拉馬努金出生于印度東南部泰米爾納德邦的埃羅德。1898年，在他十歲的時(shí)候，進(jìn)入貢伯戈訥姆一所中學(xué)，在那里他似乎第一次接觸到正規(guī)的數(shù)學(xué)。11歲時(shí)，他已經(jīng)掌握了住在他家的房客的數(shù)學(xué)知識(shí)，他們是政府大學(xué)的學(xué)生。13歲時(shí)，他就掌握了借來(lái)的高等三角學(xué)的書里的知識(shí)。他的傳記作家稱他的天才在14歲時(shí)開始顯露。他不僅在他的學(xué)生歲月里不斷獲得榮譽(yù)證書和獎(jiǎng)學(xué)金，他還幫學(xué)校處理把1200個(gè)學(xué)生（各有不同需要）分配給35個(gè)教師的后勤事務(wù)，他甚至在一半的給定時(shí)間內(nèi)完成測(cè)驗(yàn)，這已經(jīng)顯示出他對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的熟練掌握；他那時(shí)的同校的人后來(lái)回憶說(shuō)：“我們，包括老師，很少能理解他，并對(duì)他u2018敬而遠(yuǎn)之u2019”。但是，拉馬努金在其他科目無(wú)法集中注意力，并在高中考試中不合格。在他生活的這個(gè)時(shí)段，他也相當(dāng)窮困，經(jīng)常到了挨餓的地步。

在印度的成年階段因?yàn)榻Y(jié)了婚，他必須找到工作。帶著他的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，他在真奈（舊稱馬德拉斯）到處找抄寫員的工作。最后他找到了一個(gè)工作，并在一個(gè)英國(guó)人的建議下和劍橋的研究人員聯(lián)系。

作為真奈總會(huì)計(jì)師事務(wù)所的職員，拉馬努金奢望可以完全投入到數(shù)學(xué)中而不用做其他工作。他懇請(qǐng)有影響的印度人給予支持，并在印度數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表了一些論文，但并未成功找到經(jīng)濟(jì)支持。到這個(gè)時(shí)候，慕克吉（AshutoshMukherjee）爵士試圖支持他的事業(yè)。

在1913年拉馬努金發(fā)了一長(zhǎng)串復(fù)雜的定理給三個(gè)劍橋的學(xué)術(shù)界人士貝克（H.F.Baker）、霍布森（E.W.Hobson）、哈代（G.H.Hardy），只有三一學(xué)院的院士哈代注意到了拉馬努金定理中所展示的天才。

讀著不知名和未經(jīng)訓(xùn)練的印度數(shù)學(xué)家的突然來(lái)信，哈代和他的同事利特爾伍德（J.E.Littlewood）評(píng)論道：“沒(méi)有一個(gè)定理可以放到世界上最高等的數(shù)學(xué)測(cè)試中。”雖然哈代是當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家而且是拉馬努金所寫的其中幾個(gè)領(lǐng)域中的專家，他還是說(shuō)很多定理：“完全打敗了我”、“我從沒(méi)見過(guò)任何像這樣的東西�！�

作為他的成果的一個(gè)例子，拉馬努金給出了漂亮的連分?jǐn)?shù)：其中是黃金分割。

拉馬努金病重，哈代前往探望。哈代說(shuō)：“我乘出租車來(lái)，車牌號(hào)碼是1729，這數(shù)真沒(méi)趣，希望不是不祥之兆。”拉馬努金答道：“不，那是個(gè)有趣得很的數(shù)�？梢杂脙蓚�(gè)立方之和來(lái)表達(dá)而且有兩種表達(dá)方式的數(shù)之中，1729是最小的�！保�即1729 = 13+123= 93+103，后來(lái)這類數(shù)稱為的士數(shù)。）

利特爾伍德回應(yīng)這宗軼聞?wù)f：“每個(gè)整數(shù)都是拉馬努金的朋友�！�

包括拉馬努金自己的發(fā)現(xiàn)和那些在和哈代的合作中發(fā)展和證明的定理，有高度合成數(shù)的性質(zhì) ，整數(shù)分割函數(shù)和它的漸近線、拉馬努金θ函數(shù) 。

他也在下列領(lǐng)域做出重大突破和發(fā)現(xiàn)： 伽馬函數(shù) 、模形式 、發(fā)散級(jí)數(shù) 、超幾何級(jí)數(shù) 、質(zhì)數(shù)理論 。

