他在拓?fù)鋵W(xué)的突出貢獻(xiàn)是建立布勞威爾 不動(dòng)點(diǎn)定理以及證明維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕?910）。1912年起，他特別關(guān)心集合的原始地位及排中律的作用，建立構(gòu)造主義的數(shù)學(xué)體系，包括可構(gòu)造 連續(xù)統(tǒng)；集合論的構(gòu)造基礎(chǔ)，構(gòu)造的測(cè)度論，構(gòu)造的函數(shù)論等。

布勞威爾出生于荷蘭北部港口鹿特丹附近的小鎮(zhèn)奧弗希．隨著家庭的搬遷，先在梅淡布里克的小學(xué)上學(xué)；14歲時(shí)，在霍納的高等中學(xué)畢業(yè)；兩年后，通過(guò)考試進(jìn)入了哈林的市立大學(xué)預(yù)科．同一年，即1897年，他考入阿姆斯特丹大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)，直到1904年．1907年，他獲得了博士學(xué)位，博士論文題目是“論 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”(Overde grondslagen der wiskunde)．

1909年，布勞威爾在阿姆斯特丹大學(xué)當(dāng)無(wú)薪講師——學(xué)生自愿聽(tīng)課，教師的報(bào)酬直接來(lái)自受指導(dǎo)的學(xué)生．1912年，他被任命為阿姆斯特丹大學(xué)的數(shù)學(xué)教授．1952年，布勞威爾從阿姆斯特丹大學(xué)退休．1966年，他在布拉里克姆去世．

布勞威爾很早就顯露出與眾不同的才華：高中畢業(yè)僅僅兩年，他就掌握了進(jìn)入大學(xué)預(yù)科所必須的希臘文和拉丁文；進(jìn)入大學(xué)后，他很快就掌握了當(dāng)時(shí)通行的各門數(shù)學(xué)，受到他的教授D．J．柯特維格(Korteweg)的贊許；在讀大學(xué)時(shí)，他獲得了關(guān)于四維空間連續(xù)運(yùn)動(dòng)的某些結(jié)果，并發(fā)表在阿姆斯特丹皇家科學(xué)院報(bào)告集上，在當(dāng)大學(xué)生時(shí)，通過(guò)自己的刻苦鉆研，更由于受到G．曼諾利(Mannoury)教授一系列啟迪性講座的誘發(fā)，布勞威爾接觸到了拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并且終生鐘愛(ài)它們．他在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，還對(duì)哲學(xué)非常感興趣，尤其熱衷于研究神秘主義．

在攻讀博士學(xué)位時(shí)，布勞威爾以極大的熱情注視著B(niǎo)．羅素(Russll)與H．龐加萊(Poincare)關(guān)于數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)的論戰(zhàn)，并以此為題寫成他的博士論文．總的說(shuō)來(lái)，他傾向于龐加萊的觀點(diǎn)，反對(duì)羅素和D．希爾伯特(Hilbert)關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的思想．但是，他又極不同意龐加萊關(guān)于數(shù)學(xué)存在性的說(shuō)法．他認(rèn)為，龐加萊的辦法不能排除悖論．為此，他在博士論文“論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”中開(kāi)始建立直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)．

布勞威爾獲得博士學(xué)位后，主要研究領(lǐng)域?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)，從1907年至1913年，取得不少重要的成果．

從1912年起，布勞威爾重新開(kāi)始研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題．從1918年起，他在各種學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表一系列論文，宣傳和論證他的觀點(diǎn)．他發(fā)展了直覺(jué)主義數(shù)學(xué)；對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)作詳盡的批判；判別各個(gè)數(shù)學(xué)分支中究竟有哪些定理符合直覺(jué)主義；尋找構(gòu)造數(shù)學(xué)的基本概念；努力在構(gòu)造的基礎(chǔ)上建立新的數(shù)學(xué)——在微積分、代數(shù)、初等幾何等領(lǐng)域取得了成功．

在布勞威爾之前，L．克羅內(nèi)克(Kronecker)和龐加萊等已經(jīng)提出了一些零散的直覺(jué)主義的意見(jiàn)．但是，布勞威爾認(rèn)為，龐加萊僅僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的存在性，這并不能消除邏輯主義者的悖論，只有直覺(jué)的構(gòu)造才能作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．

布勞威爾的直覺(jué)主義起源于這樣的一種哲學(xué)：基本的直覺(jué)是按時(shí)間順序出現(xiàn)的感覺(jué)，把時(shí)間進(jìn)程抽象出來(lái)，就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)．

