閔嗣鶴 - 生平概況

閔嗣鶴，字彥群，1913年3月25日生于北京，祖籍江西奉新。他的祖父閔少窗是清朝的進(jìn)士，曾任大名府知府。父親閔持正是北京公安局職員。祖父對(duì)他極其鐘愛(ài)，親自教他認(rèn)字讀書，學(xué)習(xí)古文，希望他長(zhǎng)大后學(xué)文學(xué)。他從小就十分好學(xué)，在家自學(xué)了全部小學(xué)課程。1925年他考入北京師范大學(xué)附屬中學(xué)，逐漸對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣與愛(ài)好。1929年夏，同時(shí)考取了北京大學(xué)和北京師范大學(xué)的理科預(yù)科，考慮到學(xué)費(fèi)低離家近他選擇了后者。他1931年升入本校數(shù)學(xué)系。在學(xué)習(xí)期間他就發(fā)表了4篇論文，并積極參加學(xué)術(shù)活動(dòng)，曾負(fù)責(zé)編輯本校的《數(shù)學(xué)季刊》 。

1935年以優(yōu)異成績(jī)畢業(yè)。由于家境困難，從17歲開始，他就一直在中學(xué)兼課。大學(xué)畢業(yè)后由老師傅種孫教授介紹到北平師范大學(xué)附中任教。他一邊教書一邊發(fā)憤鉆研數(shù)學(xué)，寫出了優(yōu)秀的數(shù)論論文《相合式解數(shù)之漸近公式及應(yīng)用此理以討論奇異級(jí)數(shù)》，獲得了當(dāng)時(shí)為紀(jì)念高君韋女士有獎(jiǎng)?wù)魑牡谝幻�。清華大學(xué)楊武之教授發(fā)現(xiàn)了這位才華出眾的青年，立即于1937年6月聘請(qǐng)他去清華大學(xué)算學(xué)系當(dāng)助教。接聘書不到一個(gè)月，尚未開始工作，就爆發(fā)了蘆溝橋事變。清華大學(xué)南遷，先至長(zhǎng)沙，最后在昆明與北京大學(xué)、南開大學(xué)合并成立西南聯(lián)合大學(xué)。閔嗣鶴在安葬了祖父母及父親的靈柩后，偕母親和三個(gè)妹妹離開了北平，隨清華大學(xué)先至長(zhǎng)沙后到昆明。在西南聯(lián)合大學(xué)工作的8年，是他數(shù)學(xué)事業(yè)中的一個(gè)重要時(shí)期。他曾為陳省身教授講的黎曼幾何課任輔導(dǎo)教師，兩人結(jié)下了深厚的友誼。他參加了華羅庚教授領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)論討論班，他自己及與華羅庚合作寫出了多篇重要論文。華羅庚對(duì)他的工作給予很高的評(píng)價(jià)，在他們合作的一篇論文的底稿扉頁(yè)上寫下了“閔君之工作，占非常重要之地位”。從此，閔嗣鶴把數(shù)論作為自己主要的研究方向。

1945年他考取了公費(fèi)留學(xué)，10月到英國(guó)牛津大學(xué)，在著名數(shù)學(xué)家蒂奇馬什指導(dǎo)下研究解析數(shù)論。由于他在黎曼Zeta函數(shù)的階估計(jì)這一著名問(wèn)題上得到了優(yōu)異成果，1947年獲得博士學(xué)位。隨后他即赴美國(guó)普林斯頓高等研究院作研究工作，并參加了數(shù)學(xué)大師外爾的討論班。他在短短的一年中取得了豐富的研究成果，外爾真誠(chéng)地挽留他繼續(xù)在美工作，蒂奇馬什也熱情邀請(qǐng)他再去英國(guó)。但是，報(bào)效祖國(guó)、思念慈母的赤子之心促使他決定立即回國(guó)。1948年秋，他再次在清華大學(xué)數(shù)學(xué)系執(zhí)教，任副教授，1950年晉升教授。1952年院系調(diào)整，任北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系教授。他曾任中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所籌備處籌備委員，北京數(shù)學(xué)會(huì)理事等職。他的全部論著約60余篇。

