經(jīng)歷
1937年生于 烏克蘭蘇維埃社會主義共和國 敖德薩。曾任俄羅斯莫斯科Steklov數(shù)學(xué)研究院首席科學(xué)家及 法國巴黎大學(xué) u2013 Dauphine教授。1959年畢業(yè)于 莫斯科國立大學(xué)并于1961年獲頒等同博士的學(xué)位（Candidate’s Degree）。1965年始成為莫斯科國立大學(xué)教授，是 俄羅斯科學(xué)院院士及莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會主席。弗拉基米爾·阿諾德主要研究 常微分方程與動力系統(tǒng)。1982年獲首屆Crafoord獎，阿諾德曾于1995年12月訪問中國，在中科院數(shù)學(xué)所和 北京大學(xué)做過兩場學(xué)術(shù)演講，觀者云集,2001年獲Wolf獎，2008年獲 邵逸夫獎數(shù)學(xué)科學(xué)獎。弗拉基米爾·阿諾德于2010年6月3日在 法國因病逝世。
成就
1957年，19歲的阿諾德還是一個本科生，就對連續(xù)函數(shù)的情形解決了 希爾伯特第十三問題，并因此獲得莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會頒發(fā)的青年數(shù)學(xué)家獎。60年代前后，他專注于哈密頓動力系統(tǒng)的研究，是KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)理論的創(chuàng)立者之一。KAM理論是動力系統(tǒng)理論中最深刻、最困難的結(jié)果之一，其背景是太陽系的穩(wěn)定性這個悠久的老大難問題。與此同時，阿諾德還發(fā)現(xiàn)了一個極其重要的現(xiàn)象，現(xiàn)在稱之為“阿諾德擴散”；大意是，在那些穩(wěn)定的島嶼—不變環(huán)面之間，可能存在一些幽靈般的軌道，以近乎隨機的方式極其緩慢地漂移—“阿諾德擴散”的機制至今仍不清楚。阿諾德的工作繪制了一幅復(fù)雜系統(tǒng)的典型畫面：有序運動與無序運動交錯共存，不管在哪一個量級或?qū)蛹壣�，一定會有不可預(yù)知、難以控制的信息隱藏在深不可測的黑暗地帶。
大約也是這個時期，阿諾德對理想不可壓縮流體的運動方程給出了一個非常優(yōu)美的刻畫。他把這個方程看作是保體積微分同胚組成的無窮維 李群上的測地線方程，清晰地揭示了流體運動內(nèi)在不穩(wěn)定性的幾何根源。
七八十年代，“突變論”曾流行一時，對此科學(xué)界聚訟紛紜(80年代的中國，“突變論”也曾以所謂“新三論”之一的面目出現(xiàn)過)。阿諾德分離出了其中純正的數(shù)學(xué)內(nèi)核—光滑映射的奇點理論，并把其種種精彩之處前所未有地展現(xiàn)了出來。另外，阿諾德把龐卡萊(Poincaré）最后幾何定理推廣到高維，提出了所謂的阿諾德猜測，催生了辛幾何中一批深刻而美妙的結(jié)果。
1982年，阿諾德獲首屆克雷福德(Crafoord)獎，這是瑞典皇家科學(xué)院為了填補諾貝爾獎的空白而設(shè)立的獎項。2001年，因微分方程、動力系統(tǒng)和奇點理論中的重大貢獻(xiàn)，阿諾德獲當(dāng)年度沃爾夫獎，這是一項終身成就獎。
數(shù)學(xué)教育
阿諾德不僅是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者，也是數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造者，他是蘇聯(lián)-俄國數(shù)學(xué)學(xué)派承先啟后的人物。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是物理學(xué)的一部分，而物理學(xué)的本質(zhì)是幾何。其名著《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》就是用辛幾何的框架，給經(jīng)典力學(xué)來了一次脫胎換骨的轉(zhuǎn)化。這本書被稱為“幾何力學(xué)的圣經(jīng)”。在數(shù)學(xué)中，他崇尚幾何和物理的思考方式，而對公理化、形式化的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育深惡痛絕，認(rèn)為這種數(shù)學(xué)切斷了與物理世界的聯(lián)系，而且把直觀感覺剔除殆盡，是丑陋的偽數(shù)學(xué)；這種數(shù)學(xué)家是殘存的怪物，這種方式的數(shù)學(xué)教育是折磨孩子，是犯罪。
