康托爾 - 簡(jiǎn)介

康托爾是德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于俄國圣彼得堡。

康托爾11歲時(shí)移居德國，在德國讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué)，翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，康托爾在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣�？低袪柨隙�了無窮數(shù)的存在，并對(duì)無窮問題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)�？低袪�1918年1月6日病逝于哈雷。

康托爾 - 生平

1845年3月3日，康托爾生于俄國的一個(gè)丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。

1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對(duì)數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時(shí)得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個(gè)目地進(jìn)入了柏林大學(xué)。這時(shí)柏林大學(xué)正在形成一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心�？低泻茉缇拖蛲�這所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。

他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托爾在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認(rèn)為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面發(fā)表論文直到1897年，過度的思維勞累以及強(qiáng)列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。

1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

康托爾 - 與集合論

背景

集合論在19世紀(jì)誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀(jì)，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴(yán)重的邏輯困難，而且還使實(shí)無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽(yù)掃地。19世紀(jì)上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級(jí)數(shù)的理論。正是這19世紀(jì)發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴(yán)密化�？挛魉枷胗幸欢ǖ哪：�性，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴(yán)格地說柯西的極限概念并沒有真正地?cái)[脫幾何直觀，確實(shí)地建立在純粹嚴(yán)密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機(jī)影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴(yán)格化。在這一過程中，都涉及到對(duì)微積分的基本研究對(duì)象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作�？傊�，為尋求微積分徹底嚴(yán)密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個(gè)重要原因。

建立

康托在柏林大學(xué)的導(dǎo)師是外爾斯托拉斯，庫曼和克羅內(nèi)克。庫曼教授是數(shù)論專家，他以引進(jìn)理想數(shù)并大大推動(dòng)費(fèi)馬大定理的研究而舉世聞名是�？肆_內(nèi)克是一位大數(shù)學(xué)家，當(dāng)時(shí)許多人都以得到他的贊許為榮。外爾斯托拉斯是一位優(yōu)秀教師也是一位大數(shù)學(xué)家。他的演講給數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)精確而穩(wěn)定的基礎(chǔ)。例如，微積分中著名的觀念就是他首先引進(jìn)的。正是由于這些人的影響，康托對(duì)數(shù)論較早產(chǎn)生興趣，并集中精力對(duì)高斯所留下的問題作了深入的研究。

他的畢業(yè)論文就是關(guān)于++=0的素?cái)?shù)問題的。這是高斯在《算術(shù)研究》中提出而未解決的問題。這片論文寫得相當(dāng)出色，它足以證明作者具有深刻的洞察力和對(duì)優(yōu)秀思想的繼承能力。然而，他的超窮集合論的創(chuàng)立，并沒有受惠于早期對(duì)數(shù)論的研究。相反，他很快接受了數(shù)學(xué)家海涅的建議轉(zhuǎn)向了其他領(lǐng)域。

海涅鼓勵(lì)康托研究一個(gè)十分有趣，也是較困難的問題：任意函數(shù)的三角級(jí)數(shù)的表達(dá)式是否唯一，對(duì)康托來說這個(gè)問題是促使他建立集合論的最直接原因。函數(shù)可用三角級(jí)數(shù)表示，最早是1822年傅立葉提出來的。此后對(duì)于間斷點(diǎn)的研究，越來越成為分析領(lǐng)域中引人注目的問題，從19世紀(jì)30年代起，不少杰出的數(shù)學(xué)家從事著對(duì)不連續(xù)函數(shù)的研究，并且都在一定程度上與集合這一概念掛起了鉤。這就為康托最終建立集合論創(chuàng)造了條件。

康托1872年的論文是從間斷點(diǎn)問題過度到點(diǎn)集論的極為重要的環(huán)節(jié)，使無窮點(diǎn)集成為明確的研究對(duì)象。從希臘時(shí)代以來，無窮集合很自然地引起數(shù)學(xué)家們和哲學(xué)家們的注意。而這種集合的本質(zhì)以及看來是矛盾的性質(zhì)，很難象有窮集合那樣來把握它。所以對(duì)這種集合的理解沒有任何進(jìn)展。早在中世紀(jì)，人們已經(jīng)注意到這樣的事實(shí)：如果從兩個(gè)同心圓出發(fā)畫射線，那么射線就在這兩個(gè)圓的點(diǎn)與點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)，然而兩圓的周長(zhǎng)是不一樣的。16世紀(jì)，伽俐略還舉例說，可以在兩個(gè)不同長(zhǎng)的線段ab與cd之間建立一一對(duì)應(yīng)，從而想象出它們具有同樣的點(diǎn)。

