朱世杰“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”(莫若、祖頤：《 四元玉鑒》后序）。

宋元時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)鼎盛時(shí)期中杰出的數(shù)學(xué)家有“秦﹝ 九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。朱世杰平生勤力研習(xí)《 九章算術(shù)》，旁通其它各種算法，成為元代著名數(shù)學(xué)家。

元統(tǒng)一中國(guó)后，朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地20余年，向他求學(xué)的人很多，他到廣陵(今揚(yáng)州)時(shí)“踵門而學(xué)者云集”。他全面繼承了前人數(shù)學(xué)成果，既吸收了北方的 天元術(shù)，又吸收了南方的正負(fù)開方術(shù)、各種日用算法及 通俗歌訣，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)造性的研究，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時(shí)各種數(shù)學(xué)知識(shí)為宗旨的《 算學(xué)啟蒙》(3卷)，又寫成 四元術(shù)的代表作--《 四元玉鑒》(3卷)，先后于：1299年和1303年刊印．《算學(xué)啟蒙》由淺入深，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當(dāng)時(shí)的最新數(shù)學(xué)成果――天元術(shù)，儼然形成一個(gè)完整體系。

書中明確提出正負(fù)數(shù) 乘法法則，給出倒數(shù)的概念和基本性質(zhì)，概括出若干新的 乘法公式和 根式運(yùn)算法則，總結(jié)了若干乘除捷算口訣，并把設(shè)輔助未知數(shù)的方法用于解 線性方程組．《四元玉鑒》的主要內(nèi)容是四元術(shù)，即多元高次方程組的建立和求解方法． 秦九韶的高次 方程數(shù)值解法和 李冶的 天元術(shù)都被包含在內(nèi)．

在宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意義．如果把諸多數(shù)學(xué)家比作群山，則朱世杰是最高大、最雄偉的山峰．站在朱世杰 數(shù)學(xué)思想的高度俯嫩傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，會(huì)有"一覽眾山小"之感．朱世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學(xué)，使之在理論上達(dá)到新的高度．這主要表現(xiàn)在以下三個(gè) 領(lǐng)域．首先是方程理論．在列方程方面，蔣周的演段法為 天元術(shù)作了準(zhǔn)備工作，他已具有尋找等值多項(xiàng)式的思想，洞淵馬與信道是天元術(shù)的先驅(qū)，但他們推導(dǎo)方程仍受幾何思維的束縛， 李冶基本上擺脫了這種束縛，總結(jié)出一套固定的天元術(shù)程序，使天元術(shù)進(jìn)入成熟階段．在解 方程方面， 賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負(fù)開方術(shù)求出 四次方程正根， 秦九韶在此基礎(chǔ)上解決了 高次方程的數(shù)值解法問(wèn)題．至此，一元高次方程的建立和求解都已實(shí)現(xiàn)．而 線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產(chǎn)生的條件．李德載的二元術(shù)和劉大鑒的三元術(shù)相繼出現(xiàn)，朱世杰的 四元術(shù)正是對(duì)二元術(shù)、三元術(shù)的總結(jié)與提高．由于四元已把 常數(shù)項(xiàng)的上下左右占滿，方程理論發(fā)展到這里，顯然就告一段落了．從方程種類看， 天元術(shù)產(chǎn)生之前的方程都是 整式方程。

從洞淵到李冶， 分式方程逐漸得到發(fā)展．而朱世杰，則突破了 有理式的限制，開始處理 無(wú)理方程．其次是高階 等差級(jí)數(shù)的研究．沈括的 隙積術(shù)開研究高階等差級(jí)數(shù)之先河， 楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級(jí)數(shù)求和公式．朱世杰則在此基礎(chǔ)上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題，從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了三角垛統(tǒng)一公式．他還發(fā)現(xiàn)了 垛積術(shù)與 內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，利用垛積公式給出規(guī)范的四次內(nèi)插公式．第三是幾何學(xué)的研究．宋代以前，幾何研究離不開勾股和面積、體積．蔣周的《益古集》也是以面積問(wèn)題為研究對(duì)象的． 李冶開始注意到圓城因式中各元素的關(guān)系，得到一些 定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰不僅總結(jié)了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，深入研究了 勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要定理-- 射影定理和弦冪定理．他在立體幾何中也開始注意到圖形內(nèi)各元素的關(guān)系．朱世杰的工作，使得幾何研究的對(duì)象由圖形整體深入到圖形內(nèi)部，體現(xiàn)了 數(shù)學(xué)思想的進(jìn)步。

