狄利克雷是德國(guó)數(shù)學(xué)家。1805年2月13日生于迪倫；1859年5月5日卒于哥廷根。

狄利克雷出生于一個(gè)具有法蘭西血統(tǒng)的家庭。自幼喜歡數(shù)學(xué)，在12歲前就將零用錢攢起來(lái)買數(shù)學(xué)書閱讀。16歲中學(xué)畢業(yè)后，父母希望他學(xué)習(xí)法律，但狄利克雷卻決心攻讀數(shù)學(xué)，他先在迪倫學(xué)習(xí)，后到哥廷根受業(yè)于高斯。1822年到1827年間旅居巴黎當(dāng)家庭教師。在此期間，他參加了以傅里葉為首的青年數(shù)學(xué)家小組的活動(dòng)，深受傅里葉學(xué)術(shù)思想的影響。1827年在波蘭布雷斯勞大學(xué)任講師。1829年任柏林大學(xué)講師，1839年升為教授。1855年，高斯逝世后，他作為高斯的繼任者被哥廷根大學(xué)聘任為教授，直至逝世。他1831年被選為普魯士科學(xué)院院士，1855年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。

狄利克雷16歲通過(guò)中學(xué)畢業(yè)考試后，父母希望他攻讀法律，但他已選定數(shù)學(xué)為其終身職業(yè)。當(dāng)時(shí)的德國(guó)數(shù)學(xué)界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學(xué)，于是狄利克雷決定到數(shù)學(xué)中心巴黎上大學(xué)，那里有一批燦如明星的數(shù)學(xué)家，諸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒讓德(Legendre)、J．傅里葉(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克魯瓦(Lacroix)、J．B．比奧(Biot)等等。

1822年5月，狄利克雷到達(dá)巴黎，選定在法蘭西學(xué)院和巴黎理學(xué)院攻讀；其間因患輕度天花影響了聽課，幸好時(shí)間不長(zhǎng)。1823年夏，他被選中擔(dān)任M．法伊(Fay)將軍的孩子們的家庭教師。法伊是拿破侖時(shí)代的英雄，時(shí)任國(guó)民議會(huì)反對(duì)派的領(lǐng)袖。狄利克雷擔(dān)任此職，不僅收入頗豐，而且受到視如家人的善待，還結(jié)識(shí)了許多法國(guó)知識(shí)界的名流。其中，他對(duì)數(shù)學(xué)家傅里葉尤為尊敬，受其在三角級(jí)數(shù)和數(shù)學(xué)物理方面工作的影響頗深。另一方面，狄利克雷從未放棄對(duì)高斯1801年出版的數(shù)論名著《算術(shù)研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的鉆研。據(jù)傳他即使在旅途中也總是隨身攜帶此書，形影不離。當(dāng)時(shí)還沒有其他數(shù)學(xué)家能完全理解高斯的這部書，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人�？梢哉f(shuō)，高斯和傅里葉是對(duì)狄利克雷學(xué)術(shù)研究影響最大的兩位數(shù)學(xué)前輩。

1825年，狄利克雷向法國(guó)科學(xué)院提交他的第一篇數(shù)學(xué)論文，題為“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L’impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)。他利用代數(shù)數(shù)論方法討論形如x5+y5=A·z5的方程。幾周后，勒讓德利用該文中的方法證明了當(dāng)n=5時(shí)無(wú)整數(shù)解；狄利克雷本人不久也獨(dú)立證明出同一結(jié)論。(后來(lái)狄利克雷再次研究費(fèi)馬大定理時(shí)，證明n=14時(shí)該方程無(wú)整數(shù)解。)

1825年11月，法伊將軍去世。1826年，狄利克雷在為振興德國(guó)自然科學(xué)研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影響下，返回德國(guó)，在布雷斯勞大學(xué)獲講師資格(他在法國(guó)未攻讀博士學(xué)位，而由科隆大學(xué)授予他榮譽(yù)博士頭銜，這是獲講師資格的必要條件)，后升任編外教授(extraordinary professor，為介于正式教授和講師之間的職稱)。