雖然很多命題都可以稱為拉馬努金猜想，有一個(gè)特別適合這個(gè)稱號(hào)，它在后續(xù)工作中非常有影響。拉馬努金猜想是一個(gè)斷言，這是關(guān)于τ-函數(shù)的系數(shù)大小的，而那是一個(gè)模形式理論中的典型尖形式（cuspform）。這在幾十年后被證明為魏爾猜想的證明的一個(gè)結(jié)果，歸約步驟是很復(fù)雜的。

拉馬努金是印度在過(guò)去一千年中所誕生的超級(jí)偉大的數(shù)學(xué)家。他的直覺的跳躍甚至令今天的數(shù)學(xué)家感到迷惑，在他死后70多年，他的論文中埋藏的秘密依然在不斷地被挖掘出來(lái)。他發(fā)現(xiàn)的定理被應(yīng)用到他活著的時(shí)候很難想象到的領(lǐng)域。（引自卡尼蓋爾所著傳記《知無(wú)涯者：拉馬努金傳》第3頁(yè)）

美國(guó)作家羅伯特·卡尼蓋爾所著傳記《知無(wú)涯者：拉馬努金傳》被中國(guó)數(shù)學(xué)家，武漢大學(xué)前校長(zhǎng)齊民友先生等翻譯成中文。

天才與貧困

1887年12月22日，拉馬努金出生于印度泰米爾納德邦埃羅德縣的一個(gè)沒(méi)落的婆羅門家庭。父親是一家布店的小職員，每月只有20盧比的工資，一家7口人就靠這點(diǎn)微薄的收入維持生活。小時(shí)候他大部分的時(shí)間是在祖母家里度過(guò)的。從小他就喜歡思考問(wèn)題，曾問(wèn)老師在天空閃耀的星座的距離，以及地球赤道的長(zhǎng)度。在12歲時(shí)開始對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣，曾問(wèn)高班同學(xué)：“什么是數(shù)學(xué)的最高真理？”當(dāng)時(shí)同學(xué)告訴他“畢達(dá)哥拉斯定理”（即中國(guó)人稱“勾股定理”）可以作為代表，這引起了他對(duì)幾何學(xué)的興趣。差不多在這個(gè)時(shí)候，他對(duì)等差級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)的性質(zhì)自己做了研究。他那時(shí)的同學(xué)后來(lái)回憶說(shuō)：“我們，包括老師，很少可以理解他，并對(duì)他u2018敬而遠(yuǎn)之u2019”。

他15歲時(shí)，朋友借給他英國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾（G. Carr）寫的《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)概要》一書。該書收錄了代數(shù)、微積分、三角學(xué)和解析幾何的五千多個(gè)方程，但書中沒(méi)有給出詳細(xì)的證明。這正好符合拉馬努金的胃口，他把每一個(gè)方程式當(dāng)成一個(gè)研究題，嘗試對(duì)其進(jìn)行獨(dú)特的證明而且還對(duì)其中一些進(jìn)行推廣。這花去了他大約5年的時(shí)間，留下了幾百頁(yè)的數(shù)學(xué)筆記。他證明了其中的一些方程，而以后他研究的基礎(chǔ)卻受益于這本書。

拉馬努金在貢伯戈納姆讀高中，畢業(yè)時(shí)各項(xiàng)成績(jī)突出，被校長(zhǎng)形容為“用滿分也不足以說(shuō)明他如此出色”。但進(jìn)入當(dāng)?shù)刂�名的貢伯戈納姆學(xué)院后，他把全部精力投入數(shù)學(xué)研究，導(dǎo)致其他科目不及格；他不僅失去了獎(jiǎng)學(xué)金，而且被學(xué)校開除。1905年，18歲的他為此離家出走3個(gè)月。一年后，拉馬努金被馬德拉斯的帕凱亞帕學(xué)院錄取，但這個(gè)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生，還是難以逃脫被開除的命運(yùn)，他的5門文科課程兩次不及格。此后拉馬努金開始做家教維持生計(jì)，同時(shí)從圖書館借來(lái)數(shù)學(xué)書，然后把自己的研究結(jié)論寫在筆記本里。

根據(jù)印度的習(xí)俗，他家人在1909年為他安排了婚事，妻子是一個(gè)9歲的女孩，在當(dāng)時(shí)的印度這是相當(dāng)常見的。有了家而且是長(zhǎng)子，必須幫助家里解決一些生活費(fèi)用，他不得不極力尋找工作，后來(lái)朋友艾亞爾（S. Aiyar）推薦他去找馬德拉斯港務(wù)信托處官員拉奧（R. Rao）。拉奧是一個(gè)有錢的人，也是一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，他很賞識(shí)拉馬努金的數(shù)學(xué)才能。他認(rèn)為拉馬努金只適合搞數(shù)學(xué)而不適合做其他工作，因此寧愿每個(gè)月給他一些錢，讓他掛名不上班，在家專心從事數(shù)學(xué)研究。