13世紀(jì)末，歷經(jīng)戰(zhàn)亂的祖國(guó)為元王朝所統(tǒng)一，遭到破壞的經(jīng)濟(jì)和文化又很快繁榮起來(lái)。蒙古統(tǒng)治者為了興邦安國(guó)，便尊重知識(shí)，選拔人才，把各門科學(xué)推向新的高峰。有一天，風(fēng)景秀麗的揚(yáng)州瘦西湖畔，來(lái)了一位教書先生，在寓所門前掛起一塊招牌，上面用大字寫著：“燕山朱松庭先生，專門教授四元術(shù)”。不幾天，朱世杰門前門庭若市，求知者絡(luò)繹不絕，就在朱世杰在接待學(xué)生報(bào)名之時(shí)，突然一聲聲叫罵聲引起他的注意。 只見一穿綢戴銀半老徐娘，追著一年輕的姑娘，邊打邊罵：“你這賤女人，大把的銀子你不抓，難道想做大家閨秀，只怕你投錯(cuò)了胎，下輩子也別想了。”那姑娘被打得皮開肉綻，連內(nèi)身衣服都被撕壞了。姑娘蜷成一團(tuán)，任憑她打，也不跟她回去。朱世杰路見不平，便上前詢問(wèn)，那半老徐娘見冒出一個(gè)愛管閑事之人，就嘲笑道：“你難道想抱打不平，你送上50兩銀子，這姑娘就歸你了！”朱世杰見此情景，大怒道：“難道我掏不出50兩銀子。光天化日之下，竟胡作非為，難道沒(méi)有王法不成？”那半老徐娘 諷刺道：“你這窮鬼，還談什么王法，銀子就是王法，你若能掏出50兩銀子，我便不打了�！�

朱世杰憤怒已極，從口袋里抓出50兩 銀子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教書之地。原來(lái)，那半老徐娘是妓女院的 鴇母，而這姑娘的父親因借鴇母的10兩銀子，由于天災(zāi)，還不起銀子，只好賣女兒抵債。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。后來(lái)，在朱世杰的精心教導(dǎo)下，這姑娘也頗懂些數(shù)學(xué)知識(shí)，成了朱世杰的得力助手，不幾年，兩人便結(jié)成夫妻。所以，揚(yáng)州民間至今還流傳著這樣一句話：元朝朱漢卿，教書又育人。救人出苦海，婚姻大事成。

朱世杰長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)研究和教育事業(yè)，以數(shù)學(xué)名家周游各地20多年，四方登門來(lái)學(xué)習(xí)的人很多。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《 算學(xué)啟蒙》（1299）和《 四元玉鑒》（1303）。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗 數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展。《四元玉鑒》則是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“ 四元術(shù)”（多元 高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（ 高階等差數(shù)列求和）與“ 招差術(shù)”（高次 內(nèi)插法）。

朱世杰在數(shù)學(xué)科學(xué)上，全面地繼承了 秦九韶、 李冶、 楊輝的數(shù)學(xué)成就，并給予創(chuàng)造性的發(fā)展，寫出了《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》等著名作品，把我國(guó)古代數(shù)學(xué)推向更高的境界，形成宋元時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)的最高峰�！� 算學(xué)啟蒙》是朱世杰在 元成宗 大德三年（1299）刊印的，全書共三卷，20門，總計(jì)259個(gè)問(wèn)題和相應(yīng)的解答。這部書從乘除運(yùn)算起，一直講到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的最高成就“ 天元術(shù)”，全面介紹了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)所包含的各方面內(nèi)容。