其實，在數(shù)學(xué)中一直就存在著兩種傳統(tǒng)，幾何和代數(shù)分別代表其基本精神。如菲爾茲獎得主阿提亞(Michael Atiyah)所說，近代以降，以 牛頓-龐卡萊-阿諾德為一系，重物理和幾何的精神,被稱為 數(shù)學(xué)直覺主義學(xué)派；以 萊布尼茲- 希爾伯特- 布爾巴基(Bourbaki)學(xué)派為一系，強調(diào)公理化、形式化的精神。兩者間的起伏消長本來就是數(shù)學(xué)史上的常態(tài)，畸輕畸重，都是時勢所成就的。這甚至可以追溯至古希臘人的幾何學(xué)與古印度和阿拉伯人的代數(shù)學(xué)。無論怎么說，阿諾德已成為他所屬的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中那種精神的化身。
以下內(nèi)容來自阿諾德原文 ，可以反映出他對數(shù)學(xué)教育的一些 數(shù)學(xué)直覺主義觀點。
數(shù)學(xué)是物理的一部分。物理學(xué)是一門實驗科學(xué)，它是自然科學(xué)的一部分。而數(shù)學(xué)是物理學(xué)中只需要花費較少的代價進(jìn)行實驗的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保證三角形三條高交于一點）就是一個實驗事實，正如同地球是圓的（即同胚于球體）這樣的事實一樣。但是發(fā)現(xiàn)前者卻要比發(fā)現(xiàn)后者需要較少的代價。
在20世紀(jì)中葉，人們試圖嚴(yán)格地區(qū)分物理與數(shù)學(xué)。其造成地后果是災(zāi)難性的。整整一代的數(shù)學(xué)家在對他們所從事的科學(xué)的另一半及其無知的情況下成長，當(dāng)然，對其他的科學(xué)就更無知了。這些人又開始把他們的丑陋的學(xué)院式的偽數(shù)學(xué)教給他們的學(xué)生，接著這些丑陋的偽數(shù)學(xué)又被交給中小學(xué)校里的孩子們（他們完全忘記了Hardy的警告：丑陋的數(shù)學(xué)在陽光下不可能總有藏身之處）。
既然那些從物理學(xué)中人為挖出來的學(xué)院式的數(shù)學(xué)既無益于教學(xué)，又對其他的科學(xué)毫無用處，結(jié)果可以想見，全世界的人都討厭數(shù)學(xué)家（甚至包括那些被他們教出來的可憐的學(xué)校里的孩子們以及那些運用這些丑陋數(shù)學(xué)的人）。這些先天不足的數(shù)學(xué)家被他們所患的低能癥候群折騰的筋疲力盡，他們無能對物理學(xué)有個起碼的了解。令人們記憶猶新的由他們建造的一個丑陋建筑物就是“奇數(shù)的嚴(yán)格公理化理論”。
很顯然，完全可能創(chuàng)造這樣一種理論，使得幼稚的小學(xué)生們敬畏它的完美及其內(nèi)部構(gòu)造的和諧（例如，這種理論定義了奇數(shù)個項的和以及任意個因子的乘積）。從這種偏執(zhí)狹隘的觀點來看，偶數(shù)或者被認(rèn)為是一類“異端”，或者隨著時間流逝，被用來作為該理論中幾個“理想”對象的補充（為了遵從物理與真實世界的需要）。很不幸的是，這種理論只是數(shù)學(xué)中一個丑陋而變態(tài)的構(gòu)造，但卻統(tǒng)治了我們的數(shù)學(xué)教育數(shù)十年。它首先源自于法國，這股歪風(fēng)很快傳播到對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)里，先是毒害大學(xué)生，接著中小學(xué)生也難免此災(zāi)（而災(zāi)區(qū)最先是法國，接著是其他國家，包括俄羅斯）。
如果你問一個法國的小學(xué)生：“2+3等于幾？”，他（她）會這樣回答：“等于3+2，因為加法運算是可交換的”。他（她）根本不知道這個和等于幾，甚至根本不能理解你在問他（她）什么！
