徐利治 - 個人簡介
徐利治原名徐泉涌，1920年出生，江蘇常熟人。大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所教授。早年就讀于江蘇省立洛杜鄉(xiāng)村師范學(xué)校。抗戰(zhàn)爆發(fā)后，避難到西南，后于1938年考入貴州銅仁國立第三中學(xué)師范部。1940年畢業(yè)后，考取聯(lián)大數(shù)學(xué)系。入學(xué)不久，迫于經(jīng)濟拮據(jù)，休學(xué)一年。在聯(lián)大復(fù)學(xué)后，悉心鉆研數(shù)學(xué)名著，參加數(shù)學(xué)討論班，接觸到
數(shù)學(xué)研究工作的前沿。1945年大學(xué)畢業(yè)前，在國際數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了4篇專業(yè)研究論文。1945年畢業(yè)后，經(jīng)華羅庚舉薦，清華數(shù)學(xué)系主任楊武之首肯，留任華羅庚的助教。1946年聯(lián)大結(jié)束，隨清華返回北京（時稱北平），遂后不到三年，便由助教提升為教員。1949年北平解放前夕獲得了英國文化委員會的獎學(xué)金，作為當(dāng)年該獎學(xué)金資助中唯一一名數(shù)學(xué)研究人員，赴英國阿伯丁大學(xué)和劍橋大學(xué)訪問進修各一年。1951回國。繼續(xù)在清華任教，旋晉升為副教授。1952年全國高等學(xué)校院系調(diào)整，同王湘浩、江澤堅等一起在原東北人民大學(xué)（今吉林大學(xué)）組建數(shù)學(xué)系,徐利治任數(shù)學(xué)系副主任。1961年受聘為美國《數(shù)學(xué)評論》雜志的特約評論員。他主要致力于分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究，在多維漸近積分，無界函數(shù)逼近以及高維邊界型求積法等方面獲眾多成果，并在我國倡導(dǎo)數(shù)學(xué)方法論的研究。至1991年初他共出版專著近20種，發(fā)表論文計150余篇。他受聘為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所學(xué)術(shù)顧問，南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所學(xué)術(shù)委員和中國數(shù)學(xué)會組合數(shù)學(xué)與圖論委員會主任；擔(dān)任國際性英文刊物《逼近論及其應(yīng)用》雜志副主編，《高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報》名譽主編，以及德國《數(shù)學(xué)文摘》雜志評論員。1988年英國劍橋國際傳記中心將他列入國際知識界名人錄和太平洋地區(qū)名人錄。此后，長期致力于多維漸近積分、無界函數(shù)逼近，以及高維邊界型求積法等方面的研究，且在國內(nèi)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)方法論的研究，并取得了重要的成就。在漸進分析、逼近論方面取得重要成果，在國際上被譽為“徐氏漸進公式”、“徐氏逼近”，1985年獲國家教委科技進步獎二等獎。著有《漸近積分和積分逼近》、《高維的數(shù)值積分》、《數(shù)學(xué)方法論選講》，合著《函數(shù)逼近的理論與方法》。徐利治 - 生平紀(jì)實
徐利治，1920年9月23日出生于江蘇省沙洲縣（今張家港市）東萊鄉(xiāng)一個普通木匠家庭。10歲時父親去世，由母親幫人做衣維持生活。14歲以年級第一名的成績畢業(yè)于小學(xué)，考上全部公費的江蘇省立洛杜鄉(xiāng)村師范學(xué)校。他在校期間成績優(yōu)異，并博聞廣讀，自學(xué)《查理斯密大代數(shù)》，開始鉆研數(shù)學(xué)經(jīng)典。許多數(shù)學(xué)名家的傳記故事對他后來從事數(shù)學(xué)研究頗有啟示�？谷諔�(zhàn)爭初始，徐泉涌來不及回故鄉(xiāng)，與同學(xué)結(jié)伴向西南逃亡。1938年考入貴州銅仁國立第三中學(xué)師范部。他在生活十分艱苦的條件下發(fā)奮讀書，尤其熱愛數(shù)學(xué)，做了不少難題，1940年畢業(yè)后即以高中同等學(xué)歷考取西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系。報考大學(xué)時，徐泉涌將自己的名字改為徐利治。
入大學(xué)不久，由于經(jīng)濟原因，徐利治不得不暫時休學(xué)，到四川重慶中學(xué)教書。一年后返回大學(xué)。當(dāng)時的西南聯(lián)合大學(xué)人才薈萃，徐利治直接受業(yè)于華羅庚、許寶騄等著名教授門下，得益匪淺。他悉心鉆研數(shù)學(xué)名著，參加數(shù)學(xué)討論班，接觸到研究工作前沿，學(xué)會獨立思考問題。大學(xué)期間他就寫出4篇專業(yè)研究論文在國際數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表。1945年畢業(yè)時被華羅庚教授舉薦，留在西南聯(lián)合大學(xué)任其助教。
