中西古代數(shù)學(xué)的異同
從中西古代數(shù)學(xué)文化史的比較意義上分析，形成中西古代數(shù)學(xué)的兩種傾向：邏輯演繹傾向和機(jī)械化算法傾向，其作用與構(gòu)造差異主要是由文化系統(tǒng)賦予的文化層次及其價值取向的差異造成的，這兩種傾向的對立統(tǒng)一就構(gòu)成了數(shù)學(xué)自身內(nèi)在的矛盾運(yùn)動和發(fā)展動力。
數(shù)學(xué)文化史的研究表明，人類古代數(shù)學(xué)作為文化系統(tǒng)中一個操作運(yùn)演的子系統(tǒng)，從一開始就具有雙重功能（或稱為雙重特性），即數(shù)量性的功能和神秘性的功能（注：王憲昌，《數(shù)學(xué)與人類文明》，延安大學(xué)出版社，1990年第58-70頁。）。而不同民族文化中的數(shù)字或數(shù)學(xué)都在特定的文化氛圍中有某些神秘性，而且不同民族文化中的數(shù)學(xué)神秘性發(fā)展的道路是各不相同的。
在古希臘文化的發(fā)展中，原始數(shù)學(xué)始終沿著神秘性和數(shù)量性的雙重功能統(tǒng)一性繼承的軌道向前發(fā)展。古希臘數(shù)學(xué)與神秘性的結(jié)合，使得他們從宗教、哲學(xué)的層次追求數(shù)學(xué)的絕對性以及解釋世界的普遍性地位，這正是古希臘數(shù)學(xué)完全脫離實(shí)際問題，追求邏輯演繹的嚴(yán)謹(jǐn)性的文化背景。
因此，從數(shù)學(xué)文化史的意義上分析，發(fā)端于古希臘的西方數(shù)學(xué)不僅僅是一個數(shù)學(xué)意義的運(yùn)演操作系統(tǒng)，更主要的是它作為一種文化系統(tǒng)中起主導(dǎo)作用的理性解釋系統(tǒng)，或者稱之為一種理性構(gòu)造的規(guī)范模式。在西方文化中，西方數(shù)學(xué)解釋宇宙的變化，引導(dǎo)理性的發(fā)展，參與物質(zhì)世界的表述，任何學(xué)科的構(gòu)建都必須按照文化理性的要求模仿和運(yùn)用數(shù)學(xué)的模式。用數(shù)學(xué)解釋一切是西方數(shù)學(xué)在與其適應(yīng)的文化獲取的價值觀念。
在中國文化發(fā)展中，我國古代數(shù)學(xué)籌算操作的機(jī)械化運(yùn)演形成的計(jì)算體系來源于作為原始數(shù)學(xué)的竹棍操作運(yùn)演在歷史進(jìn)程中的演化。
中國古代是借助于竹棍為特定物進(jìn)行數(shù)字、數(shù)學(xué)操作運(yùn)演的民族。中國古代數(shù)學(xué)具有外算與內(nèi)算的雙重功能，即“算數(shù)萬物”的算術(shù)性功能和神秘主義的解釋性功能。
因此，中國古代數(shù)學(xué)不僅未形成以宗教、哲學(xué)的層次思辨自己的方法、結(jié)構(gòu)形式，而是形成了專司具體數(shù)學(xué)問題的特征。中國古代數(shù)學(xué)在文化傳統(tǒng)中的價值取向就是在籌算運(yùn)演機(jī)械重復(fù)的條件下盡力構(gòu)造簡明的運(yùn)演方法，準(zhǔn)確迅速地解決實(shí)踐提出的具體問題。
中國傳統(tǒng)的價值觀念以及籌算的技藝型價值取向，決定了中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展和構(gòu)造模式，這種籌算數(shù)學(xué)的價值取向保證了中國古代數(shù)學(xué)機(jī)械化特色的發(fā)展方向，注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的層次不斷發(fā)展，機(jī)械化的計(jì)算技術(shù)和水平不斷提高。中國古人借助于算籌這一特殊工具，將各種實(shí)際問題分門別類，進(jìn)行有效的布列和推演，在比率算法、“方程”術(shù)、開方術(shù)、割圓術(shù)、大衍求一術(shù)、天元術(shù)、四元術(shù)、垛積招差術(shù)等等方面都取得輝煌成果，在宋元時期數(shù)學(xué)達(dá)到高潮。