主要作品
楊輝一生留下了大量的著述，他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷，它們是：《詳解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通變本末》3卷(1274年，第3卷與他人合編)，《田畝比類乘除捷法》2卷(1275年)，《續(xù)古摘奇算法》2卷(1275年，與他人合編)，其中后三種為楊輝后期所著，一般稱之為《楊輝算法》。他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學(xué)者制訂的"習(xí)算綱目"是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。
《詳解九章算法》現(xiàn)傳本已非全帙，編排也有錯亂。從其序言可知，該書乃取魏劉微注、唐李淳風(fēng)等注釋、北宋賈憲細(xì)草的《九章算術(shù)》中的80問進(jìn)行詳解。在《九章算術(shù)》9卷的基礎(chǔ)上，又增加了3卷，一卷是圖，一卷是講乘除算法的，居九章之前；一卷是纂類，居書末今卷首圖、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰諸題、卷6商功的諸同功問題已佚。卷4衰分下半卷、卷5少廣存《永樂大典》殘卷中，其余存《宜稼堂叢書》中。從殘本的體例看，該書對《九章算術(shù)》的詳解可分為：一、解題。內(nèi)容為解釋名詞術(shù)語、題目含義、文字校勘以及對題目的評論等方面。二、明法、草。在編排上，楊輝采用大字將賈憲的法、草與自己的詳解明確區(qū)分出來。三、比類。選取與《九章算術(shù)》中題目算法相同或類似的問題作對照分析。四、續(xù)釋注。在前人基礎(chǔ)上，對《九章算術(shù)》中的80問進(jìn)一步作注釋。楊輝的“纂類”，突破《九章算術(shù)》的分類格局，按照解法的性質(zhì)，重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。
楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，簡稱為“楊輝三角”。
楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如下：
-----------1-----------
---------1 1----------
--------1 2 1---------
------1 3 3 1--------
----1 4 6 4 1-------
--1 5 10 10 5 1--
1 6 15 20 15 6 1
.....................................
楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它上面的兩個數(shù)之和。
《日用算法》，原書不傳，僅有幾個題目留傳下來。從《算法雜錄》所引楊輝自序可知該書內(nèi)容梗概：“以乘除加減為法，秤斗尺田為問，編詩括十三首，立圖草六十六問。用法必載源流，命題須責(zé)實(shí)有，分上下卷�！痹摃鵁o疑是一本通俗的實(shí)用算書。
《乘除通變本末》三卷，皆各有題，在總結(jié)民間對等算乘除法的改進(jìn)上作出了重大貢獻(xiàn)。上卷叫《算法通變本末》，首先提出“習(xí)算綱目”，是數(shù)學(xué)教育史的重要文獻(xiàn)，又論乘除算法；中卷叫《乘除通變算寶》，論以加減代乘除、求一、九歸諸術(shù)；下卷叫《法算取用本末》，是對中卷的注解。
《田畝比類乘除捷法》，其上卷內(nèi)容是《詳解九章算法》方田章的延展，所選例子非常貼近實(shí)際。下卷主要是對劉益工作的引述。楊輝在《田畝比類乘除捷法》序中稱“中山劉先生作《議古根源》。……撰成直田演段百間，信知田體變化無窮，引用帶從開方正負(fù)損益之法，前古之所未聞也。作術(shù)逾遠(yuǎn)，罔究本源，非探噴索隱而莫能知之。輝擇可作關(guān)鍵題問者重為詳悉著述，推廣劉君垂訓(xùn)之意�！薄短锂�比類乘除捷法》卷下征引了《議古根源》22個問題，主要是二次方程和四次方程的解法。
《續(xù)古摘奇算法》上卷首先列出20個縱橫圖，即幻方。其中第一個為河圖，第二個為洛書，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各兩個，九行、十行幻方各一個，最后有“聚五”“聚六”：聚八”“攢九”“八陣”“連環(huán)”等圖。有一些圖有文字說明，但每一個圖都有構(gòu)造方法，使圖中各自然數(shù)“多寡相資，鄰壁相兼”湊成相等的和數(shù)。卷下評說《海島》也有極高的科學(xué)價值。
