羅士琳少年時(shí)，跟舅父江都秦恩復(fù)太史讀書。嘉慶六年（1801 年），秦延聘數(shù)學(xué)名家汪萊設(shè)館于家。羅士琳因受汪萊影響，乃盡棄舉子業(yè)，專力布算。后“循例貢”成為一名太學(xué)生，并考取天文生。因出自太傅阮元門下，相從最久，受其提攜，得與當(dāng)時(shí)算學(xué)名家焦循、李銳等廣泛交往。加之他主觀努力，“博覽疇人之書，日夕研求”，終使他成為一代數(shù)學(xué)名家。咸豐元年（1851 年），清廷征舉“孝廉”方正之士，郡縣一致推薦羅士琳，但他已年過六十，遂以“老病”予以推辭。又二年（1853 年），在揚(yáng)州死于兵禍。

羅士琳初精西法，自撰言歷法者曰憲法一隅。又思句股、少廣相表里，而方田與商功無異，差分與均輸不殊。按類相從，摘九章中之切于日用者，悉以比例馭之，匯為十二種。以各定率冠首，以借根方繼后，以諸乘方開法附末，凡四卷，曰比例匯通，雖悔其少作，實(shí)便初學(xué)問途。

后見四元玉鑒，服膺嘆絕，遂壹意專精四元之術(shù)。士琳博文強(qiáng)識(shí)，兼綜百家，於古今算法尤具神解，以朱氏此書實(shí)集算學(xué)大成，思通行發(fā)明，乃殫精一紀(jì)，步為全草，并有原書於率不通及步算傳寫之譌，悉為標(biāo)出，補(bǔ)漏正誤，反覆設(shè)例，申明疑義，推演訂證。就原書三卷二十有四門，廣為二十四卷，門各補(bǔ)草。

嘗為提要鉤元之論，謂：“是書通體弗出九章范圍，不獨(dú)商功修筑、句股測(cè)望、方程正負(fù)已也。如端匹互隱、廩粟回求寓粟布，如意混和寓借衰，茭草形段、果垛疊藏，如像招數(shù)寓商功中之差分，直段求源、混積問元、明積演段、撥換截田、鎖套吞容寓方田、少廣諸法。他若分索隱之為約分命分，方員交錯(cuò)、三率究員、箭積交參之為定率兼交互。至於或問歌彖、雜范類會(huì)，以其各自為法，不能比類。故一則寄諸歌詞，一則編成雜法，均似補(bǔ)遺。大旨皆以加、減、乘、除、開方、帶分六例為問，每門必備此例，略簡(jiǎn)易而詳繁難，尤於自來算書所無者，必設(shè)二問以明之。如混積問元中既設(shè)種金田及句三股四八角田為問。撥換截田中復(fù)設(shè)半種金田，鎖套吞容中復(fù)設(shè)方五斜七八角田為問。又果垛疊藏兩設(shè)員錐垛，雜范類會(huì)既設(shè)徽率割員，又設(shè)密率割員是矣。更有一門專明一義者，如和分索隱之分開方，三率究員兩儀合轍之反覆互求是矣。是書但云如積求之，如積有用定率為同數(shù)相消者，有如問加減乘除得積為同數(shù)相消者。祖序謂：u2018平水劉汝諧撰如積釋鎖，惜今不傳。u2019意者其釋此例歟？”