元代以后發(fā)展的珠算制是籌算制的發(fā)展改革和繼續(xù)，可以說，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)量關(guān)系上是以算籌制為主線貫穿一起，以提高機(jī)械化的計(jì)算技術(shù)來解決實(shí)際問題為目標(biāo)的。同時，文化價值觀的傳統(tǒng)特點(diǎn)也造就了一批傳播和發(fā)展作為技藝數(shù)學(xué)的群體，這是促進(jìn)數(shù)學(xué)機(jī)械化發(fā)展的人才優(yōu)勢，尤其是在相對穩(wěn)定的文化環(huán)境中，其傳統(tǒng)價值觀念發(fā)揮了重要作用。
從文化價值系統(tǒng)發(fā)展的階段分析，我國的籌算體系和模式在宋元時期達(dá)到數(shù)學(xué)的高峰在很大程度上是算法機(jī)械化達(dá)到最高水平。賈憲三角和增乘開方法是對《九章》以來開方程序的重大提高和創(chuàng)造，秦九韶的正負(fù)開方術(shù)又把增乘開方法發(fā)展到十分完備的境地，其大衍求一術(shù)也是在歷代對“上元積年”推算基礎(chǔ)上將“物不知數(shù)”問題解法發(fā)展到最一般的機(jī)械化程序。李冶的天元術(shù)更是對列方程算法的重大改進(jìn)和突破，同時也是幾何代數(shù)化思想的完美體現(xiàn)。從天元術(shù)到四元術(shù)，是解一般高次方程向多元高次方程組發(fā)展的必然結(jié)果和要求。因此，我國在宋元時期算法機(jī)械化達(dá)到空前的高水平，是與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化價值觀的要求相一致的，是我國籌算文化排列模式和變換技術(shù)長期積累后的自然發(fā)展，它是我國籌算體系下的數(shù)學(xué)計(jì)算以快速、準(zhǔn)確、簡潔解決一類具體問題而發(fā)展自己的操作運(yùn)演的必然趨勢和結(jié)果。
評判中國古代數(shù)學(xué)時不應(yīng)當(dāng)依據(jù)西方數(shù)學(xué)的評價模式和價值標(biāo)準(zhǔn)
由上文對中西古代數(shù)學(xué)文化史的比較意義上分析，中西古代數(shù)學(xué)的作用與構(gòu)造差異主要是由文化系統(tǒng)賦予它的文化層次及其價值取向的差異造成的，可以說，西方數(shù)學(xué)著作的構(gòu)造模式及其理性作用是不會在中國文化中出現(xiàn)的，因此，在古今數(shù)千年的數(shù)學(xué)發(fā)展中，形成不同時期、不同地域的中西數(shù)學(xué)的兩種傾向：邏輯演繹傾向和機(jī)械化算法傾向都是歷史文化中的必然。以古希臘歐幾里德《幾何原本》為代表的邏輯演繹傾向和以《九章算術(shù)》為代表的機(jī)械化算法傾向交互作用，“輪流執(zhí)政”，共同以各自的構(gòu)造模式、思維方式、運(yùn)演規(guī)律及結(jié)構(gòu)特征對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。
從數(shù)學(xué)文化史的角度來說，中國技藝應(yīng)用型的操作運(yùn)演系統(tǒng)蘊(yùn)育了中國古代數(shù)學(xué)算法機(jī)械化的成功。中國數(shù)學(xué)以區(qū)別于西方數(shù)學(xué)的獨(dú)特風(fēng)格和特點(diǎn)，在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史、文明史上，燦爛的古希臘數(shù)學(xué)衰落之后，曾一度占據(jù)了世界數(shù)學(xué)研究的重心，直到14世紀(jì)初。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的輝煌成就標(biāo)志著籌算體系下的機(jī)械化算法的巨大成功，而元中期珠算盤和珠算術(shù)的應(yīng)用和發(fā)展是我國機(jī)械化算法體系的繼續(xù)，它是對算籌計(jì)算工具的重大改進(jìn)和發(fā)展，是對計(jì)算技術(shù)改革的歷史必然。