歐幾里德 - 人物簡介
歐幾里德雖然生長于巴爾干半島的雅典,接受了希臘古典數(shù)學(xué)及各種科學(xué)文化,30歲就成了有名的學(xué)者。應(yīng)當(dāng)時(shí)埃及國王的邀請,他客居亞歷山大城,一邊教學(xué),一邊從事研究。
他的生平,后人所知甚少。大概早年在雅典就讀,深悉柏拉圖的學(xué)說。公元前300年左右,歐幾里德接受托勒密王(公元前364~公元前283)的邀請,來到亞歷山大城,長期在那里工作。他是一位溫良敦厚的教育家,對有志數(shù)學(xué)之士,總是循循善誘。但反對投機(jī)取巧、不肯刻苦鉆研的作風(fēng),也反對狹隘實(shí)用觀點(diǎn)。
歐幾里德將公元前7世紀(jì)以來希臘幾何積累起來的既豐富又紛紜龐雜的結(jié)果整理在一個(gè)嚴(yán)密統(tǒng)一的體系中,從最原始的定義開始,列出5條公理和5條公設(shè)為基礎(chǔ).通過邏輯推理,演繹出一系列定理和推論,從而建立了被稱為歐幾里得幾何的第一個(gè)公理化的數(shù)學(xué)體系。據(jù)記載,亞歷山大里亞的統(tǒng)治者托勒密一世曾問他學(xué)習(xí)幾何有無簡捷的方法,歐幾里得回答:“在幾何里,沒有專為國王鋪設(shè)的大道”這句話后來成為傳誦千古的學(xué)習(xí)箴言.他的著作除《幾何原本》之外,還有不少,可惜大都失傳,《已知數(shù)》和《圖形的分割》是保存下來的著作。
古希臘的數(shù)學(xué)研究有著十分悠久的歷史,曾經(jīng)出過一些幾何學(xué)著作,但都是討論某一方面的問題,內(nèi)容不夠系統(tǒng)。歐幾里德匯集了前人的成果,采用前所未有的獨(dú)特編寫方式,先提出定義、公理、公設(shè),然后由簡到繁地證明了一系列定理,討論了平面圖形和立體圖形,還討論了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、比例等等,終于完成了《幾何原本》這部巨著!对尽穯柺篮,它的手抄本流傳了1800多年。1482年印刷發(fā)行以后,重版了大約一千版次,還被譯為世界各主要語種。13世紀(jì)時(shí)曾傳入中國,不久就失傳了,1607年重新翻譯了前六卷,1857年又翻譯了后九卷。
歐幾里德善于用簡單的方法解決復(fù)雜的問題。他在人的身影與高正好相等的時(shí)刻,測量了金字塔影的長度,解決了當(dāng)時(shí)無人能解的金字塔高度的大難題。他說:“此時(shí)塔影的長度就是金字塔的高度。”歐幾里德是位溫良敦厚的教育家。歐幾里得也是一位治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)者,他反對在做學(xué)問時(shí)投機(jī)取巧和追求名利,反對投機(jī)取巧、急功近利的作風(fēng)。盡管歐幾里德簡化了他的幾何學(xué),國王(托勒密王)還是不理解,希望找一條學(xué)習(xí)幾何的捷徑。歐幾里德說:“在幾何學(xué)里,大家只能走一條路,沒有專為國王鋪設(shè)的大道!边@句話成為千古傳誦的學(xué)習(xí)箴言。一次,他的一個(gè)學(xué)生問他,學(xué)會幾何學(xué)有什么好處?他幽默地對仆人說:“給他三個(gè)錢幣,因?yàn)樗霃膶W(xué)習(xí)中獲取實(shí)利! 歐氏還有《已知數(shù)》《圖形的分割》等著作。
歐幾里德 - 成長經(jīng)歷
