高斯（JohannCarlFriedrichGauss）（1777年4月30日－1855年2月23日），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。高斯被認為是最重要的數(shù)學家，并擁有“數(shù)學王子”的美譽。

1792年，15歲的高斯進入布倫瑞克（Braunschweig）學院。在那里，高斯開始對高等數(shù)學作研究。獨立發(fā)現(xiàn)了二項式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反律”（LawofQuadraticReciprocity)、質(zhì)數(shù)分布定理（primenumbertheorem)及算術(shù)幾何平均(arithmetic-geometricmean)。

1795年高斯進入哥廷根大學。1796年，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結(jié)果，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》。

1855年2月23日清晨，高斯于睡夢中去世。

高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲。在她成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。

高斯用很短的時間計算出了小學老師布置的任務(wù)：對自然數(shù)從1到100的求和。他所使用的方法是：對50對構(gòu)造成和101的數(shù)列求和（1+100，2+99，3+98……），同時得到結(jié)果：5050。這一年，高斯9歲。父親格爾恰爾德·迪德里赫對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過分，常常喜歡憑自己的經(jīng)驗為年幼的高斯規(guī)劃人生。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹慎的性格。

在成長過程中，幼年的高斯主要得力于母親和舅舅：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產(chǎn)的思想，不無傷感地說，舅舅去世使"我們失去了一位天才"。正是由于弗利德里�；垩圩R英才，經(jīng)常勸導姐夫讓孩子向?qū)W者方面發(fā)展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。

在數(shù)學史上，很少有人象高斯一樣很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。羅捷雅直到34歲才出嫁，生下高斯時已有35歲了。她性格堅強、聰明賢慧、富有幽默感。高斯一生下來，就對一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經(jīng)超出了一個孩子能被許可的范圍。當丈夫為此訓斥孩子時，她總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。

羅捷雅真地希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，對高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易地讓兒子投入當時尚不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學研究中。在高斯19歲那年，盡管他已做出了許多偉大的數(shù)學成就，但他仍向數(shù)學界的朋友W.波爾約（W.Bolyai，非歐幾何創(chuàng)立者之一J.波爾約之父）問道：高斯將來會有出息嗎？W.波爾約說她的兒子將是"歐洲最偉大的數(shù)學家"，為此她激動得熱淚盈眶。

7歲那年，高斯第一次上學了。頭兩年沒有什么特殊的事情。1787年高斯10歲，他進入了學習數(shù)學的班次，這是一個首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這么一門課程。數(shù)學教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。

當然，這也是一個等差數(shù)列的求和問題。當布特納剛一寫完時，高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去。E．T．貝爾寫道，高斯晚年經(jīng)常喜歡向人們談?wù)撨@件事，說當時只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯了。高斯沒有明確地講過，他是用什么方法那么快就解決了這個問題。數(shù)學史家們傾向于認為，高斯當時已掌握了等差數(shù)列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發(fā)現(xiàn)這一數(shù)學方法實屬很不平常。貝爾根據(jù)高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質(zhì)的數(shù)學方法這一特點。

高斯7歲那年開始上學。10歲的時候，他進入了學習數(shù)學的班級，這是一個首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這么一門課程。數(shù)學教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。

一天，老師布置了一道題，1+2+3······這樣從1一直加到100等于多少。

高斯很快就算出了答案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案："你一定是算錯了，回去再算算�！备咚拐f出答案就是5050，高斯是這樣算的1+100=101，2+99=101······1加到100有50組這樣的數(shù)，所以50X101=5050。

高斯的計算能力，更主要地是高斯獨到的數(shù)學方法、非同一般的創(chuàng)造力，使布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術(shù)書送給高斯，說：“你已經(jīng)超過了我，我沒有什么東西可以教你了�！苯又�，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學習，互相幫助，高斯由此開始了真正的數(shù)學研究。

