簡介
安德雷·安德耶維齊·馬爾可夫АндрейАндреевичМарков（1856年6月14日－1922年7月20日）， 俄國 數(shù)學(xué)家。出生于 梁贊，他的父親是一位中級(jí)官員，后來舉家遷往 圣彼得堡。1874年馬爾可夫入 圣彼得堡大學(xué)，師從 切比雪夫，畢業(yè)后留校任教。1886年當(dāng)選為圣彼得堡科學(xué)院院士。馬爾可夫的主要研究領(lǐng)域在 概率和 統(tǒng)計(jì)方面。他的研究開創(chuàng)了 隨機(jī)過程這個(gè)新的領(lǐng)域，以他的名字命名的 馬爾可夫鏈在 現(xiàn)代工程、 自然科學(xué)和 社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域都有很廣泛的應(yīng)用。
馬爾可夫1922年逝世于圣彼得堡。他的同名兒子A·A·小馬爾可夫也是一位著名數(shù)學(xué)家。
馬爾可夫是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的代表人物。以數(shù)論和概率論方面的工作著稱。他的主要著作有《概率演算》等。在數(shù)論方面，他研究了連分?jǐn)?shù)和二次不定式理論 ，解決了許多難題 。在概率論中，他發(fā)展了矩法，擴(kuò)大了大數(shù)律和中心極限定理的應(yīng)用范圍。馬爾可夫最重要的工作是在1906～1912年間，提出并研究了一種能用數(shù)學(xué)分析方法研究自然過程的一般圖式——馬爾可夫鏈。同時(shí)開創(chuàng)了對(duì)一種無后效性的隨機(jī)過程——馬爾可夫過程的研究。馬爾可夫經(jīng)多次觀察試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換過程中第n次轉(zhuǎn)換獲得的狀態(tài)常決定于前一次（第（n-1）次）試驗(yàn)的結(jié)果。馬爾可夫進(jìn)行深入研究后指出：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，由一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)至另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過程中，存在著轉(zhuǎn)移概率，并且這種轉(zhuǎn)移概率可以依據(jù)其緊接的前一種狀態(tài)推算出來，與該系統(tǒng)的原始狀態(tài)和此次轉(zhuǎn)移前的馬爾可夫過程無關(guān)。目前，馬爾可夫鏈理論與方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)和公用事業(yè)中。
生平
早年成長
1856年6月14日， 梁贊省林業(yè)廳六等文官馬爾科夫的妻子生下一個(gè)男孩，這就是19世紀(jì)末至20世紀(jì)初對(duì)俄國科學(xué)和民主進(jìn)步事業(yè)都作出巨大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家安德烈·安德列耶維奇·馬爾科夫（1856－1922）。
梁贊與莫斯科毗鄰，自古就是俄羅斯中部富饒的谷倉。蒼綠的林海和金黃的麥田復(fù)蓋著廣袤的大地，蜿蜒的奧卡河靜靜地流過省會(huì)梁贊市，給這座城市帶來繁榮與生機(jī)。但是老馬爾科夫在生活上和官場中都不得意，他結(jié)過兩次婚，共生育了五男四女，一大家子的衣食溫飽，象座山似地壓在他瘦弱的肩上。然而命運(yùn)多蹇，老實(shí)人后來在官場遭人誣陷被迫辭職，一家人只好遷居彼得堡另謀生路，這一年馬爾科夫剛滿五歲。
