亨利·勒貝格（Henri Léon Lebesgue)

　　1875年6月28日生于法國(guó)的博韋；1941年7月26日卒于巴黎．?dāng)?shù)學(xué)．

　　勒貝格的父親是一名印刷廠職工，酷愛(ài)讀書(shū)，很有教養(yǎng)．在父親的影響下，勒貝格從小勤奮好學(xué)，成績(jī)優(yōu)秀，特別擅長(zhǎng)計(jì)算．不幸，父親去世過(guò)早，家境衰落．在學(xué)校老師的幫助下進(jìn)入中學(xué)，后又轉(zhuǎn)學(xué)巴黎．1894年考入高等師范學(xué)校．

　　1897年大學(xué)畢業(yè)后，勒貝格在該校圖書(shū)館工作了兩年．在這期間，出版了E．波萊爾(Borel)關(guān)于點(diǎn)集測(cè)度的新方法的《函數(shù)論講義》(Lecons sur la théorie des functions 1898)，特別是研究生R．貝爾(Baire)發(fā)表了關(guān)于不連續(xù)實(shí)變函數(shù)理論的第一篇論文．這些成功的研究工作說(shuō)明在這些嶄新的領(lǐng)域中進(jìn)行開(kāi)拓將會(huì)獲得何等重要的成就，從而激發(fā)了勒貝格的熱情．從1899年到1902年勒貝格在南錫的一所中學(xué)任教，雖然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究實(shí)變函數(shù)理論，并于1902年發(fā)表了博士論文“積分、長(zhǎng)度、面積”(Intégrale，longueur，aire)．在這篇文章中，勒貝格創(chuàng)立了后來(lái)以他的名字命名的積分理論．此后，他開(kāi)始在大學(xué)任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期間，他進(jìn)一步出版了一些重要著作：《積分法和原函數(shù)分析的講義》(Leconssur lu2018intégration et la recherche des fonctions primitives，1904)；《三角級(jí)數(shù)講義》(Lecons sur les séries trigonométriques，1906)．接著，勒貝格又于1910—1919年在巴黎(韶邦)大學(xué)擔(dān)任講師，1920年轉(zhuǎn)聘為教授，這時(shí)他又陸續(xù)發(fā)表了許多關(guān)于函數(shù)的微分、積分理論的研究成果．勒貝格于1921年獲得法蘭西學(xué)院教授稱號(hào)，翌年作為C．若爾當(dāng)(Jordan)的后繼人被選為巴黎科學(xué)院院士．

　　勒貝格對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)屬于積分論領(lǐng)域，這是實(shí)變函數(shù)理論的中心課題．19世紀(jì)以來(lái)，微積分開(kāi)始進(jìn)入嚴(yán)密化的階段．1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的積分，這一理論的應(yīng)用范圍主要是連續(xù)的函數(shù)．隨著K．魏爾斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托爾(Cantor)工作的問(wèn)世，在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了許多“奇怪”的函數(shù)與現(xiàn)象，致使黎曼積分理論暴露出較大的局限性．幾乎與這一理論發(fā)展的同時(shí)(1870—1880年)，人們就已經(jīng)開(kāi)展了對(duì)積分理論的改造工作．當(dāng)時(shí)，關(guān)于積分論的工作主要集中于無(wú)窮集合性質(zhì)的探討，而無(wú)處稠密的集合具有正的外“容度”性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，使集合的測(cè)度概念在積分論的研究中占有重要地位．積分的幾何意義是曲線圍成的面積，黎曼積分的定義是建立在對(duì)區(qū)間長(zhǎng)度的分割的基礎(chǔ)上的．因此，人們自然會(huì)考慮到如何把長(zhǎng)度、面積等概念擴(kuò)充到更廣泛的集合類上，從而把積分概念置于集合測(cè)度理論的框架之中．這一思想的重要性在于使人們認(rèn)識(shí)到：集合的測(cè)度與可測(cè)性的推廣將意味著函數(shù)的積分與可積性的推廣．勒貝格積分正是建立在勒貝格測(cè)度理論的基礎(chǔ)上的，它是黎曼積分的擴(kuò)充．

