曾遠榮 - 人物簡歷

1903年10月3日　生于四川省南溪縣。
1919年7月　錄取于清華學校留美預備部。
1927—1933年　留學美國在芝加哥大學取得碩士學位，博士學位。
1933—1934年　任中央大學教授。
1934—1942年　任清華大學教授。
1942—1945年　任成都燕京大學客座教授。
1945—1950年7月　任四川大學數(shù)學系主任。
1950年7月　任南京大學數(shù)學系教授。
1994年2月2日　逝世于南京。

曾遠榮 - 生平概況

曾遠榮，字桂冬，四川南溪人。1903年10月生，漢族，無黨派人士。生后8個多月父親曾紹芬便去世了。由母親吳氏撫養(yǎng)曾遠榮成長，至九歲時母親去世。曾遠榮系家中獨子，深得家族厚望，生活上得到極大關注，從小就有好學發(fā)憤、想做一番事業(yè)的思想，這為他后來成為中國泛函分析第一代的著名學者埋下了無形的種子。他一生追求學問，孜孜不倦攻讀，為此直至33歲時才結婚。妻子唐浩然主管家務，搞好后勤，為曾遠榮創(chuàng)造良好條件。唐浩然雖然文化水平不高，但熱愛科學事業(yè)并熱心群眾工作，幾十年來支持曾遠榮工作，還擔任過南京大學家屬工會副主席及區(qū)人民代表大會代表。他們生有一女一子，女名曾心平、子名曾心愉，均在國內工作。

曾遠榮小時在家鄉(xiāng)讀私塾，借住外婆家，1916年春季起到城內縣立高小讀書并住校，至1918年夏季畢業(yè)。同年秋季起陸續(xù)在江安省立中學、成都省立中學學習。1919年7月1日清華學校（清華大學前身）留美預備部來成都招生，曾遠榮應試被錄取，一直讀到1927年7月。由于學習成績優(yōu)異，于1927年8月由上海去美國留學。先后在美國芝加哥大學，普林斯頓大學及耶魯大學學習并研究數(shù)學，師從著名數(shù)學家穆爾，馮?諾伊曼與斯通等人，深得他們的賞識并在治學方法上受到很大的影響。1930年在芝加哥大學取得碩士學位，1933年取得博士學位。1933年5月回國，同年8月受聘為中央大學教授，任教一年。1934年8月至1942年7月一直任教于清華大學（1938年與北京大學、南開大學在昆明組成西南聯(lián)合大學）。1942年秋至1945年7月被成都燕京大學聘為客座教授。1945年秋受聘于四川大學任教授及數(shù)學系主任直到1950年7月。成都市于1949年年底解放，他被委派為校管會常委兼理學院院長。1950年2月中央大學改名為國立南京大學，受數(shù)學系系主任孫光遠教授寫信聘請到南京大學任教直至退休。其間于1951年秋季曾去蕪湖市安徽大學兼課，1953年秋參加校自然科學技術委員會，任委員。

曾遠榮曾是國內《數(shù)學學報》 、 《數(shù)學進展》的早期編委之一（1951年），中國數(shù)學會南京分會理事會副主席（1951年左右）。1956年去北京參加編制中國科學院十年科學發(fā)展遠景規(guī)劃，同年冬和田方增、徐利治教授去蘇聯(lián)莫斯科參加國際泛函分析會議，曾遠榮應邀在大會作了題為《廣義逆算子的固有函數(shù)展開》的報告，極受歡迎。

曾遠榮 - 計算數(shù)學

中華人民共和國成立后不久對舊專業(yè)進行改造和充實，當時曾遠榮任南京大學函數(shù)論教研室主任，1955年起由于國民經濟發(fā)展需要，他堅持要發(fā)展計算數(shù)學，并得到領導的支持。于是他集中人才，收集資料，有計劃有步驟地帶領一批中青年開展學術討論班，對分析中數(shù)值方法、微分方程數(shù)值解、線代數(shù)計算、函數(shù)逼近論及計算數(shù)學的理論與應用，大力開展學習研究。南京大學作為一個基點，是國內最早開展計算數(shù)學研究的單位之一，由此逐步發(fā)展到開課、招生，于1958年正式建立計算數(shù)學專業(yè)。形勢發(fā)展證明成立該專業(yè)的迫切性與重要性。當時，南京大學數(shù)學系計算數(shù)學已初具規(guī)模，這與曾遠榮的推動是分不開的。不久他又建議數(shù)學系派徐家福先生去蘇聯(lián)學習電子計算機。此后不久，南京大學于1958年又成立了計算機專業(yè)。與此同時在教研室內還指導他人搞逼近論，他認為這對計算數(shù)學的理論基礎、對泛函分析的應用都有很大幫助。在今日看來，南京大學的計算數(shù)學、計算機科學、泛函分析與函數(shù)逼近論等方面已得到蓬勃發(fā)展，這完全實現(xiàn)了他早年的意圖。

