3=2a3)而發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的．后來(lái)阿基米德在《論球與圓柱》(On the sphere and cylinder)卷2命題4提出這樣的問(wèn)題：用一平面把球截成兩部分，使這兩部分的體積成定比．這問(wèn)題導(dǎo)致三次方程

　　x2(a-x)=bc2．

　　解法的要點(diǎn)是求兩條圓錐曲線的交點(diǎn)，一條是雙曲線(a－x)y=ab，另一條是拋物線ax2=c2y．

　　阿基米德的“平面截球問(wèn)題”引起阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家的極大興趣．巴格達(dá)的馬哈尼(al－M1h1nī)最先試圖用代數(shù)方法去解，但沒(méi)有成功．后來(lái)哈津(AbūJa1cfar al－Kh1zin)用圓錐曲線來(lái)解．研究這問(wèn)題的還有庫(kù)希(al－Kuhi)、伊本·海塞姆(Ibn al－Haytham)、艾布爾·朱德(Abuu2019l Jud)等．

　　奧馬的功勞，在于考慮了所有形式的三次方程．由于他只取正根，系數(shù)也只限于正數(shù)，因此三次方程有各種不同的類(lèi)型．他將一、二、三次方程歸結(jié)為25類(lèi)，屬于三次方程的14類(lèi)：缺一、二次項(xiàng)的x3=a；缺二次項(xiàng)的3類(lèi)：x3+bx=a，x3+a=bx，bx+a=x3；缺一次項(xiàng)的3類(lèi)：x3+cx2=a，x3+a=cx2，cx2+a=x3；不缺項(xiàng)的7類(lèi)：x3+cx2+bx=a，x3+cx2+a=bx，x3+bx+a=cx2，cx2+bx+a=x3，x3+cx2=bx+a，x3+bx=cx2+a，x3+a=cx2+bx．

　　每一類(lèi)都給出幾何解法，即用兩條圓錐曲線的交點(diǎn)來(lái)確定方程的根．奧馬在《代數(shù)學(xué)》中，專(zhuān)門(mén)闡述了方程的幾何解法．1851年，F(xiàn)．韋普克(Woepcke)將此書(shū)從阿拉伯文譯成法文，書(shū)名為《奧馬海亞姆代數(shù)學(xué)》(Lu2019algèbre du2019Omar Alkhayyāmī)．以后又有D．S．卡西爾(Kasir)英譯校訂本《奧馬海亞姆代數(shù)學(xué)》(The algebra of Omar Khayyam，1931)．下面取出其中的一個(gè)例子，用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)和符號(hào)來(lái)分析奧馬的方法(文獻(xiàn)[1]， p．75)．

　　要解的方程是

　　x3+ax=b．(1)

　　按照希臘人的觀點(diǎn)，將一個(gè)數(shù)看作一個(gè)線段，那么兩個(gè)數(shù)之積就是矩形，三個(gè)數(shù)之積是長(zhǎng)方體．同維數(shù)的量才能相加，所以先將方程改成齊次的形式

　　x3+c2x=c2h．(2)

　　右端c2h表示一個(gè)以c，c，h為邊的長(zhǎng)方體．

　　用解析幾何的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，方程(2)的根就是拋物線

　　x2=cy(3 )

　　和半圓周

　　y2=x(h-x)(4)

　　交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x．因?yàn)閺?3)，(4)兩式消去y，就得到(2)．

　　此題在原書(shū)中是第6章第1題，完全用文字?jǐn)⑹觯瑳](méi)有方程的形式．方程(2)表述為“立方與邊(根)等于一個(gè)數(shù)”．解題的步驟是：以BO=h為直徑作半圓BPO，作AOD⊥BO，以O(shè)為頂點(diǎn)，OA=C為參數(shù)”(正焦弦)作拋物線POQ交半圓周于P．作PD⊥AD，PE⊥BO，則PD就是(2)的根(圖1)．

　　事實(shí)上，記PD=x，PE=y，在半圓內(nèi)，

　　PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x(h-x)，

　　根據(jù)拋物線的性質(zhì)，

　　PD2=x2=OA·PE=cy，

　　這正是(3)，(4)兩式．

　　奧馬曾探索過(guò)三次方程的算術(shù)(代數(shù))解法，但沒(méi)有成功．他在《代數(shù)學(xué)》中寫(xiě)道：“對(duì)于那些不僅含有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)的方程，也許后人能夠給出算術(shù)解法”．經(jīng)過(guò)幾百年的努力，三、四次方程的一般代數(shù)解法直到16世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家給出，五次以上方程的可解性問(wèn)題到19世紀(jì)才解決①．

