哈密頓自幼喜歡算術(shù)，計(jì)算很快．1818年遇到美國(guó)“計(jì)算神童”Z．科耳本（Colburn）后對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更深厚的興趣。1820年再相逢時(shí)，哈密頓已閱讀了I．牛頓（Newton）的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（Mathematical principles of natural philosophy），并對(duì)天文學(xué)有強(qiáng)烈愛(ài)好，常用自己的望遠(yuǎn)鏡觀(guān)測(cè)天體；還開(kāi)始讀P．S．拉普拉斯（Laplace）著作《天體力學(xué)》（Mécanique cé1este），1822年指出了此書(shū)中的一個(gè)錯(cuò)誤。同年開(kāi)始進(jìn)行科學(xué)研究工作，對(duì)曲線(xiàn)和曲面的性質(zhì)進(jìn)行了系列研究，并用于幾何光學(xué)。他的報(bào)告送交愛(ài)爾蘭科學(xué)院后，R．J．布林克萊（Brinkley）院士評(píng)論說(shuō)：“這位年輕人現(xiàn)在是這個(gè)年齡（17歲）的第一數(shù)學(xué)家�！�

1823年7月7日，哈密頓以入學(xué)考試第一名的成績(jī)進(jìn)入著名的三一學(xué)院，得到正規(guī)的大學(xué)訓(xùn)練，后因成績(jī)優(yōu)異而多次獲得學(xué)院的古典文學(xué)和科學(xué)的最高榮譽(yù)獎(jiǎng)。他在1823到1824年間完成了多篇有關(guān)幾何學(xué)和光學(xué)的論文，其中在1824年12月送交愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院會(huì)議的有關(guān)焦散曲線(xiàn)（caustics）的論文，引起科學(xué)界的重視。

1827年6月10日，年僅22歲的哈密頓被任命為敦辛克天文臺(tái)的皇家天文研究員和三一學(xué)院的天文學(xué)教授。哈密頓有兄弟姐妹八人，家庭負(fù)擔(dān)很重；為減輕父親經(jīng)濟(jì)壓力，他畢業(yè)后帶著三個(gè)妹妹住到敦辛克天文臺(tái)。哈密頓不擅長(zhǎng)天文觀(guān)測(cè)，在天文臺(tái)工作的五年中，仍主要從事理論研究；但因與外界很少聯(lián)系，工作成果并未引起重視。

1832年，哈密頓成為愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院士后非常活躍，與學(xué)術(shù)界人士廣泛交流討論，包括一些詩(shī)人和哲學(xué)家。他從S．T．科勒里奇（Coleridge）的作品中了解到I．康德（Kant）的哲學(xué)，熱情地讀完康德主要著作《純粹理性批判》（Kritik der Reinen Vernunft）�？档抡軐W(xué)觀(guān)點(diǎn)對(duì)哈密頓后期的工作有很大影響。

1834年，哈密頓發(fā)表了歷史性論文“一種動(dòng)力學(xué)的普遍方法”（On a general method in dynamics），成為動(dòng)力學(xué)發(fā)展過(guò)程中的新里程碑．文中的觀(guān)點(diǎn)主要是從光學(xué)研究中抽象出來(lái)的。

在對(duì)復(fù)數(shù)長(zhǎng)期研究的基礎(chǔ)上，哈密頓在1843年正式提出了四元數(shù)（quaternion），這是代數(shù)學(xué)中一項(xiàng)重要成果。

由于哈密頓的學(xué)術(shù)成就和聲望，1835年在都柏林召開(kāi)的不列顛科學(xué)進(jìn)步協(xié)會(huì)上被選為主席，同年被授予爵士頭銜。1836年，皇家學(xué)會(huì)因他在光學(xué)上的成就而授予皇家獎(jiǎng)?wù)隆?837年，哈密頓被任命為愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院長(zhǎng)，直到1845年。1863年，新成立的美國(guó)科學(xué)院任命哈密頓為14個(gè)國(guó)外院士之一。

哈密頓的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他愛(ài)上了一位同學(xué)的姐姐卡塞琳·狄斯尼（Catherine Disney），但遭到她的拒絕，哈密頓卻終身不能忘情。在戀愛(ài)生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海倫·貝利（Helen Bayly）結(jié)婚。雖然生育二子一女，終因感情不合而長(zhǎng)期分居。哈密頓經(jīng)常不能正規(guī)用餐，而是邊吃邊工作．他去世后，在他的論文手稿中找到不少肉骨頭和吃剩的三明治等殘物。

哈密頓工作勤奮，思想活躍．發(fā)表的論文一般都很簡(jiǎn)潔，別人不易讀懂，但手稿卻很詳細(xì)，因而很多成果都由后人整理而得。僅在三一學(xué)院圖書(shū)館中的哈密頓手稿，就有250本筆記及大量學(xué)術(shù)通信和未發(fā)表論文．愛(ài)爾蘭國(guó)家圖書(shū)館還有一部分手稿。

他的研究工作涉及不少領(lǐng)域，成果最大的是光學(xué)、力學(xué)和四元數(shù)。他研究的光學(xué)是幾何光學(xué)，具有數(shù)學(xué)性質(zhì)；力學(xué)則是列出動(dòng)力學(xué)方程及求解；因此哈密頓主要是數(shù)學(xué)家。但在科學(xué)史中影響最大的卻是他對(duì)力學(xué)的貢獻(xiàn)。哈密頓量是現(xiàn)代物理最重要的量。

哈密頓發(fā)展了分析力學(xué)。1834年，建立了著名的哈密頓原理，使各種動(dòng)力學(xué)定律都可以從一個(gè)變分式推出。根據(jù)這一原理，力學(xué)與幾何光學(xué)有相似之處。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這一原理又可推廣到物理學(xué)的許多領(lǐng)域，如電磁學(xué)等。他把廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量都作為獨(dú)立變量來(lái)處理動(dòng)力學(xué)方程獲得成功，這種方程現(xiàn)稱(chēng)哈密頓正則方程。他還建立了一個(gè)與能量有密切聯(lián)系的哈密頓函數(shù)。他解釋了錐形折射現(xiàn)象，對(duì)現(xiàn)代矢量分析方法的建立作出了貢獻(xiàn)。他還創(chuàng)立了四元數(shù)。這些成果在現(xiàn)代物理學(xué)中都有廣泛應(yīng)用。

哈密頓在數(shù)學(xué)上的成就，以微分方程和泛函分析兩個(gè)領(lǐng)域最為突出，如哈密頓算符、哈密頓－雅可比方程等；此外，他對(duì)波形曲面的研究，對(duì)伽羅瓦理論的補(bǔ)充以及在數(shù)學(xué)中引入結(jié)合律等也都是他的功績(jī)。

哈密頓提出變分原理和正則方程的兩篇長(zhǎng)論文的題名是《論動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)普遍方法》(On a Geaeral Me－thod in Dynamics ，1834)和《再論動(dòng)力學(xué)中的昔遍方法》(Second Essay on a General Method in Dynamics，1835)，均收入他的《數(shù)學(xué)論文集》(Mathematical Papers，1940)第二卷。