1883年，康托爾將它以《集合論基礎(chǔ)》為題作為專著單獨(dú)出版。

《集合論基礎(chǔ)》的出版，是康托數(shù)學(xué)研究的里程碑。其主要成果是引進(jìn)了作為自然數(shù)系的獨(dú)立和系統(tǒng)擴(kuò)充的超窮數(shù)。康托清醒地認(rèn)識(shí)到，他這樣做是一種大膽的冒進(jìn)�！拔液芰私膺@樣做將使我自己處于某種與數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮和自然數(shù)性質(zhì)的傳統(tǒng)觀念相對(duì)立的地位，但我深信，超窮數(shù)終將被承認(rèn)是對(duì)數(shù)概念最簡(jiǎn)單、最適當(dāng)和最自然的擴(kuò)充。”《集合論基礎(chǔ)》是康托爾關(guān)于早期集合理論的系統(tǒng)闡述，也是他將做出具有深遠(yuǎn)影響的特殊貢獻(xiàn)的開端。

爭(zhēng)議評(píng)價(jià)

康托爾的集合論是數(shù)學(xué)上最具有革命性的理論。他處理了數(shù)學(xué)上最棘手的對(duì)象---無窮集合。因此，他的發(fā)展道路也自然很不平坦。他拋棄了一切經(jīng)驗(yàn)和直觀，用徹底的理論來論證，因此他所得出的結(jié)論既高度地另人吃驚，難以置信，又確確實(shí)實(shí)，毋庸置疑。數(shù)學(xué)史上沒有比康托爾更大膽的設(shè)想和采取的步驟了。因此，它不可避免地遭到了傳統(tǒng)思想的反對(duì)。

19世紀(jì)被普遍承認(rèn)的關(guān)于存在性的證明是構(gòu)造性的。你要證明什么東西存在，那就要具體造出來。因此，人只能從具體得數(shù)或形出發(fā)，一步一步經(jīng)過有限多步得出結(jié)論來。至于“無窮”，許多人更是認(rèn)為它是一個(gè)超乎于人的能力所能認(rèn)識(shí)的世界，不要說去數(shù)它，就是它是否存在也難以肯定，而康托竟然“漫無邊際地”去數(shù)它，去比較它們的大小，去設(shè)想沒有最大基數(shù)的無窮集合的存在……這自然遭到反對(duì)和斥責(zé)。

集合論最激烈的反對(duì)者是克羅內(nèi)克，他認(rèn)為只有他研究的數(shù)論及代數(shù)才最可靠。因?yàn)樽匀粩?shù)是上帝創(chuàng)造的，其余的是人的工作。他對(duì)康托的研究對(duì)象和論證手段都表示強(qiáng)烈的反對(duì)。由于柏林是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)中心，克羅內(nèi)克又是柏林學(xué)派的領(lǐng)袖人物，所以他對(duì)康托及其集合論的發(fā)展前途的阻礙作用是非常大的。另一位德國的知覺主義者魏爾認(rèn)為，康托把無窮分成等級(jí)是霧上之霧。法國數(shù)學(xué)界的權(quán)威人物龐加萊曾預(yù)言：我們的“后一代將把（康托的）集合論當(dāng)作一種疾病”等等。由于兩千年來無窮概念數(shù)學(xué)帶來的困難，也由于反對(duì)派的權(quán)威地位,康托的成就不僅沒有得到應(yīng)有的評(píng)價(jià)，反而受到排斥。1891年，克羅內(nèi)克去世之后，康托的處境開始好轉(zhuǎn)。

另一方面，許多大數(shù)學(xué)家支持康托的集合論。除了狄德金以外，瑞典的數(shù)學(xué)家米大格---列夫勒在自己創(chuàng)辦的國際性數(shù)學(xué)雜志上把康托的集合論的論文用法文轉(zhuǎn)載，從而大大促進(jìn)了集合論在國際上的傳播。1897年在第一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，霍爾維次在對(duì)解析函數(shù)的最新進(jìn)展進(jìn)行概括時(shí)，就對(duì)康托的集合論的貢獻(xiàn)進(jìn)行了闡述。

三年后的第二次國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，為了捍衛(wèi)集合論而勇敢戰(zhàn)斗的希爾伯特又進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了康托工作的重要性。他把連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列為20世紀(jì)初有待解決的23個(gè)主要數(shù)學(xué)問題之首。希爾伯特宣稱：“沒有人能把我們從康托為我們創(chuàng)造的樂園中驅(qū)逐出去。”特別自1901年勒貝格積分產(chǎn)生以及勒貝格的測(cè)度理論充實(shí)了集合論之后，集合論得到了公認(rèn)，康托的工作獲得崇高的評(píng)價(jià)。當(dāng)?shù)谌�次國際數(shù)學(xué)大會(huì)于1904年召開時(shí)，“現(xiàn)代數(shù)學(xué)不能沒有集合論”已成為大家的看法�？低械穆曂�已經(jīng)得到舉世公認(rèn)。

康托爾 - 影響

康托爾是19世紀(jì)末20世紀(jì)初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭(zhēng)議的人物之一。19世紀(jì)末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭(zhēng)論乃至嚴(yán)厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。

他所創(chuàng)立的集合論被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴(kuò)充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)基礎(chǔ)，集合論不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯。

康托爾 - 作品

他的著作有：《G·康托爾全集》1卷及《康托爾-戴德金通信集》等。