推進(jìn)幾何代數(shù)學(xué)的發(fā)展

　　奧馬發(fā)展了歐幾里得的幾何代數(shù)學(xué)，使幾何與代數(shù)更緊密地聯(lián)系起來(lái)，這是一項(xiàng)重要的貢獻(xiàn)．可惜在1851年韋普克的譯本出現(xiàn)之前，歐洲人幾乎完全不知道他的工作(盡管在18世紀(jì)已有一些零星的介紹)、否則解析幾何的發(fā)現(xiàn)和推進(jìn)會(huì)更加迅速．

　　用現(xiàn)代的觀點(diǎn)看，如果引入負(fù)數(shù)并承認(rèn)負(fù)根，三次方程可以寫(xiě)成統(tǒng)一的形式

　　x3+ax2+b2x+c3=0，(5)

　　不必如此煩瑣地分類(lèi)．以

　　x2=py(6)

　　代入(5)，得到

　　pxy+apy+b2x +c3=0．(7)

　　(6)是拋物線，(7)是雙曲線．作出這兩條線，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)便是(5)的根

對(duì)《幾何原本》的研究

　　奧馬在歐幾里得幾何的研究方面有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)，一是對(duì)平行公設(shè)的試證，二是對(duì)比與比例提出新的見(jiàn)解．

　　早在9世紀(jì)，當(dāng)歐幾里得《幾何原本》傳入伊斯蘭國(guó)家后，第五公設(shè)就引起學(xué)者們的注意．所謂第五公設(shè)或平行公設(shè)就是在《原本》中提出的公理：“如果一直線和兩直線相交，所構(gòu)成的兩個(gè)同旁內(nèi)角之和小于兩直角，那么，把這兩直線延長(zhǎng)，它們一定在那兩內(nèi)角的一側(cè)相交．”這公設(shè)不論在詞句或內(nèi)容方面都比其他四個(gè)公設(shè)復(fù)雜得多，而且也不那么顯而易見(jiàn)．人們自然會(huì)發(fā)生是否可以證明的疑問(wèn)．

　　阿拉伯學(xué)者對(duì)此公設(shè)進(jìn)行試證的有焦赫里(al－Jawharī)，塔比伊本庫(kù)拉(Thābit ibn Qurra)，伊本海塞姆(Ibn al－Haytham，即Alhazen)，奧馬海亞姆等人．實(shí)質(zhì)上他們并沒(méi)有證明了公設(shè)，而是采用另外一與之等價(jià)的公設(shè)來(lái)代替它．

　　奧馬在1077年撰寫(xiě)了《辯明歐幾里得公設(shè)中的難點(diǎn)》(Explanation of the difficul－ties in the postulates of Euc－lid)一書(shū)，討論了兩個(gè)難題，一是平行公設(shè)，二是比的問(wèn)題．他考察四邊形ABCD，DA與CB同垂直于AB且DA=CB(圖2)．無(wú)需用平行公設(shè)，很容易證明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三種可能：(1)等于直角；(2)等于鈍角；(3)等于銳角．若采用平行公設(shè)．可以證明∠C，∠D等于直角．反之，若能證明∠C，∠D等于直角，便可推出平行公設(shè)．奧馬用反證法，“證明”鈍角、銳角假設(shè)必導(dǎo)致矛盾，因此只有直角的情形成立，這就無(wú)異證明了平行公設(shè)．但他的證明是有缺陷的，實(shí)際是引入下述假設(shè)來(lái)代替平行公設(shè)：兩條直線如果越來(lái)越接近，那么它們必定在這個(gè)方向上相交．所以他也未解決平行公設(shè)問(wèn)題．

　　18世紀(jì)時(shí)，G．薩凱里(Saccheri)重新研究這個(gè)四邊形(后人常稱(chēng)之為“薩凱里四邊形”)，由此得出一系列互不矛盾的命題．他和前人雖然未建立(也未意識(shí)到)非歐幾何，但已為非歐幾何的誕生鋪平了道路．

比與比例

　　比與比例也是奧馬研究的中心問(wèn)題．早在公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就建立過(guò)比例論，不過(guò)只限于可公度量．如果A，B兩個(gè)量可公度，即存在正整數(shù)m，n，使得mA=nB，則