閔嗣鶴有很好的古典文學(xué)修養(yǎng)，喜愛(ài)書法與繪畫，精通數(shù)門外語(yǔ)。他還是一位虔誠(chéng)的基督教信徒。1950年他與朱敬一女士結(jié)婚，有兩子三女。

閔嗣鶴 - 解析數(shù)論

閔嗣鶴對(duì)數(shù)學(xué)的許多分支都有研究。1960年以前，在主要從事數(shù)論研究之外，他的工作還涉及幾何、調(diào)和分析、函數(shù)論及微分方程等。從1960年前后開始，他的主要研究方向轉(zhuǎn)向廣義解析函數(shù)、多重積分的近似計(jì)算及濾波分析。他對(duì)純數(shù)學(xué)方面的主要貢獻(xiàn)是在解析數(shù)論領(lǐng)域，特別是三角和估計(jì)理論及黎曼Zeta函數(shù)理論。誠(chéng)如陳省身所說(shuō)：“嗣鶴在解析數(shù)論的工作是中國(guó)數(shù)學(xué)的光榮�！�

估計(jì)各種形式的三角和是解析數(shù)論最重要的研究課題。閔嗣鶴大學(xué)畢業(yè)后第一篇優(yōu)秀的獲獎(jiǎng)?wù)撐摹断嗪鲜浇鈹?shù)之漸近公式及應(yīng)用此理以討論奇異級(jí)數(shù)》，就是證明了如下形式的完整三角和的均值估計(jì)：

其中ｐ為素?cái)?shù)，ｅ（θ）＝ｅ2πｉθ，ｎ，ｓ是整數(shù)滿足ｎ＞2，2≤ｓ≤2ｎ，以及ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ十…十ａ1ｘ是整系數(shù)多項(xiàng)式，滿足最大公約數(shù)（ｐ，ａｎ，…，ａ1）＝1。應(yīng)用這一估計(jì)他證明了：對(duì)任意整數(shù)ｍ及2＜ｓ≤2ｎ，ｓ元同余方程
ｆ（ｘ1）十…十ｆ（ｘｓ）≡ｍ（ｍｏｄｐ）
的解數(shù)��（ｆ（ｘ），ｓ）有漸近公式
（ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－1十Ｏ（ｐｓ－1－（ｓ－2）／（ｎ－1））．這一結(jié)果優(yōu)于由Ｌ．Ｊ．莫德爾（Ｍｏｒｄｅｌｌ）的著名估計(jì)

推出的漸近公式
（ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－1十Ｏ（ｐｓ－1－（ｓ／ｎ－1））．

把上述莫德爾的著名估計(jì)推廣到ｋ元整系數(shù)多項(xiàng)式ｆ（ｘ1，…，ｘｋ）的情形，是解析數(shù)論中具有重要理論與應(yīng)用價(jià)值的課題。他先與華羅庚合作解決了ｋ＝2的情形，然后他獨(dú)立解決了一般情形。
設(shè)ｓ是復(fù)變數(shù)。由級(jí)數(shù)定義的函數(shù)

除了在ｓ＝1有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)外，可以開拓為整個(gè)復(fù)平面ｓ上的解析函數(shù)。這就是通常所說(shuō)的黎曼Ｚｅｔａ函數(shù)。對(duì)它的研究在解析數(shù)論中有至關(guān)重要的意義。對(duì)ζ（ｓ）有兩個(gè)未解決的著名猜想：
（ｉ）對(duì)任意給定的正數(shù)ε，有
ζ（1／2十ｉｔ）《（1十｜ｔ｜）ε，－∞＜ｔ＜∞，通常稱為Ｅ．Ｌ．林德勒夫（Ｌｉｎｄｅｌｏｆ）猜想；
（ｉｉ）ζ（ｓ）的無(wú)窮多個(gè)復(fù)零點(diǎn)全部位于直線1／2十ｉｔ（－∞＜ｔ＜∞）上，這就是黎曼猜想，是希爾伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）第8問(wèn)題的一部分，是數(shù)學(xué)中最著名的猜想之一。閔嗣鶴的許多研究工作就是緊緊聯(lián)系著這兩個(gè)著名猜想的。

