波爾約的父親F．波爾約(Bolyai)21歲進(jìn)哥丁根大學(xué)，是著名數(shù)學(xué)家C．F．高斯(Gauss)的同學(xué)和終身好友，1804—1853年一直是毛羅什瓦薩爾海伊(Marosvásárhely)福音學(xué)院頗有名望的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)教授．在幾何基礎(chǔ)方面，他特別注重歐氏平行公設(shè)的研究，其數(shù)學(xué)代表作《寫(xiě)給好學(xué)青年的數(shù)學(xué)原理》(Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae)試圖建立一個(gè)堅(jiān)實(shí)而系統(tǒng)的幾何基礎(chǔ)及算術(shù)、代數(shù)、分析的基礎(chǔ)．波爾約的生母S．V．阿卡絲(Arkos)是一位外科醫(yī)生的女兒，死于1821年；后母T．娜格(Nagy)是一位鐵商的女兒．

　　波爾約在父親指導(dǎo)下，少年時(shí)代就學(xué)習(xí)了微積分、分析力學(xué)等高深學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)．1818年考入維也納帝國(guó)工程學(xué)院，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科上顯示了天才，1822年畢業(yè)分配至軍事部門(mén)，從事軍事研究工作．1833年不幸遭車(chē)禍致殘，他退役回到父親家里，不久后母去世，兩人在一起常有沖突，最后波爾約遷至偏僻的多馬爾德(Domald)地區(qū)過(guò)著隱居式的生活．1834年，他與當(dāng)?shù)貗D女R．V．娃本(Orbam)結(jié)婚，生有三個(gè)孩子，生活極端艱苦．1856年其父去世，同年他又與妻子中斷了關(guān)系，晚年專(zhuān)心于文藝創(chuàng)作．他死于肺病，埋葬在奧匈帝國(guó)偏僻小鎮(zhèn)毛羅什瓦薩爾海伊的墓地里．

　　波爾約是非歐幾何創(chuàng)始者之一．1894年，匈牙利數(shù)學(xué)物理學(xué)會(huì)主持修復(fù)了他的墓地，并建造雕像，供人景仰．1905年，匈牙利科學(xué)院高度表彰了他的功績(jī)，頒發(fā)了以他命名的國(guó)際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)那些為數(shù)學(xué)進(jìn)展作出巨大貢獻(xiàn)的人，著名數(shù)學(xué)家J．H．龐加萊(Poincaré)、D．希爾伯特(Hilbert)及物理學(xué)家 A．愛(ài)因斯坦(Einstein)都曾獲得這個(gè)大獎(jiǎng)．

