早年生活

亨利·歐內(nèi)斯特·杜德尼出生于英格蘭，蘇塞克斯郡，梅菲爾德的一個(gè)村莊，是全家六個(gè)孩子中的老二。他的父親吉爾伯特·杜德尼(Gilbert Dudeney)約1825年出生于梅菲爾德，是一位校長。而他的祖父，約翰·杜德尼(John Dudeney)以牧羊人的身份起家，是一位自學(xué)成才的業(yè)余數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，之后成為劉易斯一所學(xué)校的校長。他的自學(xué)精神被孫輩們所敬仰。亨利的母親，露西·安·里奇(Lucy Ann Rich)約1832年出生于薩默塞特郡的布里奇沃特。亨利有一個(gè)哥哥托馬斯(Thomas，約1855)，以及四個(gè)妹妹，分別是露西(Lucy，約1862)、凱特(Kate，約1863）、艾米麗(Emily，約1864)和愛麗絲(Alice，約1865)。

亨利·杜德尼年輕時(shí)就開始學(xué)習(xí)國際象棋，并很快著迷于象棋問題，這也成為了他一生的愛好。無疑，象棋激起了小亨利對(duì)于數(shù)學(xué)與謎題的強(qiáng)烈愛好。從九歲開始，他就開始在當(dāng)?shù)貓?bào)紙上發(fā)表自己創(chuàng)作的謎題。雖然他僅僅接受過一些基礎(chǔ)教育，并且沒有上過大學(xué)，但他對(duì)數(shù)學(xué)有強(qiáng)烈的愛好并在自己的業(yè)余時(shí)間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)史。

平面分割

幾何圖形的平面分割問題是要求將多邊形分割成盡可能少的塊數(shù)來拼成另一種指定的幾何圖形。根據(jù)由偉大的德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert）最早證明的一個(gè)定理，任何一個(gè)多邊形都可以通過分割成有限數(shù)量的小塊，來轉(zhuǎn)換成等面積的另一種多邊形。盡管希爾伯特的方法可以保證吧一種多邊形分割成有限數(shù)量的小塊來轉(zhuǎn)換成另一種多邊形，但需要的小塊數(shù)量很大。要將這件事完成得簡潔一些，則要求分割的塊數(shù)盡可能少，這往往是極難確定的。杜德尼在這種古怪的幾何學(xué)藝術(shù)上取得了極大的成就，常常比長期保持的紀(jì)錄高出一籌。

杜德尼最著名的幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)就是把一個(gè)等邊三角形剪成四塊，然后拼成一個(gè)正方形。這道問題以”縫紉用品商的趣題“的名字出現(xiàn)在《坎特伯雷趣題集》中。切割的方法是這樣的，根據(jù)附圖，取AB的中點(diǎn)D，取BC的中點(diǎn)E；延長直線AE至F，使EF等于EB；取AF的中點(diǎn)G，以G為圓心作弧AHF；延長EB至H，EH就是所求正方形的邊長；以E為圓心，EH為半徑，作弧HJ，再使JK等于BE；由D、K兩點(diǎn)作EJ的垂線，交EJ于L和M。切割即告完畢，可以用這四塊拼成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正方形。需要注意的是點(diǎn)J和點(diǎn)K并不位于點(diǎn)D和點(diǎn)E的正下方。

杜德尼于1905年5月17日將這個(gè)問題在伯靈頓大廈向皇家學(xué)會(huì)作了報(bào)告，又于下一個(gè)月在皇家科學(xué)研究所作了報(bào)告，采用的是更一般的形式：”一個(gè)新的圖形重合問題：證明一個(gè)等邊三角形可被分割成四塊，然后重新拼合成一個(gè)正方形，附關(guān)于一種將所有直線三角形通過剖分變換成正方形的一般方法的幾個(gè)例子�！比缌硪环鶊D所示，把四個(gè)小塊在三個(gè)頂點(diǎn)處相接，就形成一個(gè)鏈，按順時(shí)針方向閉合就是一個(gè)三角形，按逆時(shí)針方向閉合則是一個(gè)正方形。杜德尼把這個(gè)圖形用紅木和銅鉸鏈制成模型，在倫敦皇家學(xué)會(huì)的會(huì)議上做演示。