拉馬努金只好接受這些錢，又繼續(xù)他的研究工作。每天傍晚時(shí)分才在馬德拉斯的海邊散步和朋友聊天作為休息。有一天一個(gè)老朋友遇到他，就對(duì)他說(shuō)：“人們稱贊你有數(shù)學(xué)的天才！”拉馬努金聽了笑道：“天才？你看看我的臂肘吧！”他的臂肘的皮膚顯得又黑又厚。他解釋他日夜在石板上計(jì)算，用破布來(lái)擦掉石板上的字太花時(shí)間了，他每幾分鐘就用肘直接擦石板的字。朋友問(wèn)他既然要作這么多計(jì)算為什么不用紙來(lái)寫。拉馬努金說(shuō)他連吃飯都成問(wèn)題，哪里有錢去買紙來(lái)算題呢！原來(lái)拉馬努金覺得依靠別人生活心里很是慚愧，已經(jīng)有一個(gè)月不去拿錢了。

1911年，拉馬努金的第一篇論文“關(guān)于伯努利數(shù)的一些性質(zhì)”發(fā)表在《印度數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊》上，從此他開始了與數(shù)學(xué)界同行的正式交流。拉馬努金在他的第二篇論文里發(fā)表了一系列共14條關(guān)于圓周率π的計(jì)算公式；神奇的是，其中一條公式每計(jì)算一項(xiàng)就可以得到8位的十進(jìn)制精度。

巧遇伯樂(lè)

由于印度當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平不高，國(guó)內(nèi)幾乎沒(méi)有人能看懂拉馬努金的研究成果。于是，艾亞爾極力主張他把研究成果寄給英國(guó)數(shù)學(xué)家，最初的兩個(gè)數(shù)學(xué)家都未回音。1913年1月16日，他再次鼓起勇氣寫信給第三個(gè)數(shù)學(xué)家——?jiǎng)�橋大學(xué)教授哈代（G. Hardy）；信是這樣開頭的，“尊敬的先生，謹(jǐn)自我介紹如下：我是馬德拉斯港務(wù)信托處的一個(gè)職員……我未能按常規(guī)念完大學(xué)的正規(guī)課程，但我在開辟自己的路……本地的數(shù)學(xué)家說(shuō)我的結(jié)果是u2018驚人的u2019……如果您認(rèn)為這些內(nèi)容是有價(jià)值的話，請(qǐng)您發(fā)表它們……”他還給哈代寄去了一大堆自己研究得出的數(shù)學(xué)公式和命題；由于沒(méi)有證明的過(guò)程，有些連哈代也不大明白。哈代在咨詢了另一個(gè)英國(guó)數(shù)學(xué)家、他的合作伙伴李特爾伍德（J. Littlewood）之后，認(rèn)定拉馬努金是一個(gè)難得的數(shù)學(xué)天才。拉馬努金多少有些運(yùn)氣，哈代的慧眼識(shí)金，使得拉馬努金能夠在1914年進(jìn)入劍橋大學(xué)。這則動(dòng)人故事如今已成為數(shù)學(xué)史乃至科學(xué)史上的傳奇故事之一，同時(shí)作為兩個(gè)人學(xué)術(shù)生涯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)——拉馬努金因哈代而嶄露頭角，哈代因拉馬努金而增光溢彩。

按哈代的說(shuō)法，拉馬努金總是和藹可親，性情很好。但可以肯定，拉馬努金初到劍橋?qū)�哈代超出�?shù)學(xué)范圍的談話幾乎不懂。他聽哈代說(shuō)話時(shí)似乎總帶著耐心的微笑，面容友善、真誠(chéng)，但即使是談?wù)摂?shù)學(xué)，由于他們受教育程度不同，用詞及表述也就有差異。拉馬努金是自學(xué)的，他對(duì)現(xiàn)代學(xué)術(shù)意義上的嚴(yán)謹(jǐn)一無(wú)所知，在某種程度上他不知道什么叫證明，于是哈代就向他演示如何寫出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。有一次哈代喝醉酒以后曾經(jīng)寫道，如果拉馬努金能受到更好的教育，將少一點(diǎn)拉馬努金的特性。當(dāng)他清醒以后，他說(shuō)那些話是胡說(shuō)，應(yīng)該說(shuō)如果拉馬努金受到了更好的教育，他將會(huì)比現(xiàn)在更出色。