1946年，組成西南聯(lián)合大學(xué)的三所大學(xué)（北京大學(xué)，清華大學(xué)，南開大學(xué)）分別遷回北京（當(dāng)時稱北平）和天津。徐利治應(yīng)聘到北京清華大學(xué)任助教。在當(dāng)時的清華大學(xué)，一般人要任六七年助教才提為教員，但徐利治只用了不到3年時間便由助教升為教員。在此期間他相繼發(fā)表了一批有國際影響的論文。1949年北平解放前夕，徐利治獲得了英國文化委員會的獎學(xué)金，作為當(dāng)年該獎學(xué)金資助中唯一一名數(shù)學(xué)研究人員，赴英國阿伯丁大學(xué)和劍橋大學(xué)訪問進修各一年。1951年回國后，擔(dān)任了清華大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，同時兼任北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授。
1952年，為了支援東北的文化建設(shè)，徐利治同王湘浩、江澤堅等人一起自愿去到長春，在原東北人民大學(xué)組建了數(shù)學(xué)系，徐利治任數(shù)學(xué)系副主任。他每年至少講授兩門數(shù)學(xué)專業(yè)課，從1954年起還創(chuàng)辦函數(shù)逼近論討論班，培養(yǎng)了一批從事該方面研究的專門人才，他本人也在漸近分析與函數(shù)逼近論等方面取得一定成果。1956年被提升為正教授。
1956年春徐利治作為中國科學(xué)院三人代表團成員參加了莫斯科全蘇泛函分析及其應(yīng)用會議�；貒笏跂|北人民大學(xué)數(shù)學(xué)系創(chuàng)辦計算數(shù)學(xué)專業(yè)，與蘇聯(lián)專家合作開設(shè)了全國計算數(shù)學(xué)的第一個培訓(xùn)班，培養(yǎng)出從事計算數(shù)學(xué)研究的首批專業(yè)人員。1958年東北人民大學(xué)更名為吉林大學(xué)。80年代初吉林大學(xué)計算數(shù)學(xué)專業(yè)成為國內(nèi)第一批博士授權(quán)點，徐利治成為國內(nèi)首批博士生指導(dǎo)教師，這與他當(dāng)時奠定的基礎(chǔ)是分不開的。
1961年徐利治受聘為美國《數(shù)學(xué)評論》雜志的特約評論員。此時他已發(fā)表了50多篇學(xué)術(shù)研究論文，出版了兩部專著。但幾年之后，“文化大革命”開始了，正常的教學(xué)和科研陷于癱瘓，徐利治就躲在家里潛心研究學(xué)問。1970年他被送到吉林省長嶺縣插隊落戶，在繁忙勞作之余仍孜孜不倦地鉆研數(shù)學(xué)，先后在國外發(fā)表了數(shù)篇有創(chuàng)見性的論文。1975年9月他重返吉林大學(xué)執(zhí)教，很快又倡議辦起了非標(biāo)準(zhǔn)分析討論班，并擔(dān)任主講。
從1980年起，徐利治除在吉林大學(xué)任職外，還在大連理工大學(xué)（原大連工學(xué)院）和華中理工大學(xué)（原華中工學(xué)院）兼職。1981年大連工學(xué)院成立應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，徐利治擔(dān)任了首任所長，同時兼任華中工學(xué)院數(shù)學(xué)系主任。是年，在大連工學(xué)院和華中工學(xué)院兩校領(lǐng)導(dǎo)的支持下，他創(chuàng)辦了全國性專業(yè)雜志《數(shù)學(xué)研究與評論》，并成為首任主編。也是在這一年，大連工學(xué)院和華中工學(xué)院兩校成為國家教育部批準(zhǔn)的碩士授權(quán)點。1984年徐利治成為大連理工大學(xué)博士生指導(dǎo)教師。
1981年8月徐利治赴西德漢堡參加了第九屆國際運籌學(xué)會議，次年7月又得到西德科技促進會的資助，到波恩參加了國際數(shù)學(xué)規(guī)劃會議，并在會上作了中國東北運籌學(xué)發(fā)展情況的報告。1983年1月他作為中國逼近論代表團團長，去美國參加了在德克薩斯舉辦的國際逼近論會議。大會單獨為他提供經(jīng)費，并請他作了1小時的全會報告，介紹中國在逼近論方面近年來的發(fā)展概況。會后他還應(yīng)邀到西弗吉尼亞大學(xué)、匹茲堡大學(xué)和斯坦福大學(xué)短期訪問，并作學(xué)術(shù)報告。1985年6月他取得美國國家科學(xué)基金的資助。赴美進行科研合作。其間他參加了在加拿大埃德蒙頓舉行的國際逼近論會議和在哈里法克斯舉行的數(shù)值積分高級研究會。1986年夏他又受聘為美國德克薩斯州Ａ＆Ｍ大學(xué)客座教授。1987年初再赴加拿大曼尼托巴大學(xué)和里金納大學(xué)訪問講學(xué)。