還有的法國小學(xué)生會這樣定義數(shù)學(xué)（至少我認(rèn)為很有可能）：“存在一個正方形，但還沒有被證明”。
據(jù)我在法國教學(xué)的經(jīng)驗，大學(xué)里的學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與這些小學(xué)生也差不多（甚至包括那些在’高等師范學(xué)校’（ENS）里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生－－我為這些顯然很聰明但卻被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜）。
例如，這些學(xué)生從未見過一個拋物面，而且一個這樣的問題：描述由方程xy=z^2所給出的曲面的形狀，就能使那些在ENS中研究的數(shù)學(xué)家們發(fā)呆半天；而如下問題：畫出平面上由參數(shù)方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）給出的曲線，對學(xué)生來說是不可能完成的（甚至對大多數(shù)法國的數(shù)學(xué)教授也一樣）。從微積分的入門教科書直到Goursat寫的課本，解這些問題的能力都被認(rèn)為是每個數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的基本技能。
那些喜歡挑戰(zhàn)大腦的所謂“抽象數(shù)學(xué)”的狂熱者們，把所有在數(shù)學(xué)中能與物理和現(xiàn)實經(jīng)常發(fā)生聯(lián)系的幾何統(tǒng)統(tǒng)排除在教學(xué)之外。由Goursat, Hermite, Picard等人寫的微積分教程被認(rèn)為是有害的，差點被巴黎第6和第7大學(xué)的圖書館當(dāng)垃圾丟掉，只是在我的干預(yù)下才得以保存。
ENS的聽完所有微分幾何與代數(shù)幾何課程的學(xué)生（分別被不同的數(shù)學(xué)家教的），卻既不熟悉由橢圓曲線 y^2 = x^3 + ax + b 決定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓?fù)浞诸悾ǜ鼊e提第一類橢圓積分和橢圓曲線的群性質(zhì)了，即 Euler-Abel 加法定理）。他們僅僅學(xué)到了Hodge 構(gòu)造以及 Jacobi 簇！
這樣的現(xiàn)象竟然會在法國出現(xiàn)！這個國家可是為整個世界貢獻(xiàn)了諸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 還有 Thom 這些頂級的偉大人物��！對我而言，一個合理的解釋來自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教導(dǎo)過我:真正的數(shù)學(xué)家決不會拉幫結(jié)派，只有弱者為了生存才會加入幫派。他們可以聯(lián)結(jié)很多的
方面，但其本質(zhì)總是為了解決社會生存問題。
我在此向大家順便提一下 L. Pasteur 的忠告：從來沒有也決不會有任何所謂的“應(yīng)用科學(xué)”，而僅僅有的是科學(xué)的應(yīng)用（十分有用的東東�。。�
長久以來我一直對 Petrovskii 的話心存疑慮，但是現(xiàn)今我越來越肯定他說的一點沒錯。那些超級抽象活動的相當(dāng)大的部分正在墮落到以工業(yè)化的模式無恥的掠奪那些發(fā)現(xiàn)者的成果，然后再加以系統(tǒng)地組織設(shè)計使自己成為萬能的推廣者。就彷佛美利堅所在的新大陸不以哥倫布命名一樣，數(shù)學(xué)結(jié)果也幾乎從未以它們真正的發(fā)現(xiàn)者來命名。
為避免被認(rèn)為我在胡說八道，我不得不在此聲明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式無償征用，其實這樣的事情經(jīng)常在我的老師（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和學(xué)生身上發(fā)生。