關(guān)于他的生平,現(xiàn)在知道的很少。早年大概就學(xué)于雅典,深知柏拉圖的學(xué)說。公元前300年左右,在托勒密王(公元前364~前283)的邀請下,來到亞歷山大,長期在那里工作。他是一位溫良敦厚的教育家,對有志數(shù)學(xué)之士,總是循循善誘。但反對不肯刻苦鉆研、投機(jī)取巧的作風(fēng),也反對狹隘實(shí)用觀點(diǎn)。據(jù)普羅克洛斯(約410~485)記載,托勒密王曾經(jīng)問歐幾里得,除了他的《幾何原本》之外,還有沒有其他學(xué)習(xí)幾何的捷徑。歐幾里得回答說:“幾何無王者之路!币馑际,在幾何里,沒有專為國王鋪設(shè)的大道。這句話后來成為傳誦千古的學(xué)習(xí)箴言。斯托貝烏斯(約500)記述了另一則故事,說一個(gè)學(xué)生才開始學(xué)第一個(gè)命題,就問歐幾里得學(xué)了幾何學(xué)之后將得到些什么。歐幾里得說:給他三個(gè)錢幣,因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲取實(shí)利。歐幾里得生于雅典,是柏拉圖的學(xué)生。他的科學(xué)活動主要是在亞歷山大進(jìn)行的,在這里,他建立了以他為首的數(shù)學(xué)學(xué)派。歐幾里得,以他的主要著作《幾何原本》而著稱于世,他的工作重大意義在于把前人的數(shù)學(xué)成果加以系統(tǒng)的整理和總結(jié),以嚴(yán)密的演繹邏輯,把建立在一些公理之上的初等幾何學(xué)知識構(gòu)成為一個(gè)嚴(yán)整的體系。歐幾里得建立起來的幾何學(xué)體系之嚴(yán)謹(jǐn)和完整,就連20世紀(jì)最杰出的大科學(xué)家愛因斯坦也不能對他不另眼相看。愛因斯坦說:“一個(gè)人當(dāng)他最初接觸歐幾里得幾何學(xué)時(shí),如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動,那么他是不會成為一個(gè)科學(xué)家的!
《幾何原本》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容也許沒有多少為他所創(chuàng),但是關(guān)于公理的選擇,定理的排列以及一些嚴(yán)密的證明無疑是他的功勞,在這方面,他的工作出色無比。歐幾里得的《幾何原本》共有13篇,首先給出的是定義和公理。比如他首先定義了點(diǎn)、線、面的概念。他整理的5條公理其中包括:1、從一點(diǎn)到另一任意點(diǎn)作直線是可能的;2、所有的直角都相等;3、a=b,b=c,則a=c;4、若a=b則a+c=b+c等等。這里面還有一條公理是歐幾里得自己提出的,即:整體大于部分。雖然這條公理不像別的公理那么一望便知,不那么容易為人接受,但這是歐氏幾何中必須的,必不可少的。他能提出來,這恰恰顯示了他的天才。
《幾何原本》第1~4篇主要講多邊形和圓的基本性質(zhì),像全等多邊形的定理,平行線定理,勾股弦定理等。第2篇講幾何代數(shù),用幾何線段來代替數(shù),這就解決了希臘人不承認(rèn)無理數(shù)的矛盾,因?yàn)橛行o理數(shù)可以用作圖的方法,來把它們表示出來。第3篇討論圓的性質(zhì),如弦、切線、割線,圓心角等。第4篇討論圓的內(nèi)接和外接圖形。第5篇是比例論。這一篇對以后數(shù)學(xué)發(fā)展史有重大關(guān)系。第6篇講的是相似形。其中有一個(gè)命題是:直角三角形斜邊上的矩形,其面積等于兩直角邊上的兩個(gè)與這相似的矩形面積之和。