它的體系完整，內(nèi)容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作后來(lái)流傳到朝鮮、日本等國(guó)，出版過(guò)翻刻本和注釋本，產(chǎn)生過(guò)一定的影響。而《 四元玉鑒》更是一部成就輝煌的 數(shù)學(xué)名著。它受到近代數(shù)學(xué)史研究者的高度評(píng)價(jià)，認(rèn)為是 中國(guó)古代數(shù)學(xué)科學(xué)著作中最重要的、最有貢獻(xiàn)的一部數(shù)學(xué)名著�！端脑�玉鑒》成書于大德七年（1303），共三卷，24門，288問(wèn)，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法—— 四元術(shù)，以及高階 等差級(jí)數(shù)的計(jì)算—— 垛積術(shù)、 招差術(shù)等方面的研究和成果。

“ 天元術(shù)”是設(shè)“天元為某某”，即某某為x。但當(dāng)未知數(shù)不止一個(gè)的時(shí)候，除設(shè)未知數(shù)天元（x）外，還需設(shè)地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián) 方程組，然后求解。這在歐洲，解聯(lián)立一次方程開始于16世紀(jì)，關(guān)于多元高次 聯(lián)立方程的研究還是18至19世紀(jì)的事了。朱世杰的另一重大貢獻(xiàn)是對(duì)于“垛積術(shù)”的研究。他對(duì)于一系列新的 垛形的 級(jí)數(shù)求和問(wèn)題作了研究，從中歸納為“三角垛”的公式，實(shí)際上得到了這一類任意高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的系統(tǒng)、普遍的解法。朱世杰還把三角垛公式引用到“ 招差術(shù)”中，指出招差公式中的系數(shù)恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。

他還把這個(gè)招差公式推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數(shù)學(xué)史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近4個(gè)世紀(jì)。正因?yàn)槿绱耍�朱世杰和他的著作�?四元玉鑒》才享有巨大的國(guó)際聲譽(yù)。近代日本、法國(guó)、美國(guó)、 比利時(shí)以及亞、歐、美許多國(guó)家都有人向本國(guó)介紹《四元玉鑒》。美國(guó)已故的著名的科學(xué)史家薩頓是這樣評(píng)說(shuō)朱世杰的：“（朱世杰）是中華民族的、他所生活的時(shí)代的、同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)科學(xué)家�！薄啊端脑�玉鑒》是中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的，同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一。它是世界數(shù)學(xué)寶庫(kù)中不可多得的瑰寶�！睆拇酥锌梢钥闯�，宋元時(shí)期的科學(xué)家及其著作，在世界數(shù)學(xué)史上起到了不可估量的作用。

朱世杰的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了一套完整的消 未知數(shù)方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長(zhǎng)期處于領(lǐng)先地位，直到18世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖(Bezout)提出一般的高次方程組解法，才超過(guò)朱世杰。除了 四元術(shù)以外，《 四元玉鑒》中還有兩項(xiàng)重要成就，即創(chuàng)立了一般的高階 等差級(jí)數(shù)求和公式及等間距四次 內(nèi)插法公式，后者通常稱為 招差術(shù)．此書代表著宋元數(shù)學(xué)的最高水平，美國(guó)科學(xué)史家薩頓(G．Sarton)稱贊它“是中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是中世紀(jì)的杰出數(shù)學(xué)著作之一”。朱世杰處于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的鼎盛時(shí)期，當(dāng)時(shí)社會(huì)上“尊崇 算學(xué)，科目漸興”，數(shù)學(xué)著作廣為傳播。

對(duì)多元高次 方程組解法、高階 等差級(jí)數(shù)求和，高次內(nèi)插法都有深入研究，他著有《 算學(xué)啟蒙》(1299年)、《 四元玉鑒》(1303年)各3卷，在后者中討論了多達(dá)四元的高次聯(lián)立方程組解法，聯(lián)系在一起的多項(xiàng)式的表達(dá)和運(yùn)算以及消去法，已接近近世代數(shù)學(xué)，處于世界領(lǐng)先地位，他通曉高次 招差法公式，比西方早四百年，中外數(shù)學(xué)史家都高度評(píng)價(jià)朱世杰和他的名著《四元玉鑒》。