徐利治之所以在國際數(shù)學(xué)界能有一定影響，是與他始終堅持研究工作并不斷取得新成果分不開的。至1991年初他共出版專著近20種，發(fā)表論文計150余篇。他受聘為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所學(xué)術(shù)顧問，南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所學(xué)術(shù)委員和中國數(shù)學(xué)會組合數(shù)學(xué)與圖論委員會主任；擔(dān)任國際性英文刊物《逼近論及其應(yīng)用》雜志副主編，《高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報》名譽主編，以及德國《數(shù)學(xué)文摘》雜志評論員。1988年英國劍橋國際傳記中心將他列入國際知識界名人錄和太平洋地區(qū)名人錄。1989年美國傳記研究所又將他列入杰出領(lǐng)導(dǎo)人物國際名人錄。
徐利治 - 治學(xué)方法
培養(yǎng)興趣
追求簡易
1948年徐利治在清華大學(xué)做助教時期,有一次聽完陳省身先生的講演后,記得他曾向幾位青年教師介紹了歐洲一位數(shù)學(xué)大師的一句名言:“數(shù)學(xué)以簡易性為目標(biāo)”(Mathematicsisforsimplicity).當(dāng)年徐利治對這句名言體會不深,主要是對“簡易”這個詞的真實涵義理解不透.那時候徐利治講授初等微積分課程,逐漸領(lǐng)悟到作為微積分核心基石的“微積分基本定理”—牛頓萊布尼茲公式在原理上是十分簡明的,在方法上又是易于喜歡作的.這樣,既簡明又易于喜歡作的公式不正是表明“簡易性”的特征嗎?后來徐利治又讀了一些有關(guān)“微積分發(fā)明史”的資料,得知17世紀(jì)60年代前,人們?yōu)榱颂幚砀鞣N各樣的無窮小量求和問題,曾走過了漫長而艱辛的道路.而牛頓萊布尼茲公式的提出,才把許多復(fù)雜艱難問題的求解過程,統(tǒng)一于一條簡易的基本定理.這也說明,微積分的創(chuàng)立正是以“簡易性”目標(biāo)的實現(xiàn)為標(biāo)志.有位朋友告訴徐利治,中國古代的《易經(jīng)》上已對“簡易”一詞作了很好的解釋:“簡則易知,易則易從.”意思是說,簡單的原理易于明白,容易喜歡作的東西便于應(yīng)用.事實上,數(shù)學(xué)上許多有價值的理論和方法以及重要的定理與公式,基本上都是具有簡易性的科學(xué)成果,而簡易性或簡單性也是數(shù)學(xué)美的特征.在徐利治長期的數(shù)學(xué)工作實踐中,總是不忘記對簡易性成果的追求.一般說來對徐利治感興趣的問題,總是希望努力把它簡化到不能再簡單的程度,然后對簡化了的問題再努力尋找其簡易解答.這些努力未必總是成功.如果失敗了,則憑著徐利治對問題的濃厚興趣,還將另覓出路,繼續(xù)前進在徐利治指導(dǎo)青年學(xué)生作科學(xué)研究時,徐利治也總是強調(diào)首先要學(xué)會化難為易、化繁為簡的本事.當(dāng)他們?nèi)〉昧撕喴仔缘臄?shù)學(xué)結(jié)果時,如果真是優(yōu)美而有用,徐利治就會以“漂亮成果”一詞作為贊許.對待數(shù)學(xué)教學(xué),包括編教材和講課,徐利治也一貫喜歡以追求“簡易”為目標(biāo).這一點,多半是受了大學(xué)時代老師華羅庚的影響.記得在徐利治大學(xué)畢業(yè)后擔(dān)任華羅庚助教時期,曾告訴徐利治下述觀點:“高水平的教師就能把復(fù)雜的東西講簡單,把難的東西講容易.反之,如果把簡單的東西講復(fù)雜了,把容易的東西講難了,那就是低水平的表現(xiàn).”徐利治也曾聽說過有些數(shù)學(xué)教師為了在學(xué)生面前賣弄學(xué)問,故意把容易的東西講難了,把簡單的東西講復(fù)雜了.上述華羅庚先生的教學(xué)法觀點實際是和喬治?波利亞的數(shù)學(xué)思想不約而同的.開拓多維漸近積分研究。
重視直觀
無論是從事數(shù)學(xué)教學(xué)或研究,徐利治是喜歡直觀的.學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明,只有把定理的直觀含義和證法的直觀思路弄明白了,才真正懂了.例如,當(dāng)年徐利治以好奇的心情學(xué)習(xí)維爾斯特拉斯(Wierstrass)著名的連續(xù)而處處不可微的函數(shù)時,經(jīng)過一陣耐心的深沉精微的思考之后,他才真正弄明白了函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)計的直觀背景和證法的基本思路.由此類似思路,還不難構(gòu)造出任意多的具有不同形式的連續(xù)不可微函數(shù)例子.在科學(xué)研究中,徐利治也常常借助于由經(jīng)驗獲得的直觀能力,以猜測的方式去探索某些可能取得的成果.當(dāng)然,失敗的經(jīng)驗也是很多的.1964年徐利治在吉林大學(xué)任教期間,一度對超越方程求實根問題發(fā)生了興趣.研究目標(biāo)是希望能找到無需估算初值的“大范圍收斂迭代法”.人們知道求解高次代數(shù)方程的實根已有這種性能的迭代法,即著名的拉蓋耳(Lguerre)迭代過程.徐利治聯(lián)想到歐拉(Euler)在尋求著名的級數(shù)和sum_{1}^{Infty}1/n^2=Pi^2/6時,曾經(jīng)把正弦函數(shù)的冪級數(shù)展開式大膽地看成為無限次多項式,從而通過類比法得到了正弦函數(shù)的因式分解的無窮乘積公式.最后他把乘積展開后與冪級數(shù)三次冪比較系數(shù),便成功地解決了雅谷?