名字
Bernoulli（伯努利） 家族
簡介
John Bernoulli（約翰·伯努利）在1696年把最速降線問題在一個叫做《教師學報》的雜志上面提出，公開挑戰(zhàn)主要是針對他的哥哥Jacobi Bernoulli（加可比·伯努利），這兩個人在學術(shù)上一直相互不忿，據(jù)說當年John求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi（加可比·伯努利）做了一年還認為懸鏈線應該是拋物線，實在是很沒面子。那個雜志好像是Leibniz（萊布尼茲）搞得，很牛，歐洲的牛人們都來做這個東西。到最后，John收到了5份答案，有他自己的，Leibniz的，還有一個L.Hospital（洛比塔）侯爵的（我們比較喜歡的那個L.Hospital法則好像是他雇人做的，是個有錢人），然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是蓋著英國郵戳的，必然是Newton（牛頓）的，John自己說“我從它的利爪上認出了這頭獅子。”據(jù)說當年Newton從造幣廠回去，看到了Bernoulli的題，感覺渾身不爽，熬夜到凌晨4點，就搞定了。這么多解答當中，John的應該是最漂亮的，類比了Fermat（費馬）原理，用光學一下做了出來。但是從影響來說，Jacobi的做法真正體現(xiàn)了變分思想�！ ernoulli一家在歐洲享有盛譽，有一個傳說，講的是Daniel Bernoulli（丹尼爾·伯努利）（他是John Bernoulli的兒子）有一次正在做穿過歐洲的旅行，他與一個陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹：“我是Daniel Bernoulli。"那個人當時就怒了，說：“我是還是Issac Newton（牛頓）呢�！盌aniel從此之后在很多的場合深情的回憶起這一次經(jīng)歷，把它當作自己曾經(jīng)聽過的最衷心的贊揚�！ ohn & Jacobi這兩個Bernoulli人，都算不出來自然數(shù)倒數(shù)的平方和這個級數(shù)，Euler從他老師John那里知道的，并且給出了π2/6這個正確的答案。
后續(xù)
法國有一個哲學家，叫做Denis Diderot（丹尼斯·狄德羅），中文的名字叫做狄德羅，是個無神論者，這個讓葉卡捷琳娜女皇不爽，于是他請Euler來教育一下Diderot（丹尼斯·狄德羅），其實Euler本來是弄神學的，他老爸就是的，后來是好幾個叫Bernoulli的去勸他父親，才讓Euler做數(shù)學了。Euler邀請Diderot來了皇宮，他這次的工作是證明上帝的存在性，然后，在眾人面前說：“先生，( a + bn ) / n = x，因此上帝存在；請回答!”Diderot自然不懂代數(shù)，于是被羞辱，顯然他面對的是歐洲最偉大的數(shù)學家，他不得不離開圣彼得堡，回到了巴黎
不等式
定理1
定理2
定理3
試驗
如果一個試驗中只關(guān)心某個事件Ａ是否發(fā)生，那么稱這個試驗為貝努利試驗，相應的數(shù)學模型稱為貝努利模型．
對隨機實驗中某事件是否發(fā)生，試驗的可能結(jié)果只有兩個，這種只有兩個可能結(jié)果的實驗稱為貝努利試驗。
重復進行n次獨立的貝努利試驗，這里“重復”的意思是指各次試驗的條件是相同的，它意味著各次試驗中事件發(fā)生的概率保持不變，“獨立”的意思是指是指各次試驗的結(jié)果是相互獨立的，這種試驗所對應的數(shù)學模型成為貝努利概型。有時為了突出實驗次數(shù)n，也稱為ｎ重貝努利試驗。
在n重貝努利試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量，它可以取0、1、2……n共n+1個可能值。關(guān)于貝努利試驗，有如下的重要定理。
對于貝努利概型，事件A在n次試驗中發(fā)生ｋ次的概率為 Pn（k）＝Cnkpkqn-k�。�0≤k≤n） (公式1)
事件A至多出現(xiàn)m次的概率是 m P｛0≤ξ≤ｍ｝ ＝ ∑Cnkpkqn-k (公式2)
K=0 事件A出現(xiàn)次數(shù)不小于ｌ不大于m的概率是 m P｛l≤ξ≤ｍ｝＝ ∑ Cnkpkqn-k (公式3)
K=l 貝努利分布的期望 E(ξ)＝np (公式4)
給定出現(xiàn)A的幾率為p，用上面的公式就可以計算出試驗次數(shù)為n時的幾率。
當n為偶數(shù)時，計算公式為 n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝ ∑ Cnkpkqn-k (公式5)
K=n/2 當n為奇數(shù)時，計算公式為 n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝ ∑ Cnkpkqn-k (公式6)
K=n/2+1 其中K=n/2+1取整數(shù)。
伯努利原理
丹尼爾·伯努利在1726年首先提出的原理的內(nèi)容是：在水流或氣流里，如果速度小，壓力就大，如果速度大，壓力就小。