從 天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造。留傳至今，并對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》�！端脑�玉鑒》成書于1303年。全書共3卷，24門，288問(wèn)，主要論述高次方程組的 解法（這也是朱世杰的最大貢獻(xiàn)）、高階 等差級(jí)數(shù)求和以及高次 內(nèi)插法等內(nèi)容。是流傳至今且對(duì) 四元術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)論述的重要代表作。

在天元術(shù)的基礎(chǔ)上，朱世杰建立了“四元 高次方程理論”，他把 常數(shù)項(xiàng)放在中央（即“太”），然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，“天、地、人、物”這四“元”代表 未知數(shù)，(即相當(dāng)于如今的x、y、z、w，)四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上，其它各項(xiàng)放在四個(gè)象限中。如果用現(xiàn)代的x、y、z、w表示天、地、人、物，那我們可以把朱世杰列高次多元方程的方法表示：而上面的兩個(gè)圖形“四元一次籌式”與“四元二次籌式”所表示的 方程分別為：x+y+z+w=0，

用上述方法列出四元高次方程后，再聯(lián)立方程組進(jìn)行解方程組，方法是用消元方法解答,先擇一元為未知數(shù)，其它元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù)，然后把四元四式消去一元，變成三元三式，再消去一元變二元二式，再消去一元，就得到只含一元的 天元開方式，然后用增乘開方法求得正根。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，在西方，較有系統(tǒng)地研究多元方程組要等到16世紀(jì)。高階 等差級(jí)數(shù)求和與高次 內(nèi)插法也是《 四元玉鑒》的重要內(nèi)容。由許多求和問(wèn)題中的一系列三角垛公式可歸納得公式。朱世杰給出了上式中當(dāng)p=1，2，……6時(shí)的公式。此外，還有其它高階等差級(jí)數(shù)求和公式。在 招差法方面，朱世杰相當(dāng)于給出了招差公式，這比 西方要早400多年。

美國(guó)著名的科學(xué)史家薩頓評(píng)論說(shuō)：“朱世杰是他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家”，《四元玉鑒》是“中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是整個(gè)中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一。”朱世杰不僅是一名杰出的數(shù)學(xué)家，他還是一位數(shù)學(xué)教育家，曾周游四方各地，教授生徒20余年。并親自編著數(shù)學(xué)入門書，稱為《 算學(xué)啟蒙》。在《算學(xué)啟蒙》卷下中，朱世杰提出已知勾弦和、股弦和求解 勾股形的方法，補(bǔ)充了《 九章算術(shù)》的不足。

“燕山朱松庭先生”，是元朝時(shí)代的一位杰出的數(shù)學(xué)家。所寫的《 四元玉鑒》和《 算學(xué)啟蒙》，是 中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中的一個(gè)重要的里程碑，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一份寶貴的遺產(chǎn)。13世紀(jì)中葉，朱世杰除了接受北方的數(shù)學(xué)成就之外，他也吸收了南方的數(shù)學(xué)成 就，尤其是各種日用算法、商用算術(shù)和通俗化的歌訣等等。

朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代數(shù)學(xué)家）序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年矣。四方之來(lái)學(xué)者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后圖學(xué)，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名世杰，松庭其自號(hào)也。周流四方，復(fù)游廣陵，踵門而學(xué)者云集”。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的游學(xué)、講學(xué)等活動(dòng)，終于在1299年和1303年，在揚(yáng)州，刊刻了他的兩部數(shù)學(xué)杰作——《 算學(xué)啟蒙》和《 四元玉鑒》。 楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學(xué)啟蒙》中有了進(jìn)一步的發(fā)展。

