弗羅貝尼烏斯，F(xiàn)．G．(Frobenius，F(xiàn)erdinand Georg，1849~1917)德國數(shù)學(xué)家。1849年10月26日生于德國柏林，1917年8月3日卒于柏林州夏洛滕堡(Charlottenburg)． 弗羅貝尼烏斯的父親C．F．弗羅貝尼烏斯是一位教區(qū)牧師，母親名叫伊麗莎白(Elisabeth)，姓弗里德里希(Friedrich)．弗羅貝尼烏斯的青少年時代正值德國資產(chǎn)階級力量快速增長，經(jīng)濟迅猛發(fā)展，從農(nóng)業(yè)國變成工業(yè)國的時期，這種經(jīng)濟的持續(xù)繁榮為1871年德意志的民族統(tǒng)一打下了基礎(chǔ)．社會的巨大變化要求教育體制與之相適應(yīng)．但弗羅貝尼烏斯是在傳統(tǒng)體制下接受早期教育的．他先就讀于柏林的約阿希姆斯塔爾(Joachimthal)文科中學(xué)(Gymnasium)，那是大學(xué)的預(yù)備學(xué)校．自1834年后，只有通過文科中學(xué)的畢業(yè)考試這條渠道，青年才能進(jìn)入大學(xué)繼續(xù)深造．文科中學(xué)壟斷畢業(yè)考試的狀況直至20世紀(jì)初才告結(jié)束．弗羅貝尼鳥斯在文科中學(xué)打下古典語文、歷史、人文學(xué)科及數(shù)學(xué)、自然科學(xué)等各門知識的良好基礎(chǔ)后，1867年進(jìn)入格丁根大學(xué)，開始他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．當(dāng)時德國大學(xué)中沒有數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)是哲學(xué)院中的一個專業(yè)，有哲學(xué)博士學(xué)位，而沒有單獨的數(shù)學(xué)博士學(xué)位．1870年，弗羅貝尼烏斯在柏林完成學(xué)業(yè)并獲博士學(xué)位．這一年的下半年，他任教于母校約阿希姆斯塔爾文科中學(xué)，次年轉(zhuǎn)入一所實科學(xué)校(Re-alschule)執(zhí)教．在這種學(xué)校里，數(shù)學(xué)和自然科學(xué)成為教學(xué)中的重要組成部分，這是德國中等教育由單軌制學(xué)校轉(zhuǎn)變成雙軌制學(xué)校的體現(xiàn)．現(xiàn)在Realschu1e成為Mittleschule(中學(xué))的同義詞．

　　當(dāng)時，隨著世界科學(xué)中心的轉(zhuǎn)移，數(shù)學(xué)研究中心也由法國移至德國．除1825年創(chuàng)刊的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal für diefeine und angenandte Mathematik)外， 1869年又創(chuàng)刊發(fā)行了《數(shù)學(xué)年鑒》(Mathematische Annalen)．70年代，雖然格丁根繼C．F．高斯(Gauss)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和G．F．B．黎曼(Riemann)之后處于相對低潮，但柏林卻由于E．E．庫默爾(Kummer)、K．T．W．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)、L．克羅內(nèi)克(Kronecker)等人而比較繁榮．處于這樣一種良好的研究氛圍中，弗羅貝尼烏斯撰寫了一系列比較優(yōu)秀的數(shù)學(xué)論文．1874年，他被聘為柏林大學(xué)副教授，第二年又成為瑞士蘇黎世高等工業(yè)學(xué)校(Eidgeenssische Polytechnikum)教授．1876年，弗羅貝尼烏斯與A．萊曼(Lehmann)結(jié)婚．

　　1870年左右，群論成為數(shù)學(xué)研究的主流之一．弗羅貝尼烏斯在柏林時就受到庫默爾和克羅內(nèi)克的影響，對抽象群理論產(chǎn)生興趣并從事這方面的研究，發(fā)表了多篇有價值的論文．1892年，他重返柏林大學(xué)任數(shù)學(xué)教授．1893年當(dāng)選為柏林普魯士科學(xué)院院士．