中學(xué)時(shí)代開始了，馬爾科夫被送到彼得堡第五中學(xué)。這是一所完全按照東正教的陳規(guī)陋俗來治理的學(xué)校。對(duì)于正在長身體和求知欲不斷高漲的孩子們，學(xué)校的要求是連篇累犢地背誦希臘及拉丁文，外加各種祈禱與懺悔儀式。馬爾科夫厭惡這種令人窒息的環(huán)境，除了數(shù)學(xué)以外，他對(duì)學(xué)校里的其它課程都不感興趣。馬爾科夫有兩個(gè)姐姐也在這所學(xué)校讀書，她們的經(jīng)典和操行總是得到老師的表揚(yáng)，唯獨(dú)桀驁不訓(xùn)的馬爾科夫總是不能引起老師的好感。為此父親常被校長招到學(xué)校，為他承受那令人難堪的嘲諷與訓(xùn)斥。
但是馬爾科夫絕不是那種除了數(shù)學(xué)就什么都不懂的怪坯子，他對(duì)社會(huì)問題的關(guān)心以及對(duì)于人文科學(xué)的熱愛貫穿其生命的始終。正是在第五中學(xué)時(shí)，他讀了大量課外作品──那既不是教師推薦的羅馬編年史，也不是廉價(jià)的法國愛情小說，而是一些高年級(jí)學(xué)生偷偷帶到學(xué)校里來的進(jìn)步讀物。為此他與校方發(fā)生了嚴(yán)重的沖突。
馬爾科夫的言行逐漸引起了學(xué)校當(dāng)局的注意，父親被傳喚的次數(shù)越來越多了。就在臨近畢業(yè)的那個(gè)學(xué)期，危機(jī)終于爆發(fā)出來。在一次例行的祈禱儀式臨近結(jié)束時(shí)，心不在焉的馬爾科夫把《圣經(jīng)》匆匆地塞進(jìn)口袋，只盼著趕快跑到庭院里去輕松一下，一直在監(jiān)視他的學(xué)監(jiān)突然出現(xiàn)在他面前，氣勢洶洶地指責(zé)他破壞了宗教儀式的肅穆氣氛。學(xué)生中一片喧嘩，儀式草草收?qǐng)�。馬爾科夫則被帶到校長室，被斥為無神論者和無政府主義分子，揚(yáng)言要立即開除學(xué)籍。父親聞?dòng)嵹s來，再三地賠禮道歉才算平息了這場風(fēng)波。
良師益友
1874年，馬爾科夫考入了神往已久的彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，從此脫離那個(gè)令人感到壓抑的環(huán)境，開始在絢麗多姿的數(shù)學(xué)王國里自由地呼吸。1878年，馬爾科夫以優(yōu)異成績畢業(yè)并留校任教，畢業(yè)論文《以連分?jǐn)?shù)解微分方程》獲得當(dāng)年系里的金質(zhì)獎(jiǎng)。兩年后他完成了《關(guān)于雙正定二次型》的碩士論文，并正式給學(xué)生開課。又過了兩年，他開始考慮博士論文，后以《關(guān)于連分?jǐn)?shù)的某些應(yīng)用》于1884年通過正式答辯。
十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)就是學(xué)派的興起。誕生在法蘭西大革命風(fēng)暴中的 巴黎學(xué)派仍雄踞數(shù)壇，他們勇于開拓新的研究方向，富有創(chuàng)造激情，在函數(shù)論、數(shù)學(xué)物理、幾何、拓?fù)渑c群論等領(lǐng)域總是走在別人的前面。長于哲學(xué)思辨的德國人則特別重視數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，“算術(shù)化”成了 柏林學(xué)派的戰(zhàn)斗旗幟；當(dāng)然，柏林人不象巴黎人那樣輕視“外省人”，在波恩、萊比錫和格廷根都出現(xiàn)了引入注意的數(shù)學(xué)家群體──特別是最后那座小城，不久就要取代巴黎成為數(shù)學(xué)的耶路撒冷。自負(fù)的英國人也開始從固步自封的舊夢中覺醒，在牛頓（ I. Newton,1642－1727 ) 的母校冒出了一個(gè)“分析學(xué)會(huì)”，會(huì)中的年輕人竟敢頂著褻瀆神圣的罪名去推廣德國人萊布尼茨（ G.W.Leibniz,1646－1716 ) 的微積分符號(hào)，19世紀(jì)英國人在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就于此不無關(guān)系。在文藝復(fù)興的故鄉(xiāng)，一個(gè)以幾何與拓?fù)錇橥黄瓶诘男乱獯罄麑W(xué)派正在成長。