柏努利(Bernoulli)的級數(shù)求和難題,即求得了級數(shù)sum_{1}^{Infty}1/n^2之和.歐拉的思想方法給徐利治的重要啟示是,一定條件下冪級數(shù)可以看作是次數(shù)為無窮大的代數(shù)多項式.這使我聯(lián)想到拉蓋耳迭代公式中的參數(shù)n(即所論代數(shù)方程的次數(shù))應(yīng)能令它趨向于∞而獲得適用于超越方程的迭代方法.再由觀察立即看出于n→∞時拉氏公式仍繼續(xù)保持合理意義,而且形式更簡化了.這樣,徐利治便猜到了一個可用以求解超越方程的大范圍收斂迭代法.最后,應(yīng)用整函數(shù)論里的阿達瑪(Hadamard)因式定理,果然證明了上述方法的大范圍收斂性.(此項結(jié)果發(fā)表于1973年美國數(shù)學(xué)會通訊摘要欄).上述研究給予徐利治的深刻印象是,由類比聯(lián)想引發(fā)的直觀與猜想有時真能成為發(fā)現(xiàn)新成果的源泉.因此,在以往20多年里徐利治始終熱心地提倡數(shù)學(xué)工作者和數(shù)學(xué)教師們,值得花足夠的時間去研讀喬治?波利亞的三本名著,即《數(shù)學(xué)中的歸納與類比》,《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》與《數(shù)學(xué)中的合情推理》.一般英文辭典中,常把intuition譯作直覺、直觀,足見直觀與直覺兩詞的涵義會有不少相通或相同之處.但在數(shù)學(xué)中,徐利治寧愿把“直觀”一詞解釋為借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想,所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識.例如,借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知,即可稱之為“幾何直觀”。
學(xué)會抽象
人們知道,許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)家都傾向于承認(rèn)數(shù)學(xué)是研究模式(Patterns)的科學(xué).關(guān)于模式的原始觀念可追溯到古代的柏拉圖,徐利治相信數(shù)學(xué)是以理想的量性模式作為研究對象的.這里所謂的量性模式或稱數(shù)學(xué)模式是泛指反映事物關(guān)系(包括空間形式與數(shù)量關(guān)系)的純粹形式結(jié)構(gòu).這種純粹形式結(jié)構(gòu)必須是科學(xué)抽象的產(chǎn)物,所以理應(yīng)具有概念上的精確性、簡易性、邏輯可演繹性與普適性.例如,自然數(shù)列{1,2,3,?,n,?}是反映離散事物順序計數(shù)的數(shù)學(xué)模式,微積分學(xué)是反映變量計算規(guī)律的一個大型數(shù)學(xué)模式.當(dāng)然,數(shù)學(xué)中的每一條公理、定理、公式、典型的計算方法或程序,以至成型的推理法則(如數(shù)學(xué)歸納法、超窮歸納法以及康托爾—希爾伯特對角線論證法等),也都是或大或小的數(shù)學(xué)模式.徐利治已談到數(shù)學(xué)是以追求簡易性為目標(biāo)的.是數(shù)學(xué)模式的簡易性要求正是由概念方法上的統(tǒng)一性與概括性(普遍性)來體現(xiàn)的,而這又必須通過抽象過程來實現(xiàn).換句話說,抽象是達到數(shù)學(xué)模式簡易性目標(biāo)的必要手段和過程.因此,時刻要與數(shù)學(xué)模式打交道的數(shù)學(xué)工作者與青年教師都有必要及早領(lǐng)會和學(xué)會數(shù)學(xué)抽象的方法及技巧.其實,只要仔細考察分析數(shù)學(xué)上一些較典型的抽象定理和它們眾多的具體特例,都會發(fā)現(xiàn)它們是從特殊到一般、從具體到抽象的產(chǎn)物.
一般說來,數(shù)學(xué)抽象包含有四個步驟,即(1)觀察實例,(2)抓住共性,(3)提出概念,(4)構(gòu)筑系統(tǒng)或框架(理論).下面作為解釋四個步驟的例證,徐利治如何想到去提出“關(guān)系(Relation)映射(Mapping)反演(Inversion)原則”的.這原則也是一種普遍方法,簡稱為RMI原則或RMI方法.最近十多年來,看來國內(nèi)研究方法論的學(xué)者的一些論著中,都已認(rèn)可和使用了這一名稱.那是在1980年左右,徐利治曾在國內(nèi)三所大學(xué)講授過“數(shù)學(xué)方法論”,很喜歡向?qū)W生們介紹“哥尼斯堡七橋問題”、“斐波那奇數(shù)列計算問題”、“拉普拉斯變換求解微分方程”等問題的思想方法.在準(zhǔn)備講稿時徐利治很自然地意識到這些問題雖然形貌各異,但解決問題的核心思想?yún)s是相同的,即都是利用了某些(包括廣義的)映射與逆變換概念.進一步的聯(lián)想,還使徐利治想到了諸如初等數(shù)學(xué)中的對數(shù)方法、解析幾何方法、概率論中的特征函數(shù)方法、組合分析中的發(fā)生函數(shù)方法、偏微分方程論中的狄利克雷原理、甚至龐卡萊(Poincare)與克萊因(Klein)在歐氏平面上構(gòu)筑非歐幾何模型的思想方法,本質(zhì)上也都是各種映射(變換)與反演(逆變換)方法的具體實現(xiàn).正是對上述諸實例的共性有了全面的了解,才使徐利治能夠使用數(shù)學(xué)語言來表述如下一系列普遍概念:“關(guān)系結(jié)構(gòu)”(可記為R),“未知原象”(記為x),“映象結(jié)構(gòu)”(記為R3),“未知映象”(記為x3),“可逆可定映映射”(記為U),“定映方法”(記為7),“已知映象”(記為x3),“反演”(記為U-1).于是作為普遍解題模式的RMI方法即可表述成如下程序:
(R,x)U(R3,x3)7(x3)U-1(x)這里的x3與x即表示通過7與U-1兩個步驟所求得的映象與原象(即問題(R,x)所要求的解答).當(dāng)然上面提到的各個著名問題與重要方法都屬于上述一般RMI方法的特例.例如,在解常微分方程初值問題的拉氏變換法中,常系數(shù)微分方程與初值條件形成關(guān)系結(jié)構(gòu)R,而x便是要求的解函數(shù).作為映射工具的U是拉氏變換,U-1便是逆變換.在拉氏變換下映象結(jié)構(gòu)R3往往成為代數(shù)方程組,于是通過代數(shù)方法將解x3求得后,再對x3施行逆變換U-1便求得解函數(shù).又例如在哥尼斯堡七橋問題中,橋與島及陸地的連接關(guān)系作成關(guān)系結(jié)構(gòu)R,而能否一次通過七條橋的問題成為未知原象x.歐拉將橋抽象成為線,將島與陸地抽象成為點,從而R變?yōu)辄c線圖R3,這一過程可稱為“概念映射”U.在這一映射下,七橋問題(R,x)即變換成一筆畫問題(R3,x3).于是通過一筆畫交點特征分析法7,得知一筆畫問題之不可能性的答案x3.由于U具有逆映射U-1(即可由抽象返回具體),故結(jié)論便是一次通過七橋是不可能的(此即答案x).一般說來,凡能使用有限多次RMI方法就可獲得解答的數(shù)學(xué)問題即稱為“RMI可解問題”,而所需次數(shù)稱為可解問題的“階數(shù)”.在1983年出版的拙著《數(shù)學(xué)方法論選講》一書中有專章論述RMI方法并有一批應(yīng)用實例,感興趣的讀者可以查閱(該書第三版已在2000年問世).非常巧合的是,同在1983年美國數(shù)學(xué)史專家H1Eves在他出版的《數(shù)學(xué)的偉大旅程碑》(TheGreatMomentsofMathematics)一書中,也在一章里描述了RMI思想方法,但該章主題是論述解析幾何發(fā)明史,而未將RMI抽象成為普遍的方法論原則.當(dāng)然,Eves的著作是很富于見解的.上面借助于例證說明了“從特殊到一般”的一般性抽象方法.事實上,在數(shù)學(xué)研究中,有時為了深化數(shù)學(xué)研究內(nèi)容,擴大數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域,還常常要在一般性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上,利用引入新特征(新概念)的辦法去得到更有深刻而豐富內(nèi)涵的新結(jié)構(gòu)或新對象.這種“從一般到特殊”的概念深化過程稱之為“強抽象”.例如,在連續(xù)函數(shù)類上引進“可微性”概念便得到了可微函數(shù)類.顯然后者在結(jié)構(gòu)上比前者更特殊化了.但如果沒有這種抽象特殊化,又怎能產(chǎn)生微積分學(xué)呢?又如果不在一般的巴拿赫(Banach)空間
不怕計算
不怕計算可以說是徐利治在長期數(shù)學(xué)工作中養(yǎng)成的一種性格或習(xí)慣.徐利治在小時候是不喜歡做算術(shù)計算題的,甚至對復(fù)雜的計算很害怕.后來,學(xué)了中學(xué)代數(shù)和三角學(xué),學(xué)會把復(fù)雜的式子化成最簡式,感到是一種愉快.有時看到或得到一些很有規(guī)律的對稱式,很覺高興,人人都有愛美之心.而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式(包括公式與各種關(guān)系)間的簡單性、規(guī)律性與對稱性等正好是美的特征,所以徐利治之開始喜歡計算并學(xué)會計算,與徐利治喜愛“數(shù)學(xué)美”的天性有關(guān).數(shù)十年里,徐利治從事計算數(shù)學(xué)的方法與理論研究,更是時時與分析計算打交道.這樣,徐利治就培養(yǎng)了對計算的興趣和耐心.特別很喜歡從復(fù)雜的計算過程中尋找規(guī)律,尋覓最簡潔的結(jié)果.有時候意想不到的簡單結(jié)果會帶給你極大樂趣.例如,60年代徐利治自己最感興趣的一個工作是,徐利治發(fā)現(xiàn)在最一般形式的“快速振蕩函數(shù)積分”的漸近展式中居然出現(xiàn)重要的積分因子柏努利多項式.這一結(jié)果是通過一系列計算后發(fā)現(xiàn)的.包含這一結(jié)果的文章發(fā)表于1963年[見英國Proc.CambridgePhil.Soc.,59∶1(1963)].說來奇怪,時過24年后美國三位學(xué)者的合作論文中又重新發(fā)表了徐利治的結(jié)果的特例[見美國Math.Comp.,49(1987),作者為V.Banerjee,L.Lardy,A.Lutoborski].
