經(jīng)歷
1937年生于 烏克蘭蘇維埃社會(huì)主義共和國(guó) 敖德薩。曾任俄羅斯莫斯科Steklov數(shù)學(xué)研究院首席科學(xué)家及 法國(guó)巴黎大學(xué) u2013 Dauphine教授。1959年畢業(yè)于 莫斯科國(guó)立大學(xué)并于1961年獲頒等同博士的學(xué)位（Candidate’s Degree）。1965年始成為莫斯科國(guó)立大學(xué)教授，是 俄羅斯科學(xué)院院士及莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主席。弗拉基米爾·阿諾德主要研究 常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)。1982年獲首屆Crafoord獎(jiǎng)，阿諾德曾于1995年12月訪問(wèn)中國(guó)，在中科院數(shù)學(xué)所和 北京大學(xué)做過(guò)兩場(chǎng)學(xué)術(shù)演講，觀者云集,2001年獲Wolf獎(jiǎng)，2008年獲 邵逸夫獎(jiǎng)數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)。弗拉基米爾·阿諾德于2010年6月3日在 法國(guó)因病逝世。
成就
1957年，19歲的阿諾德還是一個(gè)本科生，就對(duì)連續(xù)函數(shù)的情形解決了 希爾伯特第十三問(wèn)題，并因此獲得莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)頒發(fā)的青年數(shù)學(xué)家獎(jiǎng)。60年代前后，他專注于哈密頓動(dòng)力系統(tǒng)的研究，是KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)理論的創(chuàng)立者之一。KAM理論是動(dòng)力系統(tǒng)理論中最深刻、最困難的結(jié)果之一，其背景是太陽(yáng)系的穩(wěn)定性這個(gè)悠久的老大難問(wèn)題。與此同時(shí)，阿諾德還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極其重要的現(xiàn)象，現(xiàn)在稱之為“阿諾德擴(kuò)散”；大意是，在那些穩(wěn)定的島嶼—不變環(huán)面之間，可能存在一些幽靈般的軌道，以近乎隨機(jī)的方式極其緩慢地漂移—“阿諾德擴(kuò)散”的機(jī)制至今仍不清楚。阿諾德的工作繪制了一幅復(fù)雜系統(tǒng)的典型畫面：有序運(yùn)動(dòng)與無(wú)序運(yùn)動(dòng)交錯(cuò)共存，不管在哪一個(gè)量級(jí)或?qū)蛹?jí)上，一定會(huì)有不可預(yù)知、難以控制的信息隱藏在深不可測(cè)的黑暗地帶。
大約也是這個(gè)時(shí)期，阿諾德對(duì)理想不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程給出了一個(gè)非常優(yōu)美的刻畫。他把這個(gè)方程看作是保體積微分同胚組成的無(wú)窮維 李群上的測(cè)地線方程，清晰地揭示了流體運(yùn)動(dòng)內(nèi)在不穩(wěn)定性的幾何根源。
七八十年代，“突變論”曾流行一時(shí)，對(duì)此科學(xué)界聚訟紛紜(80年代的中國(guó)，“突變論”也曾以所謂“新三論”之一的面目出現(xiàn)過(guò))。阿諾德分離出了其中純正的數(shù)學(xué)內(nèi)核—光滑映射的奇點(diǎn)理論，并把其種種精彩之處前所未有地展現(xiàn)了出來(lái)。另外，阿諾德把龐卡萊(Poincaré）最后幾何定理推廣到高維，提出了所謂的阿諾德猜測(cè)，催生了辛幾何中一批深刻而美妙的結(jié)果。
1982年，阿諾德獲首屆克雷福德(Crafoord)獎(jiǎng)，這是瑞典皇家科學(xué)院為了填補(bǔ)諾貝爾獎(jiǎng)的空白而設(shè)立的獎(jiǎng)項(xiàng)。2001年，因微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)和奇點(diǎn)理論中的重大貢獻(xiàn)，阿諾德獲當(dāng)年度沃爾夫獎(jiǎng)，這是一項(xiàng)終身成就獎(jiǎng)。
數(shù)學(xué)教育