按照新意大利學(xué)派第二代領(lǐng)袖沃爾特拉（V.Volterra,1860－1940）的說法，這一學(xué)派的誕生可以溯源于布廖斯奇 ( E. Brioschi,1824－1897） 和貝蒂 ( E. Betti,1823－1892） 1858年的德、法之行。但是在俄國歷史上卻很難找到一個(gè)足以標(biāo)志彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派呱呱落地的事件。有人將俄國數(shù)學(xué)的進(jìn)步追溯到1727年瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（ L. Euler,1707－1783） 前來彼得堡科學(xué)院供職，也有人將之歸因于布尼亞科夫斯基、奧斯特洛格拉特斯基（1801-1862 ) 等人從法國留學(xué)回來從事數(shù)學(xué)教育，然而真正使彼得堡與數(shù)學(xué)結(jié)緣的卻是切比雪夫和他的弟子們。
彼得堡所在的地方原先只是波羅的海芬蘭灣東端的一個(gè)小漁村，為了顯示其向西方學(xué)習(xí)的決心并打開通向波羅的海的通道，彼得大帝（ Peter I The Great,1672－1725） 于1703年在此建立了一個(gè)軍事要塞，更于1712年將首都從莫斯科遷到這里。在彼得大帝宏偉的政治經(jīng)濟(jì)改革藍(lán)圖中，有一項(xiàng)仿效西方建立科學(xué)院的計(jì)劃，但是由于種種原因，直到他去世的1725年，這個(gè)柏林科學(xué)院的翻版才正式問世。早期的院士中不乏知名的數(shù)學(xué)家，如貝努利家族的尼古拉第三 ( Nicolaus III Bernoulli) 和丹尼爾 ( Daniel Bernoulli,1700－1782）、哥德巴赫 ( C.Goldbach,1690－1764） 以及歐拉（ L. Euler,1707－1783） 等，但是他們都是外國人。當(dāng)時(shí)俄羅斯數(shù)學(xué)的土壤是貧瘠的：沒有土生土長的數(shù)學(xué)家，沒有能夠引起其他國家數(shù)學(xué)家注意的成果，沒有一所大學(xué)，甚至連一本象樣的初等數(shù)學(xué)教科書都沒有。
彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派是伴隨著 切比雪夫幾十年的舌耕筆耘成長壯大的。自1846年接受助教職位到1882年以終身榮譽(yù)教授的身份退休，切比雪夫在彼得堡大學(xué)執(zhí)鞭達(dá)三十五年之久，即使退休之后他還繼續(xù)從事研究并培養(yǎng)研究生。他的講課深受學(xué)生們的歡迎，那絕不是經(jīng)院式的說教，而是充滿啟發(fā)性評(píng)論的對(duì)基本原理和方法的敘述，正如他的高足李雅普諾夫 （1857－1918） 描述的那樣，“他在課堂上即興給出的一個(gè)評(píng)論，往往與聽講者冥冥求索的某個(gè)問題有關(guān)，因?yàn)樗麑?duì)弟子們的水平和思想活動(dòng)了如指掌。因而他的講課極具感染力，每堂課都使學(xué)生們獲益良多�！苯虒W(xué)之外，切比雪夫本人在數(shù)學(xué)的若干領(lǐng)域也作出了開拓性的貢獻(xiàn)，特別是在數(shù)論、概率論和函數(shù)逼近論方面。他是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派當(dāng)之無愧的領(lǐng)袖。
成就榮譽(yù)
1、從數(shù)論到經(jīng)典分析
