切比雪夫創(chuàng)立的彼得堡學(xué)派的杰出代表 　　李雅普諾夫是切比雪夫創(chuàng)立的彼得堡學(xué)派的杰出代表，他的建樹(shù)涉及到多個(gè)領(lǐng)域，尤以概率論、微分方程和數(shù)學(xué)物理最有名. 創(chuàng)立了特征函數(shù)法 　　在概率論中，他創(chuàng)立了特征函數(shù)法，實(shí)現(xiàn)了概率論極限定理在研究方法上的突破，這個(gè)方法的特點(diǎn)在于能保留隨機(jī)變量分布規(guī)律的全部信息，提供了特征函數(shù)的收斂性質(zhì)與分布函數(shù)的收斂性質(zhì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，給出了比切比雪夫、馬爾可夫關(guān)于中心極限定理更簡(jiǎn)單而嚴(yán)密的證明，他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布.他對(duì)概率論的建樹(shù)主要發(fā)表在其1900年的《概率論的一個(gè)定理》和1901年的《概率論極限定理的新形式》論文中.他的方法已在現(xiàn)代概率論中得到廣泛的應(yīng)用. 常微分方程運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的創(chuàng)始人 　　李雅普諾夫是常微分方程運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的創(chuàng)始人，他1884年完成了《論一個(gè)旋轉(zhuǎn)液體平衡之橢球面形狀的穩(wěn)定性》一文，1888年，他發(fā)表了《關(guān)于具有有限個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性》.特別是他1892年的博士論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》是經(jīng)典名著，在其中開(kāi)創(chuàng)性地提出求解非線性常微分方程的李雅普諾夫函數(shù)法，亦稱直接法，它把解的穩(wěn)定性與否同具有特殊性質(zhì)的函數(shù)（現(xiàn)稱為李雅普諾夫函數(shù)）的存在性聯(lián)系起來(lái)，這個(gè)函數(shù)沿著軌線關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)具有某些確定的性質(zhì).正是由于這個(gè)方法的明顯的幾何直觀和簡(jiǎn)明的分析技巧，所以易于為實(shí)際和理論工作者所掌握，從而在科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中得到廣泛地應(yīng)用和發(fā)展，并奠定了常微分方程穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)，也是常微分方程定性理論的重要手段. 為數(shù)學(xué)物理方法的發(fā)展開(kāi)辟了新的途徑 　　李雅普諾夫?qū)ξ粍?shì)理論的研究為數(shù)學(xué)物理方法的發(fā)展開(kāi)辟了新的途徑.他1898年發(fā)表的論文《關(guān)于狄利克雷問(wèn)題的某些研究》也是一篇重要論文.該文首次對(duì)單層位勢(shì)、雙層位勢(shì)的若干基本性質(zhì)進(jìn)行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶接�，指出了給定范圍內(nèi)的本問(wèn)題有解的若干充要條件.他的研究成果奠定了解邊值問(wèn)題經(jīng)典方法的基礎(chǔ).