阿諾德不僅是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者，也是數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造者，他是蘇聯(lián)-俄國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)派承先啟后的人物。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是物理學(xué)的一部分，而物理學(xué)的本質(zhì)是幾何。其名著《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》就是用辛幾何的框架，給經(jīng)典力學(xué)來(lái)了一次脫胎換骨的轉(zhuǎn)化。這本書被稱為“幾何力學(xué)的圣經(jīng)”。在數(shù)學(xué)中，他崇尚幾何和物理的思考方式，而對(duì)公理化、形式化的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育深惡痛絕，認(rèn)為這種數(shù)學(xué)切斷了與物理世界的聯(lián)系，而且把直觀感覺(jué)剔除殆盡，是丑陋的偽數(shù)學(xué)；這種數(shù)學(xué)家是殘存的怪物，這種方式的數(shù)學(xué)教育是折磨孩子，是犯罪。
其實(shí)，在數(shù)學(xué)中一直就存在著兩種傳統(tǒng)，幾何和代數(shù)分別代表其基本精神。如菲爾茲獎(jiǎng)得主阿提亞(Michael Atiyah)所說(shuō)，近代以降，以 牛頓-龐卡萊-阿諾德為一系，重物理和幾何的精神,被稱為 數(shù)學(xué)直覺(jué)主義學(xué)派；以 萊布尼茲- 希爾伯特- 布爾巴基(Bourbaki)學(xué)派為一系，強(qiáng)調(diào)公理化、形式化的精神。兩者間的起伏消長(zhǎng)本來(lái)就是數(shù)學(xué)史上的常態(tài)，畸輕畸重，都是時(shí)勢(shì)所成就的。這甚至可以追溯至古希臘人的幾何學(xué)與古印度和阿拉伯人的代數(shù)學(xué)。無(wú)論怎么說(shuō)，阿諾德已成為他所屬的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中那種精神的化身。
以下內(nèi)容來(lái)自阿諾德原文 ，可以反映出他對(duì)數(shù)學(xué)教育的一些 數(shù)學(xué)直覺(jué)主義觀點(diǎn)。
數(shù)學(xué)是物理的一部分。物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，它是自然科學(xué)的一部分。而數(shù)學(xué)是物理學(xué)中只需要花費(fèi)較少的代價(jià)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保證三角形三條高交于一點(diǎn)）就是一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)，正如同地球是圓的（即同胚于球體）這樣的事實(shí)一樣。但是發(fā)現(xiàn)前者卻要比發(fā)現(xiàn)后者需要較少的代價(jià)。
在20世紀(jì)中葉，人們?cè)噲D嚴(yán)格地區(qū)分物理與數(shù)學(xué)。其造成地后果是災(zāi)難性的。整整一代的數(shù)學(xué)家在對(duì)他們所從事的科學(xué)的另一半及其無(wú)知的情況下成長(zhǎng)，當(dāng)然，對(duì)其他的科學(xué)就更無(wú)知了。這些人又開(kāi)始把他們的丑陋的學(xué)院式的偽數(shù)學(xué)教給他們的學(xué)生，接著這些丑陋的偽數(shù)學(xué)又被交給中小學(xué)校里的孩子們（他們完全忘記了Hardy的警告：丑陋的數(shù)學(xué)在陽(yáng)光下不可能總有藏身之處）。
既然那些從物理學(xué)中人為挖出來(lái)的學(xué)院式的數(shù)學(xué)既無(wú)益于教學(xué)，又對(duì)其他的科學(xué)毫無(wú)用處，結(jié)果可以想見(jiàn)，全世界的人都討厭數(shù)學(xué)家（甚至包括那些被他們教出來(lái)的可憐的學(xué)校里的孩子們以及那些運(yùn)用這些丑陋數(shù)學(xué)的人）。這些先天不足的數(shù)學(xué)家被他們所患的低能癥候群折騰的筋疲力盡，他們無(wú)能對(duì)物理學(xué)有個(gè)起碼的了解。令人們記憶猶新的由他們建造的一個(gè)丑陋建筑物就是“奇數(shù)的嚴(yán)格公理化理論”。