1947年，閔嗣鶴通過(guò)對(duì)某種形式的二重外爾三角和

的估計(jì)方法的重要改進(jìn)，證明了：對(duì)任給的正數(shù)ε有
ζ（1／2十ｉｔ）《（1十｜ｔ｜）15／92＋ε，－∞＜ｔ＜∞．這是他的博士論文的一部分，是一個(gè)杰出的成果。后來(lái)，他指導(dǎo)研究生遲宗陶、尹文霖，進(jìn)一步利用他的方法，在這一問(wèn)題及除數(shù)問(wèn)題等方面得到了當(dāng)時(shí)國(guó)際領(lǐng)先的成果。

設(shè)ｓ＝σ十ｉｔ，Ｎ（Ｔ）及Ｎ0（Ｔ）分別表示ζ（ｓ）在區(qū)域：0≤ｔ≤Ｔ，1／2≤σ≤1及直線：0≤ｔ≤Ｔ，σ＝1／2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。黎曼猜想就是要證明：對(duì)任意的Ｔ≥0，Ｎ（Ｔ）＝Ｎ0（Ｔ）．1942年，塞爾伯格首先證明了：存在正常數(shù)Ａ使得Ｎ0（Ｔ）＞ＡＮ（Ｔ）．這樣，具體定出盡可能好的常數(shù)Ａ就是一個(gè)十分重要的問(wèn)題。1956年，閔嗣鶴首先證明了Ａ＞（60000）－1．這一結(jié)果直到1974年才被萊溫松所改進(jìn)。

在50年代中、后期，他系統(tǒng)研究了黎曼Zeta函數(shù)的一種重要推廣：設(shè)ｎ是正偶數(shù)，

他建立了這種函數(shù)的基本理論，其中部分工作是與其學(xué)生尹文霖合作完成的。

閔嗣鶴 - 培育人才

閔嗣鶴一生熱心于數(shù)學(xué)教育事業(yè)，是一位優(yōu)秀的教育家。

他在大學(xué)里講授過(guò)數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、初等數(shù)論等基礎(chǔ)課，以及解析數(shù)論等專門化課程。無(wú)論是新課還是老課，他都認(rèn)真準(zhǔn)備。他講的課深入淺出，十分生動(dòng)，循循善誘，學(xué)生非常歡迎。大家知道，數(shù)學(xué)分析教學(xué)中最重要也是最困難的部分就是極限理論。1953年5月，剛剛院系調(diào)整后的北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系為了提高教學(xué)質(zhì)量，組織了全系觀摩教學(xué)，由閔嗣鶴主講《有序變量與無(wú)窮小量》。閔嗣鶴利用自己制作的玻璃教具，直觀地演示了ε與δ的依賴關(guān)系，講得通俗易懂，異常精采。聽過(guò)他課的學(xué)生30多年后回憶說(shuō)，聽閔先生的課就像看電影，使我們對(duì)微積分中最難學(xué)懂的部分，理解得既快又清楚。當(dāng)時(shí)的《數(shù)學(xué)通報(bào)》就刊登了講稿的部分內(nèi)容。這對(duì)北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系以至全國(guó)高校當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)起了很好的示范推動(dòng)作用。1957年他與嚴(yán)士健合著的《初等數(shù)論》 ，至今仍是一本初等數(shù)論的好教材。他為解析數(shù)論研究生講課的講稿，經(jīng)整理后成為《數(shù)論的方法》 （上、下冊(cè)）一書而出版。這是一本很有特色的解析數(shù)論入門教材，書中包括了閔嗣鶴的一些成果。閔嗣鶴另有一部《高等微積分》講義，未出版。

