祖沖之 - 簡單概述

祖沖之（ZǔChōngzhī，公元429年─公元500年）是中國杰出的數(shù)學家，科學家。南北朝時期人，漢族人，字文遠。生于未文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。

先世遷入江南，祖父掌管土木建筑，父親學識淵博。祖沖之從小接受家傳的科學知識。青年時進入華林學省，從事學術活動。一生先后任過南徐州（今鎮(zhèn)江市）從事史、公府參軍、婁縣（今昆山縣東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻在數(shù)學、天文歷法和機械三方面。在數(shù)學方面，他寫了《綴術》一書，被收入著名的《算經十書》中，作為唐代國子監(jiān)算學課本，可惜后來失傳了。

《隋書?律歷志》留下一小段關于圓周率（π）的記載，祖沖之算出π的真值在3.1415926（朒數(shù)）和3.1415927（盈數(shù)）之間，相當于精確到小數(shù)第7位，成為當時世界上最先進的成就。這一紀錄直到15世紀才由阿拉伯數(shù)學家卡西打破。祖沖之還給出π的兩個分數(shù)形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位，在西方直到16世紀才由荷蘭數(shù)學家奧托重新發(fā)現(xiàn)。祖沖之還和兒子祖暅一起圓滿地利用「牟合方蓋」解決了球體積的計算問題，得到正確的球體積公式。在天文歷法方面，祖沖之創(chuàng)制了《大明歷》，最早將歲差引進歷法；采用了391年加144個閏月的新閏周；首次精密測出交點月日數(shù)（27.21223），回歸年日數(shù)（365.2428）等數(shù)據，還發(fā)明了用圭表測量冬至前后若干天的正午太陽影長以定冬至時刻的方法。在機械學方面，他設計制造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千里船、定時器等等。此外，他在音律、文學、考據方面也有造詣，他精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。是歷史上少有的博學多才的人物。

為紀念這位偉大的古代科學家，人們將月球背面的一座環(huán)形山命名為“祖沖之環(huán)形山”，將小行星1888命名為“祖沖之小行星”。

祖沖之通過艱苦的努力，他在世界數(shù)學史上第一次將圓周率（л）值計算到小數(shù)點后七位，即3.1415926到3.1415927之間。他提出約率22／7和密率355／113，這一密率值是世界上最早提出的，比歐洲早一千多年，所以有人主張叫它“祖率”。他將自己的數(shù)學研究成果匯集成一部著作，名為《綴術》 ，唐朝國學曾經將此書定為數(shù)學課本。他編制的《大明歷》，第一次將“歲差”引進歷法。提出在391年中設置144個閆月。推算出一回歸年的長度為365.24281481日，誤差只有50秒左右。他不僅是一位杰出的數(shù)學家和天文學家，而且還是一位杰出的機械專家。重新造出早已失傳的指南車、千里船等巧妙機械多種。此外，他對音樂也有研究。著作有《釋論語》、《釋孝經》、《易義》、《老子義》、《莊子義》及小說《述異記》等，均早已遺失。

祖沖之 - 生平記事

從公元42O年東晉滅亡到589年隋朝統(tǒng)一全國的一百七十年中間，中國歷史上形成了南北對立的局面，這一時期稱作南北朝。南朝從公元42O年東晉大將劉裕奪取帝位，建立宋政權開始，經歷了宋、齊、梁、陳四個朝代。同南朝對峙的是北朝，北朝經歷了北魏、東魏、西魏，北齊、北周等朝代。祖沖之是南朝人，出生在宋，死的時候已是南齊時期了。

當時由于南朝社會比較安定，農業(yè)和手工業(yè)都有顯著的進步，經濟和文化得到了迅速發(fā)展，從而也推動了科學的前進。因此，在這一段時期內，南朝出現(xiàn)了一些很有成就的科學家，祖沖之就是其中最杰出的人物之一。

祖沖之的原籍是范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。在西晉末年，祖家由于故鄉(xiāng)遭到戰(zhàn)爭的破壞，遷到江南居住。祖沖之的祖父祖昌，曾在宋朝政府里擔任過大匠卿，負責主持建筑工程，是掌握了一些科學技術知識的；同時，祖家歷代對于天文歷法都很有研究。因此祖沖之從小就有接觸科學技術的機會。