布勞威爾把數(shù)學(xué)看作是心智的自由創(chuàng)造．它是以自明的原始概念——原初直覺(jué)——構(gòu)造數(shù)學(xué)對(duì)象．?dāng)?shù)學(xué)概念嵌入人們的頭腦先于語(yǔ)言、邏輯和經(jīng)驗(yàn)．決定概念的正確性和可接受性的是直覺(jué)，而不是經(jīng)驗(yàn)和邏輯．像形式邏輯這樣構(gòu)建起來(lái)的體系，僅僅可以作為描述規(guī)律性的手段而存在，根本不能作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．

布勞威爾在博士論文中批判了G．康托爾(Cantor)的集合論以及其他各派數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論——不容置疑，它們都依賴形式邏輯．他堅(jiān)持認(rèn)為，無(wú)論怎樣用希爾伯特所設(shè)想的相容性證明來(lái)進(jìn)行修補(bǔ)，數(shù)學(xué)的公理基礎(chǔ)都必須毫不留情地拋棄．盡管保留希爾伯特的有限性綱領(lǐng)作為前提，也不能證明算術(shù)的相容性．他指出，邏輯隸屬于語(yǔ)言，邏輯法則的用處是導(dǎo)出更多的陳述．然而，邏輯絕不是揭露真理的可靠工具．用其他辦法不能得到的真理，用邏輯也照樣不能推導(dǎo)出來(lái)．布勞威爾有一個(gè)著名的論斷：是邏輯依賴數(shù)學(xué)，而不是數(shù)學(xué)依賴邏輯．于是，布勞威爾順理成章地解決了悖論危機(jī)：邏輯并不是先驗(yàn)的和不可違反的，根本不存在從公理出發(fā)的數(shù)學(xué)．所以，悖論的出現(xiàn)是無(wú)所謂的．他還指出：公理化的辦法，形式主義的辦法，當(dāng)然都會(huì)避免矛盾．但是，用這種辦法不會(huì)得到有數(shù)學(xué)價(jià)值的東西．一個(gè)錯(cuò)誤的理論，即使沒(méi)有因矛盾而告終，也仍然是錯(cuò)誤的．

布勞威爾最值得稱道的成就是否定排中律的有效性．他在“論邏輯原則的不可靠性”(De onbetrouwbaarheid der logischeprincipes)中對(duì)排中律提出了懷疑．他指出，排中律——間接證明方法的基石——在歷史上起源于推理在有窮集合的子集中的應(yīng)用．但后來(lái)卻被認(rèn)為是一條獨(dú)立的先驗(yàn)原則，并毫無(wú)根據(jù)地應(yīng)用于無(wú)窮集合上．所以，它是極不可靠的．

從1923年起，布勞威爾在一系列論文中論述排中律在數(shù)學(xué)中的作用及其可靠程度，使數(shù)學(xué)家們服了氣：必須在有效的證明手段中拋棄排中律．

布勞威爾依據(jù)直覺(jué)主義原理重新構(gòu)建數(shù)學(xué)體系．開(kāi)始，他沒(méi)有什么進(jìn)展．原因在于缺乏符合要求的構(gòu)造性連續(xù)統(tǒng)的概念．1914年，他終于得到了這樣一個(gè)概念．這是他在一篇對(duì)A．舍恩弗利斯(Schoenflis)和H．哈恩(Hahn)關(guān)于集合論進(jìn)展報(bào)告的評(píng)論中提出的．次年，他審查集合論的構(gòu)造性基礎(chǔ)問(wèn)題，徹底弄清了排中律的作用．1918年，他發(fā)表了以這個(gè)概念為基礎(chǔ)的集合論．1919年，他作出了測(cè)度的構(gòu)造性理論．1923年，他給出了構(gòu)造性函數(shù)論．