讀者不妨一試。第7、8、9篇是數(shù)論,即講述整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)。第10篇是對無理數(shù)進(jìn)行分類。第11~13篇講的是立體幾何。全部13篇共包含有467個(gè)命題。《幾何原本》的出現(xiàn)說明人類在幾何學(xué)方面已經(jīng)達(dá)到了科學(xué)狀態(tài),在經(jīng)驗(yàn)和直覺的基礎(chǔ)上建立了科學(xué)的、
邏輯的理論。歐幾里得,這位亞歷山大大學(xué)的數(shù)學(xué)教授,已經(jīng)把大地和蒼天轉(zhuǎn)化為一幅由錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形所構(gòu)成的龐大圖案。他又運(yùn)用他的驚人才智,指揮靈巧的手指將這個(gè)圖案拆開,分成為簡單的組成部分:點(diǎn)、線、角、平面、立體——把一幅無邊無垠的圖,譯成初等數(shù)學(xué)的有限語言。盡管歐幾里得簡化了他的幾何學(xué),但他堅(jiān)持對幾何學(xué)的原則進(jìn)行透徹的研究,以便他的學(xué)生們能充分理解它。據(jù)說,亞歷山大國王多祿米曾師從歐幾里得學(xué)習(xí)幾何,有一次對于歐幾里得一遍又一遍地解釋他的原理表示不耐煩。國王問道:“有沒有比你的方法簡捷一些的學(xué)習(xí)幾何學(xué)的途徑?”歐幾里得答道:“陛下,鄉(xiāng)下有兩種道路,一條是供老百姓走的難走的小路,一條是供皇家走的坦途。但是在幾何學(xué)里,大家只能走同一條路。走向?qū)W問,是沒有什么皇家大道的,請陛下明白!睔W幾里得的這番話后來推廣為“求知無坦途”,成為傳誦千古的箴言。
關(guān)于歐幾里得的一生的細(xì)節(jié),由于資料缺乏,我們知道得很少。有一個(gè)故事說的是歐幾里得和妻子吵架,妻子很為惱火。妻子說:“收起你的亂七八糟的兒何圖形,它難道為你帶來了面包和牛肉!睔W幾里得天生是個(gè)憨脾氣,只是笑了笑,說道:“婦人之見,你知道嗎?我現(xiàn)在所寫的,到后世將價(jià)值連城!”妻子嘲笑道:“難道讓我們來世再結(jié)合在一起嗎?你這書呆子!睔W幾里得剛要分辯,只見妻子拿起他寫的《幾何原本》的一部分投入火爐中。歐幾里得連忙來搶,可是已經(jīng)來不及了。據(jù)說妻子燒掉的是《幾何原本》中最后最精彩的一章。但這個(gè)遺憾是無法彌補(bǔ)的,她燒的不僅僅是一些有用的書,她燒的是歐幾里得血汗和智慧的結(jié)晶。如果上面這個(gè)故事是真的,那么他妻子的那場震怒可能并不是歐幾里得引起來的。因?yàn)楣糯淖骷覀兏嬖V我們,他是一個(gè)“溫和慈祥的老頭!
由于歐幾里得知識的淵博,他的學(xué)生們簡直把他當(dāng)作偶像來崇拜。歐幾里得在教授學(xué)生時(shí),像一個(gè)真正的父親那樣引導(dǎo)他們,關(guān)心他們。然而有時(shí),他也用辛辣的諷刺來鞭撻學(xué)生中比較傲慢的,使他們馴服。有一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)了第一定理之后,便問道:“學(xué)習(xí)幾何,究竟會有什么好處?”于是,歐幾里得轉(zhuǎn)身吩咐傭人說:“格魯米阿,拿三個(gè)錢幣給這位先生,因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲得實(shí)利!