珠算的普及應(yīng)用，大大提高了計(jì)算速度和效率，簡化了機(jī)械化的操作程序和繁瑣步驟，適應(yīng)了農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展對數(shù)學(xué)中大量繁雜計(jì)算的實(shí)際需要，因此，算盤和珠算術(shù)的出現(xiàn)和普遍應(yīng)用及其發(fā)展，同樣既是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的獨(dú)特創(chuàng)造的偉大發(fā)明，同時又是對世界科技和文明的重大貢獻(xiàn)。
然而，在對待中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和西方數(shù)學(xué)對世界科技和文明所作出的貢獻(xiàn)這個問題上，長期以來，人們使用的數(shù)學(xué)評判標(biāo)準(zhǔn)多數(shù)卻是在西方數(shù)學(xué)中形成的西方中心論。這種中心論者認(rèn)為當(dāng)代數(shù)學(xué)的巨大成就是沿著自古希臘人以來所走過的唯一一條王者之路而發(fā)展來的。沒有達(dá)到嚴(yán)格演繹的知識不能算為科學(xué)，只有西方數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系是近代科學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵性的必要條件。
西方中心論的評判標(biāo)準(zhǔn)的理論基礎(chǔ)是西方數(shù)學(xué)哲學(xué)，自覺或不自覺地把西方數(shù)學(xué)的模式思維方式和價值標(biāo)準(zhǔn)，作為評價世界上不同國家和地區(qū)數(shù)學(xué)（包括中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)乃至東方數(shù)學(xué)）與科學(xué)的唯一標(biāo)準(zhǔn)。從數(shù)學(xué)文化史的研究表明，在對待中國古代數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)上，這種判斷和比較不是在對中國古代數(shù)學(xué)理性思辨的基礎(chǔ)上形成的，忽略了中國竹棍式數(shù)學(xué)演化流變的文化特征與西方數(shù)學(xué)的文化差異。
總之，中西古代數(shù)學(xué)在其民族文化中價值觀念的差異，是我們數(shù)學(xué)史研究中應(yīng)當(dāng)十分注意的問題。在人類文化史中，人們可以發(fā)現(xiàn)每一種文化系統(tǒng)都有其特定的數(shù)學(xué)發(fā)展和構(gòu)造模式，對人類古代數(shù)學(xué)的比較，應(yīng)從不同文化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模式中，提煉出人類古代數(shù)學(xué)的共有規(guī)律，并以此為價值尺度來客觀、公正地評價。中國古代數(shù)學(xué)是在中國文化中產(chǎn)生發(fā)展的，它不會也不可能按照西方數(shù)學(xué)的模式來發(fā)展，因此我們評判中國古代數(shù)學(xué)時就不應(yīng)當(dāng)照搬西方數(shù)學(xué)的評價。
在中西文化的差異中，我們深刻地體會到，西方數(shù)學(xué)的模式不會也不可能是人類數(shù)學(xué)的唯一發(fā)展模式，西方數(shù)學(xué)的價值標(biāo)準(zhǔn)不應(yīng)該實(shí)際上也不可能成為人類古代數(shù)學(xué)唯一的評價標(biāo)準(zhǔn)。這正如像N.席文提問的那樣：“為什么評判非歐文明史總是以其是否或接近于歐洲早期科學(xué)或近代科學(xué)的某些方面為試金石，為什么早期歐洲科學(xué)無需檢驗(yàn)?zāi)兀俊?