　　為勒貝格積分理論的創(chuàng)立作出重要貢獻(xiàn)的首先應(yīng)推若爾當(dāng)，他在《分析教程》(Cours du2019analyse，1893)一書(shū)中闡述了后人稱謂的若爾當(dāng)測(cè)度論，并討論了定義在有界若爾當(dāng)可測(cè)集上的函數(shù)，采用把定義域分割為有限個(gè)若爾當(dāng)可測(cè)集的辦法來(lái)定義積分．雖然若爾當(dāng)?shù)臏y(cè)度論存在著嚴(yán)重的缺陷(例如存在著不可測(cè)的開(kāi)集，有理數(shù)集不可測(cè)等)，而且積分理論也并沒(méi)有作出實(shí)質(zhì)性的推廣，但這一工作極大地影響著勒貝格研究的視野．在這一方向上邁出第二步的杰出人物是波萊爾，1898年在他的《函數(shù)論講義》中向人們展示了“波萊爾集”的理論．他從R1中開(kāi)集是構(gòu)成區(qū)間的長(zhǎng)度總和出發(fā)，允許對(duì)可列個(gè)開(kāi)集作并與補(bǔ)的運(yùn)算，構(gòu)成了所謂以波萊爾可測(cè)集為元素的σ代數(shù)類，并在其上定義了測(cè)度．這一成果的要點(diǎn)是使測(cè)度具備完全可加性(若爾當(dāng)測(cè)度只具備有限可加性)，即對(duì)一列互不相交的波萊爾集，若其并集是有界的，則其并集的測(cè)度等于每個(gè)En的測(cè)度的和．此外，他還指出，集合的測(cè)度和可測(cè)性是兩個(gè)不同的概念．但在波萊爾的測(cè)度思想中，卻存在著不是波萊爾集的若爾當(dāng)可測(cè)集(這一點(diǎn)很可能是使他沒(méi)有進(jìn)一步開(kāi)創(chuàng)積分理論的原因之一)．特別是其中存在著零測(cè)度的稠密集，引起了一些數(shù)學(xué)家的不快．然而勒貝格卻洞察了這一思想的深刻意義并接受了它．他突破了若爾當(dāng)對(duì)集合測(cè)度的定義中所作的有限覆蓋的限制，以更加一般的形式發(fā)展和完善了波萊爾的測(cè)度觀念，給予了集合測(cè)度的分析定義：

　　設(shè)E [a，b]，考慮可數(shù)多個(gè)區(qū)間對(duì)E作覆蓋．定義數(shù)值

　　m*(E)+m*([a，b]＼E)=b-a，

　　則稱E為可測(cè)集(即E是勒貝格可測(cè)的)．在此基礎(chǔ)上，勒貝格引入了新的積分定義：對(duì)于一個(gè)定義在[a，b]上的有界實(shí)值函數(shù)f(x)(m≤f(x)≤M)，作[m，M]的分割△：

　　m=y0＜y1＜…＜yn-1＜yn=M．

　　令

　　Ei={x∈[a，b]:yi-1≤f(x)≤yi}，(i=1，2，…n)

　　并假定這些集合是可測(cè)的(即f(x)是勒貝格可測(cè)函數(shù))．考慮和式

　　如果當(dāng)max→0時(shí)，s△與S△趨于同一極限值，則稱此值為f(x)在[a，b]上的積分，勒貝格曾對(duì)他的這一積分思想作過(guò)一個(gè)生動(dòng)有趣的描述：“我必須償還一筆錢(qián)．如果我從口袋中隨意地摸出來(lái)各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分；不過(guò)，我還有另外一種作法，就是把錢(qián)全部拿出來(lái)并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應(yīng)還的數(shù)目，這就是我的積分”．在他的這一新概念中，凡若爾當(dāng)可測(cè)集，波萊爾可測(cè)集都是勒貝格可測(cè)集．勒貝格積分的范圍包括了由貝爾引入的一切不連續(xù)函數(shù)．