祖沖之對于自然科學和文學、哲學都有廣泛的興趣，特別是對天文、數(shù)學和機械制造，更有強烈的愛好和深入的鉆研。早在青年時期，他就有了博學多才的名聲，并且被政府派到當時的一個學術研究機關——華林學省，去做研究工作。后來他又擔任過地方官職。公元461年，他任南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）刺史府里的從事。464年，宋朝政府調他到婁縣（今江蘇昆山縣東北）作縣令。

祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續(xù)堅持學術研究，并且取得了很大的成就。他研究學術的態(tài)度非常嚴謹。他十分重視古人研究的成果，但又決不迷信古人。用他自己的話來說，就是：決不“虛推（盲目崇拜）古人”，而要“搜煉古今（從大量的古今著作中吸取精華）”。一方面，他對于古代科學家劉歆〔xin欣〕、張衡、闞［kan看］澤、劉徽、劉洪等人的著述都作了深入的研究，充分吸取其中一切有用的東西。另一方面，他又敢于大膽懷疑前人在科學研究方面的結論，并通過實際觀察和研究，加以修正補充，從而取得許多極有價值的科學成果。在天文歷法方面，他所編制的《大明歷》，是當時最精密的歷法。在數(shù)學方面，他推算出準確到六位小數(shù)的圓周率，取得了當時世界上最優(yōu)秀的成績。

宋朝末年，祖沖之回到建康（今南京），擔任謁者仆射的官職。從這時起，一直到齊朝初年，他花了較大的精力來研究機械制造，重造指南車，發(fā)明千里船、水碓磨等等，作出了出色的貢獻。

當祖沖之晚年的時候，齊朝統(tǒng)治集團發(fā)生了內亂，政治腐敗黑暗，人民生活非常痛苦。北朝的魏乘機發(fā)大兵向南進攻。

從公元494年到5O0年間，江南一帶又陷入戰(zhàn)火。對于這種內憂外患重重逼迫的政治局面，祖沖之非常關心。大約在公元494年到498年之間，他擔任長水校尉的官職。當時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發(fā)展農業(yè)，增強國力，安定民生，鞏固國防。齊明帝看到了這篇文章，打算派祖沖之巡行四方，興辦一些有利于國計民生的事業(yè)。但是由于連年戰(zhàn)爭，他的建議始終沒有能夠實現(xiàn)。過不多久，這位卓越的大科學家活到七十二歲，就在公元50O年的時候去世了。

祖沖之 - 獲得榮譽

 祖沖之在天文歷法方面的成就,大都包含在他所編制的大明歷和為大明歷所寫的“駁議”中。祖沖之通過精密的觀察測量，發(fā)現(xiàn)當時奉行的由前輩著名天文學家何承天所編制的元嘉歷有不少錯誤，于是著手編制大明歷，公元462年編成，時年只有33歲。祖沖之對歷法的編制做出了很多創(chuàng)造性的貢獻，大明歷是這個時代一部最好的歷法，但是卻遭到皇旁寵臣的反對。直到祖沖之死后10年，由于他兒子祖（日桓）的堅決請求，經過實際天象的校驗，大明歷才得以正式頒行。

祖沖之 - 祖暅原理

祖沖之還與他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算。他們當時采用的一條原理是：“冪勢既同，則積不容異�！币饧矗何挥趦善叫衅矫嬷�間的兩個立體，被任一平行于這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等。在西方被稱為“卡瓦列利原理”，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數(shù)學家卡瓦列利（Cavalieri）發(fā)現(xiàn)的。為了紀念祖氏父子發(fā)現(xiàn)這一原理的重大貢獻，數(shù)學上也稱這一原理為“祖暅原理”。

祖暅原理也就是“等積原理”。它是由中國南北朝杰出的數(shù)學家、祖沖之的兒子祖暅首先提出來的。祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。

祖沖之的兒子祖暅也是中國古代著名數(shù)學家。小時習學家傳的學業(yè)，深入研究的十分精細，也有靈巧的心思。技藝達到神妙的境地，就是古代傳說中的魯班和倕（傳說為舜時的巧匠）這樣的巧匠也難以超過他。當他思考到深入之處時，雷霆之聲也難以入耳。曾經在走路時遇到仆射徐勉，頭竟撞到了徐勉身上，徐勉呼叫他才覺察到他的存在。他的父親所改定的何承天的歷法當時尚未施行，梁武帝天監(jiān)初年，祖暅之又重新加以修訂，在這時才開始施行。職位至太舟卿。