閔嗣鶴在清華大學(xué)、北京大學(xué)招收了多屆解析數(shù)論研究生。1960年前后，他和莊圻泰在北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系一起領(lǐng)導(dǎo)了廣義解析函數(shù)、擬保角映射及其應(yīng)用的新方向的研究，為中國(guó)在這些分支方面的研究奠定基礎(chǔ)、培養(yǎng)人才做出了貢獻(xiàn)。他一貫無(wú)私地?zé)崆榈刂笇?dǎo)、幫助與支持年輕的數(shù)學(xué)工作者。今天他所培養(yǎng)指導(dǎo)的這些學(xué)生已經(jīng)成為中國(guó)數(shù)學(xué)界的一支重要骨干力量。這里特別值得一提的是被數(shù)學(xué)界傳為佳話的他對(duì)陳景潤(rùn)的支持與指導(dǎo)。1966年《科學(xué)通報(bào)》第17卷第9期（5月15日出版）上發(fā)表了陳景潤(rùn)的著名論文——《大偶數(shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)素?cái)?shù)乘積之和》——的簡(jiǎn)報(bào)，陳景潤(rùn)一拿到這期通報(bào)，首先想到的是他的閔老師，在雜志封面上端端正正地寫上了：
敬愛(ài)的閔老師：
非常感謝您對(duì)生的長(zhǎng)期指導(dǎo)，特別是對(duì)本文的詳細(xì)指導(dǎo)。
學(xué)生
陳景潤(rùn)敬禮　
1966．5．19．
并恭恭敬敬地送給最關(guān)心最支持他的閔老師。他們之間的聯(lián)系大約始于1963年。陳經(jīng)常去閔先生家請(qǐng)教，有時(shí)對(duì)問(wèn)題有不同見解就熱烈討論，師生之間親密無(wú)間，使陳獲益匪淺。尤其是閔先生正直的為人，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)，不分親疏樂(lè)于助人的精神，贏得了陳景潤(rùn)對(duì)他的尊敬、欽佩和無(wú)比信任。陳景潤(rùn)的這一研究成果對(duì)解析數(shù)論和對(duì)他本人的科研事業(yè)的重要性大家是十分清楚的，但是，對(duì)他證明的正確性有所懷疑的在國(guó)內(nèi)外大有人在。陳景潤(rùn)原來(lái)的證明是極其復(fù)雜的，為了更有說(shuō)服力，他不斷地簡(jiǎn)化和改進(jìn)論證，終于在6年之后——1972年的寒假把自己心血的結(jié)晶——厚厚的一疊原稿送請(qǐng)他最信任的閔老師審閱。這是一件十分繁重費(fèi)神的工作，當(dāng)時(shí)閔嗣鶴的身體已經(jīng)很不好，心臟病經(jīng)常發(fā)作，本想好好休息一下，但他知道陳的這一成果是對(duì)解析數(shù)論的一個(gè)歷史性的重大貢獻(xiàn)，是中國(guó)數(shù)學(xué)界的光榮。因此，他放棄了休息，不顧勞累與疾病，逐步細(xì)心審閱，最后判定陳景潤(rùn)的證明是完全正確的。閔嗣鶴高興極了，他看到在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中，中華人民共和國(guó)自己培養(yǎng)的青年數(shù)學(xué)家，在解析數(shù)論一個(gè)最重要的問(wèn)題——哥德巴赫猜想的研究上，終于又一次回到了世界領(lǐng)先地位。陳景潤(rùn)的著名論文終于在1973年第二期的《中國(guó)科學(xué)》上全文發(fā)表了，并立即在國(guó)際數(shù)論界引起了轟動(dòng)。然而，閔嗣鶴又冷靜而正確地指出：要最終解決哥德巴赫猜想還要走很長(zhǎng)的一段路。由于在研究哥德巴赫猜想上取得的杰出成就，陳景潤(rùn)、王元及閔嗣鶴的研究生潘承洞集體獲得了國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。這一榮譽(yù)的取得是和閔嗣鶴的指導(dǎo)、培養(yǎng)分不開的。

閔嗣鶴十分熱心于中學(xué)數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)普及工作。早在西南聯(lián)合大學(xué)期間，他經(jīng)常為昆明龍淵中學(xué)開設(shè)數(shù)學(xué)講座，有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)受到中學(xué)生的熱烈歡迎。歸國(guó)后，他是《數(shù)學(xué)通報(bào)》的編委，經(jīng)常寫適合中學(xué)老師與中學(xué)生閱讀的通俗數(shù)學(xué)文章和作科普?qǐng)?bào)告。他的著名的小冊(cè)子《格點(diǎn)與面積》生動(dòng)介紹了幾何數(shù)論的一些重要而有趣的基本概念和知識(shí)，是一本非常好的中學(xué)生課外數(shù)學(xué)讀物。他曾多次參與或主持中國(guó)高等院校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)命題工作，及中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題工作，這些高質(zhì)量的考題為選拔人才作出了貢獻(xiàn)。