曾遠榮 - 教學精密　

自1950年到南京大學后，曾遠榮教過多種課程，如分析中的線性變換、近世代數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析等等。在教學中他能結合中國古代數(shù)學成就，啟發(fā)學生的愛國思想，常告誡學生不要輕視自己。例如，他常常講中國古代在圓周率、大衍求一術、商高定理方面的成就，并主張用中國名稱命名；在講到高次方程的數(shù)值解時，特別介紹林士鍔法。對中國數(shù)學史他有極大的興趣。

他向學生推薦蘇聯(lián)著作也很積極。在中譯本未出版時他即選用蘇聯(lián)教材作為授課內容。學生們印象很深的是他推薦蘇聯(lián)的兩本教材：納唐松的《實變函數(shù)論》與柳斯捷爾尼克、索伯列夫合著的《泛函分析概要》 。他一方面講解其中定理，一方面說出其中奧妙，但他在黑板上寫的甚為簡潔，一旦定理證完，就拍拍手上的粉筆灰連說：“好極了，好極了！”不少學生只顧抄筆記，來不及思考，哪里知道妙在何處呢？像勒貝格測度的構造，維塔利覆蓋引理及它的用意，證明中選取區(qū)間的方法等等，其精微處他都點到了，而且經常在課上給予贊嘆性的評論。

他的嚴密態(tài)度還不止在教學方法上，還要求學生學數(shù)學時一點不能含糊，對數(shù)學上一些含糊的說法要特別注意。例如他說幾乎處處連續(xù)一詞不好，應說不連續(xù)點集為零集；要學生注意線性泛函的擴張定理的證明，因為有的書證錯了。對于連人名都拼錯的地方，如把Lebesgue誤寫為Lebesque、把Hausdorff誤寫成Housdorff等，他均予強調指出，給人留下深刻的印象。

50年代曾遠榮在數(shù)學系里經常開新課，目的是讓學生獲得新知識，跟上時代步伐。由于那時中文教材極為缺乏，他便自選自編，一邊編寫一邊講授，深怕內容不成熟，故聲明不許其他人來聽課。一次，一位進修教師不問底細，坐下來便聽，突然被曾遠榮教授發(fā)現(xiàn)了，便問他是哪個單位的，使他感到十分緊張。在50年代中期，因學習蘇聯(lián)而推行口試考試，限定每人不得超過30分鐘。在一次考實變函數(shù)論時，每當一位學生回答不合要求時，他便要他再去考慮，但學生想了些時間還是想不出，他還要學生再去考慮。即使考卷上問題答好了，他也要提出補充問題，似乎定要學生弄清一切有關的問題為止。這樣，旁邊備考教室里的人越來越多，而離開考場的人寥寥無幾。有不少人從早考到晚，連飯也吃不上。在他看來，這是對學數(shù)學的一種磨煉，要想成為數(shù)學家，這種磨煉功夫是不可少的。

曾遠榮 - 泛函分析

曾遠榮教授是中國泛函分析界的元老，也是中國第一位從事泛函分析研究的學者。早在本世紀30年代，曾遠榮教授就有很多重要貢獻。從1932年起，他引入了維數(shù)不加限制的，實、復數(shù)域或四元數(shù)體上的線性空間，在其上定義了內積——即埃爾米特對稱雙線性泛函數(shù)。對這類空間他進行了一系列的研究，包括有界線性泛函數(shù)的表現(xiàn)，無界自伴算子的固有值及其譜表現(xiàn)等問題（他獲得一些結果的時間比某些外國著名學者，如里斯，雷利希，樂維希，泰希米勒為早）。在數(shù)學文獻上，算子譜論被譽為一個“數(shù)學杰作”，這里主要指內積空間線性算子譜論。曾遠榮1933年的博士論文（1936年出版），在當時譜論發(fā)展上是一個重要突破，在不可分的四元數(shù)內積空間中，研究無界自伴算子特征值問題，甚至作出了這種算子的唯一的三部分解：（ａ）絕對連續(xù)算子，（ｂ）奇異連續(xù)算子，（ｃ）點譜算子。并且，作出了相應的固有展開。尤其對兩種連續(xù)譜算子都運用黑林格積分為射影算子。而在此之前，即使在可分的希爾伯特空間中有界埃爾米特變換的研究中，也沒有出現(xiàn)三部分解。1942年他引進了巴拿赫空間及內積空間中的廣義雙直交系，擴展了國外工作者所提的問題，得到更好的結果。希爾伯特空間及其中線性算子的理論是泛函分析中歷史最悠久的分支。曾遠榮一直從事著這方面的研究，他引進了逼真解與廣義逆的概念。他運用近代算子理論來研究廣泛的線性方程