祖沖之 - 人物經歷

從公元42O年東晉滅亡到589年隋朝統(tǒng)一全國的一百七十年中間，我國歷史上形成了南北對立的局面，這一時期稱作南北朝。南朝從公元42O年東晉大將劉裕奪取帝位，建立宋政權開始，經歷了宋、齊、梁、陳四個朝代。同南朝對峙的是北朝，北朝經歷了北魏、東魏、西魏，北齊、北周等朝代。祖沖之是南朝人，出生在宋，死的時候已是南齊時期了。

當時由于南朝社會比較安定，農業(yè)和手工業(yè)都有顯著的進步，經濟和文化得到了迅速發(fā)展，從而也推動了科學的前進。因此，在這一段時期內，南朝出現(xiàn)了一些很有成就的科學家，祖沖之就是其中最杰出的人物之一。

祖沖之的原籍是范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。在西晉末年，祖家由于故鄉(xiāng)遭到戰(zhàn)爭的破壞，遷到江南居住。祖沖之的祖父祖昌，曾在宋朝政府里擔任過大匠卿，負責主持建筑工程，是掌握了一些科學技術知識的；同時，祖家歷代對于天文歷法都很有研究。因此祖沖之從小就有接觸科學技術的機會。

祖沖之對于自然科學和文學、哲學都有廣泛的興趣，特別是對天文、數(shù)學和機械制造，更有強烈的愛好和深入的鉆研。早在青年時期，他就有了博學多才的名聲，并且被政府派到當時的一個學術研究機關——華林學省，去做研究工作。后來他又擔任過地方官職。公元461年，他任南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）刺史府里的從事。464年，宋朝政府調他到婁縣（今江蘇昆山縣東北）作縣令。

祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續(xù)堅持學術研究，并且取得了很大的成就。他研究學術的態(tài)度非常嚴謹。他十分重視古人研究的成果，但又決不迷信古人。用他自己的話來說，就是：決不“虛推（盲目崇拜）古人”，而要“搜煉古今（從大量的古今著作中吸取精華）”。一方面，他對于古代科學家劉歆〔xin欣〕、張衡、闞［kan看］澤、劉徽、劉洪等人的著述都作了深入的研究，充分吸取其中一切有用的東西。另一方面，他又敢于大膽懷疑前人在科學研究方面的結論，并通過實際觀察和研究，加以修正補充，從而取得許多極有價值的科學成果。在天文歷法方面，他所編制的《大明歷》，是當時最精密的歷法。在數(shù)學方面，他推算出準確到六位小數(shù)的圓周率，取得了當時世界上最優(yōu)秀的成績。

宋朝末年，祖沖之回到建康（今南京），擔任謁者仆射的官職。從這時起，一直到齊朝初年，他花了較大的精力來研究機械制造，重造指南車，發(fā)明千里船、水碓磨等等，作出了出色的貢獻。

當祖沖之晚年的時候，齊朝統(tǒng)治集團發(fā)生了內亂，政治腐敗黑暗，人民生活非常痛苦。北朝的魏乘機發(fā)大兵向南進攻。

從公元494年到500年間，江南一帶又陷入戰(zhàn)火。對于這種內憂外患重重逼迫的政治局面，祖沖之非常關心。大約在公元494年到498年之間，他擔任長水校尉的官職。當時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發(fā)展農業(yè)，增強國力，安定民生，鞏固國防。齊明帝看到了這篇文章，打算派祖沖之巡行四方，興辦一些有利于國計民生的事業(yè)。但是由于連年戰(zhàn)爭，他的建議始終沒有能夠實現(xiàn)。過不多久，這位卓越的大科學家活到七十二歲，就在公元50O年的時候去世了。