很顯然，完全可能創(chuàng)造這樣一種理論，使得幼稚的小學(xué)生們敬畏它的完美及其內(nèi)部構(gòu)造的和諧（例如，這種理論定義了奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和以及任意個(gè)因子的乘積）。從這種偏執(zhí)狹隘的觀點(diǎn)來(lái)看，偶數(shù)或者被認(rèn)為是一類“異端”，或者隨著時(shí)間流逝，被用來(lái)作為該理論中幾個(gè)“理想”對(duì)象的補(bǔ)充（為了遵從物理與真實(shí)世界的需要）。很不幸的是，這種理論只是數(shù)學(xué)中一個(gè)丑陋而變態(tài)的構(gòu)造，但卻統(tǒng)治了我們的數(shù)學(xué)教育數(shù)十年。它首先源自于法國(guó)，這股歪風(fēng)很快傳播到對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)里，先是毒害大學(xué)生，接著中小學(xué)生也難免此災(zāi)（而災(zāi)區(qū)最先是法國(guó)，接著是其他國(guó)家，包括俄羅斯）。
如果你問(wèn)一個(gè)法國(guó)的小學(xué)生：“2+3等于幾？”，他（她）會(huì)這樣回答：“等于3+2，因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算是可交換的”。他（她）根本不知道這個(gè)和等于幾，甚至根本不能理解你在問(wèn)他（她）什么！
還有的法國(guó)小學(xué)生會(huì)這樣定義數(shù)學(xué)（至少我認(rèn)為很有可能）：“存在一個(gè)正方形，但還沒(méi)有被證明”。
據(jù)我在法國(guó)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，大學(xué)里的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與這些小學(xué)生也差不多（甚至包括那些在’高等師范學(xué)�！‥NS）里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生－－我為這些顯然很聰明但卻被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜）。
例如，這些學(xué)生從未見(jiàn)過(guò)一個(gè)拋物面，而且一個(gè)這樣的問(wèn)題：描述由方程xy=z^2所給出的曲面的形狀，就能使那些在ENS中研究的數(shù)學(xué)家們發(fā)呆半天；而如下問(wèn)題：畫出平面上由參數(shù)方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）給出的曲線，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是不可能完成的（甚至對(duì)大多數(shù)法國(guó)的數(shù)學(xué)教授也一樣）。從微積分的入門教科書直到Goursat寫的課本，解這些問(wèn)題的能力都被認(rèn)為是每個(gè)數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的基本技能。
那些喜歡挑戰(zhàn)大腦的所謂“抽象數(shù)學(xué)”的狂熱者們，把所有在數(shù)學(xué)中能與物理和現(xiàn)實(shí)經(jīng)常發(fā)生聯(lián)系的幾何統(tǒng)統(tǒng)排除在教學(xué)之外。由Goursat, Hermite, Picard等人寫的微積分教程被認(rèn)為是有害的，差點(diǎn)被巴黎第6和第7大學(xué)的圖書館當(dāng)垃圾丟掉，只是在我的干預(yù)下才得以保存。
ENS的聽(tīng)完所有微分幾何與代數(shù)幾何課程的學(xué)生（分別被不同的數(shù)學(xué)家教的），卻既不熟悉由橢圓曲線 y^2 = x^3 + ax + b 決定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓?fù)浞诸悾ǜ鼊e提第一類橢圓積分和橢圓曲線的群性質(zhì)了，即 Euler-Abel 加法定理）。他們僅僅學(xué)到了Hodge 構(gòu)造以及 Jacobi 簇！
這樣的現(xiàn)象竟然會(huì)在法國(guó)出現(xiàn)！這個(gè)國(guó)家可是為整個(gè)世界貢獻(xiàn)了諸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 還有 Thom 這些頂級(jí)的偉大人物��！對(duì)我而言，一個(gè)合理的解釋來(lái)自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教導(dǎo)過(guò)我:真正的數(shù)學(xué)家決不會(huì)拉幫結(jié)派，只有弱者為了生存才會(huì)加入幫派。他們可以聯(lián)結(jié)很多的
方面，但其本質(zhì)總是為了解決社會(huì)生存問(wèn)題。
