對(duì)于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩文選》﹝The Greek anthology﹞【這是公元500年前后的遺物，大部份為語法學(xué)家梅特羅多勒斯﹝Metrodorus﹞所輯，其中有46首和代數(shù)問題有關(guān)的短詩﹝epigram﹞】。亞歷山大時(shí)期的丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了極其重要的作用，對(duì)后來的數(shù)論學(xué)者有很深的影響。丟番圖的《算術(shù)》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程�，F(xiàn)在對(duì)于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數(shù)論的一個(gè)分支。不過丟番圖并不要求解答是整數(shù)，而只要求是正有理數(shù)。 從另一個(gè)角度看，《算術(shù)》一書也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍。代數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算。就引入未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)未知數(shù)的符號(hào)，以及建立方程的思想﹝雖然未有現(xiàn)代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù)。 希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣。一切代數(shù)問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來，擺脫了幾何的羈絆。他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹一幟。他被后人稱為『代數(shù)學(xué)之父』（還有韋達(dá)）不無道理。

《算術(shù)》共有13卷，但15世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的希臘文本僅6卷。1973年伊朗境內(nèi)的馬什哈德又發(fā)現(xiàn)了4卷阿拉伯文，這樣，現(xiàn)存的算術(shù)只有10卷，共290個(gè)問題。

《算術(shù)》具有東方的色彩，用純分析的角度處理數(shù)論問題。這是希臘算術(shù)與代數(shù)的最高途徑。它傳到歐洲是比較晚的。16世紀(jì)，胥蘭德翻譯出版了拉丁文《算術(shù)》。其后，巴歇出版了經(jīng)他校訂的希臘文——拉丁文對(duì)照本，這使得費(fèi)馬走向近代數(shù)論之路，他在這個(gè)本子上寫了許多批注，包括著名的費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬的兒子將全部批注插入正文，與1670年再版。

丟番圖的出生日期不可考，但他的墓碑上有很經(jīng)典的一道數(shù)學(xué)題目：

"墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。

上帝給予的童年占六分之一，

又過了十二分之一，兩頰長胡，

再過七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。

五年之后天賜貴子，

可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。

悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過了四年，他也走完了人生的旅途。

終于告別數(shù)學(xué)，離開了人世。

與其有關(guān)的問題

1.丟番圖的壽命：

解：x-[(1÷6）x+（1÷12）x+（1÷7）x+5+（1÷2）x+4] =0

x-[1/6x+1/12x+1/7x+5+0.5x+4]=0

x-[25/28x+5+4]=0

x-25/28x-9=0

x-25/28x=9

3/28x=9

x=84

答：由此可知丟番圖活了84歲。

2.丟番圖開始當(dāng)爸爸的年齡：

84×（1÷6+1÷12+1÷7）+5=38（歲）

答：丟番圖開始當(dāng)爸爸的年齡為38歲。

3.兒子死時(shí)丟番圖的年齡：

84-4=80（歲）

答：兒子死時(shí)丟番圖的年齡為80歲。

公元3世紀(jì)前后，亞歷山大學(xué)派的學(xué)者丟番圖發(fā)現(xiàn)1，33，68，105中任何兩數(shù)之積再加上256，其和皆為某個(gè)有理數(shù)的平方。在丟番圖的上述發(fā)現(xiàn)約1300年后，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)數(shù)組：1，3，8，120中任意兩數(shù)之積再加上1后，其和均為完全平方數(shù)。此后，其神秘的面紗才逐步揭開。但問題也許并沒有完，人們也許還自然會(huì)想到：1，有上述性質(zhì)的數(shù)組中，數(shù)的個(gè)數(shù)是否能超越四個(gè)。2，有無這樣的數(shù)組，在兩兩相乘后加其它數(shù)后，還能為完全平方數(shù)。

對(duì)于任給的n個(gè)正整數(shù) a_1,a_2,…,a_n,總存在一個(gè)實(shí)數(shù) x,使得u2016a_ixu2016≥1/(n+1),i=1,2,…,n,成立,我們給出如下更一般的猜想:對(duì)于任給的 n 個(gè)正數(shù) a_1,a_2,…,a_n,總存在n個(gè)整數(shù) k_1,k_2,…,k_n,使得a_ik_j-a_jk_i≤n/(n+1)a_j-1/(n+1)a_i,對(duì)任給的i,j∈{1,2,…,n}成立、并且對(duì)更一般的猜想作了一些研究,給出了n=2,3 時(shí)的證明,其方法較以前完全不同.