祖沖之 - 改革歷法

我國古代勞動人民，由于畜牧業(yè)和農業(yè)生產的需要，經過長時期的觀察，發(fā)現(xiàn)了日月運行的基本規(guī)律。他們把第一次月圓或月缺到第二次月圓或月缺的一段時間規(guī)定為一個月，每個月是二十九天多一點，十二個月稱為一年。這種計年方法叫做陰歷。他們又觀察到：從第一個冬至到下一個冬至（實際上就是地球圍繞太陽運行一周的時間）共需要三百六十五天又四分之一天，于是也把這一段時間稱作一年。按照這種辦法推算的歷法通常叫做陽歷。但是，陰歷一年和陽歷一年的天數(shù)，并不恰好相等。按照陰歷計算，一年共計三百五十四天；按照陽歷計算，一年應為三百六十五天五小時四十八分四十六秒。陰歷一年比陽歷一年要少十一天多。為了使這兩種歷法的天數(shù)一致起來，就必須想辦法調整陰歷一年的天數(shù)。對于這個問題，我們的祖先很早就找到了解決的辦法，就是采用“閏月”的辦法。在若干年內安排一個閏年，在每個閏年中加入一個閏月。每逢閏年，一年就有十三個月。由于采用了這種閏年的辦法，陰歷年和陽歷年就比較符合了。

在古代，中國歷法家一向把十九年定為計算閏年的單位，稱為“一章”，在每一章里有七個閏年。也就是說，在十九個年頭中，要有七個年頭是十三個月。這種閏法一直采用了一千多年，不過它還不夠周密、精確。公元412年，北涼趙厞創(chuàng)作《元始歷》，才打破了歲章的限制，規(guī)定在六百年中間插入二百二十一個閏月�？上иw厞的改革沒有引起當時人的注意，例如著名歷算家何承天在公元443年制作《元嘉歷》時，還是采用十九年七間的古法。

祖沖之吸取了趙厞的先進理論，加上他自己的觀察，認為十九年七閏的閏數(shù)過多，每二百年就要差一天，而趙厞六百年二百二十一闖的閏數(shù)卻又嫌稍稀，也不十分精密。因此，他提出了三百九十一年內一百四十四閏的新閏法。這個閏法在當時算是最精密的了

根據物理學原理，剛體在旋轉運動時，假如絲毫不受外力的影響，旋轉的方向和速度應該是一致的；如果受了外力影響，它的旋轉速度就要發(fā)生周期性的變化。地球就是一個表面凹凸不平、形狀不規(guī)則的剛體，在運行時常受其他星球吸引力的影響，因而旋轉的速度總要發(fā)生一些周期性的變化，不可能是絕對均勻一致的。因此，每年太陽運行一周（實際上是地球繞太陽運行一周），不可能完全回到上一年的冬至點上，總要相差一個微小距離。按現(xiàn)在天文學家的精確計算，大約每年相差50.2秒，每七十一年八個月向后移一度。這種現(xiàn)象叫作歲差。

隨著天文學的逐漸發(fā)展，中國古代科學家們漸漸發(fā)現(xiàn)了歲差的現(xiàn)象。西漢的鄧平、東漢的劉歆、賈逵等人都曾觀測出冬至點后移的現(xiàn)象，不過他們都還沒有明確地指出歲差的存在。到東晉初年，天文學家虞喜才開始肯定歲差現(xiàn)象的存在，并且首先主張在歷法中引入歲差。他給歲差提出了第一個數(shù)據，算出冬至日每五十年退后一度。后來到南朝宋的初年，何承天認為歲差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉歷》中并沒有應用歲差。

祖沖之繼承了前人的科學研究成果，不但證實了歲差現(xiàn)象的存在，算出歲差是每四十五年十一個月后退一度，而且在他制作的《大明歷》中應用了歲差。因為他所根據的天文史料都還是不夠準確的，所以他提出的數(shù)據自然也不可能十分準確。盡管如此，祖沖之把歲差應用到歷法中，在天文歷法史上卻是一個創(chuàng)舉，為我國歷法的改進揭開了新的一頁。到了隋朝以后，歲差已為很多歷法家所重視了，象隋朝的《大業(yè)歷》、《皇極歷》中都應用了歲差。

第三個巨大貢獻

所謂交點月，就是月亮連續(xù)兩次經過“黃道”和“白道”的交叉點，前后相隔的時間。黃道是指我們在地球上的人看到的太陽運行的軌道，白道是我們在地球上的人看到的月亮運行的軌道。交點月的日數(shù)是可以推算得出來的。祖沖之測得的交點月的日數(shù)是27.21223日，比過去天文學家測得的要精密得多，同近代天文學家所測得的交點月的日數(shù)27.21222日已極為近似。在當時天文學的水平下，祖沖之能得到這樣精密的數(shù)字，成績實在驚人。