　　從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史角度看，新的積分理論的建立是水到渠成的事情．但是可貴的是，與同時(shí)代的一些數(shù)學(xué)家不同，在勒貝格看來(lái)，積分定義的推廣只是他對(duì)積分理論研究的出發(fā)點(diǎn)，他深刻地認(rèn)識(shí)到，在這一理論中蘊(yùn)含著一種新的分析工具，使人們能在相當(dāng)大范圍內(nèi)克服黎曼積分中產(chǎn)生的許多理論困難．而正是這些困難所引起的問(wèn)題是促使勒貝格獲得這一巨大成就的動(dòng)力．

　　這方面的第一個(gè)問(wèn)題是早在19世紀(jì)初期由J．傅里葉(Fou-rier)在關(guān)于三角級(jí)數(shù)的工作中不自覺(jué)地引發(fā)的：當(dāng)一個(gè)有界函數(shù)可以表示為一個(gè)三角級(jí)數(shù)時(shí)，該級(jí)數(shù)是它的傅里葉級(jí)數(shù)嗎？這一問(wèn)題與一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是否可以逐項(xiàng)積分有著密切的關(guān)系．傅里葉當(dāng)時(shí)曾認(rèn)為在其和為有界函數(shù)時(shí)這一運(yùn)算是正確的，從而給上述問(wèn)題以肯定的回答．然而到了19世紀(jì)末期，人們認(rèn)識(shí)到逐項(xiàng)積分并不總是可行的，甚至對(duì)于黎曼可積函數(shù)的一致有界的級(jí)數(shù)也是這樣，因?yàn)橛稍摷?jí)數(shù)所表示的函數(shù)不一定是黎曼可積的．這個(gè)問(wèn)題的討論促使勒貝格在新的積分理論中獲得了一個(gè)十分重要的結(jié)果：控制收斂定理．作為一個(gè)特殊情形他指出，勒貝格可積的一致有界級(jí)數(shù)都可以逐項(xiàng)進(jìn)行積分，從而支持了傅里葉的判斷．逐項(xiàng)積分在本質(zhì)上就是積分號(hào)下取極限的問(wèn)題，它是積分論中經(jīng)常遇到的最重要的運(yùn)算之一．從而這一定理的創(chuàng)立顯示出勒貝格積分理論的極大優(yōu)越性．

　　然而這一公式的運(yùn)用在黎曼積分意義下卻有較大的限制，在1878—1881年間，U．迪尼(Dini)和V．沃爾泰拉(Volterra)曾構(gòu)造了這樣的函數(shù)，它們具有有界的導(dǎo)函數(shù)，但是導(dǎo)函數(shù)不是黎曼可積的，從而基本定理對(duì)此是不適用的．此后，聯(lián)系到黎曼積分對(duì)無(wú)界函數(shù)的推廣也發(fā)現(xiàn)了類似的困難．然而，在新的積分理論中，勒貝格指出，對(duì)有界函數(shù)來(lái)說(shuō)，這一困難是不存在的．在f’是有限值但無(wú)界的情形，只要是可積的，基本定理仍是成立的，而且這正相當(dāng)于f是有界變差函數(shù)．同時(shí)，逆向問(wèn)題也被人們提出來(lái)了：何時(shí)一個(gè)連續(xù)函數(shù)是某個(gè)函數(shù)的積分？為此，A．哈納克(Harnack)曾導(dǎo)入了后來(lái)叫做絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)．約在1890年期間，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)就被當(dāng)作絕對(duì)收斂的積分的特征性質(zhì)來(lái)研究，雖然還沒(méi)有人能真正證明任何絕對(duì)連續(xù)函數(shù)都是一個(gè)積分．然而，勒貝格通過(guò)對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾乎處處為零但函數(shù)本身并非常數(shù)的函數(shù)的考察，認(rèn)識(shí)到在他的積分意義下，上述結(jié)論是正確的．從而得出了積分與原函數(shù)之間的一個(gè)完整結(jié)果：公式(1)成立的充分且必要條件是： f(x)是[a，b]上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)．