1788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校里，所有的功課都極好，特別是古典文學、數(shù)學尤為突出。經(jīng)過巴特爾斯等人的引薦，布倫茲維克公爵召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的資助人，讓他繼續(xù)學習。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學發(fā)展的一種模式，表明在科學研究社會化以前，私人的資助是科學發(fā)展的重要推動因素之一。高斯正處于私人資助科學研究與科學研究社會化的轉(zhuǎn)變時期。

1792年高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續(xù)學習。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥丁根大學，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學習和開始進行創(chuàng)造性的研究。1799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克，正當他為自己的前途、生計擔憂而病倒時─雖然他的博士論文順利通過了，已被授予博士學位，同時獲得了講師職位，但他沒有能成功地吸引學生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術(shù)研究》，使該書得以在1801年問世；還負擔了高斯的所有生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術(shù)研究》中，寫下了情真意切的獻詞："獻給大公"，"你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究"。

1806年，公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經(jīng)濟上的拮據(jù)，德國處于法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀整理他的未公布于眾的數(shù)學手稿時才得知他那時的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細微的鉛筆字："對我來說，死去也比這樣的生活更好受些。"

為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學者洪堡（B.A.VonHumboldt）聯(lián)合其他學者和政界人物，為高斯爭取到了享有特權(quán)的哥丁根大學數(shù)學和天文學教授，以及哥丁根天文臺臺長的職位。1807年，高斯赴哥丁根就職，全家遷居于此。從這時起，除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥丁根數(shù)學學派的創(chuàng)立、德國成為世界科學中心和數(shù)學中心創(chuàng)造了條件。同時，這也標志著科學研究社會化的一個良好開端。

高斯有"數(shù)學王子"、"數(shù)學家之王"的美稱、被認為是人類有史以來"最偉大的四位數(shù)學家之一"（阿基米德、牛頓、高斯、歐拉）。人們還稱贊高斯是"人類的驕傲"。天才、早熟、高產(chǎn)、創(chuàng)造力不衰、……，人類智力領(lǐng)域的幾乎所有褒獎之詞，對于高斯都不過分。

高斯開辟了許多新的數(shù)學領(lǐng)域，從最抽象的代數(shù)數(shù)論到內(nèi)蘊幾何學，都留下了他的足跡。從研究風格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是18─19世紀之交的中堅人物。如果我們把18世紀的數(shù)學家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數(shù)學家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。

高斯他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學天才。11歲時發(fā)現(xiàn)了二項式定理，17歲時發(fā)明了二次互反律，18歲時發(fā)明了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了兩千多年來懸而未決的難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。他發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理、算術(shù)平均、幾何平均。21歲大學畢業(yè)，22歲時獲博士學位。1804年被選為英國皇家學會會員。從1807年到1855年逝世，一直擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺長。在成長過程中。幼年的高斯主要是力于母親和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30歲那年死于肺結(jié)核，留下了兩個孩子：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希。

慷慨、仁慈的資助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。由于高斯在天文學、數(shù)學方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學院不斷暗示他，自從1783年歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺。

雖然數(shù)學研究、科學工作在18世紀末仍然沒有成為令人羨慕的職業(yè)，但高斯依然生逢其時，因為在他快步入而立之年之際，歐洲資本主義的發(fā)展，使各國政府都開始重視科學研究。隨著拿破侖對法國科學家、科學研究的重視，俄國的沙皇以及歐洲的許多君主也開始對科學家、科學研究刮目相看，科學研究的社會化進程不斷加快，科學的地位不斷提高。作為當時最偉大的科學家，高斯獲得了不少的榮譽，許多世界著名的科學泰斗都把高斯當作自己的老師。1802年，高斯被俄國圣彼得堡科學院選為通訊院士、喀山大學教授；1818年，丹麥政府任命他為科學顧問，這一年，德國漢諾威政府也聘請他擔任政府科學顧問。

