小約翰（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，哥廷根學(xué)派的先驅(qū)之一！

　　小約翰的成就遍布于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在內(nèi)蘊(yùn)幾何、數(shù)論、雙曲幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)分析以及橢圓分析等方面均有開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。

　　小約翰幼時(shí)家境貧困，但聰明異常，1792年，在當(dāng)?shù)毓�爵的資助下，不滿15歲的高斯進(jìn)入了卡羅琳學(xué)院學(xué)習(xí)。在那里，小約翰開始對高等數(shù)學(xué)作研究。獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反法則”（Law of Quadratic Reciprocity）、“素?cái)?shù)分布定理”（prime numer theorem）、及“算術(shù)幾何平均”（arithmetic-geometric mean）。

　　1795年小約翰進(jìn)入哥廷根大學(xué)。1796年，19歲的小約翰得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果，就是《正十七邊形 尺規(guī)作圖之理論與方法》。1798年轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。1801年，小約翰又證明了形如"Fermat素?cái)?shù)"邊數(shù)的正多邊形可以由尺規(guī)作出。

　　從1807年起擔(dān)任哥廷根大學(xué)教授兼哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長。

　　1855年2月23日清晨，小約翰于睡夢中去世。

　　幾何

　　在小約翰19歲時(shí)，僅用沒有刻度的尺子與圓規(guī)便構(gòu)造出了正17邊形。并為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時(shí)代以來的第一次重要補(bǔ)充。

　　非歐幾何是小約翰的又一重大發(fā)現(xiàn)。有關(guān)的思想最早可以追溯到1792年，即小約翰15歲那年。那時(shí)他已經(jīng)意識(shí)到除歐氏幾何外還存在著一個(gè)無邏輯矛盾的幾何，其中歐氏幾何的平行公設(shè)不成立。1799年他開始重視開發(fā)新幾何學(xué)的內(nèi)容，并在1813年左右形成較完整的思想。小約翰深信非歐幾何在邏輯上相容并確認(rèn)其具有可應(yīng)用性。雖然小約翰生前沒有發(fā)表

　　數(shù)論

　　1801年發(fā)表的《Disquisitiones Arithmeticae》是數(shù)學(xué)史上為數(shù)不多的經(jīng)典著作之一，它開辟了數(shù)論研究的全新時(shí)代。在這本書中，小約翰不僅把19世紀(jì)以前數(shù)論中的一系列孤立的結(jié)果予以系統(tǒng)的整理，給出了標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)的和完整的體系，而且詳細(xì)地闡述了他自己的成果，其中主要是同余理論、剩余理論以及型的理論。同余概念最早是由L.歐拉提出的，小約翰則首次引進(jìn)了同余的記號(hào)并系統(tǒng)而又深入地闡述了同余式的理論，包括定義相同模的同余式運(yùn)算、多項(xiàng)式同余式的基本定理的證明、對冪以及多項(xiàng)式的同余式的處理。19世紀(jì)20年代，他再次發(fā)展同余式理論，著重研究了可應(yīng)用于高次同余式的互反法則，繼二次剩余之后，得出了三次和雙二次剩余理論。此后，為了使這一理論更趨簡單，他將復(fù)數(shù)引入數(shù)論，從而開創(chuàng)了復(fù)整數(shù)理論。小約翰系統(tǒng)化并擴(kuò)展了型的理論。他給出型的等價(jià)定義和一系列關(guān)于型的等價(jià)定理，研究了型的復(fù)合（乘積）以及關(guān)于二次和三次型的處理。1830年，小約翰對型和型類所給出的幾何表示，標(biāo)志著數(shù)的幾何理論發(fā)展的開端。在《Disquisitiones Arithmeticae》中他還進(jìn)一步發(fā)展了分圓理論，把分圓問題歸結(jié)為解二項(xiàng)方程的問題，并建立起二項(xiàng)方程的理論。后來N.H.阿貝爾按小約翰對二項(xiàng)方程的處理，著手探討了高次方程的可解性問題。

