梅森數(shù)和梅森素數(shù)的性質(zhì)

。

q ≡ 3 mod 4為素數(shù)。則 2q+1是素數(shù) 的充分必要條件是 2q+1整除Mq 。

拉馬努金-南哥爾方程（Ramanujanu2013Nagell Equation）：Mq = 6+x2。當(dāng)q為3、5和7時，Mq為梅森素數(shù)，方程有整數(shù)解；q為合數(shù)4和15時，方程亦有整數(shù)解；q為其它自然數(shù)時，方程沒有整數(shù)解。

如果p是奇素數(shù)，那么任何能整除2p ? 1的素數(shù)q都一定是1加上一個2p的倍數(shù)。例如，211 ? 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。

如果p是奇素數(shù)，那么任何能整除的素數(shù)q都一定與同余。

梅森數(shù)和梅森素數(shù)的關(guān)系

下面的命題關(guān)注什么樣的梅森數(shù)是梅森素數(shù)。

由知：q是素數(shù)是Mq是素數(shù)的必要條件。但這不是充分的。M11 = 211 ? 1 = 23 × 89是個反例。

對Mq（q是素數(shù)）有：

若a是Mq的因數(shù)，則a有如下性質(zhì)：

a ≡ 1 mod 2q

a ≡ ±1 mod 8

歐拉的一個關(guān)于形如1+6k的數(shù)的理論表明：Mq是素數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在數(shù)對（x,y）使得Mq = (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。

最近，Bas jansen研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一個對于d=3情況下的新的證明方法。

Reix發(fā)現(xiàn)q > 3時，Mq可以寫成：Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。顯然，若存在一個數(shù)對（x,y），那么Mq是素數(shù)。

梅森數(shù)的素數(shù)檢驗

盧卡斯-萊默檢驗法是現(xiàn)在已知的檢測梅森數(shù)素數(shù)的最好的方法。

該方法由愛德華·盧卡斯于1878年發(fā)現(xiàn)，并由德里克·亨利·萊默于1930年代作了改進(jìn)，因此得名。

該方法基于循環(huán)數(shù)列的計算，其原理是：

Mn為素數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)Mn整除Sn-2（S0=4，Sk = S 2k ? 1 ? 2，k > 0）。

與完全數(shù)的關(guān)系

梅森素數(shù)與偶完全數(shù)有一一對應(yīng)的關(guān)系。這個結(jié)果稱為歐幾里得－歐拉定理。

前4世紀(jì)，歐幾里得（Euclid）證明如果M是梅森素數(shù)，那么M(M+1)/2是完全數(shù)。

18世紀(jì)，歐拉（Euler）證明所有的偶完全數(shù)都有這種形式。

是否有無窮多個梅森素數(shù)。

梅森素數(shù)如何分布。

頭四個梅森素數(shù)M2、M3、M5、M7在古代就已經(jīng)知道。

第五個梅森素數(shù)M13在1461年之前被發(fā)現(xiàn)；

隨后的兩個（M17和M19）在1588年由Cataldi發(fā)現(xiàn)。

17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家馬蘭·梅森列出了他認(rèn)為的冪小于257的梅森素數(shù)，其中錯誤地包括了不是素數(shù)的M67和M257，遺漏了M61、M89和M107。這也是“梅森素數(shù)”這個名字的由來。

一個多世紀(jì)后的1750年，才由歐拉證實M31是第8個梅森素數(shù)。

下一個被發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)是由盧卡斯在1876年證明的M127；

1883年，Pervushin證實M61。

M89和M107是在20世紀(jì)早期由Powers分別在1911年和1914年發(fā)現(xiàn)的。

電子計算機(jī)的發(fā)明革命化的改進(jìn)了梅森素數(shù)的尋找。第一個成功的例子是M521的證明，它是在萊默指導(dǎo)下，使用拉斐爾·米切爾·羅賓遜教授編寫的軟件，利用坐落在洛杉磯加利福尼亞大學(xué)的數(shù)據(jù)分析協(xié)會的，屬于美國國家標(biāo)準(zhǔn)局的西部自動計算機(jī)（SWAC）于1952年1月30日晚上10:00獲得。并且在隨后不到兩小時，下一個梅森素數(shù)M607被發(fā)現(xiàn)。在隨后的幾個月里，使用同樣的程序發(fā)現(xiàn)了另外三個梅森素數(shù)M1279、M2203和M2281。