馬爾科夫入學(xué)不久就表現(xiàn)出其獨(dú)特的數(shù)學(xué)天賦，因此當(dāng)柯爾金和佐洛塔廖夫這兩位教師組織代數(shù)與數(shù)論的討論班時(shí)，他們毫不猶豫地把這個(gè)在中學(xué)時(shí)代就敢于向大權(quán)威談?wù)撟约喊l(fā)現(xiàn)的學(xué)生吸收進(jìn)來。馬爾科夫不負(fù)眾望，他的第一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)工作，就是沿著柯爾金和佐洛塔廖夫倆人所開辟的道路完成的。
型的理論是代數(shù)數(shù)論中的一個(gè)重要課題，歐拉、拉格朗日（ J . L. Lagrange,1736－1813）、高斯（C. F. Gauss,1777－1855）這些大數(shù)學(xué)家都曾為它付出艱辛的勞動(dòng)。二元二次型（亦稱雙二次型）是二次型中最簡單的一種形式，在給定其判別式的條件下，尋找二次型的極值是一件十分有意義而又相當(dāng)棘手的工作，若干年來雖然有一些進(jìn)展，但是疑點(diǎn)仍然不少。柯爾金和佐洛塔廖夫給出了與判別式相關(guān)的兩類雙二次型的最小值的近似估計(jì)，這一結(jié)果得到當(dāng)時(shí)法國著名數(shù)學(xué)家埃爾米特（C. Hermite,1822－1901）的高度評(píng)價(jià)。
馬爾科夫1880年的碩士論文就是對(duì)這一結(jié)果的徹底完善化。他證明了兩位老師找到的數(shù)值不過是一個(gè)收斂于常數(shù)的正無窮遞減數(shù)列中的前兩項(xiàng)，而該數(shù)列通項(xiàng)的值則取決于一個(gè)三元二次不定方程在某些附加條件下的整數(shù)解。他還給出了由此類不定方程的解來計(jì)算通項(xiàng)的具體方法，從而建立了二次型表示論與著名的丟番圖方程的聯(lián)系。這樣，馬爾科夫就徹底地搞清了判別式大于零時(shí)不定雙二次型最小值的分布情況，極大地推進(jìn)了柯爾金和佐洛塔廖夫的結(jié)果。
在這項(xiàng)研究中，馬爾科夫已表現(xiàn)出了切比雪夫等前輩學(xué)者對(duì)他的影響，那就是善于聯(lián)系經(jīng)典問題、充分利用初等工具、追求解的精確性、實(shí)用性以及不畏繁復(fù)計(jì)算等鮮明的彼得堡風(fēng)格。論文附有一個(gè)包括前20個(gè)通項(xiàng)值計(jì)算程序和結(jié)果的大表，每一行數(shù)據(jù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)雜的丟番圖方程。甚至早期彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的一個(gè)缺點(diǎn)在這項(xiàng)研究中也有所反映，那就是馬爾科夫完全排斥了幾何背景，因?yàn)樗斜妊┓蛞粯討岩蓭缀握Z言的嚴(yán)密性。其實(shí)，在型表示論中借用幾何語言是最自然不過了，高斯關(guān)于三元二次型幾何意義的說明被認(rèn)為是閔可夫斯基（H. Minkowski,1864－1909）關(guān)于數(shù)的幾何理論的開端，早期彼得堡數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域可謂失之交臂。
雙二次型最小值的分布搞清楚以后，馬爾科夫開始注意多個(gè)變?cè)亩涡�，只是由于教�?wù)倥傯，直到十一年后才發(fā)表了進(jìn)一步的研究成果。1901年，他在《關(guān)于不定三元二次型》中給出了該類型的前四種極值形式（其中一種也為柯爾金所得到）。1909年，他匯集了自己關(guān)于三元二次型的成果，出版了包括所有判別式不大于50的三元二次型最新數(shù)據(jù)在內(nèi)的專著。這些工作都是伴隨著大量復(fù)雜的計(jì)算進(jìn)行的，馬爾科夫不僅通過計(jì)算提供了問題的解，而且對(duì)于發(fā)展計(jì)算方法也做出了貢獻(xiàn)。以后他又研究了四元二次型，并得到其極值的前兩種形式。