計算能幫助發(fā)現(xiàn)規(guī)律,發(fā)現(xiàn)漂亮的新結(jié)果,這些正是推動人們能耐心地從事復(fù)雜計算的心理動力.所以根據(jù)徐利治個人的學(xué)習(xí)與工作經(jīng)驗,他贊成應(yīng)利用青少年的愛美天性和尋求新結(jié)果的好奇心,配以啟發(fā)性的教材,讓他們不怕計算,學(xué)會計算,并能從計算中尋找樂趣.徐利治一生中的絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識實際是通過自學(xué)和教學(xué)工作過程獲得的。
徐利治 - 個人影響
漸近分析(漸近積分與漸近展開)是徐利治早年就開始的研究領(lǐng)域．1948年到1951年間他在美國、英國發(fā)表的成果，經(jīng)常被國外學(xué)者(包括物理學(xué)家)引用．阿斯柯里(G.Ascoli)、貝爾格(L．Berg)、里克司廷斯(E.Riekstens)等人的論文與專著中，專門介紹了他的“漸近積分定理”和“展開定理”．東德黎德爾(R.Riedel)的博士論文的選題就是專門推廣徐的兩條積分漸近定理．在英國和美國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)(David)、巴頓(Barton)、莫瑟(Moser)、外曼(Wyman)等人的著作中，把他的高次零差的漸近展開公式稱為“徐氏逼近公式”，與之有關(guān)的一類數(shù)被命名為“凱雷-徐氏數(shù)”(Cayley-Hsunumbers)，對此，大衛(wèi)和巴頓還造了數(shù)值表以供統(tǒng)計學(xué)家參考之用．徐利治在漸近分析方面的論文有18篇、專著有《漸近積分和積分逼近》(科學(xué)出版社，1958，1960)．
逼近論(數(shù)值逼近與函數(shù)逼近)方面的工作，他從50年代開始一直持續(xù)到現(xiàn)在．美國數(shù)值分析專家圖德(Tood)和斯喬德(Stroud)等人在綜合性報告中均提到徐利治用線積分逼近多重積分的工作；徐提出了解決無界函數(shù)逼近的“擴展乘數(shù)法”，此法被國外引用的次數(shù)最多，直至最近國外還有人在博士論文中改進徐的一條基本定理，國內(nèi)發(fā)表研究此法的則有王仁宏等人；徐利治最先給出了關(guān)于線性算子半群理論中著名的Hille第一指數(shù)公式的定量形式，該公式對于逼近論具有應(yīng)用價值，由此導(dǎo)致迪虔(Ditzian)、布策爾(Butzer)、法埃佛(Pfeifer)的許多工作；徐給出的廣義蘭道(Landan)多項式算子被國外學(xué)者稱為“蘭道-徐氏多項式”，德國數(shù)學(xué)家赫勞卡(Hlawka)還把這類多項式用做隨機逼近的漂亮工具．徐在這方面發(fā)表了20余篇論文并和合作者出版了兩本著作：《函數(shù)逼近的理論與方法》(上�？萍汲霭嫔纾�1983)、《逼近論方法》(國防工業(yè)出版社，1986)．數(shù)值積分方面，徐利治的工作也是從50年代開始的．他發(fā)展了激烈振蕩函數(shù)積分法，概括了前人的許多成果；首先提出了“降維展開法”用以解決一大類高維邊界型求積公式構(gòu)造法問題．徐在這一領(lǐng)域里撰寫論文20余篇，著書兩本：《高維數(shù)值積分》(科學(xué)出版社，1963，1980)、《高維數(shù)值積分選講》(安徽教育出版社，1985)．
互逆變換(級數(shù)變換與積分變換的反演)方面，徐利治提出了一套獨特的方法，亦即應(yīng)用自反函數(shù)的方法，這一普遍方法能用來解決L可積函數(shù)的自反積分變換問題，而華生、(Watson)變換不能處理這種問題．正如前述，1965年徐發(fā)現(xiàn)的級數(shù)反演公式概括了高爾德的一系列反演關(guān)系，這可以應(yīng)用于算法分析和插值方法中，美國數(shù)學(xué)家克努斯(Knuth)等人合編的《算法分析的數(shù)學(xué)》第一章中介紹了“高爾德-徐氏公式”．在這方面徐寫了12篇論文．
組合分析方法，是徐利治最早開始的研究領(lǐng)域，大學(xué)時代在美國雜志上發(fā)表的兩篇處女作就是這方面的工作．后來徐對麥比烏斯反演作了大量研究，并且用組合分析研究概率論，用組合分析研究高次零差的漸近展開．這方面的論文有13篇，著作兩部：《計算組合數(shù)學(xué)》(上�？萍汲霭嫔�，1983)、《組合數(shù)學(xué)入門》(遼寧教育出版社，1985)．
計算方法方面，徐利治的主要工作是插值法和求根迭代法的研究．1964年由他首先發(fā)現(xiàn)的平方根迭代法，是具有大范圍收斂性的求超越方程實根的方法．這項成果曾在當(dāng)年吉林大學(xué)計算數(shù)學(xué)討論班上報告過．但由于“文化大革命”的影響，未能及時發(fā)表，直到1973年才與瑞士數(shù)學(xué)家奧斯特洛夫斯基(A.M.Ostrowski)同時發(fā)表．此法后來成為歐美和國內(nèi)不少數(shù)值分析家研究的出發(fā)點，并引出一系列結(jié)果．徐在這方面的有關(guān)論文計有12篇．
非標(biāo)準(zhǔn)分析方面，徐利治把它作為研究工具，建立了廣義的麥比烏斯反演理論，得到了普遍的反演定理，把離散數(shù)學(xué)中的廣義麥比烏斯-羅塔(Rota)反演公式和微積分基本定理以及卷積型積分方程的求解公式都作為特例包括進去了．該工作于1983年發(fā)表后，引起葡萄牙里斯本(Lisbon)數(shù)學(xué)中心學(xué)者高耳多維爾(Gor－dovil)的注目．徐在這方面的論文有4篇．
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面，徐利治首先研究了數(shù)學(xué)真理性數(shù)量上把握的問題，首次提出了數(shù)學(xué)抽象度問題，研究了超窮數(shù)論和悖論等問題．他在1980年提出的“雙相無限”的原則，刻畫了數(shù)學(xué)無限過程的矛盾本性，從而在西方數(shù)理哲學(xué)界“潛無限”與“實無限”兩大派別的傳統(tǒng)爭論之外，提出了解決問題的新的方案．徐在這方面和他的合作者發(fā)表了9篇論文．