與公理集合論相比，糾纏著構(gòu)造性集合論的困難是：集合概念不能是本原概念，而是必須解釋和說(shuō)明的概念．布勞威爾在論述中，引入了“自由選擇串”來(lái)完成這個(gè)任務(wù)．這就是，從一堆對(duì)象(例如自然數(shù))中無(wú)限制地進(jìn)行一連串的選擇．所有的選擇由一個(gè)法則確定．而且，在每次選擇之后，接踵而來(lái)的可能選擇就增添了限制．他把選擇所遵循的法則稱為“展延法則”，而允許進(jìn)行的永無(wú)結(jié)束的自由選擇串稱為展延法則的“元”．如果展延法則只允許在有限個(gè)可能情形中進(jìn)行選擇，則稱其為“有界展延”．作為特殊情形，直覺(jué)連續(xù)統(tǒng)就可以看成是由有界展延所給出．布勞威爾指出，語(yǔ)句“一個(gè)展延的全部元具有性質(zhì)p”意味著，“我擁有一個(gè)構(gòu)造手段，它能夠讓我判定，在選擇串α的有限次選擇之后，選出的元具有性質(zhì)p．”根據(jù)這一解釋，根據(jù)對(duì)這樣的構(gòu)造手段的本性的理解，布勞威爾得到他那稱之為有界展延基本定理的定理——扇形定理．這個(gè)定理宣稱，定義在一個(gè)有界展延S上的整值函數(shù)f是這樣計(jì)算的：對(duì)于某個(gè)自然數(shù)n，如果S中任意兩個(gè)自由選擇串α和β，它們的前n個(gè)選擇重合，那么，就有f(α)=f(β)．

1924年，布勞威爾證明了，在單位閉區(qū)間上處處有定義的函數(shù)是一致連續(xù)的．在這一證明過(guò)程中，他第一次采用了扇形定理．

扇形定理這個(gè)直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的基本定理的證明始終不能順利地被人們接受．不過(guò)，它使布勞威爾獲得了成果，這些成果與人們熟知的原來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)大相徑庭，諸如：直覺(jué)連續(xù)統(tǒng)的不可分解性，實(shí)函數(shù)的一致連續(xù)性有一定限度，等等．

應(yīng)用扇形定理，布勞威爾從根本上動(dòng)搖了排中律，特別是動(dòng)搖了它的無(wú)矛盾性原理——┐┐(A∨┐A)．他成功地顯示了，所謂排中律這個(gè)普遍原則本身就存在矛盾．也就是說(shuō)，存在這樣的性質(zhì)，對(duì)于有界展延的全部元來(lái)說(shuō)，如果硬使它要么持有這種性質(zhì)要么不持有這種性質(zhì)，

1920年以后，邏輯學(xué)家的注意力都被吸引到了布勞威爾邏輯．人們研究它與經(jīng)典邏輯的關(guān)系．由于K． 哥德?tīng)?Gdel)決定性的工作，希爾伯特的基礎(chǔ)綱領(lǐng)被沖開(kāi)了缺口．第二次世界大戰(zhàn)后，由于S．克林尼(Kleene)開(kāi)拓性的研究，由于遞歸函數(shù)論的興起和計(jì)算機(jī)的廣泛使用，使得直覺(jué)主義的基礎(chǔ)復(fù)活了，它被更多的數(shù)學(xué)家所接受．

布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域做出了他的又一大貢獻(xiàn)．

受到希爾伯特在巴黎的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的講演的影響，也受到舍恩弗利斯關(guān)于集合論進(jìn)展的報(bào)告的影響，布勞威爾從1907年到1913年進(jìn)行了大量研究，取得了大量基礎(chǔ)性成果．1907年，他研究了希爾伯特那極難對(duì)付的第5問(wèn)題，但不依靠可微性假設(shè)而采用了分割式組合．作為F．克萊因(Klein)那著名的埃朗根綱領(lǐng)的一個(gè)自然引伸，布勞威爾討論了平面變換的理論，給出了笛卡兒平面上拓?fù)溆成涞囊恍┩瑐愋再|(zhì)．

建立布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是他的突出貢獻(xiàn)．這個(gè)定理表明：在二維球面上，任意映到自身的一一連續(xù)映射，必定至少有一個(gè)點(diǎn)是不變的．他把這一定理推廣到高維球面．尤其是，在n維球內(nèi)映到自身的任意連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．在定理證明的過(guò)程中，他引進(jìn)了從一個(gè)復(fù)形到另一個(gè)復(fù)形的映射類，以及一個(gè)映射的映射度等概念．有了這些概念，他就能第一次處理一個(gè)流形上的向量場(chǎng)的奇點(diǎn)．