我在此向大家順便提一下 L. Pasteur 的忠告：從來(lái)沒(méi)有也決不會(huì)有任何所謂的“應(yīng)用科學(xué)”，而僅僅有的是科學(xué)的應(yīng)用（十分有用的東東�。。�
長(zhǎng)久以來(lái)我一直對(duì) Petrovskii 的話心存疑慮，但是現(xiàn)今我越來(lái)越肯定他說(shuō)的一點(diǎn)沒(méi)錯(cuò)。那些超級(jí)抽象活動(dòng)的相當(dāng)大的部分正在墮落到以工業(yè)化的模式無(wú)恥的掠奪那些發(fā)現(xiàn)者的成果，然后再加以系統(tǒng)地組織設(shè)計(jì)使自己成為萬(wàn)能的推廣者。就彷佛美利堅(jiān)所在的新大陸不以哥倫布命名一樣，數(shù)學(xué)結(jié)果也幾乎從未以它們真正的發(fā)現(xiàn)者來(lái)命名。
為避免被認(rèn)為我在胡說(shuō)八道，我不得不在此聲明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式無(wú)償征用，其實(shí)這樣的事情經(jīng)常在我的老師（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和學(xué)生身上發(fā)生。
M. Berry 教授曾經(jīng)提出過(guò)如下兩個(gè)原理：
Arnold 原理：如果某個(gè)理念中出現(xiàn)了某個(gè)人名，則這個(gè)人名必非發(fā)現(xiàn)此理念者的名字。
Berry 原理：Arnold 原理適用于自身。
不過(guò)，我們還是說(shuō)回法國(guó)的數(shù)學(xué)教育上來(lái)。當(dāng)我還是莫斯科大學(xué)數(shù)力系的一年級(jí)新生時(shí)，集合論的拓?fù)鋵W(xué)家 L.A. Tumarkin 教我們微積分，他在課堂上很謹(jǐn)慎地一遍又一遍地講述古老而經(jīng)典的Goursat 版的法語(yǔ)微積分教程。他告訴我們有理函數(shù)沿著一條代數(shù)曲線的積分可以求出來(lái)如果該代數(shù)曲線對(duì)應(yīng)的黎曼面時(shí)一個(gè)球面。而一般來(lái)說(shuō)，如果該曲面的虧格更高這樣的積分將不可求，不過(guò)對(duì)球面而言，只要在一個(gè)給定度數(shù)的曲線上有充分多的double points 就足夠了（即要求該曲線是unicursal ：即可以將其實(shí)點(diǎn)在射影平面上一筆畫出來(lái)）。
這些事實(shí)給我們?cè)斐啥嗝瓷羁痰挠∠蟀。词箾](méi)有給出證明），它們給了我們非常優(yōu)美而正確的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，比那些長(zhǎng)篇累牘的Bourbaki學(xué)派的論著不知道好到哪里去了。說(shuō)真的，我們?cè)谶@里看到了那些表面上完全不同的事物之間存在著令人驚奇的聯(lián)系：一方面，對(duì)于相應(yīng)的黎曼面上的積分與拓?fù)浯嬖谥@式的表達(dá)式，而另一方面，在 double points 的個(gè)數(shù)與相應(yīng)的黎曼面的虧格之間也有重要的聯(lián)系。
這樣的例子并不鮮見(jiàn)，作為數(shù)學(xué)中最迷人的性質(zhì)之一，Jacobi曾指出：用同一個(gè)函數(shù)就既可以理解能表示為4個(gè)數(shù)平方和的整數(shù)的性質(zhì)，又可以描述一個(gè)單擺的運(yùn)動(dòng)。
這些不同種類的數(shù)學(xué)對(duì)象之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，就好比在物理學(xué)中電與磁之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，也類同于地質(zhì)學(xué)上對(duì)美洲大陸的東海岸與非洲大陸的西海岸之間相似性的發(fā)現(xiàn)。
這些發(fā)現(xiàn)對(duì)于教學(xué)所具有的令人激動(dòng)的非凡意義是無(wú)法估量的。正是它們指引著我們?nèi)パ芯亢桶l(fā)現(xiàn)宇宙中和諧而精彩的現(xiàn)象。
然而，數(shù)學(xué)教育的非幾何化以及與物理學(xué)的分離卻割斷了這種聯(lián)系。例如，不僅僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生而且絕大部分的代數(shù)幾何學(xué)家都對(duì)以下提及的Jacobi 事實(shí)一無(wú)所知：一個(gè)第一類型的橢圓積分表示了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)中沿某個(gè)橢圓相曲線的運(yùn)動(dòng)所走的時(shí)間。