歐幾里得主張學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)、刻苦鉆研,不贊成投機(jī)取巧的作風(fēng),更反對狹隘的實(shí)用觀念。后來者帕波斯就特別贊賞他這謙遜的品德。像古希臘的大多數(shù)學(xué)者一樣,歐幾里德對于他的科學(xué)研究的“實(shí)際”價(jià)值是不大在乎的。他喜愛為研究而研究。他羞怯謙恭,與世無爭,平靜地生活在自己的家里。在那個(gè)到處充滿勾心斗角的世界里,對于人們吵吵鬧鬧所作出的俗不可耐的表演,則聽之任之。他說:“這些浮光掠影的東西終究會過去,但是,星羅棋布的天體圖案,卻是永恒地巋然不動!睔W幾里得除了寫作重要幾何學(xué)巨著《幾何原本》外,還著有《數(shù)據(jù)》、《圖形分割》、《論數(shù)學(xué)的偽結(jié)論》、《光學(xué)》、《反射光學(xué)之書》等著作。
歐幾里德 - 輝煌成就
主要成就歐幾里德是古代希臘最負(fù)盛名、最有影響的數(shù)學(xué)家之一,他是亞歷山大里亞學(xué)派的成員。歐幾里德寫過一本書,書名為《幾何原本》(Elements)共有13卷。這一著作對于幾何學(xué)、數(shù)學(xué)和科學(xué)的未來發(fā)展,對于西方人的整個(gè)思維方法都有極大的影響!稁缀卧尽返闹饕獙ο笫菐缀螌W(xué),但它還處理了數(shù)論、無理數(shù)理論等其他課題。歐幾里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是確定的、不需證明的基本命題,一切定理都由此演繹而出。在這種演繹推理中,每個(gè)證明必須以公理為前提,或者以被證明了的定理為前提。這一方法后來成了建立任何知識體系的典范,在差不多2000年間,被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例。《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰。
《幾何原本》作為教科書使用了兩千多年。在古今中外成文的教科書之中,無疑它是最成功的。歐幾里德的杰出工作,使以前類似的論述黯然失色!稁缀卧尽穯柺乐螅芸烊〈艘郧八械膸缀谓炭茣!稁缀卧尽肥怯孟ED文寫成的,后來被翻譯成多種文字。它一直以手抄本流傳了上千年,而首次印刷出版于1482年,即哥登堡發(fā)明活字印刷術(shù)30多年之后。自那時(shí)以來,《幾何原本》出了上千種不同的版本,廣為流傳和普及,以至在19世紀(jì)成為中學(xué)教科書。
突出貢獻(xiàn)
歐幾里得將公元前7世紀(jì)以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)之中,使幾何學(xué)成為一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)。除了《幾何原本》之外,他還有不少著作,可惜大都失傳!兑阎獢(shù)》是除《原本》之外惟一保存下來的他的希臘文純粹幾何著作,體例和《原本》前6卷相近,包括94個(gè)命題,指出若圖形中某些元素已知,則另外一些元素也可以確定!秷D形的分割》現(xiàn)存拉丁文本與阿拉伯文本,論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分!豆鈱W(xué)》是早期幾何光學(xué)著作之一,研究透視問題,敘述光的入射角等于反射角,認(rèn)為視覺是眼睛發(fā)出光線到達(dá)物體結(jié)果。還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得所著,而且已經(jīng)散失。歐幾里德的《幾何原本》中收錄了23個(gè)定義,5個(gè)公理,5個(gè)公設(shè),并以此推導(dǎo)出48個(gè)命題(第一卷)。
歐幾里德 - 歷史地位
歐幾里德寫過另外幾本書,其中有些流傳至今。然而確立他歷史地位的,主要是那本偉大的幾何教科書《幾何原本》!稁缀卧尽返闹匾圆⒉辉谟跁刑岢龅哪囊粭l定理。書中提出的幾乎所有的定理在歐幾里德之前就已經(jīng)為人知曉,使用的許多證明亦是如此。歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)在于他將這些材料做了整理,并在書中作了全面的系統(tǒng)闡述。這包括首次對公理和公設(shè)作了適當(dāng)?shù)倪x擇(這是非常困難的工作,需要超乎尋常的判斷力和洞察力)。然后,他仔細(xì)地將這些定理做了安排,使每一個(gè)定理與以前的定理在邏輯上前后一致。在需要的地方,他對缺少的步驟和木足的證明也作了補(bǔ)充。值得一提的是,《幾何原本》雖然基本上是平面和立體幾何的發(fā)展,也包括大量代數(shù)和數(shù)論的內(nèi)容。《幾何原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中,無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作,使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后,很快取代了以前的幾何教科書,而后者也就很快在人們的記憶中消失了!稁缀卧尽肥怯孟ED文成的,后來被翻譯成多種文字。它首版于1482年,即谷登堡發(fā)明活字印刷術(shù)3O多年之后。自那時(shí)以來,《幾何原本》已經(jīng)出版了上千種不同版本。