　　另一個(gè)與積分論有關(guān)的問(wèn)題是曲線的長(zhǎng)度問(wèn)題．19世紀(jì)前期，很少有人注意到一條曲線長(zhǎng)度的定義和可求長(zhǎng)問(wèn)題．一般都認(rèn)為以y=f(x)(a≤x≤b)所描述的曲線段總是有長(zhǎng)度的，且長(zhǎng)度可用

　　表示．杜·布瓦-雷蒙(Du Bois-Reymond)在研究關(guān)于兩點(diǎn)間長(zhǎng)度最短的曲線的變分問(wèn)題時(shí)，從G．P．L．狄利克雷(Dirichlet)關(guān)于函數(shù)的一般觀點(diǎn)出發(fā)探討了曲線長(zhǎng)度的概念．由于用到了極限過(guò)程這一分析手段，他認(rèn)為(1879)積分理論對(duì)曲線長(zhǎng)度的概念和可求長(zhǎng)性質(zhì)的陳述是必不可少的．但到了19世紀(jì)末期，這一見(jiàn)解由于L．希弗爾(Scheeffer，1859—1885)舉出的反例而受到責(zé)難，這一反例致使定積分感興趣，并應(yīng)用他的積分論中的方法和結(jié)果，證明了曲度長(zhǎng)度與積分概念是密切相關(guān)的，從而恢復(fù)了杜·布瓦-雷蒙斷言的可信性．

　　勒貝格關(guān)于微積分基本定理和曲線可求長(zhǎng)理論的研究，促使他發(fā)現(xiàn)有界變差函數(shù)是幾乎處處可微的這一事實(shí)．(注：若爾當(dāng)曾指出不定積分是有界變差函數(shù)．)這一定理的重要性在于：人們對(duì)于連續(xù)函數(shù)的可微性已經(jīng)討論了一個(gè)多世紀(jì)，在19世紀(jì)的幾乎前半個(gè)世紀(jì)，人們還一直認(rèn)為連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)域中的絕大多數(shù)點(diǎn)上都是可微的．雖然連續(xù)函數(shù)總被誤認(rèn)為是逐段單調(diào)的，但這使單調(diào)性與可微性聯(lián)系起來(lái)了，盡管是脆弱的．19世紀(jì)末期，這一看法逐漸被人懷疑，甚至有些其地位不低于魏爾斯特拉斯的數(shù)學(xué)家都覺(jué)得存在著無(wú)處可微的連續(xù)的單調(diào)函數(shù)．于是，在這一意義下，勒貝格的定理支持了前一代數(shù)學(xué)家的直覺(jué)印象．

　　在傳統(tǒng)的關(guān)于二重積分與累次積分的等值性定理上，黎曼積分也反映出它的不足之處，人們發(fā)現(xiàn)了使該定理不成立的例子．從而作為一個(gè)結(jié)論，這一定理的傳統(tǒng)說(shuō)法必須修改，然而在把積分推廣于無(wú)界函數(shù)的情形時(shí)，這一修改變得更加嚴(yán)峻．對(duì)此，勒貝格的重積分理論，使得用累次積分來(lái)計(jì)算二重積分的函數(shù)范圍擴(kuò)大了．他在1902年給出的一個(gè)結(jié)果奠定了1907年G．傅比尼(Fubini)創(chuàng)立的著名定理的基礎(chǔ)．