拉馬努金是個(gè)有神論者，哈代則是個(gè)無(wú)神論者，但他們卻能為數(shù)學(xué)而進(jìn)行合作研究；在5年里，他們共同發(fā)表了28篇重要論文。哈代曾將這段經(jīng)歷描述為“我一生中最浪漫的事件”。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上的卓越成就，拉馬努金31歲就當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的外籍會(huì)員（亞洲第一人）以及劍橋大學(xué)三一學(xué)院的院士（印度第一人），走到了他的榮譽(yù)最高峰。

由于拉馬努金是個(gè)虔誠(chéng)的婆羅門教徒，絕對(duì)奉行素食主義，在英國(guó)生活那段時(shí)間，他自己煮食物，常常因研究而忘記吃飯，加上冬天寒冷的天氣，他的身體越來(lái)越衰弱，1917年常感到身上有無(wú)名的疼痛。后來(lái)才發(fā)現(xiàn)他患上了當(dāng)時(shí)難以醫(yī)治的肺結(jié)核病。有一天哈代去醫(yī)院看他時(shí)，抱怨所乘的出租車牌號(hào)1729是個(gè)不吉利的數(shù)字；而拉馬努金的第一反應(yīng)則是，這是個(gè)有趣的數(shù)字，因?yàn)檫@個(gè)整數(shù)可以寫成12的立方與1的立方之和，也可以寫成10的立方與9的立方之和。后來(lái)李特爾伍德回應(yīng)這宗軼聞?wù)f：“每個(gè)整數(shù)都是拉馬努金的朋友。”

拉馬努金思鄉(xiāng)心切，卻因?yàn)橐粦?zhàn)爆發(fā)而無(wú)法回國(guó)。這一度令他變得抑郁，甚至試圖臥軌自殺。1919年4月，他終于回到印度，但回家之后的生活并不愉快，且病情日漸加重。1920年4月26日，他病逝于馬德拉斯，年僅32歲。他身后留下了一份使人著魔的、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，其中包含了大量沒(méi)有證明的公式和命題。許多數(shù)學(xué)家都致力于這方面的研究，一直到1997年，才總算是完成了其中的一部分，并整理成5大卷出版。

神秘的直覺

拉馬努金的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)家從事數(shù)學(xué)研究提供了很好的史料，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了難以估量的影響。他在堆壘數(shù)論特別是整數(shù)分拆方面做出了重要貢獻(xiàn)，在橢圓函數(shù)、超幾何函數(shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)等領(lǐng)域也有不少成果。他有著很強(qiáng)的直覺洞察力（可稱之為“數(shù)感”），雖未受過(guò)嚴(yán)格數(shù)學(xué)訓(xùn)練，卻能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了近3900個(gè)數(shù)學(xué)公式和命題。他經(jīng)常宣稱在夢(mèng)中娜瑪卡爾女神給其啟示，早晨醒來(lái)就能寫下不少數(shù)學(xué)公式和命題。他所預(yù)見的數(shù)學(xué)命題，日后有許多得到了證實(shí)。如比利時(shí)數(shù)學(xué)家德利涅（V. Deligne）于1973年證明了拉馬努金1916年提出的一個(gè)猜想，并因此獲得了1978年的菲爾茲獎(jiǎng)。

除了在純粹數(shù)學(xué)方面做出卓越的成就以外，拉馬努金的理論還得到了廣泛的應(yīng)用。他發(fā)現(xiàn)的好幾個(gè)定理在包括粒子物理、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、密碼技術(shù)和空間技術(shù)等不同領(lǐng)域起著相當(dāng)重要的作用，甚至晶體和塑料的研制也受到他創(chuàng)立的整數(shù)分拆理論的啟發(fā)，而他在黎曼ζ函數(shù)方面的研究成果，現(xiàn)在已經(jīng)與齒輪技術(shù)的進(jìn)步掛上了鉤，還被用于測(cè)溫學(xué)及冶金高爐的優(yōu)化。他生命中的最后一項(xiàng)成果——模仿θ函數(shù)有力地推動(dòng)了用孤立波理論來(lái)研究癌細(xì)胞的惡化和擴(kuò)散以及海嘯的運(yùn)動(dòng)；最近有專家認(rèn)為，這一函數(shù)很可能被用來(lái)解釋宇宙黑洞的部分奧秘，而令人吃驚的是，當(dāng)拉馬努金首次提出這種函數(shù)的時(shí)候，人們還不知道黑洞是什么。