在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面,《幾何原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面,這是一個(gè)十分杰出的典范。正因?yàn)槿绱,自本書問世以來,思想家們(yōu)橹鴥A倒。公正地說,歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素?茖W(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細(xì)心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已?茖W(xué)上的偉大成就,就其原因而言,一方面是將經(jīng)驗(yàn)同試驗(yàn)進(jìn)行結(jié)合;另一方面,需要細(xì)心的分析和演繹推理。我們不清楚為什么科學(xué)產(chǎn)生在歐洲而木是在中國或日本。但可以肯定地說,這并非偶然。毫無疑問,像牛頓、伽利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因,可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲,而不是東方。或許,使歐洲人易于理解科學(xué)的一個(gè)明顯的歷史因素,是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識。對于歐洲人來講,只要有了幾個(gè)基本的物理原理,其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因?yàn)樵谒麄冎坝袣W里得作為典范(總的來講,歐洲人不把歐幾里得的幾何學(xué)僅僅看作是抽象的體系;他們認(rèn)為歐幾里得的公設(shè),以及由此而來的定理都是建立在客觀現(xiàn)實(shí)之上的)。
上面提到的所有人物都接受了歐幾里得的傳統(tǒng)。他們的確都認(rèn)真地學(xué)習(xí)過歐幾里得的《幾何原本》,并使之成為他們數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書,就是按照類似于《幾何原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后,許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得,說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個(gè)假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家,像伯莎德·羅素、阿爾弗雷德·懷特海,以及一些哲學(xué)家,如斯賓諾莎也都如此。同中國進(jìn)行比較,情況尤為令人矚目。
多少個(gè)世紀(jì)以來,中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是從來沒有出現(xiàn)一個(gè)可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是,中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系(中國人對實(shí)際的幾何知識理解得不錯(cuò),但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度)。直到1600年,歐幾里得才被介紹到中國來。此后,又用了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間,他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。在這之前,中國人并沒有從事實(shí)質(zhì)性的科學(xué)工作。在日本,情況也是如此。直到18世紀(jì),日本人才知道歐幾里得的著作,并且用了很多年才理解了該書的主要思想。盡管今天日本有許多著名的科學(xué)家,但在歐幾里得之前卻沒有一個(gè)。人們不禁會問,如果沒歐幾里得的奠基性工作,科學(xué)會在歐洲產(chǎn)產(chǎn)嗎?如今,數(shù)學(xué)家們已經(jīng)記識到,歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計(jì)出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間,人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來,人們的確已經(jīng)認(rèn)識到,在實(shí)際的宇宙之中,歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如,在黑洞和中子星的周圍,引力場極為強(qiáng)烈。在這種情況下,歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是,這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下,歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論。
不管怎樣,人類知識的這些最新進(jìn)展都不會水削弱歐向里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)成長必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。
歐幾里德 - 《幾何原本》