中國古代數(shù)學(xué)
先秦萌芽時期
黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產(chǎn)生了第一個奴隸制國家──夏朝。其后有商、殷兩代（約1500B.C-1027B.C）、及周朝（1027B.C-221B.C）。歷史上又稱公元前八世紀(jì)至秦王朝的建立（221B.C）為春秋戰(zhàn)國時期。
據(jù)《易。系辭》記載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數(shù)文字，共有13個獨(dú)立符號，記數(shù)用合文書寫，其中有十進(jìn)位制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬。
算籌是中國古代的計(jì)算工具，而這種計(jì)算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。
用算籌記數(shù)，有縱、橫兩種方式：
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縱式
橫式
表示一個多位數(shù)字時，采用十進(jìn)位值制，各位值的數(shù)目從左到右排列，縱橫相間（法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當(dāng)），并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。
籌算直到十五世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。
在幾何學(xué)方面《史記。夏本記》中說夏禹治水時已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測量工具，并早已發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”這個勾股定理（西方稱畢氏定理）的特例。戰(zhàn)國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當(dāng)時手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范，包含了一些測量的內(nèi)容，并涉及到一些幾何知識，例如角的概念。
戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題，例如：“圓，一中同長也”、“平，同高也”等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。 《莊子》記載了惠施等人的名家學(xué)說和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題，強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想，例如“至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。
此外，講述陰陽八卦，預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽，并反映出二進(jìn)制的思想。
漢唐初創(chuàng)時期
這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數(shù)學(xué)發(fā)展，所經(jīng)歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。
秦漢是中國古代數(shù)學(xué)體系的形成時期。為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、理論化，數(shù)學(xué)方面的專書陸續(xù)出現(xiàn)。
西漢末年（公元前一世紀(jì)）編纂的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就：（1）提出勾股定理的特例及普遍形式；（2）測太陽高、遠(yuǎn)的陳子測日法，為后來重差術(shù)的先驅(qū)。此外，還有較復(fù)雜的開方問題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。
《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，約成書于東漢初年（公元一世紀(jì)）。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測量的計(jì)算等。在代數(shù)方面，《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則，在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載；書中關(guān)于線性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來說，它注重應(yīng)用，注重理論聯(lián)系實(shí)際，形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系，對中國古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過這些國家傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。
魏晉時期中國數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽和劉徽的工作被認(rèn)為是中國古代數(shù)學(xué)理論體系的開端。趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一，對《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術(shù)》，不僅對原書的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，且在論述過程中多有創(chuàng)新，更撰寫《海島算經(jīng)》，應(yīng)用重差術(shù)解決有關(guān)測量的問題。劉徽其中一項(xiàng)重要的工作是創(chuàng)立割圓術(shù)，為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法。
南北朝時期的社會長期處于戰(zhàn)爭和分裂狀態(tài)，但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。 《孫子算經(jīng)》 、 《夏侯陽算經(jīng)》 、 《張丘建算經(jīng)》就是這個時期的作品。《孫子算經(jīng)》給出“物不知數(shù)”問題，導(dǎo)致求解一次同余組問題；《張丘建算經(jīng)》的“百雞問題”引出三個未知數(shù)的不定方程組問題。
祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳，根據(jù)史料記載，他們在數(shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就：（1）計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為355/113；（2）得到祖日桓定理（冪勢既同，則積不容異）并得到球體積公式；（3）發(fā)展了二次與三次方程的解法。
隋朝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》，主要是討論土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉庫和地窖的計(jì)算問題。
唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有長足的發(fā)展。656年國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》 （包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》），作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。
此外，隋唐時期由于歷法需要，創(chuàng)立出二次內(nèi)插法，為宋元時期的高次內(nèi)插法奠定了基礎(chǔ)。而唐朝后期的計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及，出現(xiàn)很多種實(shí)用算術(shù)書，對于乘除算法力求簡捷。
宋元全盛時期
唐朝亡后，五代十國仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù)，直到北宋王朝統(tǒng)一了中國，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)（宋、元兩代），籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛，是中國古代數(shù)學(xué)空前繁榮，碩果累累的全盛時期。這一時期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》（11世紀(jì)中葉），劉益的《議古根源》（12世紀(jì)中葉），秦九韶的《數(shù)書九章》（1247），李冶的《測圓海鏡》（1248）和《益古演段》（1259），楊輝的《詳解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《楊輝算法》（1274-1275），朱世杰的《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）等等。
宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)，甚至是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有：
高次方程數(shù)值解法；
天元術(shù)與四元術(shù)，即高次方程的立法與解法，是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號，并用符號運(yùn)算來解決建立高次方程的問題；
大衍求一術(shù)，即一次同余式組的解法，現(xiàn)在稱為中國剩余定理；
招差術(shù)和垛積術(shù)，即高次內(nèi)插法和高階等差級數(shù)求和。
另外，其他成就包括勾股形解法新的發(fā)展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖（幻方）的研究、小數(shù)（十進(jìn)分?jǐn)?shù)）具體的應(yīng)用、珠算的出現(xiàn)等等。
這一時期民間數(shù)學(xué)教育也有一定的發(fā)展，以及中國和伊斯蘭國家之間的數(shù)學(xué)知識的交流也得到了發(fā)展。
西學(xué)輸入時期
這一時期從十四世紀(jì)中葉明王朝建立到二十世紀(jì)清代結(jié)束共500多年。數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面，當(dāng)中涉及到珠算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問題，不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。十六世紀(jì)末，西方初等數(shù)學(xué)開始傳入中國，使中國數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰(zhàn)爭后，近代高等數(shù)學(xué)開始傳入中國，中國數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入一個以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時期。直到十九世紀(jì)末，中國的近代數(shù)學(xué)研究才真正開始。
明代最大的成就是珠算的普及，出現(xiàn)了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》 （1592）問世，珠算理論已成系統(tǒng)，標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳，數(shù)學(xué)出現(xiàn)長期停滯。
隋及唐初，印度數(shù)學(xué)和天文學(xué)知識曾傳入中國，但影響較細(xì)。到了十六世紀(jì)末，西方傳教士開始到中國活動，和中國學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷（1607），其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術(shù)。此外，《幾何原本》課本中絕大部分的名詞都是首創(chuàng)，且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此之前，三角學(xué)只有零星的知識，而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測》（2卷，1631）、《割圓八線表》（6卷）和羅雅谷的《測量全義》（10卷，1631）。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》（137卷，1629-1633）中，介紹了有關(guān)圓椎曲線的數(shù)學(xué)知識。