M. Berry 教授曾經(jīng)提出過如下兩個原理：
Arnold 原理：如果某個理念中出現(xiàn)了某個人名，則這個人名必非發(fā)現(xiàn)此理念者的名字。
Berry 原理：Arnold 原理適用于自身。
不過，我們還是說回法國的數(shù)學(xué)教育上來。當(dāng)我還是莫斯科大學(xué)數(shù)力系的一年級新生時，集合論的拓?fù)鋵W(xué)家 L.A. Tumarkin 教我們微積分，他在課堂上很謹(jǐn)慎地一遍又一遍地講述古老而經(jīng)典的Goursat 版的法語微積分教程。他告訴我們有理函數(shù)沿著一條代數(shù)曲線的積分可以求出來如果該代數(shù)曲線對應(yīng)的黎曼面時一個球面。而一般來說，如果該曲面的虧格更高這樣的積分將不可求，不過對球面而言，只要在一個給定度數(shù)的曲線上有充分多的double points 就足夠了（即要求該曲線是unicursal ：即可以將其實點在射影平面上一筆畫出來）。
這些事實給我們造成多么深刻的印象�。词箾]有給出證明），它們給了我們非常優(yōu)美而正確的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，比那些長篇累牘的Bourbaki學(xué)派的論著不知道好到哪里去了。說真的，我們在這里看到了那些表面上完全不同的事物之間存在著令人驚奇的聯(lián)系：一方面，對于相應(yīng)的黎曼面上的積分與拓?fù)浯嬖谥@式的表達(dá)式，而另一方面，在 double points 的個數(shù)與相應(yīng)的黎曼面的虧格之間也有重要的聯(lián)系。
這樣的例子并不鮮見，作為數(shù)學(xué)中最迷人的性質(zhì)之一，Jacobi曾指出：用同一個函數(shù)就既可以理解能表示為4個數(shù)平方和的整數(shù)的性質(zhì)，又可以描述一個單擺的運動。
這些不同種類的數(shù)學(xué)對象之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，就好比在物理學(xué)中電與磁之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，也類同于地質(zhì)學(xué)上對美洲大陸的東海岸與非洲大陸的西海岸之間相似性的發(fā)現(xiàn)。
這些發(fā)現(xiàn)對于教學(xué)所具有的令人激動的非凡意義是無法估量的。正是它們指引著我們?nèi)パ芯亢桶l(fā)現(xiàn)宇宙中和諧而精彩的現(xiàn)象。
然而，數(shù)學(xué)教育的非幾何化以及與物理學(xué)的分離卻割斷了這種聯(lián)系。例如，不僅僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生而且絕大部分的代數(shù)幾何學(xué)家都對以下提及的Jacobi 事實一無所知：一個第一類型的橢圓積分表示了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)中沿某個橢圓相曲線的運動所走的時間。
我們知道一個 hypocycloid 就如同多項式環(huán)中的理想一樣是無窮無盡的。但是如果要把理想這個概念教給一個從未見過任何 hypocycloid 的學(xué)生，就好比把分?jǐn)?shù)的加法教給一個從來沒有把蛋糕或蘋果等分切割過（至少在腦子里切過）的學(xué)生。毫無疑問孩子們將會傾向于同時分子加分子分母加分母。
從我的法國朋友那里我聽說這種超級抽象的一般化正是他們國家的傳統(tǒng)特色。如果說這可能是一個世襲的缺陷，我倒不會不贊成，不過我還是愿意強調(diào)那個從Poincaré 那兒借來的“蛋糕與蘋果”的事實。
構(gòu)造數(shù)學(xué)理論的方式與其它的自然科學(xué)并沒有什么不同。首先，我們要考慮一些對象并對一些特殊的事例進(jìn)行觀察。接著我們試圖要找到一些我們所觀察到的結(jié)果在應(yīng)用上的限制，即尋找那些防止我們不正確地把我們所觀察的結(jié)果擴展到更廣泛領(lǐng)域的反例。作為一個結(jié)果我們盡可能地明確提出那由經(jīng)驗得來的發(fā)現(xiàn)（如費馬猜想和龐加萊猜想）。這之后將是檢驗我們的結(jié)論到底有多可靠的困難的階段。