　　弗羅貝尼烏斯的論文數(shù)量很多，其中相當(dāng)一部分非常重要．他有幾篇文章是與其他著名學(xué)者合作的，尤其與L．施蒂克爾貝格(Stickelberger)和I．舒爾(Schur)的合作最為成功．舒爾是弗羅貝尼烏斯的學(xué)生，被認(rèn)為是抽象群表示論的初創(chuàng)者之一，他發(fā)展和簡化了弗羅貝尼烏斯的一些結(jié)果．弗羅貝尼烏斯生前沒有專著出版，1968年，他的論文以論文集的形式重新出版，共3卷．

　　弗羅貝尼烏斯在θ函數(shù)、行列式、矩陣、雙線性型以及代數(shù)結(jié)構(gòu)方面都有出色的工作．1874年，他給出有正則奇點的任意次齊次線性微分方程的一種無窮級數(shù)解，后被稱為“弗羅貝尼烏斯方法”．關(guān)于這一問題的系統(tǒng)研究是由魏爾斯特拉斯的學(xué)生I．L．富克斯(Fiuchs)開創(chuàng)的．1878年，弗羅貝尼烏斯發(fā)表了正交矩陣的正式定義，并對合同矩陣進(jìn)行了研究．1879年，他聯(lián)系行列式引入矩陣秩的概念．弗羅貝尼烏斯還擴展了魏爾斯特拉斯在不變因子和初等因子方面的工作，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子理論，這對線性微分方程理論具有重要意義．1880年，弗羅貝尼烏斯提出發(fā)散級數(shù)的一種可和性定義，他的結(jié)果后來被O．L．赫爾德(H1der)推廣，成為(H，r)求和法．

　　弗羅貝尼烏斯的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)在群論方面，尤其是群的表示理論．群的思想萌芽雖然在數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)得很早，但其概念直至19世紀(jì)后半葉才正式出現(xiàn)．19世紀(jì)70，80年代，數(shù)學(xué)家們通過聯(lián)系群的三個主要歷史根源創(chuàng)造了抽象群的概念．這三個根源是：代數(shù)方程的求解理論，包括伽羅瓦群、置換群；幾何，包括有限和無限變換群、李群；數(shù)論，包括二次型的組合、加法群．抽象群是現(xiàn)代意義下第一個抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．弗羅貝尼烏斯對抽象群概念的形成做出奠基性的貢獻(xiàn)．在與施蒂克爾貝格合作的“關(guān)于可換元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念應(yīng)當(dāng)包含同余、高斯二次型組合以及．伽羅瓦(Galois)的置換群，他還提到了無限群．發(fā)表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是關(guān)于抽象群概念的一篇重要文章．群的抽象概念完成之后，弗羅貝尼烏斯開始研究抽象群理論中的具體問題．1887年，他證明了有限抽象群的敘洛夫(Sylow)定理，即如果一個有限群的階(有限群的階指它包含的元素的個數(shù))能被一個素數(shù)p的方冪pn整除，則它恒包含一個pn階子群．19世紀(jì)90年代，弗羅貝尼烏斯研究可解群，發(fā)現(xiàn)階不能被一個素數(shù)的平方整除的群全都是可解的．研究什么樣的群可解，對于確定群的結(jié)構(gòu)很重要．

　　19世紀(jì)末20世紀(jì)初，受J．W．R．戴德金(Dedekind)來信的鼓舞，弗羅貝尼烏斯開始創(chuàng)立和發(fā)展群論中最系統(tǒng)和最本質(zhì)的部分——有限群的表示理論．作為群表示論的開端，他對于有限群中n個變量的線性代換理論產(chǎn)生重大影響，這一理論的所有重要方面最終由弗羅貝尼烏斯和舒爾共同完成．群表示論就是用具體的線性群(矩陣群)來描述群的理論．其核心是群特征標(biāo)理論．弗羅貝尼烏斯發(fā)表的與這一論題相聯(lián)系的論文有“群特征標(biāo)”(ber die Gruppencharaktere，1896)，“論有限群線性代換”(ber die Darstellungder endlichen Gruppen durch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“關(guān)于群特征的結(jié)構(gòu)”(ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及與舒爾合作的“論實有限群”(ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等．

　　在發(fā)表于1896年的三篇文章“可交換矩陣”(ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征標(biāo)”和“群行列式的素因子”(ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗羅貝尼烏斯建立了有限群特征論的基礎(chǔ)，解決了戴德金提出的非阿貝爾群的群行列式分解問題．