當時的天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認為火星和木星間應該還有行星未被發(fā)現(xiàn)。在1801年，意大利的天文學家Piazzi，發(fā)現(xiàn)在火星和木星間有一顆新星。它被命名為“谷神星”。我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個，但當時天文學界爭論不休，有人說這是行星，有人說這是彗星。必須繼續(xù)觀察才能判決，但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道，再來，它便隱身到太陽后面去了。因此無法知道它的軌道，也無法判定它是行星或彗星。高斯這時對這個問題產(chǎn)生興趣，他決定解決這個捉摸不到的星體軌跡的問題。高斯自己獨創(chuàng)了只要三次觀察，就可以來計算星球軌道的方法。他可以極準確地預測行星的位置。果然，谷神星準確無誤的在高斯預測的地方出現(xiàn)。這個方法－－雖然他當時沒有公布－－就是“最小平方法”（MethodofLeastSquare)。

1802年，他又準確預測了小行星二號－－智神星的位置，這時他的聲名遠播，榮譽滾滾而來，俄國圣彼得堡科學院選他為會員，發(fā)現(xiàn)Pallas的天文學家Olbers請他當哥廷根天文臺主任，他沒有立刻答應，到了1807年才前往哥廷根就任。

1827年他發(fā)表了《曲面的一般研究》，涵蓋一部分大學念的“微分幾何”

1833年高斯從他的天文臺拉了一條長八千尺的電線，跨過許多人家的屋頂，一直到韋伯的實驗室，以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個電報機。高斯對自己的工作態(tài)度是精益求精，非常嚴格地要求自己的研究成果。他自己曾說：寧可發(fā)表少，但發(fā)表的東西是成熟的成果。許多當代的數(shù)學家要求他，不要太認真，把結(jié)果寫出來發(fā)表，這對數(shù)學的發(fā)展是很有幫助的。其中一個有名的例子是關(guān)于非歐幾何的發(fā)展。非歐幾何的的開山祖師有三人，高斯、洛巴切夫斯基，波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學的同學，他曾想試著證明平行公理，雖然父親反對他繼續(xù)從事這種看起來毫無希望的研究，小波爾約還是沉溺于平行公理。最后發(fā)展出了非歐幾何，并且在1832～1833年發(fā)表了研究結(jié)果，老波爾約把兒子的成果寄給老同學高斯，想不到高斯卻回信道：我無法夸贊他，因為夸贊他就等于夸獎我自己。早在幾十年前，高斯就已經(jīng)得到了相同的結(jié)果，只是怕不能為世人所接受而沒有公布而已。美國的著名數(shù)學家貝爾，在他著的《數(shù)學工作者》一書里曾經(jīng)這樣批評高斯：在高斯死后，人們才知道他早就預見一些十九世的數(shù)學，而且在1800年之前已經(jīng)期待它們的出現(xiàn)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏，很可能比當今數(shù)學還要先進半個世紀或更多的時間。阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開始工作，而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學的創(chuàng)造者，可以把他們的天才用到其他方面去。

雖然高斯作為一個數(shù)學家而聞名于世，但這并不意味著他熱愛教書。盡管如此，他越來越多的學生成為有影響的數(shù)學家，如后來聞名于世的戴德金和黎曼。

高斯非常信教且保守。他的父親死于1808年4月14日，晚些時候的1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也離開人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子FriedericaWilhelmine（1788-1831）。他們又有三個孩子：Eugen（1811-1896）,Wilhelm（1813-1883）和Therese（1816-1864）。1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯開始學習俄語。1839年4月18日，他的母親在哥廷根逝世，享年95歲。高斯于1855年2月23日凌晨1點在哥廷根去世。他的很多散布在給朋友的書信或筆記發(fā)現(xiàn)于1898年。

高斯的信仰是基于尋求真理的。他相信“精神個性上的不朽，像是個人在死后的持久性，還有最后命令的東西，以及永恒的、正義的、無所不知和無所不能的上帝�！备咚挂矆猿肿诮痰膶捜�，他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對的。 他說：”微小的學識使人遠離神，廣博的學識使人接近神。