我們知道一個(gè) hypocycloid 就如同多項(xiàng)式環(huán)中的理想一樣是無(wú)窮無(wú)盡的。但是如果要把理想這個(gè)概念教給一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)任何 hypocycloid 的學(xué)生，就好比把分?jǐn)?shù)的加法教給一個(gè)從來(lái)沒(méi)有把蛋糕或蘋果等分切割過(guò)（至少在腦子里切過(guò)）的學(xué)生。毫無(wú)疑問(wèn)孩子們將會(huì)傾向于同時(shí)分子加分子分母加分母。
從我的法國(guó)朋友那里我聽(tīng)說(shuō)這種超級(jí)抽象的一般化正是他們國(guó)家的傳統(tǒng)特色。如果說(shuō)這可能是一個(gè)世襲的缺陷，我倒不會(huì)不贊成，不過(guò)我還是愿意強(qiáng)調(diào)那個(gè)從Poincaré 那兒借來(lái)的“蛋糕與蘋果”的事實(shí)。
構(gòu)造數(shù)學(xué)理論的方式與其它的自然科學(xué)并沒(méi)有什么不同。首先，我們要考慮一些對(duì)象并對(duì)一些特殊的事例進(jìn)行觀察。接著我們?cè)噲D要找到一些我們所觀察到的結(jié)果在應(yīng)用上的限制，即尋找那些防止我們不正確地把我們所觀察的結(jié)果擴(kuò)展到更廣泛領(lǐng)域的反例。作為一個(gè)結(jié)果我們盡可能地明確提出那由經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的發(fā)現(xiàn)（如費(fèi)馬猜想和龐加萊猜想）。這之后將是檢驗(yàn)我們的結(jié)論到底有多可靠的困難的階段。
就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)界已經(jīng)發(fā)展出了一套特別的技術(shù)。這種技術(shù)，當(dāng)被運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，有時(shí)候很有用，但有時(shí)候也會(huì)導(dǎo)致自欺欺人。這樣的技術(shù)被稱為“建�！薄．�(dāng)構(gòu)造一個(gè)模型時(shí)，要進(jìn)行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精確性了解的事實(shí)，往往被認(rèn)為是“絕對(duì)”正確的并被當(dāng)作“公理”來(lái)接受。這種“絕對(duì)性”的意義恰恰是，在把所有我們可以借助這些事實(shí)得出的結(jié)論稱為定理的過(guò)程中，我們?cè)试S自己依據(jù)形式邏輯的規(guī)則來(lái)運(yùn)用這些“事實(shí)”。
顯然在任何現(xiàn)實(shí)的日常生活中，我們的活動(dòng)要完全依賴于這樣的化減是不可能的。原因至少在于所研究的現(xiàn)象的參數(shù)決不可能被絕對(duì)準(zhǔn)確的知曉，并且參數(shù)的微小變化（例如一個(gè)過(guò)程初始條件的微小改變）就會(huì)完全地改變結(jié)果。由于這個(gè)原因我們可以說(shuō)任何長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)都是不可能的，無(wú)論我們把計(jì)算機(jī)造的有多高級(jí)或是記錄初始條件地儀器有多靈敏，這永遠(yuǎn)也辦不到。
與此完全一樣的是，公理（那些我們不能完全確定的）的一個(gè)小小的改變雖是容許的，一般來(lái)說(shuō)，由那些被接受的公理推出的定理卻將導(dǎo)出完全不同的結(jié)論。推導(dǎo)的鏈（即所謂的“證明”）越長(zhǎng)越復(fù)雜，最后得到的結(jié)論可靠性越低。復(fù)雜的模型幾乎毫無(wú)用處（除了對(duì)那些無(wú)聊的專寫論文的人）。
數(shù)學(xué)建模的技術(shù)對(duì)這種麻煩一無(wú)所知，并且還不斷地吹噓他們得到的模型，似乎它們真的就與現(xiàn)實(shí)世界吻合。事實(shí)上，從自然科學(xué)的觀點(diǎn)看, 這種途徑是顯然不正確的，但卻經(jīng)常導(dǎo)致很多物理上有用的被稱為“有不可思議的有效性的數(shù)學(xué)”結(jié)果（或叫做“Wigner原理”）。
我在此再提一下蓋爾方德先生的一句話：還有另一類現(xiàn)象與以上Wigner所指的物理中的數(shù)學(xué)具有相仿的不可思議的有效性，即生物學(xué)中用到的數(shù)學(xué)也是同樣令人難以置信的有效。