1828年，狄利克雷又經(jīng)洪堡的幫助來(lái)到學(xué)術(shù)空氣較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學(xué)院。同年，他又被聘為柏林大學(xué)編外教授(后升為正式教授)，開始了他在柏林長(zhǎng)達(dá)27年的教學(xué)與研究生涯。由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，諄諄善誘，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，對(duì)德國(guó)在19世紀(jì)后期成為國(guó)際上又一個(gè)數(shù)學(xué)中心產(chǎn)生了巨大影響。

1831年，狄利克雷成為柏林科學(xué)院院士。同年，他和哲學(xué)家M．門德爾松(Mende1ssohn)（音樂家費(fèi)利克斯·門德爾松之姐）的外孫女麗貝卡·門德爾松-巴托爾特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)結(jié)婚。

1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到格丁根大學(xué)任教。與在柏林繁重的教學(xué)任務(wù)相比，他很欣賞在格丁根有更多自由支配的時(shí)間從事研究(這一時(shí)期主要從事一般力學(xué)的研究)�？上�美景不長(zhǎng)，1858年夏他去瑞士蒙特勒開會(huì)，作紀(jì)念高斯的演講，在那里突發(fā)心臟病。狄利克雷雖平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中風(fēng)身亡的打擊，病情加重，于1859年春與世長(zhǎng)辭。

在數(shù)論方面，他對(duì)高斯的u2019《算術(shù)研究》進(jìn)行了研究，并有所創(chuàng)新，對(duì)費(fèi)馬大定理，他給出當(dāng)n=14時(shí)，無(wú)整數(shù)解的證明；還探討了二次型、多項(xiàng)式的因子、二次和雙二次互反德等等問題；還開創(chuàng)了解析數(shù)論的研究。

狄利克雷在柏林的早期數(shù)論工作，集中在改進(jìn)高斯在《算術(shù)研究》及其他數(shù)論文章中的證明或表述方式。如高斯給出的二次互反律的第一個(gè)證明相當(dāng)煩瑣，需對(duì)8種情形作分別的處理；狄利克雷簡(jiǎn)化了這一證明，把全部情形歸結(jié)為2種。其后，他在高斯的理論中引入了一些更深入的問題和結(jié)果。如為解二元型理論中的某些困難問題，他開始討論三元型的課題，提出了一個(gè)富有成果的新領(lǐng)域。1837年7月27日，狄利克雷在柏林科學(xué)院會(huì)議上，提交了對(duì)勒讓德的一個(gè)猜想的解答，他證明任一形如an+b，n=0，1，2，…的算術(shù)級(jí)數(shù)，若a，b互素，則它含有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)(即算術(shù)級(jí)數(shù)的素是復(fù)數(shù))和二元二次型類數(shù)的計(jì)算等分析學(xué)工具和方法，成為解析數(shù)論的開創(chuàng)性工作。

1842年，狄利克雷開始研究具有高斯系數(shù)的型，首次運(yùn)用了“盒子原理”——若將多于n個(gè)的物體放入n個(gè)盒子，則至少有一個(gè)盒子含有多于一個(gè)的物體，它在現(xiàn)代數(shù)論的許多論證中起重要作用。

1846年，他在屬于代數(shù)數(shù)論的單元理論的文章“復(fù)單元理論(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，獲得了一個(gè)漂亮而完整的結(jié)果，現(xiàn)稱狄利克雷單元定理：對(duì)由一個(gè)不可約方程及其r個(gè)實(shí)根和s對(duì)復(fù)根定義的代數(shù)數(shù)域 K=Q(α)，一切單元構(gòu)成的阿貝爾群的秩為r+s-1，其有限階元部分由域中單位根組成。

1863年，狄利克雷的《數(shù)論講義》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的學(xué)生和朋友R．戴德金(Dedekind)編輯出版，這份講義不僅是對(duì)高斯《算術(shù)研究》的最好注釋，而且融進(jìn)了他在數(shù)論方面的許多精心創(chuàng)造，之后多次再版，成為數(shù)論經(jīng)典之一。