由于日蝕和月蝕都是在黃道和白道交點的附近發(fā)生，所以推算出交點月的日數(shù)以后，就更能準確地推算出日蝕或月蝕發(fā)生的時間。祖沖之在他制訂的《大明歷》中，應用交點月推算出來的日、月蝕時間比過去準確，和實際出現(xiàn)日、月蝕的時間都很接近。

祖沖之根據上述的研究成果，終于成功制成了當時最科學、最進步的歷法——《大明歷》。這是祖沖之科學研究的天才結晶，也是他在天文歷法上最卓越的貢獻。

此外，祖沖之對木、水、火、金、土等五大行星在天空運行的軌道和運行一周所需的時間，也進行了觀測和推算。我國古代科學家算出木星（古代稱為歲星）每十二年運轉一周。西漢劉歆作《三統(tǒng)歷》時，發(fā)現(xiàn)木星運轉一周不足十二年。祖沖之更進一步，算出木星運轉一周的時間為11．858年�，F(xiàn)代科學家推算木星運行的周期約為11.862年。祖沖之算得的結果，同這個數(shù)字僅僅相差O.O4年。此外，祖沖之算出水星運轉一周的時間為115.88日，這同近代天文學家測定的數(shù)字在兩位小數(shù)以內完全一致。他算出金星運轉一周的時間為583.93日，同現(xiàn)代科學家測定的數(shù)字僅差O.O1日。

公元462年（宋大明六年），祖沖之把精心編成的《大明歷》送給政府，請求公布實行。宋孝武帝命令懂得歷法的官員對這部歷法的優(yōu)劣進行討論。在討論過程中，祖沖之遭到了以戴法興為代表的守舊勢力的反對。戴法興是宋孝武帝的親信大臣，很有權勢。由于他帶頭反對新歷，朝廷大小官員也隨聲附和，大家不贊成改變歷法。

堅持自己的正確主張,同戴法興激烈的辯論

這一場關于新歷法優(yōu)劣的辯論，實際上反映了當時科學和反科學、進步和保守兩種勢力的尖銳斗爭。戴法興首先上書皇帝，從古書中抬出古圣先賢的招牌來壓制祖沖之。他說，冬至時的太陽總在一定的位置上，這是古圣先賢測定的，是萬世不能改變的。他說，祖沖之以為冬至點每年有稍微移動，是誣蔑了天，違背了圣人的經典。是一種大逆不道的行為。他又把當時通行的十九年七闖的歷法，也說是古圣先賢所制定，永遠不能更改。他甚至罵祖沖之是淺陋的凡夫俗子，沒有資格談改革歷法。

祖沖之對權貴勢力的攻擊絲毫沒有懼色。他寫了一篇有名的駁議。他根據古代的文獻記載和當時觀測太陽的記錄，證明冬至點是有變動的。他指出：事實十分明白，怎么可以信古而疑今。他又詳細地舉出多年來親自觀測冬至前后各天正午日影長短的變化，精確地推算出冬至的日期和時刻，從此說明十九年七閏是很不精密的。他責問說：舊的歷法不精確，難道還應當永遠用下去，永遠不許改革？誰要說《大明歷》不好，應當拿出確鑿的證據來。如果有證據，我愿受過。

當時戴法興指不出新歷到底有哪些缺點，于是就爭論到日行快慢、日影長短、月行快慢等等問題上去。祖沖之一項一項地據理力爭，都駁倒了他。

在祖沖之理直氣壯的駁斥下，戴法興沒話可以答辯了，竟蠻不講理地說：“新歷法再好也不能用�！弊鏇_之并沒有被戴法興這種蠻橫態(tài)度嚇倒，卻堅決地表示：“決不應該盲目迷信古人。既然發(fā)現(xiàn)了舊歷法的缺點，又確定了新歷法有許多優(yōu)點，就應當改用新的�！�

在這場大辯論中，許多大臣被祖沖之精辟透徹的理論說服了，但是他們因為畏懼戴法興的權勢，不敢替祖沖之說話。最后有一個叫巢尚之的大臣出來對祖沖之表示支持。他說《大明歷》是祖沖之多年研究的成果，根據《大明歷》來推算元嘉十三年（436）、十四年、二十八年、大明三年（459）的四次月蝕都很準確，用舊歷法推算的結果誤差就很大，《大明歷》既然由事實證明比較好，就應當采用。