拉馬努金的亦師亦友哈代曾感慨道：“我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，拉馬努金則發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造了數(shù)學(xué)�！彼�更喜歡公開聲稱的是，自己在數(shù)學(xué)上最大的成就是“發(fā)現(xiàn)了拉馬努金”。他在自己設(shè)計(jì)的一種關(guān)于天生數(shù)學(xué)才能的非正式的評(píng)分表中，給自己評(píng)了25分，給另一個(gè)杰出的數(shù)學(xué)家李特爾伍德評(píng)了30分，給他同時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特（D. Hilbert）評(píng)了80分，而給拉馬努金評(píng)了100分。他甚至把拉馬努金的天才比作至少與數(shù)學(xué)巨人歐拉（L. Euler）和雅可比（C. Jacobi）相當(dāng)。

印度之子

為了激勵(lì)年輕人刻苦學(xué)習(xí)和奮發(fā)向上，馬德拉斯大學(xué)于1950年建立了一個(gè)用拉馬努金的名字來(lái)命名的高等數(shù)學(xué)研究所，并在研究所門前為他矗立一個(gè)大理石半身像；后來(lái)該所培養(yǎng)了不少優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才。印度人在紀(jì)念拉馬努金時(shí)，把他和圣雄甘地(M. Gandhi)、詩(shī)人泰戈?duì)?R. Tagore)等人一道，稱作“印度之子”。在1962年拉馬努金誕辰75周年之際，印度發(fā)行了一套紀(jì)念他的郵票。1975年印度成立了“拉馬努金學(xué)會(huì)”，1986年開始出版會(huì)刊。到1987年即拉馬努金誕辰100周年之際，印度已拍攝了3部有關(guān)他生平的電影。1987年在拉馬努金的故鄉(xiāng)馬德拉斯，當(dāng)容納他最后一年心血的遺著《失散的筆記本》出版時(shí)，印度前總理甘地(R. Gandhi)親自趕去祝賀并參加了首發(fā)式。

美國(guó)佛羅里達(dá)大學(xué)于1997年創(chuàng)辦了《拉馬努金期刊》，專門發(fā)表“受到他影響的數(shù)學(xué)領(lǐng)域”的研究論文；該校還成立了一個(gè)國(guó)際性的拉馬努金數(shù)學(xué)會(huì)。千禧年時(shí)，《時(shí)代》周刊選出了100位20世紀(jì)最具影響力的人物，其中就有拉馬努金，并稱贊他是一千年來(lái)印度最偉大的數(shù)學(xué)家�，F(xiàn)在國(guó)際上有兩項(xiàng)以拉馬努金命名的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)，專門頒發(fā)給“與他有相同研究方向”的杰出青年數(shù)學(xué)家；已獲獎(jiǎng)的華人數(shù)學(xué)家有洛杉磯加州大學(xué)教授陶哲軒、北京大學(xué)教授史宇光、北京清華大學(xué)訪問(wèn)學(xué)者張偉和斯坦福大學(xué)教師惲之瑋。

為紀(jì)念拉馬努金對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，印度總理辛格(M. Singh)于2012年2月26日宣布其誕辰為“印度數(shù)學(xué)日”（每年12月22日）及2012年為“印度數(shù)學(xué)年”。在拉馬努金誕辰125周年之際，印度舉辦了一系列紀(jì)念他的活動(dòng)。美英等國(guó)的一些著名科學(xué)家在報(bào)上發(fā)表紀(jì)念文章，向拉馬努金表示崇高的敬意。《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)志》在2012年12月號(hào)和2013年1月號(hào)上連續(xù)刊發(fā)紀(jì)念拉馬努金的系列文章，高度評(píng)價(jià)了他對(duì)數(shù)學(xué)作出的巨大貢獻(xiàn)。有趣的是，谷歌網(wǎng)站為紀(jì)念拉馬努金誕辰125周年專門繪了一張描述他少年學(xué)習(xí)情景的涂鴉。

值得一提的是，由于拉馬努金的傳奇色彩，世界上有多種關(guān)于他的傳記版本。其中麻省理工學(xué)院科學(xué)寫作教授卡尼格爾（R. Kanigel）1991年所著的《知無(wú)涯者：拉馬努金傳》（2008年被中國(guó)數(shù)學(xué)家、武漢大學(xué)前校長(zhǎng)齊民友等翻譯成中文）最為成功，在美國(guó)成為暢銷書，并曾獲1992年“美國(guó)書評(píng)界傳記獎(jiǎng)”。美國(guó)數(shù)學(xué)科普大師加德納（M. Gardner）對(duì)該書的評(píng)語(yǔ)是：“至今出版過(guò)的關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)家的傳記中，這是最好的、文獻(xiàn)最豐富的作品之一……你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)本世紀(jì)最杰出、謎一般的智者之一的光輝的研究會(huì)吸引住你�！