楊輝著作大都注意應(yīng)用算術(shù)，淺近易曉。其著作還廣泛征引數(shù)學(xué)典籍和當(dāng)時的算書，中國古代數(shù)學(xué)的一些杰出成果，比如劉益的“正負(fù)開方術(shù)”，賈憲的“開方作法本源圖”“增乘開方法，”幸得楊輝引用，否則，今天將不復(fù)為我們知曉。
主要成就
研究成果
楊輝的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育工作之重點(diǎn)在于改進(jìn)籌算乘除計(jì)算技術(shù)，總結(jié)各種乘除捷算法，這是由當(dāng)時的社會狀況決定的。唐代中期以后，社會經(jīng)濟(jì)得到較大發(fā)展，手工業(yè)和商業(yè)交易都具有相當(dāng)?shù)囊?guī)模，因而，人們在生產(chǎn)、生活中需要數(shù)學(xué)計(jì)算的機(jī)會，較前大大增加，這種情況迫切要求數(shù)學(xué)家們?yōu)槿藗兲峁┍阌谡莆�、快捷�?zhǔn)確的計(jì)算方法。為適應(yīng)社會對數(shù)學(xué)的這種需求，中晚唐時期出現(xiàn)了一些實(shí)用的算術(shù)書籍。但是，這些書籍除了《韓延算術(shù)》，被宋人誤認(rèn)為《夏侯陽算經(jīng)》而坎坷流傳到外，其余都已失傳�！俄n延算術(shù)》大約編寫于公元770年前后，書中介紹了很多乘除捷算法的例子。比如，某數(shù)乘以42可以化為某數(shù)乘以6，再乘以7；某數(shù)除以12可以化為某數(shù)除以2，再除以6。對于更復(fù)雜的問題可同樣處理。通過將乘數(shù)、除數(shù)分解為一位數(shù)，可以使運(yùn)算在一行內(nèi)實(shí)現(xiàn)，簡化了運(yùn)算，提高了速度。韓延還介紹了其他一些簡捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北宋科學(xué)家沈括也總結(jié)了增成、重因等捷算法。
楊輝生活在南宋商業(yè)發(fā)達(dá)的蘇杭一帶，進(jìn)一步發(fā)展了乘除捷算法。他說：“乘除者本鉤深致遠(yuǎn)之法�！吨改纤惴ā芬評2018加減u2019、u2018九歸u2019、u2018求一u2019旁求捷徑，學(xué)者豈容不曉，宜兼而用之�！痹谇叭说幕A(chǔ)上，他提出了“相乘六法”：一曰“單因”，即乘數(shù)為一位數(shù)的乘法；二曰“重因“，即乘數(shù)可分解為兩個一位數(shù)的乘積的乘法；三曰“身前因”，即乘數(shù)末位為一的兩位數(shù)乘法，比如257×21=257×20十257，實(shí)際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數(shù)乘法化為一位數(shù)乘法和加法來完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘數(shù)可分解為兩因數(shù)的積，作兩次相乘；六曰“損乘”，是一種以減代乘法，比如，當(dāng)乘數(shù)為9、8、7時，可以10倍被乘數(shù)中，減去被乘數(shù)的—、二、三倍。楊輝還進(jìn)一步發(fā)展了唐宋相傳的求一算法，總結(jié)出了“乘算加法五術(shù)”、“除算減法四術(shù)”。求一實(shí)際上就是通過倍、折、因?qū)⒊顺龜?shù)首位化為一，從而用加減代乘除。楊輝的“乘算加算加法五術(shù)”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“連身加”。乘數(shù)為11至19的，用加一位；乘數(shù)為l0l至199的，用加二位法；乘數(shù)可分為兩因數(shù)的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數(shù)為101至l09時，用隔位加；乘數(shù)為21至29、20l至299時，用連身加。例如，342×56的計(jì)算，用現(xiàn)代符號寫出，便是：342×56=342×112十2=(34200十342×l2)十2=(34200十3420十342×2)十2。其“除算減法四木”即“減一位”、“減二位”、“重減”、“減隔位”，用法與乘算加法類似。