　　歐幾里得《幾何原本》(Elements)第1卷的第5個(gè)公設(shè)是平行公設(shè)：“若兩直線(xiàn)和第三直線(xiàn)相交，且在同一側(cè)所成的兩個(gè)同旁?xún)?nèi)角之和小于兩直角，則這兩直線(xiàn)無(wú)限延長(zhǎng)后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)”，實(shí)質(zhì)是說(shuō)明“在平面上過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，只能作一條直線(xiàn)與它平行”．但這一公設(shè)不象其他公設(shè)那樣便于在實(shí)踐中檢驗(yàn)，歐氏也只是在證明第29個(gè)命題時(shí)才用到它，且在此后任何命題中不再引用．一部體系嚴(yán)密的經(jīng)典著作出現(xiàn)這樣文字冗長(zhǎng)又非顯而易見(jiàn)的公設(shè)似乎是個(gè)缺陷，從希臘時(shí)代到18世紀(jì)兩千余年間，許多學(xué)者試圖證明它，然而他們大都不自覺(jué)地引用了與第五公設(shè)等效的命題，因而使愿望落空．C．托勒密(Ptolemy)、J．沃利斯(Wallis)、G．薩凱里(Saccheri)、M．勒讓德(Legendre)等都進(jìn)行過(guò)這種失敗的嘗試，但也有收獲，因?yàn)樗麄兣�清了一系列與第五公設(shè)等價(jià)的命題，其中薩凱里作了最重要的工作，他用間接證法試證第五公設(shè)，但犯了一個(gè)錯(cuò)誤，他把有限圖形的性質(zhì)擴(kuò)大到無(wú)限圖形，以為在有限遠(yuǎn)處不成立的東西在無(wú)限遠(yuǎn)處也不成立，以致步于偉大發(fā)現(xiàn)的門(mén)邊而停步了．1736年G．S．克呂格爾(Kerügel)在他的論文中指出：(1)公理的實(shí)質(zhì)在于經(jīng)驗(yàn)，而并非不證自明，人們之所以接受歐氏平行公設(shè)的真理是基于人們對(duì)空間觀念的經(jīng)驗(yàn)；(2)歐氏平行公設(shè)的可證明性值得懷疑，薩凱里并沒(méi)有得出矛盾，他只得到似乎異于經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果．對(duì)上述提示，T．H．蘭伯特(Lambert)作了進(jìn)一步的研究，認(rèn)識(shí)到一組假設(shè)如果不導(dǎo)致矛盾，一定可以提供一種可能的幾何．受此影響，F(xiàn)．K．施威卡特(Schawikart)在1818年送交高斯征求意見(jiàn)的備忘錄中已區(qū)分了兩種幾何：歐氏幾何與假設(shè)三角形內(nèi)角和不是兩直角的幾何；他的外甥F．A．托里努斯(Taurinus)續(xù)續(xù)進(jìn)行研究，在有關(guān)著作中敘述了如何用純粹形式的分析方法展開(kāi)由銳角假設(shè)所導(dǎo)出的幾何，他取球半徑r=ρi，證明了虛半球面上成立的公式恰好是他所研究的星空幾何中的公式．遺憾的是，他認(rèn)為只有歐氏幾何對(duì)物質(zhì)空間才是正確的，而星空幾何只是邏輯上無(wú)矛眉，他不能想象使銳角假設(shè)成立的空間，因而把銳角假設(shè)作為一個(gè)非實(shí)在的東西予以?huà)仐壛耍畯目藚胃駹柕酵欣锱�斯，這幾位學(xué)者都已承認(rèn)第五公設(shè)的不可證明性，即第五公設(shè)相對(duì)于歐氏其他公設(shè)是獨(dú)立的；但他們都沒(méi)有認(rèn)識(shí)到，就描述物質(zhì)空間的性質(zhì)來(lái)說(shuō)，歐氏幾何并非是唯一的幾何．

　　由于一連串的失敗大多出于名家之手，不少人便望而卻步，直到19世紀(jì)初，仍流行著G．W．F．黑格爾(Hegel)的論點(diǎn)：歐氏幾何相當(dāng)完備，“不可能有更多的進(jìn)展”，教會(huì)保守勢(shì)力正好利用這點(diǎn)宣揚(yáng)上帝創(chuàng)造萬(wàn)物是“亙古不變的”．歐氏幾何數(shù)千年的壟斷性的全線(xiàn)突破、非歐幾何體系的全面探討，應(yīng)歸功于高斯、H．И．羅巴切夫斯基(лобачевский)及波爾約，而以后兩者為主．

　　波爾約的父親對(duì)歐氏平行公設(shè)問(wèn)題探討了大半輩子而徒勞無(wú)益．1820年，在大學(xué)就讀的波爾約繼承了父親對(duì)平行公設(shè)的研究．開(kāi)始，他也是從正面入手，試圖用歐氏其他公設(shè)來(lái)證明平行公設(shè)，結(jié)果失敗了．其父堅(jiān)決反對(duì)兒子墮入在他看來(lái)是前途渺茫的深淵，1820年寫(xiě)信責(zé)令兒子必須停止這項(xiàng)研究，信中說(shuō)：“它將剝奪你所有閑暇、健康、思維的平衡及你一生所有的快樂(lè)．這個(gè)無(wú)底的黑暗或許可以吞吃掉一千個(gè)燈塔式的牛頓，這個(gè)夜任何時(shí)候也不會(huì)在大地上光明．”但波爾約并未被如此駭人聽(tīng)聞的言詞所嚇倒，他一方面深入了解和分析前人的研究過(guò)程；另方面又對(duì)自己所作研究進(jìn)行認(rèn)真的反思．他在與A．脫萊坎(Teleki)伯爵的管家K．悉阿斯(Siasr)的交談中得到啟發(fā)，開(kāi)始用歸謬法證明，即從反面來(lái)考慮命題，看否定平行公設(shè)能否引出與歐氏幾何的其他公設(shè)或公理相悖的結(jié)果．在他不遺余力的嚴(yán)密推理下，不但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推出一系列全新的無(wú)矛盾的結(jié)論，為此，他斷言第五公設(shè)是一條獨(dú)立的公設(shè)，若能找到替代此公設(shè)的“平行公設(shè)”，便可以構(gòu)成一門(mén)獨(dú)立的新幾何．這一別開(kāi)生面的思想，使他獨(dú)辟蹊徑，構(gòu)造了“新幾何學(xué)”，他把它稱(chēng)為絕對(duì)幾何，后人稱(chēng)為“虛幾何”、“雙曲幾何”或“羅巴切夫斯基幾何”，這是一種非歐幾何．經(jīng)過(guò)幾年的艱苦努力，他于1823年寫(xiě)成了著名論文《空間的絕對(duì)幾何學(xué)》(Appendix explaining theabsolutely true Sácnce ofspace)，時(shí)年21歲．11月3日，他興奮地給父親發(fā)出信函：“我決定出版自己關(guān)于平行線(xiàn)的著作，……，我已從烏有創(chuàng)造了另一個(gè)全新的世界”，他把手稿寄給父親，請(qǐng)求父親幫助出版，其父不相信這么年輕的兒子會(huì)有什么成就，更看不到?jīng)_破傳統(tǒng)觀念的束縛對(duì)科學(xué)發(fā)展和造就人才的意義，對(duì)兒子研究成果的反映非常冷淡，拒絕協(xié)助出版．1825年2月波爾約回家探親，特地把含有絕對(duì)空間理論的這一文稿當(dāng)面送給父親看，其父為新幾何中依賴(lài)于一個(gè)任意常數(shù)而迷茫，仍不能接受這種幾何學(xué)．1826年，他把論文的德文抄稿寄給母校的數(shù)學(xué)老師，請(qǐng)求評(píng)審和支持，不幸抄稿遺失了．