其他方面，如數(shù)論、數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)教學(xué)體系的改革等方面，徐利治也做了大量研究．例如在數(shù)論上他舉出反例解決了匈牙利數(shù)學(xué)家埃爾德斯于1956年提出的等差數(shù)偶問題．徐在這些方面撰寫論文20余篇，著書三本：《數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講》(高教出版社，1955，1984)、《應(yīng)用解析數(shù)學(xué)選講》(吉林人民出版社，1983)、《數(shù)學(xué)方法論選講》(華中工學(xué)院出版社，1983)。
徐利治 - 人物評價
徐利治性格外向，熱情爽朗，興趣廣泛．這些性格特征反映在學(xué)問上，則是涉獵面廣泛，研究成果帶著濃厚興趣的烙印，論文流暢明朗，絕少晦澀的特點。
徐利治研究的面是比較廣的，而且對涉及領(lǐng)域的研究深度也是可觀的．如果僅僅從他的功底深、興趣廣、才能強等去尋找答案，那就可能流于表面地看問題了．正如陸游談詩時指出的“功夫在詩外”，徐利治數(shù)學(xué)上的造詣也應(yīng)從數(shù)學(xué)之外尋找答案．這除了可以找到他的非智力因素如志向、毅力、興趣等這些成大器必備的素質(zhì)，還在于他有一個博大精深的學(xué)術(shù)思想體系，包括數(shù)學(xué)教育思想、數(shù)學(xué)科研方法，以至數(shù)學(xué)美學(xué)觀、數(shù)學(xué)哲學(xué)論等，形成一個完整的數(shù)學(xué)系統(tǒng)論——介于哲學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)之間的一般方法論．不無遺憾的是，數(shù)學(xué)系統(tǒng)論只是潛隱在為數(shù)較少的“戰(zhàn)略”兼“戰(zhàn)術(shù)”型的數(shù)學(xué)家頭腦中．如果能將其抽取出來，系統(tǒng)地整理，奉獻于世，其意義將不可估量．
徐利治教授正誠心竭力地做著這件事，他不僅在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究上涉及哲學(xué)，而且用哲學(xué)思想指導(dǎo)科學(xué)研究．他嫻熟地分析概念發(fā)展的矛盾轉(zhuǎn)化過程，善于發(fā)掘寓于個性中的共性，常常高屋建瓴地從個別概念中抽象出普遍概念，從特殊結(jié)論中提煉出一般結(jié)論．他堅信數(shù)學(xué)的源在于客觀世界，而前人的成果只是數(shù)學(xué)的流；他認(rèn)為美不僅是文學(xué)家、藝術(shù)家的專利品，美也是數(shù)學(xué)探索的最佳境界．他分析了數(shù)學(xué)中的和諧美與奇異美，指出：“真是美的，而美未必真．”并且身體力行，用作為必要條件輔助檢驗數(shù)學(xué)成果的真?zhèn)危环矫嫠岢觯簲?shù)學(xué)直覺=美的直覺+關(guān)系直覺+真?zhèn)握嬗X；另一方面，他對數(shù)學(xué)創(chuàng)造力又補充了心理學(xué)家們提出的邏輯積公式：創(chuàng)造力=發(fā)散思維能力×透視本質(zhì)能力×有效知識量．徐篤信波利亞(Polya)關(guān)于數(shù)學(xué)知識具有“演繹與歸納二重性”的觀點，大力推行他的教育思想．徐不僅重視嚴(yán)格推演的邏輯思考過程，而且善于運用依據(jù)數(shù)值計算的直覺判斷方式．他針對數(shù)學(xué)發(fā)展中比比皆是的通過映射手段、反演求解的現(xiàn)象，首次歸納出關(guān)系、映射、反演一般原則，即所謂RMI原則，它具有一般方法論上的指導(dǎo)意義．在國內(nèi)，他首先開設(shè)數(shù)學(xué)方法論課程，并撰寫成書，這決不是把哲學(xué)方法論在數(shù)學(xué)研究上具體化的簡單對號，而是數(shù)學(xué)與研究方法的水乳交融，其中凝結(jié)著“吃草、反芻、消化”等一系列心血經(jīng)驗的結(jié)晶．在數(shù)學(xué)教學(xué)上，他十分強調(diào)“表現(xiàn)知識發(fā)生過程”的課程教學(xué)和相應(yīng)教材，以利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性；他倡議學(xué)數(shù)學(xué)的要學(xué)好文學(xué)、關(guān)心藝術(shù)，因為這不僅是提高文化素質(zhì)的手段之一，而且在于數(shù)學(xué)研究與文學(xué)、藝術(shù)的創(chuàng)造有許多內(nèi)在的相通之處，這有利于想象力、創(chuàng)造力的發(fā)揮．
不難看出，徐利治的知識廣博與其興趣的廣泛和博覽群書密切相關(guān)．其實，他的廣博的成果基于他“提綱”(以數(shù)學(xué)系統(tǒng)論為綱)“挈領(lǐng)”(數(shù)學(xué)諸領(lǐng)域)地建造了自己的知識結(jié)構(gòu)．
華羅庚曾說過：“在我的眾弟子中，徐利治的研究領(lǐng)域是最廣的，思想也是最活躍的．”華的評價是恰當(dāng)?shù)模欢摷暗茏�，徐利治只是華羅庚的一般學(xué)生，正如徐也是許寶騄、鐘開萊等人的學(xué)生一樣．嚴(yán)格講，徐利治無師——無導(dǎo)師，只有老師．相形之下，今天的年青人令人羨慕，他們有碩士導(dǎo)師、博士導(dǎo)師，而年青時的徐利治則沒有導(dǎo)師，他尋找課題、確定方向、研究投稿，全是自己完成的．沒有依靠任何一棵“大樹”來“乘涼”．后來，徐也是完全靠自己的學(xué)識找到了那么多研究方向，取得了大批成果．
盡管徐本人無導(dǎo)師，但是他的“嫡傳”弟子卻有他這樣一位和藹可親的導(dǎo)師．徐利治平易近人，沒有架子，講究學(xué)術(shù)民主，學(xué)問上不保守，瞧不起知識私有的慳吝之氣．他深信知識是屬于全人類的，對求教者毫無保留．在弟子眼中，他是良師益友、忘年之交．他還要求年輕人不要只向一位老師學(xué)習(xí)，而要博采眾長．他對中青年教師進行科研與教學(xué)指導(dǎo)，他親自帶的中青年助手進步很快，如王仁宏、朱梧槚、林龍威等人，其中王仁宏已是博士導(dǎo)師．1982年，徐利治、王仁宏、梁學(xué)章、周蘊時研究的“數(shù)值逼近與數(shù)值積分”獲國家自然科學(xué)三等獎．徐利治對于不是自己弟子的中青年知識分子也十分熱情，在學(xué)術(shù)上指導(dǎo)、幫助他們解決困難，樂于同他們合作．杭州大學(xué)中年博士導(dǎo)師王興華與徐利治交往甚厚，徐與王合著的再版《數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講》獲1988年國家優(yōu)秀教材獎．西安地區(qū)逼近論討論班，也一直得到徐利治的通信指導(dǎo)．