就這一點來說，數(shù)學(xué)界已經(jīng)發(fā)展出了一套特別的技術(shù)。這種技術(shù)，當(dāng)被運用于現(xiàn)實世界時，有時候很有用，但有時候也會導(dǎo)致自欺欺人。這樣的技術(shù)被稱為“建�！�。當(dāng)構(gòu)造一個模型時，要進(jìn)行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精確性了解的事實，往往被認(rèn)為是“絕對”正確的并被當(dāng)作“公理”來接受。這種“絕對性”的意義恰恰是，在把所有我們可以借助這些事實得出的結(jié)論稱為定理的過程中，我們允許自己依據(jù)形式邏輯的規(guī)則來運用這些“事實”。
顯然在任何現(xiàn)實的日常生活中，我們的活動要完全依賴于這樣的化減是不可能的。原因至少在于所研究的現(xiàn)象的參數(shù)決不可能被絕對準(zhǔn)確的知曉，并且參數(shù)的微小變化（例如一個過程初始條件的微小改變）就會完全地改變結(jié)果。由于這個原因我們可以說任何長期的天氣預(yù)報都是不可能的，無論我們把計算機造的有多高級或是記錄初始條件地儀器有多靈敏，這永遠(yuǎn)也辦不到。
與此完全一樣的是，公理（那些我們不能完全確定的）的一個小小的改變雖是容許的，一般來說，由那些被接受的公理推出的定理卻將導(dǎo)出完全不同的結(jié)論。推導(dǎo)的鏈（即所謂的“證明”）越長越復(fù)雜，最后得到的結(jié)論可靠性越低。復(fù)雜的模型幾乎毫無用處（除了對那些無聊的專寫論文的人）。
數(shù)學(xué)建模的技術(shù)對這種麻煩一無所知，并且還不斷地吹噓他們得到的模型，似乎它們真的就與現(xiàn)實世界吻合。事實上，從自然科學(xué)的觀點看, 這種途徑是顯然不正確的，但卻經(jīng)常導(dǎo)致很多物理上有用的被稱為“有不可思議的有效性的數(shù)學(xué)”結(jié)果（或叫做“Wigner原理”）。
我在此再提一下蓋爾方德先生的一句話：還有另一類現(xiàn)象與以上Wigner所指的物理中的數(shù)學(xué)具有相仿的不可思議的有效性，即生物學(xué)中用到的數(shù)學(xué)也是同樣令人難以置信的有效。
對一個物理學(xué)家而言，“數(shù)學(xué)教育所致的不易察覺的毒害作用”（F.Klein 原話）恰恰體現(xiàn)在由現(xiàn)實世界抽離出的被絕對化了的模型，并且它與現(xiàn)實已不再相符。這兒是一個簡單的例子：數(shù)學(xué)知識告訴我們 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始條件唯一決定的（也即相應(yīng)的位于（t-x）－平面上積分曲線彼此不交）。這個數(shù)學(xué)模型的結(jié)論顯得與現(xiàn)實世界毫不相關(guān)。而計算機模擬卻顯示所有這些積分曲線在t的負(fù)半軸上有公共點。事實上，具有初始條件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲線在t=-100 相交，其實在t=-100 時，你壓根就不可能在兩條曲線之間再插入一個原子。歐式幾何對這種空間在微小距離下的性質(zhì)沒有任何的描述。在這種情況下來應(yīng)用唯一性定理顯然已經(jīng)超出了模型所能容許的精確程度。在對模型的實際運用中，這種情形必須要加以注意，否則可能會導(dǎo)致嚴(yán)重的麻煩。
我還想說的是，相同的唯一性定理也可解釋為何在船只停泊碼頭前的靠岸階段必須得依靠人工操作：否則的話，如果行進(jìn)的速度是距離的光滑（線性）函數(shù)，則整個靠岸的過程將會耗費無窮長的時間。而另外可行的方法則是與碼頭相撞（當(dāng)然船與碼頭之間要有非理想彈性物體以造成緩沖）。順便說一下，我們必須非常重視這類問題，例如，登陸月球和火星以及空間站的對接－此時唯一性問題都會讓我們頭痛。
不幸的是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教科書里，即使是較好的一類課本里，對這種令人崇拜的定理所隱藏的危險的事例或探討都只字沒有。我甚至已經(jīng)形成了這樣的印象，那些學(xué)院派的數(shù)學(xué)家（對物理知識都一竅不通）都對公理化形式的數(shù)學(xué)與建模的主要差異習(xí)以為常，而且他們覺得在自然科學(xué)中這是很普遍的，只是需要用后期的實驗來控制理論推演。