對(duì)一個(gè)物理學(xué)家而言，“數(shù)學(xué)教育所致的不易察覺(jué)的毒害作用”（F.Klein 原話）恰恰體現(xiàn)在由現(xiàn)實(shí)世界抽離出的被絕對(duì)化了的模型，并且它與現(xiàn)實(shí)已不再相符。這兒是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始條件唯一決定的（也即相應(yīng)的位于（t-x）－平面上積分曲線彼此不交）。這個(gè)數(shù)學(xué)模型的結(jié)論顯得與現(xiàn)實(shí)世界毫不相關(guān)。而計(jì)算機(jī)模擬卻顯示所有這些積分曲線在t的負(fù)半軸上有公共點(diǎn)。事實(shí)上，具有初始條件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲線在t=-100 相交，其實(shí)在t=-100 時(shí)，你壓根就不可能在兩條曲線之間再插入一個(gè)原子。歐式幾何對(duì)這種空間在微小距離下的性質(zhì)沒(méi)有任何的描述。在這種情況下來(lái)應(yīng)用唯一性定理顯然已經(jīng)超出了模型所能容許的精確程度。在對(duì)模型的實(shí)際運(yùn)用中，這種情形必須要加以注意，否則可能會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的麻煩。
我還想說(shuō)的是，相同的唯一性定理也可解釋為何在船只停泊碼頭前的靠岸階段必須得依靠人工操作：否則的話，如果行進(jìn)的速度是距離的光滑（線性）函數(shù)，則整個(gè)靠岸的過(guò)程將會(huì)耗費(fèi)無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間。而另外可行的方法則是與碼頭相撞（當(dāng)然船與碼頭之間要有非理想彈性物體以造成緩沖）。順便說(shuō)一下，我們必須非常重視這類問(wèn)題，例如，登陸月球和火星以及空間站的對(duì)接－此時(shí)唯一性問(wèn)題都會(huì)讓我們頭痛。
不幸的是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教科書里，即使是較好的一類課本里，對(duì)這種令人崇拜的定理所隱藏的危險(xiǎn)的事例或探討都只字沒(méi)有。我甚至已經(jīng)形成了這樣的印象，那些學(xué)院派的數(shù)學(xué)家（對(duì)物理知識(shí)都一竅不通）都對(duì)公理化形式的數(shù)學(xué)與建模的主要差異習(xí)以為常，而且他們覺(jué)得在自然科學(xué)中這是很普遍的，只是需要用后期的實(shí)驗(yàn)來(lái)控制理論推演。
我想用不著去提什么初始公理的相對(duì)特征，人們也都不會(huì)忘記在冗長(zhǎng)的論述里犯邏輯錯(cuò)誤是在所難免的（彷佛宇宙射線或量子振動(dòng)所引發(fā)的計(jì)算崩潰）。每一個(gè)還在工作的數(shù)學(xué)家都知道，如果不對(duì)自己有所控制（最好是用事例），那么在10頁(yè)論述之后所有公式中的記號(hào)有半數(shù)都會(huì)出問(wèn)題。
與這樣的謬誤相抗的技術(shù)也同樣存在于任何實(shí)驗(yàn)科學(xué)里，而且應(yīng)該教給每一個(gè)大學(xué)低年級(jí)的學(xué)生。
試圖創(chuàng)造所謂的純粹推導(dǎo)式的公理化數(shù)學(xué)的做法，使得我們不再運(yùn)用物理學(xué)中的研究方法（觀察-建模－模型的研究－得出結(jié)論－用更多的觀察檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停┤《氖沁@樣的方法：定義－定理－證明。人們根本不可能理解一個(gè)毫無(wú)動(dòng)機(jī)的定義，但我們卻無(wú)法阻止這些有罪的“代數(shù)－公理學(xué)家”。例如，他們總是想用長(zhǎng)乘規(guī)則的手段來(lái)定義自然數(shù)的乘積。但用這種方法乘法的交換性卻難以證明，不過(guò)從一堆的公理中仍有可能推導(dǎo)出這樣的定理。而且完全可能逼著那些可憐的學(xué)生們來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)定理以及它的證明（其目的不外乎是提升這門學(xué)科以及教授它的人的社會(huì)地位）。顯然，這種定義和這樣的證明對(duì)教學(xué)和實(shí)際工作有百害而無(wú)一益。
