梅涅勞斯定理

證明：

過(guò)點(diǎn)A作AGu2016BC交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線(xiàn)。

另外,有很多人會(huì)覺(jué)得書(shū)寫(xiě)這個(gè)公式十分煩瑣,不看書(shū)根本記不住,下面從別人轉(zhuǎn)來(lái)一些方法幫助書(shū)寫(xiě)

1.ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn)

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1

2.為了說(shuō)明問(wèn)題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖1中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車(chē)沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。

我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過(guò)”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。

例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。

另外還有一個(gè)要求，就是同一直線(xiàn)上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過(guò)之后，才能變更到其它直線(xiàn)上的景點(diǎn)。

從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說(shuō)明：

方案 ① ——從A經(jīng)過(guò)B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過(guò)B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過(guò)C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。

按照這個(gè)方案，可以寫(xiě)出關(guān)系式：

（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

您知道應(yīng)該怎樣寫(xiě)“梅涅勞斯定理”的公式了吧。

從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有：

方案 ② ——可以簡(jiǎn)記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫(xiě)出以下公式：

（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有：

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫(xiě)出公式：

（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案：

方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫(xiě)出公式：

（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖1中的另外一些公式。

盡管圖1中列出了許多公式，但仍不是全部公式，還可以寫(xiě)出一些來(lái)。

值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。

不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。

是否可以說(shuō)，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫(xiě)錯(cuò)或是記不住吧。