　　在波爾約表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)天才之際，其父也于1829年完成了他的《寫(xiě)給好學(xué)青年的數(shù)學(xué)原理》二卷，含三個(gè)附錄．1831年，經(jīng)波爾約再三請(qǐng)求，其父才勉強(qiáng)同意將他的論文作為該書(shū)的《附錄》之一出版，這篇被壓縮到24頁(yè)的的論文，是波爾約一生中發(fā)表的唯一成果．1831年6月20日其父寫(xiě)信給高斯，并將兒子《附錄》樣稿寄給他，想聽(tīng)聽(tīng)他的意見(jiàn)，但高斯沒(méi)有回信，1832年1月16日又給高斯去信，高斯在3月6日的復(fù)信中寫(xiě)道：“關(guān)于你兒子的工作，當(dāng)我一開(kāi)始便說(shuō)我不能稱(chēng)贊他時(shí)，你一定會(huì)感到震驚……，因?yàn)榉Q(chēng)贊他便等于稱(chēng)贊我自己，文章所有內(nèi)容，你兒子采取的思路、方法以及所達(dá)結(jié)果，和我在30至35年前已開(kāi)始的一部分工作完全相同，我真是被這些結(jié)果嚇住了，……，但我本來(lái)就是不愿發(fā)表的，……”．信中雖夸獎(jiǎng)波爾約是“頭等品質(zhì)的天才”，信的結(jié)尾還有注記，其中包括讓波爾約確定如何在他的幾何里求四面體的體積，但波爾約還是感到心情沉重，他不相信別人比他更早達(dá)到同一結(jié)果，認(rèn)定高斯在這個(gè)發(fā)現(xiàn)上要奪優(yōu)先權(quán)，盡管他后來(lái)相信高斯所講是真話(huà)，仍認(rèn)為高斯沒(méi)有公開(kāi)自己的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)錯(cuò)誤．由于高斯的那封回信，更由于文章歷盡艱辛而出版后卻沒(méi)有引起多少反應(yīng)，當(dāng)羅巴切夫斯基獨(dú)立研究的同樣成果發(fā)表后，他甚至變得惱怒，以致有一段時(shí)間陷于失望而影響了數(shù)學(xué)工作．1837年，父子兩人克服種種困難，參加了由萊比錫加勃羅諾協(xié)會(huì)(The Jablonow Societyin Leipzig)贊助的關(guān)于“虛量的嚴(yán)格幾何構(gòu)造”(The rigorousgeometric construction of imaginary quantities)問(wèn)題有獎(jiǎng)?wù)鹘鈹?shù)學(xué)競(jìng)賽，以重振他倆在數(shù)學(xué)界的威望，但二人的解答因太復(fù)雜而落選．后來(lái)，波爾約研究過(guò)絕對(duì)空間中四面體的體積，并在1856年寫(xiě)成一個(gè)注記．

