意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·費波納茨（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍貫大概是比薩），“費波納茨數(shù)列”的發(fā)明者。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué)。

費波納茨數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例。）（√5表示根號5）

有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達的。

隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887……

從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1。

如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64=65？其實就是利用了費波納茨數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積確實差1，只不過后面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。

費波納茨數(shù)列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)。

費波納茨數(shù)列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性質(zhì)：

1. f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

2. f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1

3. f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1

4. [f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

5. f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

6. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

7. [f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

8. f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

9. 3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

10. f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

在楊輝三角中隱藏著費波納茨數(shù)列11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……過第一行的“1”向左下方做45度斜線，之后做直線的平行線，將每條直線所過的數(shù)加起來，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、……

3………………………百合和蝴蝶花

5………………………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草

8………………………翠雀花

13………………………金盞草

21………………………紫宛

34、55、89……………雛菊

費波納茨數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是費波納茨數(shù)。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是費波納茨數(shù)。在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為費波納茨數(shù)的比。

1. 排列組合有一段樓梯有10級臺階,規(guī)定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階有幾種不同的走法?這就是一個費波納茨數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。

2. 數(shù)列中相鄰兩項的前項比后項的極限當(dāng)n趨于無窮大時，F(xiàn)(n)/F(n+1)的極限是多少？這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1+√5)/2，這個就是黃金分割的數(shù)值，也是代表大自然的和諧的一個數(shù)字。

3. 求遞推數(shù)列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通項公式由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，將費波納茨數(shù)列的通項式代入，化簡就得結(jié)果。

斐波納茨數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·費波納茨以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對；兩個月后，生下一對小兔民數(shù)共有兩對；三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對；－－－－－－依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子對數(shù)：---1---1---2---3---5---8--13--表中數(shù)字1，1，2，3，5，8－－－構(gòu)成了一個數(shù)列。這個數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構(gòu)成了后一項。這個特點的證明：每月的大兔子數(shù)為上月的兔子數(shù)，每月的小兔子數(shù)為上月的大兔子數(shù)，即上上月的兔子數(shù)，相加。這個數(shù)列是意大利中世紀數(shù)學(xué)家費波納茨在中提出的，這個級數(shù)的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性質(zhì)外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1+√5/2）n-（1-√5/2） n]（n=1,2,3.....）

費波納茨弧線，第一，此趨勢線以二個端點為準而畫出，例如，最低點反向到最高點線上的兩個點。三條弧線均以第二個點為中心畫出，并在趨勢線的費波納茨水平：38.2%， 50%和61.8%交叉。

費波納茨弧線，是潛在的支持點和阻力點水平價格。費波納茨弧線和費波納茨扇形線常常在圖表里同時繪畫出。支持點和阻力點就是由這些線的交匯點得出。

要注意的是弧線的交叉點和價格曲線會根據(jù)圖表數(shù)值范圍而改變因為弧線是圓周的一部分，它的形成總是一樣的。

費波納茨扇形線，例如，以最低點反向到最高點線上的兩個端點畫出的趨勢線。然后通過第二點畫出一條“無形的（看不見的）”垂直線。然后，從第一個點畫出第三條趨勢線：38.2%， 50%和61.8%的無形垂直線交叉。

這些線代表了支撐點和阻力點的價格水平。為了能得到一個更為精確的預(yù)報，建議和其他費波納茨工具一起使用。

一位魔術(shù)師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺，寬5英尺的長方形地毯。”這位匠師對魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因為兩者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術(shù)師竟讓匠師用辦法達到了他的目的！這真是不可思議的事！親愛的讀者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪兒去呢？實際上后來縫成的地毯有條細縫，面積剛好就是一平方英尺。

費波納茨數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，也有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成費波納茨數(shù)列。這個規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目具有斐波那契數(shù)：3、5、8、13、21、……

具有13條順時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得費波納茨數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989……的倒數(shù)，而這種生長方式就決定了費波納茨螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的費波納茨螺旋有時能達到89，甚至144條。三角形的三邊關(guān)系定理和費波納茨數(shù)列的一個聯(lián)系現(xiàn)有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？分析：由于形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲盡可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時n達到最大為10。我們看到，“每段的長度不小于1”這個條件起了控制全局的作用，正是這個最小數(shù)1產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列，如果把1換成其他數(shù)，遞推關(guān)系保留了，但這個數(shù)列消失了。這里，三角形的三邊關(guān)系定理和費波納茨數(shù)列發(fā)生了一個聯(lián)系。在這個問題中，144>143，這個143是費波納茨數(shù)列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最后的一個數(shù)上去，如果加到其他數(shù)上，就有3條線段可以構(gòu)成三角形了。