閔嗣鶴 - 石油地質(zhì)勘探

閔嗣鶴先生一生的最后幾年正值“文化大革命”，他毫不計(jì)較個(gè)人得失，把全部精力投入了中國(guó)石油、地質(zhì)勘探事業(yè)，應(yīng)用數(shù)學(xué)理論來(lái)解決科技理論和生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題，為社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)服務(wù)，取得了重大成就。

1969年他參加研制當(dāng)時(shí)急需的海上勘探設(shè)備——海洋重力儀，這是北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系與北京地質(zhì)儀器廠的合作科研項(xiàng)目。由于西方禁運(yùn)，資料缺乏，工作困難很大。設(shè)計(jì)該設(shè)備的理論關(guān)鍵是濾波問(wèn)題，要在理論上保證所設(shè)計(jì)的重力儀能成功地從五萬(wàn)倍強(qiáng)噪聲背景中提取出有用的微弱信號(hào)。他先是完成了“數(shù)字濾波的若干分析問(wèn)題”等研究，最后提出了“契貝謝夫權(quán)系數(shù)的數(shù)字濾波方法”，從理論上解決了設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵問(wèn)題。由此設(shè)計(jì)制造出的儀器定名為ＺＹ－Ｉ型海洋重力儀，歷經(jīng)5年海上實(shí)驗(yàn)于1975年通過(guò)國(guó)家鑒定，其性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于日本依據(jù)3次平均法設(shè)計(jì)制造的“東京ａ－1號(hào)”，成為中國(guó)大面積海洋普查的先進(jìn)工具。

從1971年10月起，閔嗣鶴參加了石油部的數(shù)字地震勘探工作。當(dāng)時(shí)他的心臟病已日趨嚴(yán)重，但為了收集第一手資料，他不顧個(gè)人安危深入生產(chǎn)第一線，親赴海上勘探基地。當(dāng)他看到中國(guó)海洋石油勘探開發(fā)事業(yè)的壯觀景象時(shí)，高興得忘了病痛，以《出�！窞轭}欣然賦詩(shī)一首，抒發(fā)自己的遠(yuǎn)大抱負(fù)和民族自豪感：
輕舟出海浪濤濤，聽炮觀濤興致高。
魚嫩菜香都味美，風(fēng)和雨細(xì)勝籃搖。
東洋技術(shù)為我用，渤海方船更自豪。
一日往還學(xué)大慶，算法如今要趕超。

在各種地震勘探的學(xué)術(shù)會(huì)議和討論班上，他作報(bào)告，介紹國(guó)外經(jīng)驗(yàn)，提出自己的新看法與新成果。在他的指導(dǎo)、幫助和直接參加下，為中國(guó)數(shù)字石油勘探首創(chuàng)了一套數(shù)學(xué)方法，解決了一系列生產(chǎn)關(guān)鍵問(wèn)題，培養(yǎng)了一批技術(shù)骨干。為了普及科學(xué)知識(shí)，他還經(jīng)常帶病為工人和技術(shù)人員講課。在這期間他寫出了多篇有關(guān)數(shù)值濾波與地震數(shù)字處理的研究論文，主編了教材《地震勘探數(shù)字技術(shù)》。這一切為中國(guó)石油工業(yè)的可喜發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。然而，他的健康狀況愈來(lái)愈壞了。但在疾病面前他絲毫沒(méi)有退卻，始終堅(jiān)持工作。在去世前一個(gè)月，他還在北京大學(xué)為石油部開辦數(shù)字地震勘探技術(shù)訓(xùn)練班。由于緊張、勞累、日以繼夜地忘我工作，他終于病倒，住進(jìn)了北京大學(xué)校醫(yī)院。在病床上他還在修改即將出版的《地震勘探數(shù)字技術(shù)》書稿，并對(duì)勸他休息的愛(ài)人和子女說(shuō)：“你們不要干擾我，我還有很多任務(wù)沒(méi)有做完，心里總是不安寧�！痹谏�命的最后一天，還忍著病痛找來(lái)技術(shù)人員反復(fù)研討數(shù)字地震勘探技術(shù)中急需解決的數(shù)學(xué)關(guān)鍵問(wèn)題，使問(wèn)題終于獲得滿意的解決。1973年10月10日，閔嗣鶴終因勞累過(guò)度心臟病猝發(fā)而去世，終年僅60歲。他的一生是默默耕耘、無(wú)私奉獻(xiàn)的一生。閔嗣鶴先生過(guò)早地不幸去世是中國(guó)數(shù)學(xué)界和石油科技界的一大損失。