高斯具有濃厚的宗教感情、貴族的舉止和保守的傾向。他一直遠離他那個時代的進步政治潮流。在高斯身上表現(xiàn)出的矛盾是與他實際上的和諧結(jié)合在一起的。高斯身為才氣橫溢的算術(shù)家，對於數(shù)具有非凡的記憶力。他既是一個深刻的理論家，又是一個杰出的數(shù)學實踐家。教學是他最討厭的事，因此他只有少數(shù)幾個學生。但他的那些影響數(shù)學發(fā)展進程的論著(大約155篇)卻使他嘔心瀝血。有3個原則指導他的工作︰他最喜歡說的「少些，但要成熟些」；他的格言「不留下進一步要做的事」；和他的極度嚴格的要求。

從他死后出版的著作中可以看出，他有許多重要和內(nèi)容廣泛的論文從未發(fā)表，因為按他的意見，它們都不符合這些原則。高斯所追求的數(shù)學研究題目都是那些他能在其中預見到具有某種有意義聯(lián)系的概念和結(jié)果，它們由於優(yōu)美和普遍而值得稱道。

1849年舉辦了高斯獲博士學位50周年慶祝會，為此高斯準備了他早期對代數(shù)基本定理證明的一個新版本。由於健康狀況愈來愈差，這成了他最后的著作。給他帶來最大歡樂和榮譽的還是格丁根市贈與他的榮譽公民頭銜。由於他在數(shù)學、天文學、大地測量學和物理學中的杰出研究成就，他被選為許多科學院和學術(shù)團體的成員。他謝絕了許多大學請他當教授的邀請而一直留在格丁根大學的院系中，直至直至1855年2月23日逝世。逝世后不久就鑄造了紀念他的錢幣。

歐幾里得已經(jīng)指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數(shù)是上述邊數(shù)兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規(guī)和直尺實現(xiàn)的，但從那時起關(guān)於這個問題的研究沒有多大進展。高斯在數(shù)論的基礎(chǔ)上提出了判斷一給定邊數(shù)的正多邊形是否可以幾何作圖的準則。例如，用圓規(guī)和直尺可以作圓內(nèi)接正十七邊形。這樣的發(fā)現(xiàn)還是歐幾里得以后的第一個。

這些關(guān)於數(shù)論的工作對代數(shù)數(shù)的現(xiàn)代算術(shù)理論即代數(shù)方程的解法)作出了貢獻。高斯還將復數(shù)引進了數(shù)論，開創(chuàng)了復整數(shù)算術(shù)理論，復整數(shù)在高斯以前只是直觀地被引進。1831年(發(fā)表於1832年)他給出了一個如何藉助於x,y平面上的表示來發(fā)展精確的復數(shù)理論的詳盡說明。

高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學是自然界和思想中所固有的那些人之一。歐幾里得是建立系統(tǒng)性幾何學的第一人。他模型中的一些基本思想被稱作公理，它們是透過純粹邏輯構(gòu)造整個系統(tǒng)的出發(fā)點。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，通過不在給定直線上的任何點只能作一條與該直線平行的線。

不久就有人推測︰這一公理可從其他一些公理推導出來，因而可從公理系統(tǒng)中刪去。但是關(guān)於它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認識到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學的人之一。他逐漸得出革命性的結(jié)論︰確實存在這樣的幾何學，其內(nèi)部相容并且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點相背，他不敢發(fā)表(參閱非歐幾里得幾何條)。

當1830年前后匈牙利的波爾約(Janos Bolyai)和俄國的羅巴切夫斯基獨立地發(fā)表非歐幾何學時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結(jié)論。高斯也沒有發(fā)表特殊復函數(shù)方面的工作，可能是因為沒有能從更一般的原理導出它們。因此這一理論不得不在他死后數(shù)十年由其他數(shù)學家從他著作的計算中重建。