道光中，得朱氏算學(xué)啟蒙於京師廠肆，士琳復(fù)加斠詮刊布之。此書總二十門，凡二百五十九問，其名術(shù)義例多與玉鑒相表里。士琳為之互斠，始于天元，終于四元，義主精邃，所得甚深�？即蟮滤哪昴�若序，計(jì)后此書四年。此書首列乘除布算諸例，始于超徑等接之術(shù)，終于天元如積開方，由淺近以至通變，循序漸進(jìn)，其理易知。名曰啟蒙，實(shí)則為玉鑒立術(shù)之根，此一證也。玉鑒原本十行，行十九字，“今有”低一格，“術(shù)曰”又低二格，與此書同，此二證也。玉鑒斗斛之“斗”別作“?”，此假借字，本漢書平帝紀(jì)及管子乘馬篇，尚雜見于唐以前之孫子、五曹、張丘建諸算經(jīng)，鈞石之“石”，說文本作“柘”，玉鑒作“碩”，“碩”“石”古雖互通，然假“碩”為“石”，則僅見于毛詩甫田疏引漢書食貨志，而算書罕見，又玉鑒?田之“?”，雖見李籍九章音義，為字書所無，此書并同，此三證也。玉鑒雖亦三卷，而門則為二十四，問則二百八十八，較多此書四門二十九問，然以四字分類，其體裁同。且如商功、修筑、方程、正負(fù)之屬，則又二書互見，此四證也。玉鑒如意混和第一問，據(jù)數(shù)知一秤為十五斤，適與此書之斤秤起率合，此五證也。玉鑒鎖套吞容第九問，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十諸問，有小平小長(zhǎng)，皆向無其術(shù)。此書卷首明乘除段，即載平除長(zhǎng)為小長(zhǎng)，長(zhǎng)除平為小平之例。其田畝形段第十五問，復(fù)載方五斜七八角田求積通術(shù)，此六證也。他如玉鑒或問歌彖第四問，與此書盈不足術(shù)第七問，又玉鑒果垛疊藏第十四問，與此書堆積還原第十四問，又玉鑒方程正負(fù)第四問，與此書方程正負(fù)第五問，題皆約略相同，此七證也。知系朱氏原書佚而復(fù)出，并其算法一則，亦為附列，間有魚豕，悉仍其舊，但各標(biāo)識(shí)于誤字旁，別記刊誤於卷末。

又嘗以乾隆間明氏捷法校得八線對(duì)數(shù)表，一度十三分二十秒正切第五字“0”誤“一”；又六度四十一分十秒正切第五字“0”誤“六”；又十二度五十分正弦第六字“七”誤“五”；又十六度三十二分十秒正切第七字“九”誤“0”；又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”誤“四”。可見西人所能，中人亦能之。

又因會(huì)通四元玉鑒如像招數(shù)一門，更取明氏捷法，御以天元，知密率亦可招差，其弧與弦矢互求之法，與授時(shí)歷之垛積招差一一符合。且以祖氏綴術(shù)失傳，其法廑見於秦書，即大衍之連環(huán)求等遞減遞加，亦與明氏捷法相近。爰融會(huì)諸家法意，撰綴術(shù)輯補(bǔ)二卷。

又甄錄古今疇人，仍阮氏體例為列傳，采前傳所未收者，得補(bǔ)遺十二人，附見五人，續(xù)補(bǔ)二十人，附見七人，合共四十有四人，次於前傳四十六卷之后。

集所校著都為觀我生室匯十二種。如四元玉鑒細(xì)草二十四卷，釋例二卷，校正算學(xué)啟蒙三卷，校正割圜密率捷法四卷，續(xù)疇人傳六卷，皆別有單行本。

外已刻者尚得七種，曰句股容三事拾遺三卷，附例一卷，本繪亭監(jiān)副博啟法補(bǔ)其遺，取內(nèi)容方邊員徑垂線交互相求，一以天元馭之。曰三角和較算例一卷，取斜平三角形中兩邊夾一角術(shù)镕入天元法，用和較推演成式。曰演元九式一卷，括玉鑒中進(jìn)退消長(zhǎng)諸例，借無數(shù)之?dāng)?shù)，以正負(fù)開方式入之。曰臺(tái)錐積演一卷，以玉鑒茭草、果垛二門可補(bǔ)少廣之闕，爰取臺(tái)錐形段引而伸之。曰周無專鼎銘考一卷，以四分周術(shù)佐以三統(tǒng)漢術(shù)，推得宣王十有六年九月既望甲戌，與銘辭正合。曰弧矢算術(shù)補(bǔ)一卷，以元和李四香原術(shù)未備，為增補(bǔ)二十七術(shù)，合成四十術(shù)。曰推算日食增廣新術(shù)一卷，推廣正升斜升橫升之算法，以求太陰隨地隨時(shí)之明魄方向分秒，復(fù)推其術(shù)，以求交食限內(nèi)之方向，及所經(jīng)歷之諸邊分。

馀若春秋朔閏異同考、綴術(shù)輯補(bǔ)交食圖說舉隅、句股截積和較算例、淮南天文訓(xùn)存疑、博能叢話，凡若干卷，未有刻本。其同縣友有易之瀚者，亦以算名。