理解乘法交換性的唯一可能的方式，打個(gè)比方就是分別按行序和列序來(lái)數(shù)一個(gè)方陣?yán)锸勘娜藬?shù)，或者說(shuō)用兩種方式來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。任何試圖只做不與物理和現(xiàn)實(shí)世界打交道的數(shù)學(xué)都屬于宗派主義和孤立主義，這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數(shù)學(xué)創(chuàng)造視為一項(xiàng)有用的人類活動(dòng)的美好印象。
我將再揭示幾個(gè)這樣的秘密（可憐的學(xué)生們對(duì)此很有興趣）。
一個(gè)矩陣的行列式就是一個(gè)平行多面體的（定向的）體積，這個(gè)多面體的每條邊就對(duì)應(yīng)矩陣的列。如果學(xué)生們得知了這個(gè)秘密（在純粹的代數(shù)式的教育中，這個(gè)秘密被仔細(xì)地隱藏了起來(lái)），那么行列式的整個(gè)理論都將成為多線性形式理論的一部分。如果用別的方式來(lái)定義行列式，則任何敏感的人都將會(huì)永遠(yuǎn)恨死了諸如行列式，Jacobi式，以及隱函數(shù)定理這些鬼東西。
一個(gè)群又是什么東東呢？代數(shù)學(xué)家們會(huì)這樣來(lái)教學(xué)：這是一個(gè)假設(shè)的集合，具有兩種運(yùn)算，它們滿足一組容易讓人忘記的公理。這個(gè)定義很容易激起一個(gè)自然的抗議：任何一個(gè)敏感的人為何會(huì)需要這一對(duì)運(yùn)算？“哦，這種數(shù)學(xué)去死吧”－－這就是學(xué)生的反應(yīng)（他很可能將來(lái)就成為了科學(xué)強(qiáng)人）。
如果我們的出發(fā)點(diǎn)不是群而是變換的概念（一個(gè)集合到自身的1－1映射），則我們絕對(duì)將得到不同的局面，這也才更像歷史的發(fā)展。所有變換的集合被稱為一個(gè)群，其中任何兩個(gè)變換的復(fù)合仍在此集合內(nèi)并且每個(gè)變換的逆變換也如此。
這就是定義的關(guān)鍵所在。那所謂的“公理”事實(shí)上不過(guò)是變換群所具有的顯然的性質(zhì)。公理化的倡導(dǎo)者所稱的“抽象群”不過(guò)是在允許相差同構(gòu)（保持運(yùn)算的1－1映射）意義下的不同集合的變換群。正如 Cayley證明的，在這個(gè)世界上根本就沒(méi)有“更抽象的”群。那么為什么那些代數(shù)學(xué)家仍要用抽象的定義來(lái)折磨這些飽受痛苦的學(xué)生們呢？
順便提一句，在上世紀(jì)60年代我曾給莫斯科的中小學(xué)生們講授群論。我回避了任何的公理，盡可能的讓內(nèi)容貼近物理，在半年內(nèi)我就教給了他們關(guān)于一般的五次方程不可解性的Abel 定理（以同樣的方式，我還教給了小學(xué)生們復(fù)數(shù)，黎曼曲面，基本群以及代數(shù)函數(shù)的monodromy 群）。這門課程的內(nèi)容后來(lái)由我的一個(gè)聽(tīng)眾 V. Alekseev 組織出版了，名為The Abel theorem in problems.
一個(gè)光滑流形又是什么東東呢？我從一本美國(guó)人的書中得知龐加萊對(duì)此概念并不精通（盡管是由他引入的），而所謂“現(xiàn)代的”定義直到上世紀(jì)20年代才由Veblen給出：一個(gè)流形是一個(gè)拓?fù)淇臻g滿足一長(zhǎng)串的公理。
學(xué)生們到底犯了什么罪過(guò)必須經(jīng)受這些扭曲和變形的公理的折磨來(lái)理解這個(gè)概念？事實(shí)上，在龐加萊的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一個(gè)光滑流形的絕對(duì)清晰的定義，它要比這種抽象的玩意兒有用的多。
一個(gè)歐式空間R^N 中的k-維光滑子流形是一個(gè)這樣的子集，其每一點(diǎn)的一個(gè)鄰域是一個(gè)從R^k到R^(N-k)的光滑映射的圖象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐標(biāo)子空間 ）。這樣的定義是對(duì)平面上大多數(shù)通常的光滑曲線（如 圓環(huán) x^2 + y^2 = 1）或三維空間中曲線和曲面的直接的推廣。
光滑流形之間的光滑映射則是自然定義的。所謂微分同胚則是光滑的映射且其逆也光滑。
而所謂“抽象的”光滑流形就是歐式空間的允許相差一個(gè)微分同胚意義下的光滑子流形。世界上根本不存在所謂“更抽象的”有限維的光滑流形（Whitney 定理）。為什么我們總是要用抽象的定義來(lái)折磨學(xué)生們呢？把閉二維流形（曲面）的分類定理證給學(xué)生們看不是更好嗎？恰恰是這樣的精彩定理（即任何緊的連通的可定向的曲面都是一個(gè)球面外加若干個(gè)環(huán)柄似的把手）使我們對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)是什么有了一個(gè)正確的印象，相反的是，那些對(duì)歐式空間的簡(jiǎn)單的子流形所做的超級(jí)抽象的推廣，事實(shí)上壓根沒(méi)有給出任何新的東東，不過(guò)是用來(lái)展示一下那些公理化學(xué)者們成就的蹩腳貨。