1830年前后，極值(極大和極小)原理在高斯的物理問題和數(shù)學研究中開始占有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。在探討毛細作用時，他提出了一個數(shù)學公式能將流體系統(tǒng)中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內(nèi)。這一工作對於能量守恒原理的發(fā)展作出了貢獻。從1830年起高斯就與物理學家威廉·愛德華·韋伯密切合作。由於對地磁學的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統(tǒng)觀測網(wǎng)。他們在電磁學方面最重要的成果是電報的發(fā)展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規(guī)模的。

1801天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認為火星和木星間應該還有行星未被發(fā)現(xiàn)。

1801年的元旦，一位意大利天文學家在西西里島觀察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移動，這顆如今被稱作谷神星（Ceres）的小行星在天空出現(xiàn)了41天，掃過八度角之后，就在太陽的光芒下沒了蹤影。

我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個，當時天文學家無法確定這顆新星是彗星還是行星，必須繼續(xù)觀察才能判決，但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道，再來，它便隱身到太陽后面去了。因此無法知道它的軌道，也無法判定它是行星或彗星。

高斯也對這顆星著了迷，他決定解決這個捉摸不到的星體軌跡的問題。高斯自己獨創(chuàng)了只要三次觀察，就可以來計算星球軌道的方法。他可以極準確地預測行星的位置。他利用天文學家提供的觀測資料，不慌不忙地算出了它的軌跡。

果然，谷神星準確無誤的在高斯預測的地方出現(xiàn)。這個方法－－雖然他當時沒有公布－－就是“最小平方法”。在天文學中這一成就立即得到公認。

他在《天體運動理論》(1809)中敘述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能適應現(xiàn)代計算機的要求。高斯在小行星「智神星」方面也獲得類似的成功�？紤]到其他行星對智神星軌道的攝動，高斯改進了他的計算。 這時他的聲名遠播，榮譽滾滾而來。自那以后，行星、大行星（海王星）接二連三地被發(fā)現(xiàn)了。

1807年他成為格丁根大學的天文學教授和新天文臺臺長，直到逝世。1809年，在結(jié)婚4年后和第三個孩子剛出世不久，他第一個妻子去世。他的第二次婚姻(1810～1831)帶給他兩個兒子和一個女兒。

在1812年，他研究了超幾何級數(shù)，并且把研究結(jié)果寫成專題論文，呈給哥廷根皇家科學院。

1820年前后，高斯把注意力轉(zhuǎn)向大地測量——用數(shù)學方法測定地球表面的形狀和大小。他把很多時間用於大地測量的理論研究和野外工作。

為了增加測量的精確度，他發(fā)明了回光儀(一種利用日光以保證比較精確測量的儀器)。他還引進了所謂的高斯誤差曲線，并指出概率如何能用變差的鐘形曲線(一般稱為正態(tài)曲線，它是刻畫數(shù)據(jù)統(tǒng)計分布的基礎(chǔ))來表示。

他還對透過實際的大地測量確定地球形狀感興趣，這個工作使他回到了純理論。他利用這些測量數(shù)據(jù)發(fā)展了曲面論，按照這一理論，一個曲面的特徵只要透過測量曲面上曲線的長度就能確定。

這種「內(nèi)蘊曲面論」啟發(fā)了他的學生黎曼發(fā)展三維或多維空間的一般內(nèi)蘊幾何學。這是黎曼1854年在格丁根就職演說的題目，據(jù)說也是困擾高斯的問題。大約60年以后黎曼的思想形成愛因斯坦廣義相對論的數(shù)學基礎(chǔ)。

與他在引力和磁學方面的興趣有密切關(guān)系的是他在1840年發(fā)表的實分析論文。這一論文成為現(xiàn)代位勢理論的出發(fā)點。這可能是他所有的工作中唯一沒有達到他本人高標準要求的一個。只有到20世紀初數(shù)學家在不同原理的基礎(chǔ)上或藉助於尋求高斯結(jié)論是完全正確的成立條件，才有可能重新發(fā)展位勢理論。