　　波爾約一生中的最大成就是獨(dú)立創(chuàng)建絕對(duì)幾何．他首先摒棄了歐氏第五公設(shè)，建立了絕對(duì)空間的概念：在空間的平面上，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有一束直線(xiàn)不與原直線(xiàn)相交．當(dāng)這束直線(xiàn)減少為一條時(shí)，該空間就是歐氏空間．他用這一“平行公設(shè)”替代了歐氏平行公設(shè)，再與歐氏其他公理、公設(shè)結(jié)合，邏輯地演繹出一系列全新的、彼此相容的命題，建立起非歐幾何．它與歐氏幾何的主要差別，在于共面不交線(xiàn)這方面．非歐幾何中，過(guò)定點(diǎn)和定直線(xiàn)共面的不交線(xiàn)有無(wú)窮多條；而歐氏幾何中，過(guò)定點(diǎn)和定直線(xiàn)共面的不交線(xiàn)只有一條．這種非歐幾何體系是否存在？用公理化的方法來(lái)探討，即非歐幾何體系的整個(gè)公理體系是否在邏輯上相容？如何能唯一地確定一個(gè)非歐幾何體系？波爾約的重大貢獻(xiàn)就在于他獨(dú)立地、成功地解答了上述問(wèn)題．

　　在本質(zhì)上，一種幾何體系就是空間的一種數(shù)理模型，而一個(gè)幾何體系的“公理體系u2019就是它的一組特征性質(zhì)，它提供了這個(gè)抽象模型的一種簡(jiǎn)要描述，也是對(duì)于這個(gè)模型的其他性質(zhì)探討的邏輯基礎(chǔ)．波爾約的思想方法可描述如下：以Au2032表示兩種幾何共同的公理集合，以∥E表示歐氏幾何的平行公理，∥N表示非歐幾何的平行公理，則

　　因?yàn)椤蜤和∥N顯然不相容，所以他的非歐公理的合理性也就直觀地回答了：∥E不可能是Au2032的邏輯推論．對(duì)于∥E的邏輯關(guān)系可分為兩類(lèi)：第一類(lèi)只用Au2032中的公理就能推導(dǎo)出來(lái)，這顯然是兩種幾何所共有的；第二類(lèi)是只在歐氏幾何中成立而在他創(chuàng)立的新幾何中不成立的性質(zhì)，這顯然依賴(lài)于∥E．他精辟地分析了Au2032的各種邏輯推理，研究了這些基本性質(zhì)和∥E之間的邏輯關(guān)系，建立起一系列深刻的定理．在對(duì)于共面不交線(xiàn)與平行線(xiàn)的的討論上，他特別細(xì)心地分成∥E和∥N兩種不同情況，指明只有與∥E有關(guān)的命題，兩種幾何才有完全不同的內(nèi)容．他的幾何與歐氏幾何相比，主要有三個(gè)新內(nèi)容：(1)“平行”是具有方向性的；(2)三角形內(nèi)角和小于二直角，且其內(nèi)角和可以任意��；(3)三種線(xiàn)束模型——平行線(xiàn)束(同向)、共點(diǎn)線(xiàn)束、超平行線(xiàn)束(同垂直于一直線(xiàn))．由于他指明的平行線(xiàn)意義和條數(shù)與歐氏幾何的根本差異，在他創(chuàng)立的新幾何中審定了如下主要結(jié)論：(1)平行線(xiàn)的不變性；(2)平行線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性；(3)平行線(xiàn)的傳遞性；(4)由Au2032可推出，過(guò)直線(xiàn)l的線(xiàn)外定點(diǎn)p，恒存在至少一條和l共面的不交線(xiàn)；(5)兩平行線(xiàn)在平行方向無(wú)限接近，在相反方向則無(wú)限遠(yuǎn)離；(6)同一直線(xiàn)的垂線(xiàn)與斜線(xiàn)不一定相交，因此過(guò)不共線(xiàn)三點(diǎn)不一定可作圓；(7)共面不交的兩直線(xiàn)被第三直線(xiàn)所截，同位角(或內(nèi)錯(cuò)角)不一定相等；(8)兩三角形若有三內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，則兩三角形必全等(即不存在相似而不全等的三角形)；(9)薩凱里四邊形的上底角小于直角，這說(shuō)明非歐平面上不存在矩形；(10)非歐幾何中存在“絕對(duì)的長(zhǎng)度單位”．