這樣一來，戴法興只有啞口無言。祖沖之取得了最后勝利。宋孝武帝決定在大明九年（465）改行新歷。誰知大明八年孝武帝死了，接著統(tǒng)治集團內發(fā)生變亂，改歷這件事就被擱置起來。一直到梁朝天監(jiān)九年（510），新歷才被正式采用，可是那時祖沖之已去世十年了。

祖沖之 - 圓周定律

祖沖之不但精通天文、歷法，他在數(shù)學方面的貢獻，特別對“圓周率”研究的杰出成就，更是超越前代，在世界數(shù)學史上放射著異彩。

圓周率就是圓的周長和同一圓的直徑的比，這個比值是一個常數(shù)，現(xiàn)在通用希臘字母"π"來表示。圓周率是一個永遠除不盡的無窮小數(shù)，它不能用分數(shù)、有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)完全準確地表示出來。由于現(xiàn)代數(shù)學的進步，已計算出了小數(shù)點后兩千多位數(shù)字的圓周率。

圓周率的應用很廣泛。尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。我國古代勞動人民在生產實踐中求得的最早的圓周率值是“3"，這當然很不精密，但一直被沿用到西漢。后來，隨著天文、數(shù)學等科學的發(fā)展，研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄“3"這個不精確的圓周率值，他曾經采用過的圓周率是3.547。東漢的張衡也算出圓周率為**=3.1622。這些數(shù)值比起π=3當然有了很大的進步，但是還遠遠不夠精密。到了三國末年，數(shù)學家劉徽創(chuàng)造了用割圓術來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進展。

用割圓術來求圓周率的方法，大致是這樣：先作一個圓，再在圓內作一內接正六邊形。假設這圓的直徑是2，那末半徑就等于1。內接正六邊形的一邊一定等于半徑，所以也等于1；它的周長就等于6。如果把內接正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑2去除，得到周長與直徑的比π=6/2=3，這就是古代π=3的數(shù)值。但是這個數(shù)值是不正確的，我們可以清楚地看出內接正六邊形的周長遠遠小于圓周的周長。

如果我們把內接正六邊形的邊數(shù)加倍，改為內接正十二邊形，再用適當方法求出它的周長，那么我們就可以看出，這個周長比內按正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這里就可以得到這樣一個結論：圓內所做的內接正多邊形的邊數(shù)越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講，如果內接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多時，那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在一起，從此計算出來的內接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了。不過事實上，我們不可能把內接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多，而使這無限正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內接正多邊形的邊數(shù)，使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內接正多邊形邊數(shù)的辦法求圓周率，得數(shù)永遠稍小于π的真實數(shù)值。劉徽就是根據這個道理，從圓內接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數(shù)，一直計算到內接正九十六邊形為止，求得了圓周率是3.141O24。把這個數(shù)化為分數(shù)，就是157/50

劉徽所求得的圓周率，后來被稱為“徽率”。他這種計算方法，實際上已具備了近代數(shù)學中的極限概念。這是我國古代關于圓周率的研究的一個光輝成就。

祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據《隋書?律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數(shù)：一個是盈數(shù)（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒數(shù)（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數(shù)之間�！端鍟�》只有這樣簡單的記載，沒有具體說明他是用什么方法計算出來的。不過從當時的數(shù)學水平來看，除劉徽的割圓術外，還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是采用了這種方法。因為采用劉徽的方法，把圓的內接正多邊形的邊數(shù)增多到24576邊時，便恰好可以得出祖沖之所求得的結果。

盈朒兩數(shù)可以列成不等式，如：3.1415926（*）＜π（真實的圓周率）＜3.1415927（盈），這表明圓周率應在盈朒兩數(shù)之間。按照當時計算都用分數(shù)的習慣，祖沖之還采用了兩個分數(shù)值的圓周率。一個是355/119（約等于3.1415927），這一個數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是了（約等于3.14），這一個數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。在歐洲，直到1573年才由德國數(shù)學家渥脫求出了355/119這個數(shù)值。因此，日本數(shù)學家三上義夫曾建議把355/119這個圓周率數(shù)值稱為“祖率”，來紀念這位中國的大數(shù)學家。

由于祖沖之所著的數(shù)學專著《綴術》已經失傳，《隋書》又沒有具體地記載他求圓周率的方法，因此，我國研究祖國數(shù)學遺產的專家們，對于他求圓周率的方法還有不同的見解。