對(duì)曲面的分類定理是頂級(jí)的數(shù)學(xué)成就，堪與美洲大陸或X 射線的發(fā)現(xiàn)媲美。這是數(shù)學(xué)科學(xué)里一個(gè)真正的發(fā)現(xiàn)，我們甚至難以說(shuō)清到底所發(fā)現(xiàn)的這個(gè)事實(shí)本身對(duì)物理學(xué)和數(shù)學(xué)哪一個(gè)的貢獻(xiàn)更大。它對(duì)應(yīng)用以及對(duì)發(fā)展正確的世界觀的非凡意義目前已超越了數(shù)學(xué)中的其他的“成就”，諸如對(duì)費(fèi)馬大定理的證明，以及對(duì)任何充分大的整數(shù)都能表示成三個(gè)素?cái)?shù)和這類事實(shí)的證明。為了出風(fēng)頭，當(dāng)代的數(shù)學(xué)家有時(shí)候總要展示一些“運(yùn)動(dòng)會(huì)式的”成就，并聲稱那就是他們的學(xué)科里最后的難題�？上攵�，這樣的做法不僅無(wú)助于社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的欣賞，而且恰恰相反，會(huì)使人們產(chǎn)生懷疑：對(duì)于這樣的毫無(wú)用處的跳脫衣舞般的問(wèn)題，有必要耗費(fèi)能量來(lái)做這些（彷佛攀巖似的）練習(xí)嗎？
曲面的分類定理應(yīng)該被包含在高中數(shù)學(xué)的課程里（可以不用證明），但不知為什么就連大學(xué)數(shù)學(xué)的課程里也找不到（順便一下，在法國(guó)近幾十年來(lái)說(shuō)有的幾何課程都被禁止）。
在各個(gè)層次上，數(shù)學(xué)教育由學(xué)院的特征轉(zhuǎn)回到表述自然科學(xué)的重要性的特征，對(duì)法國(guó)而言是一個(gè)及其熱點(diǎn)的問(wèn)題。使我感到很震驚的是那些最好的也是最重要的條理清晰的數(shù)學(xué)書，在這兒幾乎都不為學(xué)生們所知（而依我看它們還沒(méi)有被譯成法語(yǔ)）。這些書中有Rademacher 和 Tö寫的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen寫的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 寫的《What is mathematics?》；Polya 寫的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 寫的《Development of mathematics in the 19th century》。
我清晰地記得在學(xué)校時(shí)，Hermite 寫的微積分教程（有俄語(yǔ)譯本）給我留下了多么強(qiáng)烈的印象。我記得在其最開(kāi)始的一篇講義中就出現(xiàn)了黎曼曲面（當(dāng)然所有分析的內(nèi)容都是針對(duì)復(fù)變量的，也本該如此）。而積分漸進(jìn)的內(nèi)容是通過(guò)黎曼曲面上道路形變的方法來(lái)研究（如今，我們稱此方法為Picard-Lefschetz 理論;順便提一下，Picard是Hermite的女婿－－數(shù)學(xué)能力往往是由女婿來(lái)傳承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 這個(gè)王朝就是巴黎科學(xué)院中另一個(gè)這樣的范例）。
由Hermite 一百多年前所寫的所謂的“過(guò)時(shí)的”教程（也許早就被法國(guó)大學(xué)的學(xué)生圖書館當(dāng)垃圾扔掉了）實(shí)際上要比那些如今折磨學(xué)生們的最令人厭煩的微積分課本現(xiàn)代化的多。
如果數(shù)學(xué)家們?cè)俨凰眩敲茨切⿲?duì)現(xiàn)代的（最正面意義上的）數(shù)學(xué)理論仍有需要，同時(shí)又對(duì)那些毫無(wú)用處的公理化特征具有免疫力（這是任何敏銳的人所具有的特征）的消費(fèi)者們會(huì)毫不猶豫的將這些學(xué)校里的受教育不足的學(xué)究們掃地出門。
一個(gè)數(shù)學(xué)教師，如果至今還沒(méi)有掌握至少幾卷Landau 和 Lifshitz 著的物理學(xué)教程，他（她）必將成為一個(gè)數(shù)學(xué)界的希罕的殘存者，就好似如今一個(gè)仍不知道開(kāi)集與閉集差別的人。