我想用不著去提什么初始公理的相對特征，人們也都不會忘記在冗長的論述里犯邏輯錯誤是在所難免的（彷佛宇宙射線或量子振動所引發(fā)的計算崩潰）。每一個還在工作的數(shù)學(xué)家都知道，如果不對自己有所控制（最好是用事例），那么在10頁論述之后所有公式中的記號有半數(shù)都會出問題。
與這樣的謬誤相抗的技術(shù)也同樣存在于任何實驗科學(xué)里，而且應(yīng)該教給每一個大學(xué)低年級的學(xué)生。
試圖創(chuàng)造所謂的純粹推導(dǎo)式的公理化數(shù)學(xué)的做法，使得我們不再運用物理學(xué)中的研究方法（觀察-建模－模型的研究－得出結(jié)論－用更多的觀察檢驗?zāi)Ｐ停┤《氖沁@樣的方法：定義－定理－證明。人們根本不可能理解一個毫無動機的定義，但我們卻無法阻止這些有罪的“代數(shù)－公理學(xué)家”。例如，他們總是想用長乘規(guī)則的手段來定義自然數(shù)的乘積。但用這種方法乘法的交換性卻難以證明，不過從一堆的公理中仍有可能推導(dǎo)出這樣的定理。而且完全可能逼著那些可憐的學(xué)生們來學(xué)習(xí)這個定理以及它的證明（其目的不外乎是提升這門學(xué)科以及教授它的人的社會地位）。顯然，這種定義和這樣的證明對教學(xué)和實際工作有百害而無一益。
理解乘法交換性的唯一可能的方式，打個比方就是分別按行序和列序來數(shù)一個方陣?yán)锸勘娜藬?shù)，或者說用兩種方式來計算長方形的面積。任何試圖只做不與物理和現(xiàn)實世界打交道的數(shù)學(xué)都屬于宗派主義和孤立主義，這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數(shù)學(xué)創(chuàng)造視為一項有用的人類活動的美好印象。
我將再揭示幾個這樣的秘密（可憐的學(xué)生們對此很有興趣）。
一個矩陣的行列式就是一個平行多面體的（定向的）體積，這個多面體的每條邊就對應(yīng)矩陣的列。如果學(xué)生們得知了這個秘密（在純粹的代數(shù)式的教育中，這個秘密被仔細(xì)地隱藏了起來），那么行列式的整個理論都將成為多線性形式理論的一部分。如果用別的方式來定義行列式，則任何敏感的人都將會永遠(yuǎn)恨死了諸如行列式，Jacobi式，以及隱函數(shù)定理這些鬼東西。
一個群又是什么東東呢？代數(shù)學(xué)家們會這樣來教學(xué)：這是一個假設(shè)的集合，具有兩種運算，它們滿足一組容易讓人忘記的公理。這個定義很容易激起一個自然的抗議：任何一個敏感的人為何會需要這一對運算？“哦，這種數(shù)學(xué)去死吧”－－這就是學(xué)生的反應(yīng)（他很可能將來就成為了科學(xué)強人）。
如果我們的出發(fā)點不是群而是變換的概念（一個集合到自身的1－1映射），則我們絕對將得到不同的局面，這也才更像歷史的發(fā)展。所有變換的集合被稱為一個群，其中任何兩個變換的復(fù)合仍在此集合內(nèi)并且每個變換的逆變換也如此。
這就是定義的關(guān)鍵所在。那所謂的“公理”事實上不過是變換群所具有的顯然的性質(zhì)。公理化的倡導(dǎo)者所稱的“抽象群”不過是在允許相差同構(gòu)（保持運算的1－1映射）意義下的不同集合的變換群。正如 Cayley證明的，在這個世界上根本就沒有“更抽象的”群。那么為什么那些代數(shù)學(xué)家仍要用抽象的定義來折磨這些飽受痛苦的學(xué)生們呢？
順便提一句，在上世紀(jì)60年代我曾給莫斯科的中小學(xué)生們講授群論。我回避了任何的公理，盡可能的讓內(nèi)容貼近物理，在半年內(nèi)我就教給了他們關(guān)于一般的五次方程不可解性的Abel 定理（以同樣的方式，我還教給了小學(xué)生們復(fù)數(shù)，黎曼曲面，基本群以及代數(shù)函數(shù)的monodromy 群）。這門課程的內(nèi)容后來由我的一個聽眾 V. Alekseev 組織出版了，名為The Abel theorem in problems.