在分析方面，他最卓越的工作是對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)收斂性的研究。他在1822——1825年期間在巴黎會(huì)見傅立葉之后，對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)產(chǎn)生了興趣。日本數(shù)學(xué)家丸山哲郎說(shuō)：“把任意函數(shù)用三角級(jí)數(shù)表示出來(lái)的傅立葉方法，被狄利克雷所繼承，他給出了關(guān)于傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性證明。”

狄利克雷是19世紀(jì)分析學(xué)嚴(yán)格化的倡導(dǎo)者之一。1829年，他在克雷爾(Crell)雜志發(fā)表了他最著名的一篇文章“關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)。該文是在傅里葉有關(guān)熱傳導(dǎo)理論的影響下寫成的，討論任意函數(shù)展成形如：1/2+(cosx+sinx)+(cos2x+sin2x)+…的三角級(jí)數(shù)(現(xiàn)稱傅里葉級(jí)數(shù))及其收斂性。早在18世紀(jì)，D．伯努利(Bernoulli)和L．歐拉(Euler)就曾在研究弦振動(dòng)問題時(shí)考察過(guò)這類級(jí)數(shù)。傅里葉在19世紀(jì)初用它討論熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，但未慮及其收斂性．A．L．柯西(Cauchy)在1823年開始考慮它的收斂問題。狄利克雷在文中指出柯西的推理不嚴(yán)格，其結(jié)論也不能涵蓋某些已知其收斂性的級(jí)數(shù)。他進(jìn)而考慮形式上對(duì)應(yīng)于給定函數(shù)f(x)的三角級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和，檢驗(yàn)它跟f(x)的差是否趨于零，后成為判斷級(jí)數(shù)收斂的經(jīng)典方法。狄利克雷證明：若f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，在-π<x dx有限，則在f(x)所有的連續(xù)點(diǎn)處，其傅里葉級(jí)數(shù)收斂到f(x)，在函數(shù)的跳躍點(diǎn)處，它收斂于函數(shù)左右極限值的算術(shù)平均。這是第一個(gè)嚴(yán)格證明了的有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)收斂的充分條件，開始了三角級(jí)數(shù)理論的精密研究。

1837年，狄利克雷再次回到上述課題，發(fā)表題為“用正弦和余弦級(jí) tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章，其中擴(kuò)展了當(dāng)時(shí)普遍采用的函數(shù)概念(即由數(shù)學(xué)符號(hào)及運(yùn)算組成的表達(dá)式為函數(shù)的概念)，引入了現(xiàn)代的函數(shù)概念：若變量y以如下方式與變量x相關(guān)聯(lián)，即只要給x指定一個(gè)值，按一個(gè)規(guī)則可確定唯一的y值，則稱y是獨(dú)立變量x的函數(shù)。為說(shuō)明該規(guī)則具有完全任意的性質(zhì)，狄利克雷舉出了“性狀極怪”的函數(shù)實(shí)例：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，y=c；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，y=d≠c 現(xiàn)稱狄利克雷函數(shù))。但狄利克雷的連續(xù)函數(shù)概念仍是直觀的，并根據(jù)等距取函數(shù)值求和的方法定義其積分。在此基礎(chǔ)上，狄利克雷建立了傅里葉級(jí)數(shù)的理論。

狄利克雷在數(shù)學(xué)和力學(xué)兩個(gè)領(lǐng)域都做出了名垂史冊(cè)的重大貢獻(xiàn)，尤以分析、數(shù)論、位勢(shì)論為最。著名數(shù)學(xué)家阿貝爾說(shuō)：“狄利克雷是一位極有洞察力的數(shù)學(xué)家�！�

1839年，狄利克雷發(fā)表了3篇涉及力學(xué)的數(shù)學(xué)論文，討論多重積分估值的方法，用于確定橢球體對(duì)其內(nèi)部或外部任意質(zhì)點(diǎn)的引力，開始了他對(duì)數(shù)學(xué)物理問題的研究。這方面最重要的文章發(fā)表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的邊值問題(現(xiàn)稱狄利克雷問題或第一邊值問題)：求滿足偏微分方程的位勢(shì)函數(shù)V(x，y，z)，使它在球面邊界上取給定的值。這一類型的問題在熱力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)中特別重要，也是數(shù)理方程研究中的基本課題。狄利克雷本人曾用所謂的狄利克雷原理給出了問題的解。1852年，他討論球在不可壓縮流體中的運(yùn)動(dòng)，得到流體動(dòng)力學(xué)方程的第一個(gè)精確解。