　　勒貝格積分理論作為分析學(xué)中的一個(gè)有效工具的出現(xiàn)，尤其是他在三角級(jí)數(shù)中應(yīng)用的高度成功，吸引了許多數(shù)學(xué)家，例如P．法圖(Fatou)，F(xiàn)．里斯(Riesz)和E．菲舍爾(Fischer)等，來(lái)探討有關(guān)的問(wèn)題，使得這一領(lǐng)域開(kāi)始迅速發(fā)展．其中特別是里斯關(guān)于Lp空間的工作(注：勒貝格可積的函數(shù)全體構(gòu)成的距離空間是完備的)，使得勒貝格積分在積分方程和函數(shù)空間的理論中持久地占有重要的位置．

　　雖然勒貝格在最初階段專注于他自己的積分理論，然而在激勵(lì)抽象測(cè)度和積分論研究的開(kāi)展上，他的工作仍是先導(dǎo)性的．1910年，勒貝格發(fā)表題為“關(guān)于不連續(xù)函數(shù)的積分”(Sur Iu2019intégrationdes fonctions discontinues)的重要專題報(bào)告．在這里他不僅把積分、微分理論推廣于n維空間，而且引入了可數(shù)可加集合函數(shù)的概念(定義于勒貝格可測(cè)集類上)，指出這些函數(shù)是定義在集合類上的有界變差函數(shù)．正是因?yàn)閷?duì)于有界變差與可加性概念之間聯(lián)系的考察，使得J．拉東(Radon)作出了更廣的積分定義，其中把T．-J．斯蒂爾吉斯(Stieltjes)積分和勒貝格積分作為它的特殊情形．他還在1913年的文章中指出，勒貝格的思想在更一般的背景上也是有效的．

　　勒貝格的一生都獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)事業(yè)，在1922年被推舉為院士時(shí)，他的著作和論文已達(dá)90種之多，內(nèi)容除積分理論外，還涉及集合與函數(shù)的構(gòu)造(后來(lái)由俄國(guó)數(shù)學(xué)家H．魯金(ЛyэиH)及其他學(xué)者進(jìn)一步作出發(fā)展)、變分學(xué)、曲面面積以及維數(shù)理論等重要結(jié)果．在勒貝格生前最后20年中，研究工作仍然十分活躍并反映出廣泛的興趣，不過(guò)作品內(nèi)容大都涉及教育、歷史及初等幾何．

　　勒貝格的工作是對(duì)本世紀(jì)科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重大貢獻(xiàn)，但和科學(xué)史上所有新思想運(yùn)動(dòng)一樣，并不是沒(méi)有遇到阻力的．原因是在勒貝格的研究中扮演了重要角色的那些不連續(xù)函數(shù)和不可微函數(shù)被人認(rèn)為違反了所謂的完美性法則，是數(shù)學(xué)中的變態(tài)和不健康部分．從而受到了某些數(shù)學(xué)家的冷淡，甚至有人曾企圖阻止他關(guān)于一篇討論不可微曲面的論文的發(fā)表．勒貝格曾感嘆地說(shuō)：“我被稱為一個(gè)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的那種人了！”然而，不論人們的主觀愿望如何，這些具有種種奇異性質(zhì)的對(duì)象都自動(dòng)地進(jìn)入了研究者曾企圖避開(kāi)它們的問(wèn)題之中．勒貝格充滿信心地指出：“使得自己在這種研究中變得遲鈍了的那些人，是在浪費(fèi)他們的時(shí)間，而不是在從事有用的工作．”

　　由于在實(shí)變函數(shù)理論方面的杰出成就，勒貝格相繼獲得胡勒維格(Houllevigue)獎(jiǎng)(1912年)；彭賽列(Poncelet)獎(jiǎng)(1914年)和賽恩吐(Saintour)獎(jiǎng)(1917年)．許多國(guó)家和地區(qū)(如倫敦、羅馬、丹麥、比利時(shí)、羅馬尼亞和波蘭)的科學(xué)院都聘他為院士，許多大學(xué)授予他名譽(yù)學(xué)位，以表彰他的貢獻(xiàn)．