北宋初年出現(xiàn)的一種除法——增成法，在楊輝那里得到進(jìn)一步的完善。增成法的優(yōu)點(diǎn)在于用加倍補(bǔ)數(shù)的辦法避免了試商，但對于位數(shù)較多的被除數(shù)，運(yùn)算比較繁復(fù)，后人改進(jìn)了它，總結(jié)出了“九歸古括”，包含44句口訣。楊輝在其《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣32句，分為“歸數(shù)求成十”、“歸數(shù)自上加”，“半而為五計(jì)”三類。
客觀上講，楊輝不遺余力改進(jìn)計(jì)算技術(shù)，大大加快了運(yùn)算工具改革的步伐。隨著籌算歌訣的盛行，運(yùn)算速度大大加快，以至人們感覺到擺弄算籌跟不上口訣。在這樣的背景下，算盤便應(yīng)運(yùn)而生了，及至元末，已經(jīng)廣為流行。
縱橫圖，即所謂的幻方。早在漢鄭玄《易緯注》及《數(shù)術(shù)記遺》都記載有“九宮”即三階幻方，千百年來一直被人披上神秘的色彩。楊輝創(chuàng)“縱橫圖”之名。在所著《續(xù)古摘奇算法》上卷作出了多種多樣的圖形。圖ll是四階縱橫圖；圖12是百子圖，即十階縱橫圖。 其每行每列數(shù)之和為50—5(對角線數(shù)字之和不是505)；圖13是“聚八”圖，楊輝按“二十四子作三十二子用”設(shè)子的這種幻方共有四圈，每圈數(shù)字之和為100； 圖14是“攢九”圖，用前33個自然數(shù)排列，達(dá)到“斜直周圍各一百四十七”的效果。楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構(gòu)造規(guī)律有所認(rèn)識，打破了幻方的神秘性。這是世界上對幻方最早的系統(tǒng)研究和記錄。自楊輝以后，明清兩代中算家關(guān)于縱橫圖的研究相繼不斷。
楊輝的另一重要成果是垛積術(shù)。這是楊輝繼沈括“隙積術(shù)”之后，關(guān)于高階等差級數(shù)求和的研究。在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記敘了若干二階等差級數(shù)求和公式，其中除有一個即沈括的當(dāng)童垛外，還有三角垛、四隅垛、方垛三式，用現(xiàn)今的記號表示就相當(dāng)于下面三式：
上述三式可由沈括之芻童公式推出。
對數(shù)學(xué)重新分類也是楊輝的重要數(shù)學(xué)工作之一。楊輝在詳解《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，專門增加了一卷“纂類”，將《九章》的方法和246個問題按其方法的性質(zhì)重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。
楊輝不僅是一位著述甚豐的數(shù)學(xué)家，而且還是一位杰出的教育家。他一生致力于數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)普及，其著述有很多是為了數(shù)學(xué)教育和普及而寫。《算法通變本末》中載有楊輝專門為初學(xué)者制訂的“習(xí)算綱目”，它集中體現(xiàn)了楊輝的數(shù)學(xué)教育思想和方法。
軼事典故
說起楊輝的這一成就，還得從偶然的一件小事說起。
一天，臺州府的地方官楊輝出外巡游，路上，前面銅鑼開道，后面衙役殿后；中間，大轎抬起，好不威風(fēng)。
迷人的春天慷慨地散布著芳香的氣息，帶來了生活的歡樂和幸福。杜鵑隱藏在芒果樹的枝頭。用它那圓潤、甜蜜、動人心弦的鳴囀來喚醒人們的希望。
成群的畫眉鳥像迎親似的蹲在樹的枝丫上，發(fā)出婉麗的啼聲。楝樹、花梨樹和栗樹都仿佛被自身的芬芳熏醉了。
楊輝撩起轎簾，看那雜花生樹，飛鳥穿林，真乃春色怡人淡復(fù)濃，喚侶黃鸝弄曉風(fēng)。更是一年好景，旖旎風(fēng)光。
走著、走著，只見開道的鏜鑼停了下來，前面?zhèn)鱽砗⑼拇舐暫敖新暎又茄靡蹛汉莺莸挠?xùn)斥聲。楊輝忙問怎么回事，差人來報(bào)：“孩童不讓過，說等他把題目算完后才讓走，要不就繞道�！�
楊輝一看來了興趣，連忙下轎抬步，來到前面。衙役急忙說：“是不是把這孩童哄走？”
楊輝摸著孩童頭說：“為何不讓本官從此處經(jīng)過？”
孩童答道：“不是不讓經(jīng)過，我是怕你們把我的算式踩掉，我又想不起來了。”
“什么算式？”
“就是把1到9的數(shù)字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結(jié)果都是等于15。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關(guān)鍵之處�！�
楊輝連忙蹲下身，仔細(xì)地看那孩童的算式，覺得這個數(shù)字，從哪見過，仔細(xì)一想，原來是西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》書中所寫的文章中提及的。
楊輝和孩童倆人連忙一起算了起來，直到天已過午，倆人才舒了一口氣，結(jié)果出來了，他們又驗(yàn)算了一下，覺得結(jié)果全是15，這才站了起來。我們把算式擺出來：
（在左邊的方塊中，無論你橫、豎、斜著加結(jié)果都是15。請?jiān)囈幌拢?/p>
孩童望著這位慈祥和善的地方官說：“耽擱你的時間了，到我家吃飯吧！”
楊輝一聽，說：“好，好，下午我也去見見你先生�！�
孩童望著楊輝，淚眼汪汪，楊輝心想，這里肯定有什么蹊蹺，溫和地問道：“到底是怎么回事？”
孩童這才一五一十把原因道出：原來這孩童并未上學(xué)，家中窮得連飯都吃不飽，哪有錢讀書。而這孩童給地主家放牛，每到學(xué)生上學(xué)時，他就偷偷地躲在學(xué)生的窗下偷聽，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學(xué)，終于把它解決了。
楊輝聽到此，感動萬分，一個小小的孩童，竟有這番苦心，實(shí)在不易。便對孩童說：“這是10兩銀子，你拿回家去吧。下午你到學(xué)校去，我在那兒等你�！�
下午，楊輝帶著孩童找到先生，把這孩童的情況向先生說了一遍，又掏出銀兩，給孩童補(bǔ)了名額，孩童一家感激不盡。自此，這孩童方才有了真正的先生。
教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，于是倆人談?wù)撈饠?shù)學(xué)。楊輝說道：“方才我和孩童做的那道題好像是《大戴禮》書中的？”
那先生笑著說：“是啊，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一定的數(shù)學(xué)知識。方才你說的題目，就是我給孩子們出的數(shù)學(xué)游戲題�！�
教書先生看到楊輝疑惑的神情，又說道：“南北朝的甄鸞在《數(shù)術(shù)記遺》一書中就寫過：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央�！�
楊輝默念一遍，發(fā)現(xiàn)他說的正與上午他和孩童擺的數(shù)字一樣，便問道：“你可知道這個九宮圖是如何造出來的？”
教書先生也不知出處。楊輝回到家中，反復(fù)琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數(shù)字，終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律。
他把這條規(guī)律總結(jié)成四句話：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。就是說：一開始將九個數(shù)字從大到小斜排三行，然后將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最后將位于四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫三行，就構(gòu)成了九宮圖。
下面我們演示一下：
（九子斜排）（上下對易，左右相更）（四維挺出）
按照類似的規(guī)律，楊輝又得到了“花16圖”，就是從1到16的數(shù)字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數(shù)之和均為34。讀者諸君，不妨一試。
后來，楊輝又將散見于前人著作和流傳于民間的有關(guān)這類問題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數(shù)圖”、“易數(shù)圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。
楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，并于1275年寫進(jìn)自己的數(shù)學(xué)著作《續(xù)古摘奇算法》一書中，并流傳后世。
縱橫圖，也叫幻方，它要求把從1到n2個連續(xù)的自然數(shù)安置在n2個格子里。