清 羅士琳認(rèn)為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即 秦九韶）、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負(fù)開方，漢卿天元如積皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代數(shù)學(xué)家 王鑒也說(shuō)：“朱松庭先生兼秦、李之所長(zhǎng)，成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創(chuàng)造性地發(fā)揚(yáng)了 天元術(shù)、正負(fù)開方法等秦、李書中所載的數(shù)學(xué)成就之外，還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除 歌訣之類與當(dāng)時(shí)社會(huì)生活密切相關(guān)的各種算法，并作了新的發(fā)展。

在元滅南宋以前，南北之間的交往，特別是學(xué)術(shù)上的交往幾乎是斷絕的。南方的數(shù)學(xué)家對(duì)北方的 天元術(shù)毫無(wú)所知，而北方的數(shù)學(xué)家也很少受到南方的影響。

由此看來(lái)，在朱世杰的工作中，不僅有 高次方程的解法，天元術(shù)等為代表的北方數(shù)學(xué)的成就，也包括了 楊輝工作中所體現(xiàn)出來(lái)的日用，商用算法以及各種歌訣等南方數(shù)學(xué)的成就，不僅繼承了 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的光輝遺產(chǎn)，而且又作了創(chuàng)作性的發(fā)展。朱世杰的工作，在一定意義上講，可以看作是宋元數(shù)學(xué)的代表，可以看作是古代籌算系統(tǒng)發(fā)展的頂峰。就連西方資產(chǎn)階級(jí)學(xué)者們也不能否認(rèn)這一點(diǎn)， 喬治·薩頓說(shuō)：朱世杰“是漢族的，他所生存的時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家”，說(shuō)《 四元玉鑒》“是中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中國(guó)古代數(shù)學(xué)推向更高的境界，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)的光輝史冊(cè)，增加了新的篇章，形成了宋代中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的最高峰。

據(jù)此我們知道，朱世杰出生在北京地區(qū)，十三世紀(jì)后期，他作為數(shù)學(xué)名家周游大江南北20余年，朱世杰最后寓居揚(yáng)州，從事數(shù)學(xué)的研究和講學(xué)，他吸引了眾多學(xué)者聚集在揚(yáng)州從事學(xué)術(shù)交流。揚(yáng)州處于南北交匯之地，各種學(xué)術(shù)思想在這里融會(huì)貫通；當(dāng)時(shí)，揚(yáng)州的印刷業(yè)又十分發(fā)達(dá)，是全國(guó)的書籍出版中心，體現(xiàn)朱世杰數(shù)學(xué)成就的兩部著作《 算學(xué)啟蒙》和《 四元玉鑒》，就是于元 大德三年（1299年）和元 大德七年（1303年）在揚(yáng)州刻印出版的。

《算學(xué)啟蒙》全書共3卷，分為20門，收入了259個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。全書之首，朱世杰給出了18條常用的數(shù)學(xué)歌訣和各種常用的數(shù)學(xué)常數(shù)，其中包括：乘法九九歌訣、 除法 九歸歌訣（與后來(lái)的 珠算歸除口訣完全相同）、斤兩化零歌訣，以及籌算記數(shù)法則、大小數(shù)進(jìn)位法、度量衡換算、圓周率、正負(fù)數(shù)加、減、 乘法法則、開方法則等。正文則包括了乘除法運(yùn)算及其捷算法、增乘開方法、 天元術(shù)、 線性方程組解法、高階 等差級(jí)數(shù)求和等，全書由淺入深，幾乎包括了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科各方面的內(nèi)容，形成了一個(gè)較完整的體系，可以說(shuō)是一部很好的數(shù)學(xué)教科書。清代揚(yáng)州學(xué)者 羅士琳說(shuō)，《 算學(xué)啟蒙》“似淺實(shí)深”，這樣的評(píng)論是十分中肯的。

《 四元玉鑒》是朱世杰闡述多年研究成果的一部力著。全書共分3卷，24門，288問(wèn)，書中所有問(wèn)題都與求解方程或求解方程組有關(guān)，其中四元的問(wèn)題（需設(shè)立四個(gè)未知數(shù)者）有7問(wèn)，三元者13問(wèn)，二元者36問(wèn)，一元者232問(wèn)。卷首列出了 賈憲三角等四種五幅圖，給出了 天元術(shù)、二元術(shù)、三元術(shù)、 四元術(shù)的解法范例；后三者分別是二元、三元、四元高次方程組的列法及解法。創(chuàng)造四元消法，解決多元高次方程組問(wèn)題是該書的最大貢獻(xiàn)，書中另一個(gè)重大成就是系統(tǒng)解決高階 等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題和高次 招差法問(wèn)題。