入清以后，會通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎，他堅(jiān)信中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“必有精理”，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數(shù)學(xué)，使之在中國扎根，對清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。
徐光啟和利馬竇
清康熙帝愛好科學(xué)研究，他“御定”的《數(shù)理精蘊(yùn)》（53卷，1723），是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書，對當(dāng)時的數(shù)學(xué)研究有一定影響。
干嘉年間形成一個以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派，編成《四庫全書》，其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書》和宋元時期的著作，為保存瀕于湮沒的數(shù)學(xué)典籍做出重要貢獻(xiàn)。
在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時，許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造，例如有“談天三友”之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》（約1859）中得到三角自乘垛求和公式，現(xiàn)在稱之為“李善蘭恒等式”。這些工作較宋元時期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷（1795-1810），開數(shù)學(xué)史研究之先河。
1840年鴉片戰(zhàn)爭后，閉關(guān)鎖國政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)“算學(xué)”，上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館，由此開始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷（1857），使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數(shù)學(xué)》13卷（1859）；《代微積拾級》18卷（1859）。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷（1872），《微積溯源》8卷（1874），《決疑數(shù)學(xué)》10卷（1880）等。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語，至今仍在應(yīng)用。
1898年建立京師大學(xué)堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學(xué)校教育，使用的課本也與西方其他各國相仿。
近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時期
這一時期是從20世紀(jì)初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標(biāo)志劃分為兩個階段。
中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開始于清末民初的留學(xué)活動。較早出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來（1915年轉(zhuǎn)留法），1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第一位獲得博士學(xué)位的中國數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時建立的數(shù)學(xué)系，1920年姜立夫在天津南開大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(xué)（今南京大學(xué)）和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系，不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系，到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵（1927）、陳省身（1934）、華羅庚（1936）、許寶�。�1936）等人，他們都成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時外國數(shù)學(xué)家也有來華講學(xué)的，例如英國的羅素（1920），美國的伯克霍夫（1934）、奧斯古德（1934）、維納（1935），法國的阿達(dá)馬（1936）等人。1935年中國數(shù)學(xué)會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年《中國數(shù)學(xué)會學(xué)報(bào)》和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問世，這些標(biāo)志著中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。
主要著作
《張丘建算經(jīng)》
《張丘建算經(jīng)》三卷，據(jù)錢寶琮考，約成書于公元466～485年間.張丘建,北魏時清河(今山東臨清一帶)人,生平不詳。最小公倍數(shù)的應(yīng)用、等差數(shù)列各元素互求以及“百雞術(shù)”等是其主要成就�！鞍匐u術(shù)”是世界著名的不定方程問題。13世紀(jì)意大利斐波那契《算經(jīng)》、15世紀(jì)阿拉伯阿爾·卡西<<算術(shù)之鑰》等著作中均出現(xiàn)有相同的問題。
《四元玉鑒》
朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）�！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展�！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）
《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》
賈憲：〈〈黃帝九章算經(jīng)細(xì)草〉〉