勒熱納·狄利克雷逝后，其朋友且學(xué)生數(shù)學(xué)家戴德金將其數(shù)論的講述和其他結(jié)果整理、編輯，在1863年出版了他的遺著《數(shù)論講義》，其中包含了他在數(shù)論方面的許多成果。在分析方面，他先后發(fā)表了《關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性》、《用正弦和余弦級(jí)數(shù)表示完全任意函數(shù)》，其中進(jìn)一步發(fā)展了傅里葉級(jí)數(shù)的理論，并提出新的單值函數(shù)概念，還提出所謂“狄利克雷函數(shù)”、所謂“狄利克雷積分”等。他還在位勢(shì)論、熱學(xué)、磁學(xué)、數(shù)學(xué)物理等方面也有一些創(chuàng)造。

狄利克雷很注重同德、法等外國(guó)數(shù)學(xué)家的交流。其主要論文收集在《狄利克雷論文集》里，共2卷，分別出版于1889年和1897年。

1.簡(jiǎn)介

在數(shù)論中，狄利克雷定理說(shuō)明對(duì)于任意互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)a,d，有無(wú)限多個(gè)質(zhì)數(shù)的形式如a+nd，其中n為正整數(shù)，即在算術(shù)級(jí)數(shù)a+d,a+2d,a+3d……中有無(wú)限多個(gè)質(zhì)數(shù)——有無(wú)限個(gè)質(zhì)數(shù)模d同余a。狄利克雷函數(shù)無(wú)法畫出圖像

2.相關(guān)定理

歐幾里得證明了有無(wú)限個(gè)質(zhì)數(shù)，即有無(wú)限多個(gè)質(zhì)數(shù)的形式如2n+1。

算術(shù)級(jí)數(shù)的質(zhì)數(shù)定理：若a,d互質(zhì)，則有

其中φ是歐拉函數(shù)。取d=2，可得一般的質(zhì)數(shù)定理。

Linnik定理說(shuō)明了級(jí)數(shù)中最小的質(zhì)數(shù)的范圍：算術(shù)級(jí)數(shù)a+nd中最小的質(zhì)數(shù)少于c*d^L，其中L和c均為常數(shù)，但這兩個(gè)常數(shù)的最小值尚未找到。

Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴(kuò)張的推廣。

分析學(xué)中，狄利克雷（Dirichlet）判別法是分析學(xué)中一條十分重要的判定法則，主要用于判定任意項(xiàng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂、反常積分的收斂以及含參變量反常積分的一致收斂等。

1834年提出鴿巢定理（即抽屜原理），當(dāng)時(shí)命名為Schubfachprinzip (drawer principle).

狄利克雷于1805年2月13日生于德國(guó)迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。

其家庭來(lái)自比利時(shí)的市鎮(zhèn)利克雷（Richelet），此乃其姓氏勒熱納·狄利克雷（le jeune de Richelet = 法語(yǔ)：來(lái)自利克雷的小伙子），他的祖父就生活在那里。狄利克雷出身于行政官員家庭，他父親是一名郵政局長(zhǎng)。狄利克雷少年時(shí)即表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，據(jù)說(shuō)他在12歲前就自攢零用錢購(gòu)買數(shù)學(xué)圖書。1817年入波恩的一所中學(xué)，除數(shù)學(xué)外，他對(duì)近代史有特殊愛好，人們稱道他是個(gè)能專心致志又品行優(yōu)良的學(xué)生。兩年后，他遵照父母的意愿轉(zhuǎn)學(xué)到科隆的一所教會(huì)學(xué)校，在那里曾從師物理學(xué)家歐姆(Ohm)，學(xué)到了必要的物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

其妻瑞貝卡·門德爾松（Rebecca Mendelssohn）是音樂家費(fèi)利克斯·門德爾松的妹妹。