Bernoulli（伯努利） 家族　　

　　John Bernoulli（約翰·伯努利）在1696年把最速降線問(wèn)題在一個(gè)叫做《教師學(xué)報(bào)》的雜志上面提出，公開(kāi)挑戰(zhàn)主要是針對(duì)他的哥哥Jacobi Bernoulli（加可比·伯努利），這兩個(gè)人在學(xué)術(shù)上一直相互不忿，據(jù)說(shuō)當(dāng)年John求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi（加可比·伯努利）做了一年還認(rèn)為懸鏈線應(yīng)該是拋物線，實(shí)在是很沒(méi)面子。那個(gè)雜志好像是Leibniz（萊布尼茲）搞得，很牛，歐洲的牛人們都來(lái)做這個(gè)東西。到最后，John收到了5份答案，有他自己的，Leibniz的，還有一個(gè)L.Hospital（洛比塔）侯爵的（我們比較喜歡的那個(gè)L.Hospital法則好像是他雇人做的，是個(gè)有錢人），然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是蓋著英國(guó)郵戳的，必然是Newton（牛頓）的，John自己說(shuō)“我從它的利爪上認(rèn)出了這頭獅子。”據(jù)說(shuō)當(dāng)年Newton從造幣廠回去，看到了Bernoulli的題，感覺(jué)渾身不爽，熬夜到凌晨4點(diǎn)，就搞定了。這么多解答當(dāng)中，John的應(yīng)該是最漂亮的，類比了Fermat（費(fèi)馬）原理，用光學(xué)一下做了出來(lái)。但是從影響來(lái)說(shuō)，Jacobi的做法真正體現(xiàn)了變分思想�！　�Bernoulli一家在歐洲享有盛譽(yù)，有一個(gè)傳說(shuō)，講的是Daniel Bernoulli（丹尼爾·伯努利）（他是John Bernoulli的兒子）有一次正在做穿過(guò)歐洲的旅行，他與一個(gè)陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹：“我是Daniel Bernoulli。"那個(gè)人當(dāng)時(shí)就怒了，說(shuō)：“我是還是Issac Newton（牛頓）呢�！盌aniel從此之后在很多的場(chǎng)合深情的回憶起這一次經(jīng)歷，把它當(dāng)作自己曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)的最衷心的贊揚(yáng)�！　�John & Jacobi這兩個(gè)Bernoulli人，都算不出來(lái)自然數(shù)倒數(shù)的平方和這個(gè)級(jí)數(shù)，Euler從他老師John那里知道的，并且給出了π2/6這個(gè)正確的答案。

　　法國(guó)有一個(gè)哲學(xué)家，叫做Denis Diderot（丹尼斯·狄德羅），中文的名字叫做狄德羅，是個(gè)無(wú)神論者，這個(gè)讓葉卡捷琳娜女皇不爽，于是他請(qǐng)Euler來(lái)教育一下Diderot（丹尼斯·狄德羅），其實(shí)Euler本來(lái)是弄神學(xué)的，他老爸就是的，后來(lái)是好幾個(gè)叫Bernoulli的去勸他父親，才讓Euler做數(shù)學(xué)了。Euler邀請(qǐng)Diderot來(lái)了皇宮，他這次的工作是證明上帝的存在性，然后，在眾人面前說(shuō)：“先生，( a + bn ) / n = x，因此上帝存在；請(qǐng)回答!”Diderot自然不懂代數(shù)，于是被羞辱，顯然他面對(duì)的是歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，他不得不離開(kāi)圣彼得堡，回到了巴黎

        如果一個(gè)試驗(yàn)中只關(guān)心某個(gè)事件Ａ是否發(fā)生，那么稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利模型．

　　對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中某事件是否發(fā)生，試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)，這種只有兩個(gè)可能結(jié)果的實(shí)驗(yàn)稱為貝努利試驗(yàn)。

　　重復(fù)進(jìn)行n次獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)，這里“重復(fù)”的意思是指各次試驗(yàn)的條件是相同的，它意味著各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率保持不變，“獨(dú)立”的意思是指是指各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的，這種試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型成為貝努利概型。有時(shí)為了突出實(shí)驗(yàn)次數(shù)n，也稱為ｎ重貝努利試驗(yàn)。

　　在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取0、1、2……n共n+1個(gè)可能值。關(guān)于貝努利試驗(yàn)，有如下的重要定理。

　　對(duì)于貝努利概型，事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生ｋ次的概率為 Pn（k）＝Cnkpkqn-k�。�0≤k≤n）　(公式1)

　　事件A至多出現(xiàn)m次的概率是　m　P｛0≤ξ≤ｍ｝ ＝ ∑Cnkpkqn-k　(公式2)　

　　K=0　事件A出現(xiàn)次數(shù)不小于ｌ不大于m的概率是　m　P｛l≤ξ≤ｍ｝＝ ∑ Cnkpkqn-k　(公式3)　

　　K=l　貝努利分布的期望 E(ξ)＝np　(公式4)　

　　給定出現(xiàn)A的幾率為p，用上面的公式就可以計(jì)算出試驗(yàn)次數(shù)為n時(shí)的幾率。

　　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，計(jì)算公式為　n　P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝ ∑ Cnkpkqn-k　(公式5)　

　　K=n/2　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，計(jì)算公式為　n　P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝ ∑ Cnkpkqn-k　(公式6)　

　　K=n/2+1　其中K=n/2+1取整數(shù)。

丹尼爾·伯努利在1726年首先提出的原理的內(nèi)容是：在水流或氣流里，如果速度小，壓力就大，如果速度大，壓力就小。