中國古典數(shù)學(xué)家在宋元時期達(dá)到了高峰，這一發(fā)展的序幕是“賈憲三角”（二項(xiàng)展開系數(shù)表）的發(fā)現(xiàn)及與之密切相關(guān)的高次開方法（“增乘開方法”）的創(chuàng)立。賈憲，北宋人，約于1050年左右完成〈〈黃帝九章算經(jīng)細(xì)草〉〉，原書佚失，但其主要內(nèi)容被楊輝（約13世紀(jì)中）著作所抄錄，因能傳世。楊輝〈〈詳解九章算法〉〉（1261）載有“開方作法本源”圖，注明“賈憲用此術(shù)”。這就是著名的“賈憲三角”，或稱“楊輝三角”�！础丛斀饩耪滤惴ā怠低瑫r錄有賈憲進(jìn)行高次冪開方的“增乘開方法”。
賈憲三角在西方文獻(xiàn)中稱“帕斯卡三角”，1654年為法國數(shù)學(xué)家 B·帕斯卡重新發(fā)現(xiàn)。
《數(shù)書九章》
秦九韶：〈〈數(shù)書九章〉〉
秦九韶（約1202～1261），字道吉，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州（今廣東梅縣），不久死于任所。秦九韶與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。他早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成著名的〈〈數(shù)書九章〉〉�！础磾�(shù)書九章〉〉全書共18卷，81題，分九大類（大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易）。其最重要的數(shù)學(xué)成就——“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余組解法）與“正負(fù)開方術(shù)”（高次方程數(shù)值解法），使這部宋代算經(jīng)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。
《測圓海鏡》
李冶：《測圓海鏡》——開元術(shù)
隨著高次方程數(shù)值求解技術(shù)的發(fā)展，列方程的方法也相應(yīng)產(chǎn)生，這就是所謂“開元術(shù)”。在傳世的宋元數(shù)學(xué)著作中，首先系統(tǒng)闡述開元術(shù)的是李冶的《測圓海鏡》。
李冶（1192～1279）原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學(xué)，被元世祖忽必烈聘為翰林學(xué)士，僅一年，便辭官回家。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的就是說明用開元術(shù)列方程的方法。“開元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”，可以說是符號代數(shù)的嘗試。李冶還有另一部數(shù)學(xué)著作《益古演段》（1259），也是講解開元術(shù)的。
《九章重差圖》
劉徽： 《海島算經(jīng)》 《九章算術(shù)注》 《九章重差圖》
263年左右，六會發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的變數(shù)無限增加時，多邊形的面積則可無限逼近圓面積，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周
合體而無所失矣。”劉徽采用了以直代曲、無限趨近、“內(nèi)外夾逼”的思想，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”
《重差》原為《九章算術(shù)注》的第十卷，即后來的《海島算經(jīng)》，內(nèi)容是測量目標(biāo)物的高和遠(yuǎn)的計(jì)算方法。重差法是測量數(shù)學(xué)中的重要方法。
祖沖之：（公元429年─公元500年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。他當(dāng)時就把圓周 率 精確到小數(shù)點(diǎn)后7位(3.1415926<圓周率<3.1415927)，比西方領(lǐng)先了1500年，并得出355/113的密率，22/7的約率。寫書《綴術(shù)》，記載了他計(jì)算圓周率的方法，不過已經(jīng)失傳。
數(shù)學(xué)名言
數(shù)統(tǒng)治著宇宙。 ——畢達(dá)哥拉斯
數(shù)學(xué)，科學(xué)的女皇；數(shù)論，數(shù)學(xué)的女皇。 ——Cu2022Fu2022高斯
上帝創(chuàng)造了整數(shù)，所有其余的數(shù)都是人造的。 ——Lu2022克隆內(nèi)克
上帝是一位算術(shù)家 ——雅克比
一個沒有幾分詩人氣的數(shù)學(xué)家永遠(yuǎn)成不了一個完全的數(shù)學(xué)家。——維爾斯特拉斯
純數(shù)學(xué)這門科學(xué)再其現(xiàn)代發(fā)展階段，可以說是人類精神之最具獨(dú)創(chuàng)性的創(chuàng)造�！獞训潞�
可以數(shù)是屬統(tǒng)治著整個量的世界，而算數(shù)的四則運(yùn)算則可以看作是數(shù)學(xué)家的全部裝備�！溈怂鬼f
數(shù)論是人類知識最古老的一個分支，然而他的一些最深奧的秘密與其最平凡的真理是密切相連的�！访芩�
無限！再也沒有其他問題如此深刻地打動過人類的心靈。——Du2022希爾伯特
發(fā)現(xiàn)每一個新的群體在形式上都是數(shù)學(xué)的，因?yàn)槲覀儾豢赡苡衅渌闹笇?dǎo)。——Cu2022Gu2022達(dá)爾文
宇宙的偉大建筑是現(xiàn)在開始以純數(shù)學(xué)家的面目出現(xiàn)了。——Ju2022Hu2022京斯
這是一個可靠的規(guī)律，當(dāng)數(shù)學(xué)或哲學(xué)著作的作者以模糊深奧的話寫作時，他是在胡說八道�！狝u2022Nu2022懷德海
給我五個系數(shù)，我將畫出一頭大象；給我六個系數(shù)，大象將會搖動尾巴�！狝u2022Lu2022柯西
純數(shù)學(xué)是魔術(shù)家真正的魔杖�！Z瓦列斯
如果誰不知道正方形的對角線同邊是不可通約的量，那他就不值得人的稱號。——柏拉圖
整數(shù)的簡單構(gòu)成，若干世紀(jì)以來一直是使數(shù)學(xué)獲得新生的源泉�！狦u2022Du2022伯克霍夫
一個數(shù)學(xué)家越超脫越好�！獰o名氏
數(shù)學(xué)不可比擬的永久性和萬能性及他對時間和文化背景的獨(dú)立行是其本質(zhì)的直接后果�！狝u2022埃博
近現(xiàn)代以來，我國對于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究取得的成果并不大，只有老一輩的陳景潤等佇立在世界數(shù)學(xué)的最高峰，但是年輕一輩沒有突出的數(shù)學(xué)大家。