ｘ＇Ａ12＝ｇ2，ｘ∈Ｄ1（Ａ）．（＊）其中Ａ12是由內積空間ｍ1中稠集Ｄ1（Ａ）到內積空間ｍ2的閉算子，ｇ2是ｍ2中已知元。如果方程無解，它就叫作矛盾方程。他引進了矛盾方程的“矛盾度”ρ（0≤ρ≤1），并確定了ρ的具體表達式。他引進了基本概念“極端逼真解”。元ｘ＇△叫做方程（＊）的逼真解，是指

而在逼真解中具有最小模的ｘ＇＊，叫做（＊）的極端逼真解。當方程（＊）有解時，逼真解就是（真）解。他證明了極端逼真解的唯一性，并得出逼真解存在的充分必要條件，以及極端逼真解的范數(shù)的估值。若ｇ2屬于Ｄ2（Ａ＊），那么原方程的逼真解與正常方程
　�。�＇Ａ12Ａ＊21＝ｇ2Ａ＊21的真解重合，而
　　ｘ＇＊＝ｇ2Ａ＊211（Ｑ11）－1，這里Ｑ11＝Ａ12Ａ＊21。
　　設ｘ＇ｎ是ｘ＇Ａ12＝ｇ2的極端逼真解，而對于Ｄ2（Ａ＊）（意義與Ｄ1（Ｑ）類似）中任何ｕ2，數(shù)列（ｕ2，ｇ2ｎ）收斂于（ｕ2，ｇ2），那么：①為了ｘ＇ｎ弱收斂，必須且只須‖ｘ＇ｎ‖是有界數(shù)列；②為了ｘ＇ｎ強收斂，必須且只須

 

在每個收斂場合，ｘ＇ｎ的極限就正是ｘ＇Ａ12＝ｇ2的極端逼真解。
他用這里的方法與譜論結合來解決二次泛函數(shù)

的簡化問題（Ｑ（ｘ）是無界封閉二次齊性泛函，Ｌ（ｘ）為有界線性泛函），得出充分必要條件及解的公式，如果ｍ1＝ｍ2，而算子Ａ是自伴的（或正規(guī)的），那么極端逼真解還具有希爾伯特－施密特（Ｓｃｈｍｉｄｔ）－卡萊曼（Ｃａｒ1ｅｍａｎ）型的固有展開。

直到40年代，在內積空間中逆算子問題上的主要工作是有界無窮矩陣的特普利茨（Ｔｏｅｐｌｉｔｚ）分類，Ｇ．朱利亞（Ｊｕｌｉａ）的改進（只提出7類）和穆爾的廣義逆矩陣。曾遠榮沿著根本不同的思路完成了關于逆算子的一個系統(tǒng)研究（分為16類）。

設ｍ1，ｍ2是內積空間，Ａ12是稠定的、由Ｄ1≡Ｄ1（Ａ）到ｍ2的（無界）線性算子，Ｒ21是由Ｄ2≡Ｄ2（Ｒ）��ｍ2到ｍ1的（無界）稠定線性算子。令Ｐ1，Ｐ2各表示Ｄ2Ｒ21，Ｄ1Ａ12上的直交投影算子，Ｒ21叫做Ａ12的廣義逆算子，這是指

他提出了廣義逆算子存在的充分必要條件，證明這時Ａ12具有唯一的極大廣義逆算子Ｒ，并且確定了Ｒ的定義域。特別ｘ＇＊≡ｇ2Ｒ正好就是方程ｘ＇Ａ12＝ｇ2的極端逼真解，任一閉算子Ａ12都具有唯一的閉廣義逆算子Ｒ21，并得出Ｒ21的表達式。為了Ａ12具有有界的廣義逆算子必須且只須對于ｍ2中任意元ｙ2，方程ｘ＇Ａ12＝ｙ2都有逼真解。他從一種幾何觀點把封閉算子（有界或否）分為4大類，每類再分4小類，并對其中3大類及其各小類得出它們的特征。

曾遠榮提出并應用逼真解和廣義逆算子解決黑塞標準型問題：任何泛函方程ｘ＇Ａ12＝ｇ2的黑塞標準型是ｘ＇Ｗ12－ｇ2Ｂ－12＝0，這里Ｂ－12是Ｂ2的廣義逆算子，而Ｗ12與Ｂ2是Ａ的唯一極坐標算子：Ａ12＝Ｗ12Ｂ2。事實上，對于ｍ1中任一點ｈ＇，范數(shù)‖Ｗ12－ｇ2Ｂ－12‖恰是方程ｘ＇Ａ12＝ｇ2的逼真解全體所成的“超平面”與ｈ＇之間的距離。