康托爾揭示了不同的n與空間Rn的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．G．皮亞諾(Peano)則實(shí)現(xiàn)了把單位線段連續(xù)映入正方形．這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)啟示了，在拓?fù)溆成渲�，維數(shù)可能是不變的．1910年，布勞威爾對(duì)于任意的n證明了這個(gè)猜想——維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕�在證明過(guò)程中，布勞威爾創(chuàng)造了連續(xù)拓?fù)溆成涞膯渭儽平�的概念，也就是一系列線性映射的逼近．他還創(chuàng)造了映射的拓?fù)涠鹊母拍睢�—一個(gè)取決于拓?fù)溆成溥B續(xù)變換的同倫類的數(shù)．實(shí)踐證明，這些概念在解決重要的不變性問(wèn)題時(shí)非常有用．例如，布勞威爾就借助它界定了n維區(qū)域；J．W．亞歷山大(Alexander)則用它證明了貝蒂數(shù)的不變性．

1910年，布勞威爾發(fā)現(xiàn)了平面上不可分解的連續(xù)統(tǒng)是可數(shù)個(gè)單連通區(qū)域的公共邊界．1912年，他證明了可以把約當(dāng)曲線定理推廣到n維空間．1913年，他給出了拓?fù)淇臻g維數(shù)的嚴(yán)格定義．

由于布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)上的出色成就，他被推選為荷蘭皇家科學(xué)院院士．可是，他在1912年的就職演說(shuō)上，卻只大講直覺(jué)主義和構(gòu)造主義，而不談他那頗為得意的拓?fù)鋵W(xué)，大大出乎人們的意料之外．

布勞威爾在數(shù)學(xué)上開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)派別，與他致力于哲學(xué)研究分不開(kāi)．他在一系列哲學(xué)論文里，詳盡地闡述了他那具有高度個(gè)人特色的哲學(xué)見(jiàn)解．而他正是從這樣的哲學(xué)出發(fā)，批判了先前的數(shù)學(xué)賴以建立的基礎(chǔ)，然后將數(shù)學(xué)建立在他自己確認(rèn)的基礎(chǔ)上．

1905年，布勞威爾在論文“生活、藝術(shù)和神秘主義”(Leven，kunst en mystiek)中討論了人類的社會(huì)性和主觀能動(dòng)性．布勞威爾還指出，人們?yōu)榱诉_(dá)到某個(gè)目標(biāo)，要使用某種手段．在反復(fù)地逐次使用這種手段之后，人們發(fā)現(xiàn)，竟然會(huì)產(chǎn)生出與原來(lái)目標(biāo)相反的結(jié)果．他認(rèn)為，這種異化是人類的能動(dòng)性中一個(gè)重要的原理——?jiǎng)討B(tài)原理．在1907年的論文中，布勞威爾從哲學(xué)的立場(chǎng)對(duì)邏輯作評(píng)論．他指出，邏輯是從數(shù)學(xué)派生出來(lái)的，其本原是數(shù)學(xué)上的直覺(jué)，而這種直覺(jué)來(lái)自于時(shí)間，它的根源就是I．康德(Kant)對(duì)時(shí)間的“自我感覺(jué)”概念．他強(qiáng)調(diào)了“短暫感覺(jué)”，認(rèn)為它是數(shù)學(xué)的發(fā)端：自我從“短暫感覺(jué)”中分離出了不同的感受．布勞威爾在1933年指出，這種“短暫感覺(jué)”乃是某一生活瞬間分解成不同質(zhì)的兩部分，其中一部分比另一部分先退出了生活，但它們?nèi)匀涣粼谟洃浝铮當(dāng)?shù)學(xué)最基礎(chǔ)的直覺(jué)就是這樣的短暫感覺(jué)的結(jié)構(gòu)的抽象——拋棄了一切內(nèi)容的數(shù)學(xué)抽象．所以，自然數(shù)的理論來(lái)自于數(shù)學(xué)直覺(jué)．在短暫感覺(jué)的順序中，人隨時(shí)可以設(shè)想在兩個(gè)已知元素之間插入新元素，所以，連續(xù)統(tǒng)理論也完全來(lái)自于數(shù)學(xué)直覺(jué)．

盡管布勞威爾沒(méi)有能夠成功地改變數(shù)學(xué)家們的觀念，但他的工作得到全世界的承認(rèn)．1929年，他被奧斯陸大學(xué)授予榮譽(yù)學(xué)銜；1955年，又被劍橋大學(xué)授予榮譽(yù)學(xué)銜．1919年，被德國(guó)科學(xué)院選為院士；1943年，被美國(guó)哲學(xué)會(huì)選為會(huì)員；1948年，被倫敦的皇家學(xué)會(huì)選為會(huì)員．