隨著素數(shù)P值的增大，每一個梅森素數(shù)MP的產(chǎn)生都艱辛無比；而各國科學(xué)家及業(yè)余研究者們?nèi)詷反瞬黄＃�激烈競爭�?979年2月23日，當(dāng)美國克雷研究公司的計算機(jī)專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數(shù)M23209時，人們告訴他們：在兩個星期前諾爾已得到這一結(jié)果。

為此，史洛溫斯基潛心發(fā)憤，花了一個半月的時間，使用CRAY-1型計算機(jī)找到了新的梅森素數(shù)M44497。這個記錄成了當(dāng)時不少美國報紙的頭版新聞。

之后，這位計算機(jī)專家乘勝前進(jìn)，使用經(jīng)過改進(jìn)的CRAY-XMP型計算機(jī)在1983年至1985年間找到了3個梅森素數(shù)：M86243、M132049和M216091。但他未能確定M86243和M216091之間是否有異于M132049的梅森素數(shù)。而到了1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-FX2型超高速并行計算機(jī)果然捕捉到了一條“漏網(wǎng)之魚”——M110503。

沉寂4年之后，1992年3月25日，英國原子能技術(shù)權(quán)威機(jī)構(gòu)——哈威爾實驗室的一個研究小組宣布他們找到了新的梅森素數(shù)M756839。

1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發(fā)現(xiàn)“已知最大素數(shù)”的桂冠——這一素數(shù)是M859433。而下一個梅森素數(shù)M1257787仍是他們的成果。這一素數(shù)是使用CRAY-794超級計算機(jī)在1996年取得的。

史洛溫斯基由于發(fā)現(xiàn)7個梅森素數(shù)，而被人們譽(yù)為“素數(shù)大王”。

到2018年1月，我們知道了50個梅森素數(shù)；現(xiàn)在已知最大的素數(shù)是梅森素數(shù)M77232917。像前幾個一樣，都是由因特網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索（GIMPS）分布式計算項目發(fā)現(xiàn)的。

2010年7月11日GIMPS項目確認(rèn)M20,996,011是第40個梅森素數(shù)。

2011年12月1日GIMPS項目確認(rèn)M24,036,583是第41個梅森素數(shù)。

2012年12月20日GIMPS項目確認(rèn)M25,964,951是第42個梅森素數(shù)。

2013年1月25日GIMPS項目發(fā)現(xiàn)M57,885,161

2014年2月23日GIMPS項目確認(rèn)M30,402,457是第43個梅森素數(shù)。

2014年11月8日GIMPS項目確認(rèn)M32,582,657是第44個梅森素數(shù)。

2016年1月7日GIMPS項目發(fā)現(xiàn)M74,207,281

2018年1月3日GIMPS項目發(fā)現(xiàn)的M77232917，共有23249425位數(shù)。

梅森素數(shù)列表

梅森遺漏的梅森素數(shù)

GIMPS發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)

古代知道的梅森素數(shù)

以試除法發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)

拉斐爾·米切爾·羅賓遜發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)

亞歷山大·赫維茲發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)

Donald B. Gillies發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)

Walt Colquitt & Luke Welsh發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)

下面表中列出了所有已知的梅森素數(shù)：u200aA000668

注：現(xiàn)在還不知道在第47個梅森素數(shù)（M43112609）和第50個（M77232917）之間是否還存在未知梅森素數(shù)，所以在其序號之前用*標(biāo)出。