有人認為祖沖之圓周率中的“朒數(shù)”。是用作圓的內接正多邊形的方法求得的；而“盈數(shù)”則是用作圓的外切正多邊形的方法求得的。祖沖之如果繼續(xù)用劉徽的辦法，從圓的內接正六邊形算起，逐次加倍邊數(shù)，一直算到內接正24576邊形時，它的各邊長度總和只能逐次接近并較小于圓周的周長，這正多邊形的面積也只能逐次接近并較小于圓面積，從此求出的圓周率為3.14159261，也只能小于圓周率的真實數(shù)值，這就是朒數(shù)。從祖沖之的數(shù)學水平來看，突破劉徽的方法，從外切正六邊形算起，逐次試求圓周率，也是可能的。如果祖沖之把外切正六邊形的邊數(shù)成倍增加，到正24576邊形時，他所求得的圓周率應該是3.1415927O2O8。這個數(shù)是用外切方法求得的。由于外切正多邊形各邊邊長的總和永遠大于圓周的長度，這正多邊形的面積也永遠大于圓面積，所以這個數(shù)總比真實的圓周率大。用四舍五入法舍去小數(shù)點七位以后的數(shù)字，就得出盈數(shù)。

祖沖之究竟是否同時用過內接和外切這兩個方法求出圓周率的朒數(shù)和盈數(shù)，是沒有確切史料可以證實的。但是采用這個辦法所求出的朒、盈兩個數(shù)值，和祖沖之原來所求出的結果大體是一致的。所以有些數(shù)學史家認為祖沖之曾用過作圓的外切正多邊形的方法求得圓周率，是很近情理的推想。

但是根據另一些數(shù)學史家的研究，盈、朒兩數(shù)也可以由計算圓內接正12288邊形和正24576邊形的邊長而得出來。不過這種計算比較難懂，這里不說了。

盡管說法有出入，但是祖沖之曾經求得“密率”，并且明確地用上、下兩限來說明圓周率這個數(shù)值的范圍，是可以肯定的。在一千五百年前，他有這樣的成就和認識，真值得我們欽佩。

在推算圓周率時，祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動。如果從正六邊形算起，算到24576邊時，就要把同一運算程序反復進行十二次，而且每一運算程序又包括加減乘除和開方等十多個步驟。我們現(xiàn)在用紙筆算盤來進行這樣的計算，也是極其吃力的。當時祖沖之進行這樣繁難的計算，只能用籌碼（小竹棍）來逐步推演。如果頭腦不是十分冷靜精細，沒有堅韌不拔的毅力，是絕對不會成功的。祖沖之頑強刻苦的研究精神，是很值得推崇的。

祖沖之死后，他的兒子祖暅［xuan玄〕繼續(xù)父親的研究，進一步發(fā)現(xiàn)了計算圓球體積的方法。

在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中，曾列有計算圓球體積的公式，但很不精確。劉徽雖然曾經指出過它的錯誤，但究竟應當怎樣計算，他也沒有求得解決。經祖暅刻苦鉆研，終于找到了正確的計算方法。他所推算出的計算圓球體積的公式是：圓球體積=π/cD（D代表球體直徑）。這個公式一直到今天還被人們采用著。

祖沖之還曾寫過《綴術》五卷，是一部內容極為精采的數(shù)學書，很受人們重視。唐朝的官辦學校的算學科中規(guī)定：學員要學《綴術》四年；政府舉行數(shù)學考試時，多從《綴術》中出題。后來這部書曾經傳到朝鮮和日本�？上У搅吮彼沃衅�，這部有價值的著作竟失傳了。

祖沖之 - 學術著作

《隋書?經籍志》錄有《長水校尉祖沖之集》五十一卷，但現(xiàn)已遺佚。

散見于各種史籍記載的還有以下著作：

《安邊論》，佚。

《述異記》十卷，佚。

《易老莊義釋》，佚。

《論語孝經注》，佚。

《綴術》六卷，佚。

《九章算術義注》九卷，佚。

《重差注》一卷，佚。

《大明歷》

《上大明歷表》

《駁議》

《開立圓術》

祖沖之生平著作很多，內容也是多方面的。在數(shù)學方面，所著《綴術》一書，是著名的“算經十書”之一，被唐代國子監(jiān)列為算學課本，規(guī)定學習四年，惜已失傳。在天文歷法方面，他編制成《大明歷》 ，并為大明歷寫了“駁議”。在古代典籍的注釋方面，祖沖之有《易義》、《老子義》、《莊子義》、《釋論語》、《釋孝經》等著作，但亦皆失傳。文學作品方面他著有《述異記》，在《太平御覽》等書中可以看到這部著作的片斷。