但長期以來，人們習(xí)慣于把它當(dāng)作純粹的數(shù)學(xué)游戲，沒有給予應(yīng)有重視。隨著近代組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，縱橫圖顯示了越來越強(qiáng)大的生命力，在圖論、組合分析、對策論、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中，找到了用武之地。
楊輝可以說是世界上第一個給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。
楊輝除此成就之外，還有一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)，就是“楊輝三角”。
有一次，楊輝得到一本《黃帝九章算法細(xì)草》，這是北宋數(shù)家賈憲寫的。這里面有不少了不起的成就，如賈憲描畫了一張圖，叫作“開方作法本源圖”。
圖中的數(shù)字排列成一個大三角形，位于兩腰上的數(shù)字均是1，其余數(shù)字則等于它上面兩數(shù)字之和。
從第二行開始，這個大三角形的每行數(shù)字，都對應(yīng)于一組二項(xiàng)展開式的系數(shù)，下面試舉例說明：在第三行中，1、3、3、1，這4個數(shù)字恰好是對應(yīng)于（X+1）3=X3+3X2+3X+1；
再如第四行對應(yīng)于（X+1）4=X4+4X3+6X2+4X+1。以此類推。
楊輝把賈憲的這張畫忠實(shí)地記錄下來，并保存在自己的《詳解九章算術(shù)》一書中。
后來人們發(fā)現(xiàn)，這個大三角形不僅可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數(shù)、內(nèi)插法等數(shù)學(xué)知識都有密切關(guān)系。
在西方，直到16世紀(jì)才有人在一本書的封面上繪出類似的圖形。法國數(shù)學(xué)家巴斯加在1654年的論文中詳細(xì)地討論了這個圖形的性質(zhì)，所以在西方又稱“巴斯加三角”。
楊輝除上述成就外，還分別寫了《日用算法》、《乘除通變本末》和《田畝比類乘除捷法》等書，這為后世的人們了解當(dāng)時的數(shù)學(xué)面貌提供了極為重要的資料。
楊輝的幾部著作極大地豐富了我國古代數(shù)學(xué)寶庫，為數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)，他不愧為“宋元四大家”之一。
他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續(xù)古摘奇算法》二卷（1275年）。 楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面，他對籌算乘除捷算法進(jìn)行總結(jié)和發(fā)展，有的還編成了歌決，如九歸口決。
他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關(guān)的構(gòu)造方法，同時"垛積術(shù)"是楊輝繼沈括"隙積術(shù)"后，關(guān)于高階等差級數(shù)的研究。楊輝在"纂類"中，將《九章算術(shù)》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分，勾股等九類。
他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學(xué)者制訂的"習(xí)算綱目"是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。
楊輝的數(shù)學(xué)著作甚多，他編著的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷，在他的著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的古代數(shù)學(xué)著作中的算題和算法．
楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面．
楊輝對籌算乘除捷算法進(jìn)行了總結(jié)和發(fā)展，創(chuàng)“縱橫圖”之名．繼沈括“隙積術(shù)”之后，關(guān)于高階等差級數(shù)的研究創(chuàng)“垛積術(shù)”．又將《九章算術(shù)》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為九類．