一個光滑流形又是什么東東呢？我從一本美國人的書中得知龐加萊對此概念并不精通（盡管是由他引入的），而所謂“現(xiàn)代的”定義直到上世紀(jì)20年代才由Veblen給出：一個流形是一個拓?fù)淇臻g滿足一長串的公理。
學(xué)生們到底犯了什么罪過必須經(jīng)受這些扭曲和變形的公理的折磨來理解這個概念？事實上，在龐加萊的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一個光滑流形的絕對清晰的定義，它要比這種抽象的玩意兒有用的多。
一個歐式空間R^N 中的k-維光滑子流形是一個這樣的子集，其每一點的一個鄰域是一個從R^k到R^(N-k)的光滑映射的圖象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐標(biāo)子空間 ）。這樣的定義是對平面上大多數(shù)通常的光滑曲線（如 圓環(huán) x^2 + y^2 = 1）或三維空間中曲線和曲面的直接的推廣。
光滑流形之間的光滑映射則是自然定義的。所謂微分同胚則是光滑的映射且其逆也光滑。
而所謂“抽象的”光滑流形就是歐式空間的允許相差一個微分同胚意義下的光滑子流形。世界上根本不存在所謂“更抽象的”有限維的光滑流形（Whitney 定理）。為什么我們總是要用抽象的定義來折磨學(xué)生們呢？把閉二維流形（曲面）的分類定理證給學(xué)生們看不是更好嗎？恰恰是這樣的精彩定理（即任何緊的連通的可定向的曲面都是一個球面外加若干個環(huán)柄似的把手）使我們對現(xiàn)代數(shù)學(xué)是什么有了一個正確的印象，相反的是，那些對歐式空間的簡單的子流形所做的超級抽象的推廣，事實上壓根沒有給出任何新的東東，不過是用來展示一下那些公理化學(xué)者們成就的蹩腳貨。
對曲面的分類定理是頂級的數(shù)學(xué)成就，堪與美洲大陸或X 射線的發(fā)現(xiàn)媲美。這是數(shù)學(xué)科學(xué)里一個真正的發(fā)現(xiàn)，我們甚至難以說清到底所發(fā)現(xiàn)的這個事實本身對物理學(xué)和數(shù)學(xué)哪一個的貢獻(xiàn)更大。它對應(yīng)用以及對發(fā)展正確的世界觀的非凡意義目前已超越了數(shù)學(xué)中的其他的“成就”，諸如對費馬大定理的證明，以及對任何充分大的整數(shù)都能表示成三個素數(shù)和這類事實的證明。為了出風(fēng)頭，當(dāng)代的數(shù)學(xué)家有時候總要展示一些“運動會式的”成就，并聲稱那就是他們的學(xué)科里最后的難題�？上攵�，這樣的做法不僅無助于社會對數(shù)學(xué)的欣賞，而且恰恰相反，會使人們產(chǎn)生懷疑：對于這樣的毫無用處的跳脫衣舞般的問題，有必要耗費能量來做這些（彷佛攀巖似的）練習(xí)嗎？
曲面的分類定理應(yīng)該被包含在高中數(shù)學(xué)的課程里（可以不用證明），但不知為什么就連大學(xué)數(shù)學(xué)的課程里也找不到（順便一下，在法國近幾十年來說有的幾何課程都被禁止）。
在各個層次上，數(shù)學(xué)教育由學(xué)院的特征轉(zhuǎn)回到表述自然科學(xué)的重要性的特征，對法國而言是一個及其熱點的問題。使我感到很震驚的是那些最好的也是最重要的條理清晰的數(shù)學(xué)書，在這兒幾乎都不為學(xué)生們所知（而依我看它們還沒有被譯成法語）。這些書中有Rademacher 和 Tö寫的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen寫的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 寫的《What is mathematics?》；Polya 寫的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 寫的《Development of mathematics in the 19th century》。
我清晰地記得在學(xué)校時，Hermite 寫的微積分教程（有俄語譯本）給我留下了多么強烈的印象。我記得在其最開始的一篇講義中就出現(xiàn)了黎曼曲面（當(dāng)然所有分析的內(nèi)容都是針對復(fù)變量的，也本該如此）。而積分漸進(jìn)的內(nèi)容是通過黎曼曲面上道路形變的方法來研究（如今，我們稱此方法為Picard-Lefschetz 理論;順便提一下，Picard是Hermite的女婿－－數(shù)學(xué)能力往往是由女婿來傳承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 這個王朝就是巴黎科學(xué)院中另一個這樣的范例）。
由Hermite 一百多年前所寫的所謂的“過時的”教程（也許早就被法國大學(xué)的學(xué)生圖書館當(dāng)垃圾扔掉了）實際上要比那些如今折磨學(xué)生們的最令人厭煩的微積分課本現(xiàn)代化的多。
如果數(shù)學(xué)家們再不睡醒，那么那些對現(xiàn)代的（最正面意義上的）數(shù)學(xué)理論仍有需要，同時又對那些毫無用處的公理化特征具有免疫力（這是任何敏銳的人所具有的特征）的消費者們會毫不猶豫的將這些學(xué)校里的受教育不足的學(xué)究們掃地出門。
一個數(shù)學(xué)教師，如果至今還沒有掌握至少幾卷Landau 和 Lifshitz 著的物理學(xué)教程，他（她）必將成為一個數(shù)學(xué)界的希罕的殘存者，就好似如今一個仍不知道開集與閉集差別的人。