1820到1830年間，高斯為了測繪汗諾華公國的地圖，開始做測地的工作，他寫了關(guān)于測地學的書，由于測地上的需要，他發(fā)明了日觀測儀。高斯和韋伯（Withelm Weber)一起從事磁的研究，他們的合作是很理想的：韋伯作實驗，高斯研究理論，韋伯引起高斯對物理問題的興趣，而高斯用數(shù)學工具處理物理問題，影響韋伯的思考工作方法。以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個電報機，設(shè)立磁觀測站，和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。

高斯的數(shù)學研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學、非歐幾何、復變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻。他還把數(shù)學應用于天文學、大地測量學和磁學的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發(fā)表出來。

高斯首先迷戀上的也是自然數(shù)。高斯在1808年談到：“任何一個花過一點功夫研習數(shù)論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱�！�

高斯對代數(shù)學的重要貢獻是證明了代數(shù)基本定理，他的存在性證明開創(chuàng)了數(shù)學研究的新途徑。事實上在高斯之前有許多數(shù)學家認為已給出了這個結(jié)果的證明，可是沒有一個證明是嚴密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來，然后提出自己的見解，他一生中一共給出了四個不同的證明。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他還深入研究復變函數(shù)，建立了一些基本概念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發(fā)表出來。

在物理學方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學家韋伯發(fā)明了有線電報，這使高斯的聲望超出了學術(shù)圈而進入公眾社會。除此以外，高斯在力學、測地學、水工學、電動學、磁學和光學等方面均有杰出的貢獻。

高斯不僅對純粹數(shù)學作出了意義深遠的貢獻，而且對20世紀的天文學、大地測量學和電磁學的實際應用也作出了重要的貢獻。

高斯開辟了許多新的數(shù)學領(lǐng)域，從最抽象的代數(shù)數(shù)論到內(nèi)蘊幾何學，都留下了他的足跡。從研究風格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是18─19世紀之交的中堅人物。

如果我們把18世紀的數(shù)學家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數(shù)學家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。

高斯是"人類的驕傲"。天才、早熟、高產(chǎn)、創(chuàng)造力不衰、……，人類智力領(lǐng)域的幾乎所有褒獎之詞，對于高斯都不過分。

愛因斯坦曾評論說：“高斯對于近代物理學的發(fā)展，尤其是對于相對論的數(shù)學基礎(chǔ)所作的貢獻（指曲面論），其重要性是超越一切，無與倫比的。”

貝爾曾經(jīng)這樣批評高斯：在高斯死后，人們才知道他早就預見一些十九世的數(shù)學，而且在1800年之前已經(jīng)期待它們的出現(xiàn)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏，很可能比當今數(shù)學還要先進半個世紀或更多的時間。

淺薄的學識使人遠離神，廣博的學識使人接近神。

數(shù)學，科學的皇后；算術(shù)，數(shù)學的皇后。

從1989年直到2001年年底，他的肖像和他所寫的正態(tài)分布曲線與一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德國10馬克的鈔票中。

另一方面，在漢諾威有和他有關(guān)的雞血石以及三角測量方法。在德國也發(fā)行了三種用以表彰高斯的郵票。第一種郵票(第725號)發(fā)行于1955年?他死后的第100周年；另外兩種郵票(第1246號.第1811號)發(fā)行于1977年，他出生的第200周年。

在高斯的榮耀中，

1.用在磁場的CGS制計量單位以高斯來命名。

2.月球上的坑洞以他來命名。

3.小行星1001又稱為「高斯星」。

4.1901年德國建造了一艘名為“高斯”的船，并進行了被稱為“高斯號遠征的”南極探險活動。

2007年的時候，高斯的半身像被引進瓦爾哈拉神殿。