梅涅勞斯定理

　　梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。

　　證明：

　　過點A作AG‖BC交DF的延長線于G

　　AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

　　三式相乘得：

　　AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

　　它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

　　另外,有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣,不看書根本記不住,下面從別人轉(zhuǎn)來一些方法幫助書寫

　　1.ABC為三個頂點，DEF為三個分點

　　(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

　�。�頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1

　　2.為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖1中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。

　　我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。

　　例如直升機(jī)降落在A點，我們從A點出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發(fā)點A。

　　另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。

　　從A點出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明：

　　方案 ① ——從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點A。

　　按照這個方案，可以寫出關(guān)系式：

　�。ˋF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

　　現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。

　　從A點出發(fā)的旅游方案還有：

　　方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：

　�。ˋB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有：

　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式：

　�。ˋC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個方案：

　　方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：

　�。ˋE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

　　我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖1中的另外一些公式。

　　盡管圖1中列出了許多公式，但仍不是全部公式，還可以寫出一些來。

　　值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當(dāng)直升機(jī)降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。

　　不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。

　　現(xiàn)在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會再寫錯或是記不住吧。