　　就是一個(gè)數(shù)．但若A，B不可公度，他們便認(rèn)為A與B無(wú)法相比．這樣就很難建立一切量的比例論．歐多克索斯(Eudoxus of Cni－dus)為了擺脫這一困難，另立“比”的定義：如果一個(gè)量加大若干倍之后就可以大于另一個(gè)量，則說(shuō)這兩個(gè)量有一個(gè)“比”．接著定義“比例”：設(shè)有A，B，C，D4個(gè)量，A與C，B與D分別乘以同樣的倍數(shù)m，n，如果

　　則說(shuō)兩個(gè)比A∶B與C∶D相等，即4個(gè)量可構(gòu)成比例A∶B=C∶D．

　　歐多克索斯采取這一定義是煞費(fèi)苦心的，這樣可回避無(wú)公度的麻煩，由此出發(fā)完成了適用于一切量的比例論．歐幾里得將歐多克索斯的理論編入《原本》成為卷V．伊斯蘭學(xué)者并不懷疑比例論的真理性，而是對(duì)其立論的出發(fā)點(diǎn)即比例的定義持有異議．最先提出新定義的是馬哈尼(al－M1h1n9，他的思路可用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)表述如下：將A/B及C/D展開(kāi)成連分?jǐn)?shù)，A/B=(q1，q2，…，qn，…)，C/D=(qu20321，qu20322，…，qu2032n，…)，其中qi，qu2032i(i=1，2，…)是各個(gè)偏商．如果qi=qu2032i(i=1，2，…)則稱(chēng)A，B，C，D成比例，即A/B=C/D．馬哈尼認(rèn)為這定義能更好地揭露比例的本質(zhì)．它適用于可公度量與不可公度量，在可公度的情況，n是有限的．

　　奧馬論證了這種定義和《原本》中比例定義的等價(jià)性，進(jìn)而研究比及比例的若干性質(zhì)，對(duì)伊斯蘭數(shù)學(xué)和西方數(shù)學(xué)都有重要的影響．

　　另一方面，希臘人雖然承認(rèn)無(wú)公度的兩個(gè)量A，B有比，但始終不承認(rèn)A/B是一個(gè)數(shù)(即無(wú)理數(shù))，這就大大妨礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展．奧馬勇敢地沖破這一桎梏，主張擴(kuò)大數(shù)系，將無(wú)公度量的比接納在內(nèi)．例如2的平方根，圓周長(zhǎng)與直徑的比等等，應(yīng)該考慮為一種新的數(shù)．這在思想上是一次不尋常的飛躍，是建立實(shí)數(shù)系的先聲．然而直到19世紀(jì)才真正實(shí)現(xiàn)了他的理想．

四行詩(shī)

　　四行詩(shī)很像中國(guó)的絕句，每首四行，第一、二、四行押韻．奧馬究竟寫(xiě)了多少首四行詩(shī)，沒(méi)有準(zhǔn)確的數(shù)字．劍橋大學(xué)圖書(shū)館藏有最早的(1208年)手抄本，收入252首．而在他名義下出版的波斯文詩(shī)集多達(dá)1069首．但有人考證只有一百多首確實(shí)是他作的．1859年，英國(guó)詩(shī)人菲茨杰拉德(Edward Fitz Gerald)將75首譯成英文，取名“Rubáiyát of Omar Khayyam”，廣為流傳．郭沫若于1928年將英譯本譯成中文，題名《魯拜集》．(魯拜是阿拉伯語(yǔ)，意為四行詩(shī)．)

　　奧馬曾寫(xiě)過(guò)幾種哲學(xué)著作，他的四行詩(shī)也包含很多哲理，其中表露的思想相當(dāng)復(fù)雜．很難作出一致的評(píng)價(jià)．一方面，詩(shī)作的可靠性問(wèn)題眾說(shuō)紛紜；另一方面，在官方的示意下有時(shí)很難暢所欲言．因此對(duì)他的議論褒貶不一，毀譽(yù)參半．總的來(lái)說(shuō)，他不囿于伊斯蘭教所宣揚(yáng)的真主創(chuàng)造世界的觀點(diǎn)，對(duì)窒息學(xué)術(shù)探討的社會(huì)環(huán)境表示不滿．正統(tǒng)的穆斯林不喜歡他，但廣大讀者愛(ài)讀他的詩(shī)，從中得到啟迪，進(jìn)而探索人生的真諦．后人為了紀(jì)念他，1934年由多國(guó)集資，在內(nèi)沙布爾為他修建了一座高大的陵墓．