閔嗣鶴先生的老師、同事和學(xué)生們都時(shí)刻深情地懷念著他，在他逝世15周年時(shí)，于1988年9月26日至28日在山東大學(xué)舉行了“紀(jì)念閔嗣鶴教授學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)”，決定出版《閔嗣鶴論文選集》及會(huì)議論文選集。周培源先生為《閔嗣鶴論文選集》題寫書名并作序。序中說(shuō)：“閔先生是中國(guó)著名數(shù)學(xué)家、優(yōu)秀的教育家，他熱愛(ài)社會(huì)主義祖國(guó)、熱愛(ài)科學(xué)，將一生奉獻(xiàn)給了理想與事業(yè)。”

閔嗣鶴 - 人物簡(jiǎn)歷

1913年3月25日　出生于北京市。
1929年夏　取北京師范大學(xué)理科預(yù)科，1931年升入數(shù)學(xué)系。
1935年　北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)。
1935—1937年　在北平師范大學(xué)附中任教。
1937—1945年　先受聘任清華大學(xué)算學(xué)系助教，后轉(zhuǎn)至昆明西南聯(lián)合大學(xué)任教。
1945年　留學(xué)英國(guó)牛津大學(xué)。
1947年　獲牛津大學(xué)博士學(xué)位。
1947—1948年　在美國(guó)普林斯頓高等研究院作研究工作。
1947年秋　回國(guó)任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，1950年任教授。
1952—1973年　任北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系教授。
1973年10月10日　逝世于北京。

閔嗣鶴 - 主要論著

1　閔嗣鶴．相合式解數(shù)之漸近公式及應(yīng)用此理以討論奇異級(jí)數(shù)．科學(xué)，1940，24（8）：591－607．
2　閔嗣鶴．黎曼函數(shù)的一種推廣Ｉ－Ⅲ．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1955，5（3）：285－294；1956，6（1）：1－11；1956，6（3）：347－362．
3　閔嗣鶴．論黎曼函數(shù)的非明顯零點(diǎn)．北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1956，2（2）：165—189．
4　閔嗣鶴．談π（ｘ）（ｓ）．北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1956，2（3）：297—302．
5　閔嗣鶴，嚴(yán)士健．初等數(shù)論．北京：高等教育出版社，1957．
6　閔嗣鶴，尹文霖．關(guān)于Ｚπｋ（ｓ）的均值公式．北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1958，4（1）：41－50．
7　閔嗣鶴．?dāng)?shù)論的方法（上、下冊(cè)）．北京：科學(xué)出版社，1958，1981．
8　閔嗣鶴．關(guān)于多重積分的近似計(jì)算．北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1959，5（2）：127－130．
9　閔嗣鶴．關(guān)于定積分及重積分的近似計(jì)算．北京大學(xué)學(xué)報(bào)，1959，5（3）：203—208．
10　閔嗣鶴．格點(diǎn)和面積．北京：人民教育出版社，1964．
11　閔嗣鶴等編著．地震勘探數(shù)字技術(shù)（一冊(cè)、二冊(cè)）．北京：科學(xué)出版社，1974．
12　宏油兵，舒立華（筆名）．獨(dú)立自主發(fā)展地震數(shù)字處理．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1975，18（4）：231－246．