介紹
卡塔蘭猜想是比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭(Eugène Charles Catalan)在1844年提出的一個(gè)數(shù)論的猜想。它是說除了8=2^3，9=3^2，沒有兩個(gè)連續(xù)整數(shù)都是正整數(shù)的冪；以數(shù)學(xué)方式表述為： 不定方程x^a-y^b=1的大于1的正整數(shù)x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3。
也可以叫“8--9”猜想。
2002年4月， 帕德博恩大學(xué)的羅馬尼亞數(shù)學(xué)家普雷達(dá)·米哈伊列斯庫(Preda Mih?ilescu)證明了這猜想，所以它是定理了。這個(gè)證明由尤里·比盧(Yuri Bilu)檢查，大幅使用了 分圓域和伽羅華模。
與卡塔蘭猜想相似的有 費(fèi)馬大定理。
歷史
在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。
1320年左右，萊維·本·熱爾松（Levi ben Gerson，1288年—1344年）證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。
萊昂哈德·歐拉證明，x2 - y3 = 1只有一解：x = 3,y = 2。
勒貝格證明了方程xa - y2 = 1，a > 1 沒有正整數(shù)解。
1965年柯召證明方程x2 - yb = 1，b > 1 只有一個(gè)解。
於是卡塔蘭猜想只馀下a,b為奇素?cái)?shù)的情況。
1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個(gè)解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特(Maurice Mignotte)也對(duì)這猜想作出貢獻(xiàn)。
皮萊(Pillai)猜想：把卡塔蘭猜想一般化，推測(cè)正整數(shù)的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對(duì)任何正整數(shù)，僅有限多對(duì)正整數(shù)的冪的差是這個(gè)數(shù)。這猜想仍未解決。