撰《憲法一隅》，闡明歷學(xué)。復(fù)撰《比例匯通》四卷，后雖悔其少作，實(shí)便初學(xué)問途也。既獲暑元朱氏《四元玉鑒》，于是眼膺嘆絕，遂一意專精于天元四元之術(shù)。以朱氏此書，實(shí)集算學(xué)之大成，乃殫力一紀(jì)，步為全草，并有原書于率不通及列算傳寫之訛，悉加標(biāo)識(shí)，補(bǔ)漏正舛，疑義更反復(fù)設(shè)例以明之，推演訂證，廣為二十四卷。阮文達(dá)為之作序。

羅士琳先后撰成《此例匯通》4 卷（1818 年），《勾股容三事拾遺》3 卷、《附例》1 卷（1826 年），《演元九式》1 卷（1827 年），《四元玉鑒細(xì)草》24 卷（1834 年），《臺(tái)錐演積》1 卷（1837 年）、《三角和較算例》1 卷（1840 年）、《疇人傳》續(xù)編6 卷（1840 年）、《弧矢算術(shù)補(bǔ)》1 卷、校正《算學(xué)啟蒙》3 卷（1843 年），以及《天元釋例》1 卷、《四元釋例》1 卷、《勾股和較截積算術(shù)》2 卷、《綴術(shù)輯補(bǔ)》2 卷等。晚清張之洞在所編《清朝著述家姓名略》“算學(xué)家”條下傳：“五十年來，為此學(xué)者甚多。此舉其著述最顯著者，梅文鼎、羅（士琳）、李（善蘭）為最�！绷_士琳是清代數(shù)學(xué)著述最為豐富的數(shù)學(xué)家之一。

他的最重要的數(shù)學(xué)成就，是對(duì)傳統(tǒng)中算“四元術(shù)”的闡發(fā)；其最有價(jià)值的著作，是《四元玉鑒細(xì)草》。 《四元玉鑒》（1303 年）是元代大數(shù)學(xué)家朱世杰的著作，其所論“四元術(shù)”，代表了宋元數(shù)學(xué)的最高水平。然而從元末以后，由于戰(zhàn)爭(zhēng)和其他原因，致使該書失傳了四、五百年。地到19 世紀(jì)初葉，阮元才從民間訪得，但因該書簡(jiǎn)奧，時(shí)已無人讀懂。阮元本擬請(qǐng)李銳補(bǔ)作細(xì)草，以彰其意。但因李病卒（1817 年），未果。道光二年（1822 年）阮元在京師遇羅士琳，遂將此項(xiàng)任務(wù)交羅完成。羅參照當(dāng)時(shí)所能找到的兩種抄本和新刻元大德本，嘔心竭力12 年，在研讀和�？钡幕�礎(chǔ)上補(bǔ)出了全書各題算式演草，使原來的3 卷增至24 卷，書名《四元玉鑒細(xì)草》，于道光十四年出版。其后，朱世杰另一部著作——《算學(xué)啟蒙》的朝鮮刻本，又被羅士琳在北京覓得，他同樣加以校注后使之出版。 由于羅士琳的上述工作，特別是《四元玉鑒細(xì)草》的出版和傳播，“四元術(shù)”重新被人們認(rèn)識(shí)和理解，使我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在中落數(shù)百年之后，得以恢復(fù)到它的最高水平，實(shí)為中國(guó)數(shù)學(xué)史上一大幸事。朱世杰功當(dāng)不朽，羅士琳功亦不朽。阮元《疇人傳》（1799 年），為我國(guó)數(shù)學(xué)、天文學(xué)家立傳，是一項(xiàng)開創(chuàng)性工作。然至道光中期，40 年間疇人輩出，前代大算書也不斷發(fā)現(xiàn)。為反映這段歷史， 羅士琳續(xù)寫《疇人傳》6 卷，增列44 人。他“敘述當(dāng)時(shí)學(xué)者的生平事跡和學(xué)術(shù)成就比較翔實(shí)，傳后的評(píng)論也較前準(zhǔn)確公允，具有時(shí)代精神。”羅士琳其它數(shù)學(xué)成就還很多。例如，他利用“明氏捷法”，校正了西洋傳教士帶來的“八線對(duì)數(shù)表”（即三角函數(shù)對(duì)數(shù)表），糾正了5 處錯(cuò)誤。（當(dāng)時(shí)完全靠手工計(jì)算，談何容易！）他對(duì)于勾、股數(shù)的和等各種關(guān)系的研究，也有一定提高。他在晚年，將一生所著書刊刻成《觀我生室匯稿》。