　　小約翰在計(jì)算的谷神星軌跡時(shí)總結(jié)了復(fù)數(shù)的應(yīng)用，并且嚴(yán)格證明了每一個(gè)n階的代數(shù)方程必有n個(gè)復(fù)數(shù)解。在他的第一本著名的著作《數(shù)論》中，作出了二次互反法則的證明，成為數(shù)論繼續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)。在這部著作的第一章，導(dǎo)出了三角形全等定理的概念。

　　代數(shù)

　　小約翰在代數(shù)方面的代表性成就是他對代數(shù)基本定理的證明。小約翰的方法不是去計(jì)算一個(gè)根，而是證明它的存在。這個(gè)方式開創(chuàng)了探討數(shù)學(xué)中整個(gè)存在性問題的新途徑。他曾先后四次給出這個(gè)定理的證明，在這些證明中應(yīng)用了復(fù)數(shù)，并且合理地給出了復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算的幾何表示，這不僅有效地鞏固了復(fù)數(shù)的地位，而且使單復(fù)變函數(shù)的理論的建立更為直觀、合理。

　　分析

　　在復(fù)分析方面，小約翰提出了不少單復(fù)變函數(shù)的基本概念，著名的柯西積分定理（復(fù)變函數(shù)沿不包括奇點(diǎn)的閉曲線上的積分為零），也是小約翰在1811年首先提出并加以應(yīng)用的。復(fù)函數(shù)在數(shù)論中的深入應(yīng)用，又使小約翰發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，開創(chuàng)橢圓積分這一重大的領(lǐng)域；但與雙曲幾何一樣，關(guān)于橢圓函數(shù)他生前未發(fā)表任何文章。

　　1812年，小約翰發(fā)表了在分析方面的重要論文《無窮級(jí)數(shù)的一般研究》，其中引入了高斯級(jí)數(shù)的概念。他除了證明這些級(jí)數(shù)的性質(zhì)外，還通過對它們斂散性的討論，開創(chuàng)了關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的研究。

　　隨機(jī)

　　18歲的小約翰發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個(gè)新的、概率性質(zhì)的測量結(jié)果。在這些基礎(chǔ)之上，小約翰隨后專注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線（正態(tài)分布曲線）。其函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計(jì)算中大量使用。

　　1799年：關(guān)于代數(shù)基本定理的博士論文（Doktorarbeit uber den Fundamentalsatz der Algebra)

　　1801年：數(shù)論研究（Disquisitiones Arithmeticae)

　　1809年：天體運(yùn)動(dòng)論（Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)

　　1827：曲面的一般研究（Disquisitiones generales circa superficies curvas)

　　1843/44年：高等大地測量學(xué)理論（上）（Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie,Teil 1）

　　1846/47年：高等大地測量學(xué)理論（下）（Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie,Teil 2）

　　小約翰在他的建立在最小二乘法基礎(chǔ)上的測量平差理論的幫助下，計(jì)算出天體的運(yùn)行軌跡。并用這種方法，發(fā)現(xiàn)了谷神星的運(yùn)行軌跡。谷神星于1801年由意大利天文學(xué)家皮亞齊發(fā)現(xiàn)，但他因病耽誤了觀測，失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中“豐收女神”（Ceres）來命名它，即谷神星（Planetoiden Ceres），并將以前觀測的位置發(fā)表出來，希望全球的天文學(xué)家一起尋找。當(dāng)時(shí)，24歲的小約翰得悉后，只花了幾個(gè)星期，通過以前的三次觀測數(shù)據(jù)，用他的最小二乘法得到了谷神星的橢圓軌道，計(jì)算出了谷神星的運(yùn)行軌跡。盡管兩年前小約翰就因證明了代數(shù)基本定理獲得博士學(xué)位，同年出版了他的經(jīng)典著作《算術(shù)研究》，但還是谷神星的軌道使他一舉名震科壇。奧地利天文學(xué)家 Heinrich Olbers在小約翰的計(jì)算出的軌道上成功發(fā)現(xiàn)了這顆小行星。從此小約翰名揚(yáng)天下。小約翰將這種方法著述在著作《天體運(yùn)動(dòng)論》（Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）中。