多年以來人們一直認(rèn)為將正五邊形轉(zhuǎn)換為正方形至少得分割成七塊才行，這是由數(shù)學(xué)家保羅·畢曉普（Paul Busschop）做出的解答。杜德尼把這個(gè)數(shù)字成功地降到了六。他的解答是先形成一個(gè)平行四邊形，由此再形成正方形。在《數(shù)學(xué)中的娛樂》一書中，他說明了分割的方法：正五邊形為ABCDE。通過切割A(yù)C和切割FM（F是AC的中點(diǎn)，M與A的距離等于F與A的距離），得到兩個(gè)切割塊，可以放到GHEA的位置上，形成平行四邊形GHDC。然后求出這平行四邊形的邊長HD和高的比例中項(xiàng)。由此標(biāo)定K點(diǎn)，使C到K的距離等于這個(gè)比例中項(xiàng)。連接CK，由G作KC的垂線GL。余下的事情很顯然，這六個(gè)切割塊既可以拼成正五邊形，也可以拼成正方形。

杜德尼的一些趣題與同時(shí)期的美國趣題天才薩姆·勞埃德（Sam Loyd）的作品相同，顯然這兩位趣題專家都毫不猶豫地參考和修改對(duì)方的發(fā)明。在勞埃德的著作《趣題大全》中記載了這樣一道剖分趣題：要求將一個(gè)主教冠形（正方形缺四分之一）分割成盡可能少的塊數(shù)，再拼成一個(gè)正方形。勞埃德提出了一種解法，使用了所謂的臺(tái)階原理：將塊1和塊2割下拼在三角形空檔中，以形成一個(gè)矩形。利用臺(tái)階原理，將塊4下移一個(gè)臺(tái)階，即可形成正方形。但杜德尼提出這其實(shí)是個(gè)錯(cuò)誤的解法，并給出了自己的正解：虛線為輔助線，AB是BD的一半，而AE平行于BH。以B為圓心作弧HE，AE將等于從B到C的距離。于是FG等于BC減去AB。用五塊可以拼成一個(gè)正方形。而且杜德尼堅(jiān)信不存在只用四塊的解。

立方和問題

在杜德尼的諸多涉及數(shù)論的難題中，最難解的也許要數(shù)《坎特伯雷趣題集》里一位醫(yī)生提出的問題。這位心靈手巧的醫(yī)生制作了兩個(gè)球形的藥瓶，一個(gè)周長剛好1英尺，另一個(gè)周長2英尺。他說：“我希望知道，另外兩個(gè)藥瓶的準(zhǔn)確尺寸（即用有理數(shù)表示），它們的形狀與這兩個(gè)相似，但大小不同，而且它們合起來可以盛得下與這兩個(gè)藥瓶等量的藥水�！毕嗨屏Ⅲw的體積之比與其相應(yīng)線度的立方成正比，由此可知，因?yàn)檫@兩個(gè)藥瓶的周長分別是一英尺和兩英尺，而1的立方和2的立方相加得9，所以此題即是要求另外兩個(gè)有理數(shù)的立方和等于9。杜德尼的解答是：和。這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的立方和恰好是9，而這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母比任何以前發(fā)表過的分?jǐn)?shù)的分母都要短。杜德尼在沒有現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的條件下，能取得這樣的成就令人驚嘆。杜德尼還指出如果兩個(gè)藥瓶的周長分別是一英尺和三英尺，則有這樣一個(gè)答案：和，其立方和為28。

在《坎特伯雷趣題集》中，杜德尼還設(shè)計(jì)了一道類似的問題：要求找到兩個(gè)有理數(shù)，其立方和為17。對(duì)于這道題，杜德尼評(píng)論道：“這是一根硬骨頭，只有那些自信有高智商的人才可嘗試�！彼�的解答用了盡可能少的數(shù)碼，分別是和。杜德尼評(píng)論道：“我們對(duì)于到100為止的任何數(shù)，除66外，都可以說出它是否可以表示為兩個(gè)有理數(shù)的立方和�！狈▏鴶�(shù)學(xué)家勒讓德曾經(jīng)用相當(dāng)篇幅“證明”了6不可能被表示為兩個(gè)有理數(shù)的立方和，而杜德尼發(fā)現(xiàn)了一個(gè)簡單解：。但杜德尼后來發(fā)現(xiàn)，盧卡斯（Fran?ois édouard Anatole Lucas）在與西爾維斯特（James Joseph Sylvester）的一次通信中已經(jīng)在他之前得到了這個(gè)解。