朱梧槚一畢業(yè)就被徐利治留校做助手．后來朱被錯劃為“右派”，遣送回江蘇老家．徐利治雖身處逆境，工資又降了兩級，可仍然經(jīng)常寄錢給他資助其生活．他們書信往來400多封，談思想、談學(xué)問．他們有共同的成果．由于徐利治研究面廣、學(xué)術(shù)民主和為人隨和，導(dǎo)致他的合作者很多．
徐利治在學(xué)術(shù)上有這么幾個特點：思想敏感，善于捕捉發(fā)展方向．例如：他60年代就強調(diào)逼近論應(yīng)搞多元和顯式結(jié)構(gòu)，后來該領(lǐng)域國際上的發(fā)展表明他的觀點是超前的；他興趣廣泛，喜歡瀏覽別人的工作，但思想又不受別人束縛，做到“進入內(nèi)，出于外”；他思想不保守，樂于支持新生事物．例如，國內(nèi)外有些學(xué)者認(rèn)為模糊集合論“膚淺”、“無價值”，認(rèn)為非標(biāo)準(zhǔn)分析“意義不大”，而徐利治則透過這門學(xué)科還沒有拆掉的“腳手架”，看到了它們的遠大前景，鼓勵年輕人從事這方面的研究；他工作起來專心致志，卻又富于類比，善于聯(lián)想，集“發(fā)散思維”與“收斂思維”于一身；他不怕計算，很有耐心地從繁復(fù)的計算中歸納規(guī)律，驗證結(jié)論．
他的成功要訣在于：青少年立志．而貧寒的家境、紛亂的年代又砥礪了他的意志，使之更堅，而學(xué)習(xí)的興趣則從另一方面強化了他的意志；自學(xué)能力的培養(yǎng)，使他在課堂學(xué)習(xí)之外，打下了堅實的基礎(chǔ)，尤其閱讀一些數(shù)學(xué)上的經(jīng)典著作，受到熏陶，能力隨知識的積累得到增長，學(xué)習(xí)中創(chuàng)造性得以增強；及時地在人生的叉路口以頑強的毅力抓住了機會．他興趣廣泛，思想活躍，永遠站在高處，時刻讓生動新鮮的學(xué)術(shù)觀點指導(dǎo)自己的研究．
徐利治 - 主要論著
1. 徐利治．《數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講》．北京：商務(wù)印書館，1955．（高等教育出版社，1958年重�。�1983年修訂版與王興華合作．）
2. 徐利治．《漸近積分與積分逼近》．北京：科學(xué)出版社，1958．（1960年第二版．）
3. 徐利治．《高維數(shù)值積分》．北京：科學(xué)出版社，1963．（1980年增訂版與周蘊時合作．）
4. 徐利治等．《函數(shù)逼近的理論與方法》．上海：上�？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983．
5. 徐利治等．《計算組合數(shù)學(xué)》．上海：上�？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983．
6. 徐利治．《數(shù)學(xué)方法論選講》．武漢：華中理工大學(xué)出版社，1983．（1988年第二版．）
7. 徐利治等．《逼近論方法》．北京：國防工業(yè)出版社，1986．
徐利治 - 任職情況
1920年9月23日 出生于江蘇省沙洲縣（今張家港市）。
1940年 入西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系。
1945—1946年 任西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系助教。
946—1949年 任清華大學(xué)助教、教員。
1949—1951年 獲英國文化委員會獎學(xué)金赴英國訪問、進修。
1951—1952年 任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，兼北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授。
1952—1980年 任吉林大學(xué)（原東北人民大學(xué)）副教授、教授，數(shù)學(xué)系副主任，教務(wù)長兼教務(wù)處長�！ �
1981年 任大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長，兼華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系主任，兼吉林大學(xué)教授。
1985—1986 年獲美國國家科學(xué)基金會（ＮＳＦ）資助赴美參加科學(xué)合作研究。
1986—1987年 任美國得克薩斯州Ａ＆Ｍ大學(xué)客座教授。
1987年—任 中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所學(xué)術(shù)顧問，南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所學(xué)術(shù)委員和中國數(shù)學(xué)會組合數(shù)學(xué)與圖論委員會主任。
徐利治 - 相關(guān)條目
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| 大連理工大學(xué) | 遼寧省 | 文化大革命 | 抗日戰(zhàn)爭 | 奧斯特洛夫斯基 |
徐利治 - 參考資料
1. http://www.best-study.cn/education/200701/20070112213336_55796.shtml
2. http://www.ziwu.org/bencandy.php?fid=63&id=12606
3. http://www.sdxxb.cn/Photo/ShowPhoto.asp?PhotoID=3