　　波爾約非歐幾何與歐氏幾何的差異，突出地表現(xiàn)在三角形內(nèi)角和方面．他由Au2032導(dǎo)出三角形的內(nèi)角和小于兩直角2d，且內(nèi)角和隨此三角形面積的增大而減小，當(dāng)面積趨近于零時(shí)，它趨近于2d．更確切地說(shuō)，有

　　其中K是取定的一正常數(shù)，差2d-(∠A+∠B+∠C)稱(chēng)為△ABC的“虧值“．上式表明，三角形的面積與這三角形的虧值成正比，易見(jiàn)當(dāng)S△ABC增大時(shí)，虧值亦增大，從而內(nèi)角和減�。�公式(1)與球面三角形的面積公式

　　S△ABC=R2(A+B+C-π) (2)

　　波爾約在絕對(duì)三角和球面三角方面也做了不少出色的工作．例如：

　　(1)由Au2032推出波爾約正弦定律：對(duì)于任意△ABC，有

　　其中a，b，c分別表示∠A，∠B，∠C的對(duì)邊之長(zhǎng)，而⊙a(bǔ)，⊙b，⊙c分別表示以a，b，c為半徑的圓周長(zhǎng)．他給出了這一定律的邏輯證明．

　　(2)給出⊙r(半徑為r的圓周長(zhǎng))在三種幾何中的表達(dá)式：

　　(3)給出了三種幾何中的余弦定理

　　顯然，在球面、非歐的情形，上述公式只是K=1時(shí)的特殊情形．他公式，所以非歐平面與半徑為純虛數(shù)的球面是相似的幾何對(duì)象．這種正確的認(rèn)識(shí)深化了非歐幾何的研究，并推動(dòng)了球面幾何學(xué)的發(fā)展．

　　波爾約的幾何與羅氏幾何在原理上非常相似，盡管他們的論文形式很不相同．后來(lái)，B．黎曼(Riemann)又發(fā)展了他們的思想，1854年在哥丁根大學(xué)的講演中提出了另一種非歐幾何，這種理論在他生前也未得到應(yīng)有的評(píng)價(jià)．

　　非歐幾何最終被人們所承認(rèn)是其創(chuàng)造者死后的事情．波爾約作為《附錄》的論文原為拉丁文，1867年譯成法文，1868年譯成意大利文，1872年譯成德文，1891年譯成英文．意大利數(shù)學(xué)家 E．貝爾特拉米(Beltremi)在1868年的論著中又用微分幾何的理論作出了非歐幾何的模型，證明了只要?dú)W氏幾何學(xué)沒(méi)有矛盾，則非歐幾何學(xué)也沒(méi)有矛盾；德國(guó)數(shù)學(xué)家 F．克萊因(Klein)在1871年首次認(rèn)識(shí)到從射影幾何中可推導(dǎo)度量幾何，并建立了非歐平面幾何(整體)的模型；希爾伯特給出歐氏幾何學(xué)完備的公理體系，證明了平行公理對(duì)其他公理是獨(dú)立的，因而明確了非歐幾何學(xué)成立的邏輯基礎(chǔ)；愛(ài)因斯坦根據(jù)相對(duì)論證明了把我們所在的時(shí)空看作非歐空間的合理性，所以非歐空間對(duì)于空間型的問(wèn)題也非常有用．這些研究最終使非歐幾何獲得了普遍的承認(rèn)和應(yīng)用，打破了歐氏幾何的一統(tǒng)天下，從根本上革新了人們的幾何學(xué)觀念．非歐幾何對(duì)于20世紀(jì)初關(guān)于空間和時(shí)間的物理觀念的變革也起了重要作用，非歐幾何首先提出了彎曲空間，它為更廣泛的黎曼幾何的產(chǎn)生創(chuàng)造了前提，而黎曼幾何后來(lái)成了愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)工具，人們?cè)趶V義相對(duì)論的基礎(chǔ)上研究了宇宙的結(jié)構(gòu)，認(rèn)識(shí)到宇宙結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)是接近于非歐幾何的．在天體大范圍觀測(cè)和原子論微觀世界中有效的應(yīng)用，充分顯示非歐幾何的創(chuàng)立有重大的哲學(xué)價(jià)值和劃時(shí)代的意義．

　　波爾約創(chuàng)立非歐幾何的功勞是不可磨滅的．非歐幾何被后世譽(yù)為“19世紀(jì)最有啟發(fā)性、最重要的數(shù)學(xué)成就”．它與這一時(shí)期創(chuàng)立的近世代數(shù)一起，改變了人們處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀點(diǎn)和方法，迎來(lái)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新時(shí)代．