《幾何原本》起到了鍛煉人們邏輯思維的作用,其影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了亞里士多德的任何一篇邏輯論文。它是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评眢w系的杰作,因此自從問世以來對任何偉大的思想家都具有巨大的魔力。歐幾里德這部巨著是現(xiàn)代科學(xué)崛起的一個(gè)重要因素,這種說法不無道理。科學(xué)不只是準(zhǔn)確的觀察和精辟概括的集合,F(xiàn)代科學(xué)的偉大成就一部分是經(jīng)驗(yàn)論和實(shí)驗(yàn)法相結(jié)合的產(chǎn)物,另一部分是認(rèn)真分析和邏輯演繹相結(jié)合的產(chǎn)物。
不能確切地知道科學(xué)為什么出現(xiàn)在歐洲而不是中國,但是可以有把握地認(rèn)為這并非僅僅出于偶然。當(dāng)然象牛頓、伽利略和哥白尼這樣的杰出人物起了極其重要的作用,但是這樣的人才在歐洲大量涌現(xiàn)看來是有其內(nèi)在的原因的。歐洲朝著科學(xué)方向發(fā)展最明顯的歷史因素也許就是希臘的唯理論和希臘人遺贈西歐的數(shù)學(xué)知識。值得注意的是中國雖然有不少世紀(jì)在技術(shù)方面都比歐洲先進(jìn),但是卻從未掌握西歐的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。沒有哪一位中國數(shù)學(xué)家可以和歐幾里德媲美。中國人有很好的實(shí)用幾何學(xué)知識,但是他們的幾何學(xué)知識卻從來未形成推理體系。
從幾個(gè)基本物理學(xué)定律可以推導(dǎo)出任何其它定律,歐洲人認(rèn)為這種思想是天經(jīng)地義的,因?yàn)樵谒麄兠媲坝袣W幾里德這樣的權(quán)威。一般說來歐洲人并未把歐幾里德幾何僅僅看作是一個(gè)抽象的體系,而是認(rèn)為歐幾里德公理和定律真實(shí)地反映了客觀世界。
歐幾里德對艾薩克·牛頓的影響尤為突出,因?yàn)榕nD的偉大著作《原理》是用“幾何”形式,即用《幾何原本》相類似的形式寫成的。許多不同的科學(xué)家都竭力效仿歐幾里德,他們試圖把自己所有的結(jié)論都合乎邏輯地從少數(shù)幾個(gè)原始前提下推導(dǎo)出來。象羅素和懷特默德這樣著名的數(shù)學(xué)家和斯賓諾莎這樣的哲學(xué)家都做過這種嘗試。
今天的數(shù)學(xué)家終于明白了歐幾里德幾何并不是可以設(shè)計(jì)出來的唯一統(tǒng)一的幾何學(xué)體系。在過去的一百五十年中,建立了許多門非歐幾里德幾何學(xué)。實(shí)際上自從愛因斯坦廣義相對論被公認(rèn)以來,科學(xué)家就認(rèn)識到在客觀的宇宙中歐幾里德幾何并不總是成立的。例如在黑洞和中子星相鄰的區(qū)域內(nèi),重力場非常強(qiáng),歐幾里德幾何學(xué)不能準(zhǔn)確地描述出那個(gè)世界的模樣,如此看來它也不能把宇宙作為整體來加以正確的描述。但是這些例子很特殊,歐幾里德幾何學(xué)在大多數(shù)情況下都能非常逼真地反映客觀現(xiàn)實(shí)。人類知識的這些新的進(jìn)展無論如何不能減少凝聚著歐幾里德智慧的成就,也不能削弱他的歷史意義。
歐幾里德 - 幾何算法
歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法,用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。其計(jì)算原理依賴于下面的定理:定理:gcd(a,b)=gcd(b,amodb)
證明:a可以表示成a=kb+r,則r=amodb
假設(shè)d是a,b的一個(gè)公約數(shù),則有
d|a,d|b,而r=a-kb,因此d|r
因此d是(b,amodb)的公約數(shù)
假設(shè)d是(b,amodb)的公約數(shù),則
d|b,d|r,但是a=kb+r
因此d也是(a,b)的公約數(shù)
因此(a,b)和(,amodb)的公約數(shù)是一樣的,其最大公約數(shù)也必然相等,得證。
歐幾里德算法就是根據(jù)這個(gè)原理來做的,其算法用C++語言描述為:
voidswap(int&a,int&b)
{
intc=a;
a=b;
b=c;
}
intgcd(inta,intb)
{
if(0==a)
{
returnb;
}
if(0==b)
{
returna;
}
if(a>b)
{
swap(a,b);
}
intc;
for(c=a%b;c>0;c=a%b)
{
a=b;
b=c;
}
returnb;
} 用PASCAL(DELPHI)語言可以描述為:
procedureswap(vara,b:integer);
var
c:integer;
begin
c:=a;
a:=b;
b:=c;
end;
functiongcd(a,b:integer):integer;
var
c:integer;
begin
ifa=0then
exit(b);
ifb=0then
exit(a);
ifa>bthen
swap(a,b);
repeat
c:=amodb;
a:=b;
b:=c;
untilc=0;
gcd:=b;
end;
歐幾里德 - 相關(guān)知識
歐幾里德幾何 | 歐幾里德算法 |
歐幾里德空間 | 歐幾里德除法 |
擴(kuò)展歐幾里德算法 | 非歐幾里德幾何 |
歐幾里德 - 參考資料
1、http://baike.baidu.com/view/46032.htm
2、http://www.cqkp.cn/kjrw/11-2006/162448771.html