　　在“論有限群線性代換”中，弗羅貝尼烏斯首次介紹了有限群的表示這一概念．設(shè)G是有限群，C是復(fù)數(shù)域，他定義一個表示是一個同態(tài)T∶G→GLd(C)，這里GLd(C)是C上可逆的d×d矩陣群，d還對有限群引進(jìn)可約表示和完全可約表示的概念，證明了一個正則表示包含所有不可約表示．在這篇文章中，他定義在一般情形下，表示T和T’∶G→GLd’(C)是等價的，如果它們有相同的度數(shù)，即d=d’，X=T’(g)．特別地，對g∈G，矩陣r(g)和ru2032(gu2032)是相似的，因此它們有相同的關(guān)于相似性的數(shù)值不變量：相同的特征值集合，相同的特征多項式，跡和行列式．表示論的重要不變量是跡函數(shù)，弗羅貝尼烏斯稱X(g)=T(g)，g∈G的跡為表示的特征．這個定義比較簡單，成為今天的標(biāo)準(zhǔn)定義．在“群特征標(biāo)”一文中，他曾給出一個敘述頗為復(fù)雜的定義．特征實際上確定了表示，可以證明：兩個表示等價，當(dāng)且僅當(dāng)他們的特征等價．可見研究有限群的特征有重要意義．群的特征的概念后來又被弗羅貝尼烏斯及其他人應(yīng)用到無限群上．

　　在“群與其子群特征之間的關(guān)系”(ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗羅貝尼烏斯對群G的特征和G的子群H的特征之間的關(guān)系進(jìn)行了深刻的分析，他正確地認(rèn)識到了解這一關(guān)系對于表示和特征的實際計算非常重要．在這篇文章中，弗羅貝尼烏斯給出誘導(dǎo)類函數(shù)的定義：φg(g)=

　　他還證明了一個現(xiàn)在稱為弗羅貝尼烏斯互反律的基本結(jié)果：即若ρ與φ分別是G與H的不可約表示，則φ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出現(xiàn)的重數(shù)等于ρ在誘導(dǎo)表示φg要工具．弗羅貝尼烏斯關(guān)于誘導(dǎo)特征的推廣稱為例外特征理論．

　　從1896年至1907年間，弗羅貝尼烏斯發(fā)表了20多篇論文，從各方面擴展了特征論和表示論，專門論述了對稱群的特征、變換群的特征等．他還得出僅存在少數(shù)幾個不可約表示、其他所有表示都是由它們組合而成的重要結(jié)果．

　　與弗羅貝尼烏斯同時，英國數(shù)學(xué)家W．伯恩賽德(Burnside)也獨立發(fā)展了表示論和特征的方法．他的《有限階群論》(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群論的經(jīng)典著作之一，在這本書中他表達(dá)了對弗羅貝尼烏斯的感謝：“有限階群作為線性變換的表示論主要由弗羅貝尼烏斯教授創(chuàng)立，而同源的群特征理論完全由他創(chuàng)立”．20世紀(jì)20年代，A．E．諾特(No-ether)強調(diào)了“�！边@一代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要性，她將代數(shù)結(jié)構(gòu)和群表示論融合為一，推進(jìn)了這兩個分支的發(fā)展．后來，R．D．布勞爾(Brauer)深化群表示論的研究，引進(jìn)模表示論．

　　有限群的表示論已推廣到無限群，特別是局部緊拓?fù)淙�，這成為近代分析的一個主要領(lǐng)域，推廣了經(jīng)典傅里葉(Fourier)分析．群表示論不僅應(yīng)用在群的一些比較困難的問題中，在理論物理和量子力學(xué)中也有奇妙而重要的應(yīng)用．

　　弗羅貝尼烏斯擅長計算，越富挑戰(zhàn)性的問題越能吸引他．他曾運用關(guān)于特征的思想以及組合學(xué)和代數(shù)學(xué)的新技巧算出一些無窮族中的所有群的特征表．他的技巧遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在時代前面，對幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)也有持續(xù)而強烈的影響．正是這種勇于挑戰(zhàn)的精神激勵他在困難重重的抽象群表示論中樂此不疲地探索，取得豐碩成果．