在朱世杰之前， 中國(guó)古代數(shù)學(xué)已有了解方程的方法———“天元術(shù)”，“天元術(shù)” 解方程是設(shè)“天元為某某”，某某就是（x）。朱世杰不僅繼承沿用了天元術(shù)，方程組解法由二元、三元推廣至四元。未知數(shù)不止一個(gè)時(shí)，除設(shè)未知數(shù)天元（x）外，還設(shè)地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)立方程組，然后求解。在歐洲，解聯(lián)立一次方程始于16世紀(jì)，關(guān)于多元高次 聯(lián)立方程的研究則是18、19世紀(jì)的事了，朱世杰的“ 天元術(shù)”比歐洲早了400多年。

朱世杰對(duì)“ 垛積術(shù)”的研究，實(shí)際上得到了高階 等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的普遍的解法。自宋代起我國(guó)就有了關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的研究，沈括（1031-1095年）和 楊輝（1261-1275年）的著作中，都有 垛積問(wèn)題，這些垛積問(wèn)題有一些就涉及高階等差級(jí)數(shù)，朱世杰在《 四元玉鑒》中又把這一問(wèn)題的研究進(jìn)一步深化，得到了一串三角垛的公式。

《四元玉鑒》是一部成就輝煌的 數(shù)學(xué)名著，是宋元數(shù)學(xué)集大成者，也是我國(guó)古代水平最高的一部數(shù)學(xué)著作�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究者對(duì)《四元玉鑒》給予了高度評(píng)價(jià)。著名科學(xué)史專家 喬治·薩頓說(shuō)，《四元玉鑒》“是中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一”。編著《 中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》的李約瑟這樣評(píng)價(jià)朱世杰和《四元玉鑒》：“他以前的數(shù)學(xué)家都未能達(dá)到這部精深的著作中所包含的奧妙的道理”。

遺憾的是，朱世杰之后，元代再無(wú)高深的數(shù)學(xué)著作出現(xiàn)，漢唐宋元的數(shù)學(xué)著作很少有新的刻本，很多甚至失傳了。乾隆三十七年(1772年)開《四庫(kù)全書》館時(shí)，挖掘了不少古代數(shù)學(xué)典籍，朱世杰的著作卻未被發(fā)現(xiàn)，因此，起初沒(méi)有編入；1799年 阮元、 李銳等人編纂數(shù)學(xué)家傳記《 疇人傳》時(shí)，也未介紹《 四元玉鑒》。之后不久，阮元在浙江訪得此書，旋即將其編入《四庫(kù)全書》，并把抄本交給李銳校算（未校完），后由 何元錫按此抄本刻印，這是《四元玉鑒》1303年初版以來(lái)的第一個(gè)重刻本。1839年揚(yáng)州學(xué)者 羅士琳經(jīng)多年研究之后，出版了他所編著的《四元玉鑒細(xì)草》，羅氏對(duì)《四元玉鑒》書中每一問(wèn)題都作了細(xì)草。就在羅士琳翻刻《四元玉鑒》時(shí)，《 算學(xué)啟蒙》也還無(wú)著落。后來(lái)羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，于是請(qǐng)人在北京找到了順治十七年（1660年）朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，這樣，《算學(xué)啟蒙》又在揚(yáng)州重新刊印出版，這就是該書現(xiàn)存各種版本的母本。

元代朱世杰這兩部杰出的數(shù)學(xué)著作都是在揚(yáng)州完成、刻印的，失傳了幾百年后，它們又被揚(yáng)州學(xué)者發(fā)現(xiàn)、校算、注釋，并在揚(yáng)州重新刻印出版，僅此可見，揚(yáng)州在我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著十分重要的地位。