《綴術》一書，匯集了祖沖之父子的數(shù)學研究成果。這本書內容深奧，以至“學官莫能究其深奧，故廢而不理”�！毒Y術》在唐代被收入《算經十書》，成為唐代國子監(jiān)算學課本，當時學習《綴術》需要四年的時間，可見《綴術》的艱深�！毒Y術》曾經傳至朝鮮，但到北宋時這部書就已軼失。

祖沖之 - 史料記載

《南史?祖沖之傳》卷七十二列傳第六十二

祖沖之字文遠，范陽遒人也。曾祖臺之，晉侍中。祖昌，宋大匠卿。父朔之，奉朝請。

沖之稽古，有機思，宋孝武使直華林學省，賜宅宇車服。解褐南徐州從事、公府參軍。

始元嘉中，用何承天所制歷，比古十一家為密。沖之以為尚疏，乃更造新法，上表言之。孝武令朝士善歷者難之，不能屈。會帝崩不施行。

歷位為婁縣令，謁者仆射。初，宋武平關中，得姚興指南車，有外形而無機杼，每行，使人于內轉之。升明中，齊高帝輔政，使沖之追修古法。沖之改造銅機，圓轉不窮，而司方如一，馬鈞以來未之有也。時有北人索馭驎者亦云能造指南車，高帝使與沖之各造，使于樂游苑對共校試，而頗有差僻，乃毀而焚之。晉時杜預有巧思，造欹器，三改不成。永明中，竟陵王子良好古，沖之造欹器獻之，與周廟不異。文惠太子在東宮，見沖之歷法，啟武帝施行。文惠尋薨又寢。

轉長水校尉，領本職。沖之造安邊論，欲開屯田，廣農殖。建武中，明帝欲使沖之巡行四方，興造大業(yè)，可以利百姓者，會連有軍事，事竟不行。

沖之解鍾律博塞，當時獨絕，莫能對者。以諸葛亮有木牛流馬，乃造一器，不因風水，施機自運，不勞人力。又造千里船，于新亭江試之，日行百馀里。于樂游苑造水碓磨，武帝親自臨視。又特善算。永元二年卒，年七十二。著易老莊義，釋論語、孝經，注九章，造綴述數(shù)十篇。子暅之。

暅之字景爍，少傳家業(yè)，究極精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕無以過也。當其詣微之時，雷霆不能入。嘗行遇仆射徐勉，以頭觸之，勉呼乃悟。父所改何承天歷時尚未行，梁天監(jiān)初，暅之更修之，于是始行焉。位至太舟卿。

暅之子皓，志節(jié)慷慨，有文武才略。少傳家業(yè)，善算歷。大同中為江都令，后拜廣陵太守。

侯景陷臺城，皓在城中，將見害，乃逃歸江西。百姓感其遺惠，每相蔽匿。廣陵人來嶷乃說皓曰：“逆豎滔天，王室如毀，正是義夫發(fā)憤之秋，志士忘軀之日。府君荷恩重世，又不為賊所容。今逃竄草間，知者非一，危亡之甚，累棋非喻。董紹先雖景之心腹，輕而無謀，新克此州，人情不附，襲而殺之，此一壯士之任耳。今若糾率義勇，立可得三二百人。意欲奉戴府君，剿除兇逆，遠近義徒，自當投赴。如其克捷，可立桓、文之勛；必天未悔禍，事生理外，百代之下，猶為梁室忠臣。若何？”皓曰：“仆所愿也，死且甘心�！睘橐�勇士耿光等百余人襲殺景兗州刺史董紹先，推前太子舍人蕭勉為刺史，結東魏為援。馳檄遠近，將討景。景大懼，即日率侯子鑒等攻之。城陷，皓見執(zhí)，被縛射之，箭遍體，然后車裂以徇。城中無少長，皆埋而射之。

祖沖之 - 人物評價

祖沖之是中國古代一位偉大的數(shù)學家和天文學家。