現(xiàn)在舉世公認，曾遠榮教授是廣義逆的奠基人，人們稱“曾廣義逆”，在國際上具有廣泛的影響。廣義逆還滲透到計算數(shù)學等分支中，成為計算數(shù)學的重要內容。

曾遠榮還繼續(xù)了他關于廣義雙直交系的工作，他把巴里、塔爾德金的1951年的主要結果推廣到一般內積空間中的不可數(shù)的廣義雙直交系，并且減少了原來結果的主要條件，增補了具體結果：設Ｐ是具任意勢的無窮集，則

Ｅ＊≡（Ｅ＊（Ｐ＇，Ｐ″）｜Ｐ＇，Ｐ″∈Ｐ）是（半定）正性埃爾米特型矩陣。為了（對于Ｅ＊的）廣義雙直交系（ｇｐ）的格拉姆（Ｇｒａｍ）矩陣Ｅｇ具有下模Ｍ＊（Ｅｇ）＞0，必須且只須Ｅｈ具有Ｅｇ模。這時，在ｇ系的線性閉包中存在唯一的線性封閉算子Ｂ，使ｈｐ＝ｇｐＢ，這里（ｈ，）是ｇ＇系（對于Ｅ＊）的伴隨系，Ｂ是有界正定埃爾米特型算子。作者也給出Ｂ的顯明公式，設兩個元素（ｇｐ）、（ｈｐ）滿足（ｇｐ＇，ｇｐ″）＝Ｅ＊（Ｐ＇，Ｐ″），Ｐ＇，Ｐ″∈Ｐ，而其中某一系的閉包含在另一系的閉包中，若ｇ系的與ｈ系的格拉姆矩陣具有相互的模，那么兩個閉包相等，而（ｇｐ）與（ｈｐ，）都是閉包的廣義里斯基底（對于Ｅ＊）。

在譜論的基礎上運用黑林格型積分的固有展開，是有重要意義的，曾遠榮在這方面作了重要探討，他是從復數(shù)域上內積空間中正規(guī)算子的三部固有展開

出發(fā)進行探討的，其中Ｆ（ω）是連續(xù)函數(shù)并屬于

ｆａ是Ａ的固有元，ｇβ（ｗ）是特異固有微分元，ｈｒ（ｗ）是絕對連續(xù)的固有微分元，各指標集［ａ］，［β］，［γ］都不必是可數(shù)的。

1979年11月在濟南召開的“第二次全國泛函分析學術交流會”上，曾遠榮發(fā)表了題為《泛函分析的作用和趨勢》的報告。首次提出了“泛函數(shù)學”作為一門新的數(shù)學分支。這里重要的是：它并非幾種項目的“混合”，而是一個由各門學科融合而成的有機整體。例如，報告中特別強調無窮維空間（尤其是不可分空間）中的代數(shù)拓樸、代數(shù)幾何、微分幾何及微分拓撲。

曾遠榮 - 培養(yǎng)人才

從30年代初開始，曾遠榮教授在泛函分析的教學與研究上辛勤耕耘了60個春秋，他對工作一絲不茍，兢兢業(yè)業(yè)，培養(yǎng)和造就了一大批數(shù)學人才。

早期在清華大學，他招收了徐賢修作為研究生。在西南聯(lián)合大學工作時，國際上著名物理學家楊振寧博士曾聽過他的授課。已故著名數(shù)學家，前中國科學院系統(tǒng)科學研究所所長，學部委員關肇直教授出自他的門下。解放前，作為他的突出的學生，還有著名數(shù)學家田方增教授、江澤堅教授、徐利治教授。解放后他積極培養(yǎng)新生力量，特別是多次培養(yǎng)研究生并指導南京大學數(shù)學系函數(shù)論教研室其他教師積極從事研究工作，在治學思想方法與對數(shù)學本質的認識方面，他的學生們都深受教益。在他的指導與帶領下，他的絕大部分學生均已成為副教授、教授，并均已成為南京大學以及其他大學（如浙江大學）教學及科研方面的骨干，有數(shù)位還被評為博士生導師。

曾遠榮于1994年2月逝世。在逝世前不久，雖然已是89歲高齡，他仍然經常出入南京大學數(shù)學系圖書室，查找、翻閱資料，積極從事研究工作，掌握新的學術動態(tài)。他經常向中青年教師提出關于研究方向的建議，向領導提出對數(shù)學教育改革的看法。自云：雖然退休，仍要努力，貢獻自己的晚熱。他不贊成“余熱”的提法，說晚熱有時是很強烈的，這種一輩子獻身科學事業(yè)的精神，令人欽佩不已。

曾遠榮 - 主要論著

1　曾遠榮．關于內積空間中雙直交系的幾點體會．南京大學學報（自然科學），1956，（2）：17－28．