代數(shù)數(shù)論中的另一個(gè)重要課題是關(guān)于理想的理論。1843年，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷獱?( E. E. Kummer,1810－1893） 在企圖證明費(fèi)爾馬大定理的壯舉中被一道小河溝擋住了�？催^他手稿的狄里克萊 ( P. L. Dirichlet,1805－1859） 不客氣地指出，代數(shù)域上的素因子分解唯一性定理對(duì)代數(shù)數(shù)不一定成立，而素因子唯一分解的假定對(duì)于他的證明又是絕對(duì)必要的。為了克服這一障礙，庫莫爾開始在一系列論文中創(chuàng)立和發(fā)展一種叫做理想的理論，借助理想數(shù)來實(shí)現(xiàn)代數(shù)域上素因子的唯一分解，從此對(duì)理想的研究在一個(gè)時(shí)期內(nèi)達(dá)到高潮。佐洛塔廖夫曾致力于三次方根域上理想素因子的分解，可惜這位英華早發(fā)的學(xué)者三十一歲就逝世了。在為紀(jì)念佐洛塔廖夫而出版的文集中，馬爾科夫給出了三次方根域上理想素因子分解的當(dāng)時(shí)最好結(jié)果。
馬爾科夫等人在代數(shù)數(shù)論方面的工作與切比雪夫在解析數(shù)論方面的工作一起，確立了彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派在數(shù)論領(lǐng)域的領(lǐng)先地位。但他并不以此為滿足，而是很快地把目標(biāo)轉(zhuǎn)向一系列更廣的數(shù)學(xué)題材，特別是在經(jīng)典分析領(lǐng)域做出了新的貢獻(xiàn)。
1833年，法國一個(gè)不太出名的數(shù)學(xué)家比內(nèi)梅（J. Bienayme,1796－1878） 向巴黎科學(xué)院遞交的一篇論文中，將力學(xué)中矩的概念作了推廣，但文章直到三十四年后才在劉維爾 ( J. Liouville,1809－1882）的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上刊登出來。切比雪夫立即意識(shí)到矩的研究具有重要意義，并試圖在對(duì)概率論極限定理的證明中應(yīng)用這一工具。他在1874年寫成的論文《關(guān)于積分的極限值》中，借助于矩給出了某類非負(fù)函數(shù)積分以連分?jǐn)?shù)形式表達(dá)的極值不等式，但沒有證明。1884年馬爾科夫在《某些切比雪夫積分的證明》一文中，給出了這些不等式的嚴(yán)格證明，并在同年通過的博士論文的第三部分給出了切比雪夫問題的完整解答。
后來在概率論的研究中，馬爾科夫一再回到矩的問題上來，并對(duì)切比雪夫的矩問題作了許多深入的拓廣。他的這些工作，最初見于1876年發(fā)表的《連分?jǐn)?shù)的一些新應(yīng)用》，而后又在1897年的一系列論文中作了進(jìn)一步的闡述，其中最為重要的一篇是《關(guān)于矩的一個(gè)L問題》
幾乎在馬爾科夫證明切比雪夫不等式的同時(shí)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯提吉斯（Th. J. Stieltjes,1856－1894） 也開始了同樣的研究，他在《關(guān)于所謂力學(xué)積分法的研究》一文中給出了與馬爾科夫類似的結(jié)果。一開始俄國數(shù)學(xué)界宣稱擁有優(yōu)先權(quán)，斯提吉斯則聲稱自己沒看到馬爾科夫的論文，也不知道切比雪夫原先提出的問題。事實(shí)也的確是這樣。問題搞清楚以后，馬爾科夫與斯提吉斯成了很好的朋友，他們寄書鴻雁，頻繁地交流各自在矩理論以及有關(guān)內(nèi)插法、構(gòu)造積分、余項(xiàng)估價(jià)和連分?jǐn)?shù)等方面的新成果，這種關(guān)系一直持續(xù)到斯提吉斯逝世。就在去世前不外，斯提吉斯發(fā)表了帶有綜述性質(zhì)的《關(guān)于連分?jǐn)?shù)的研究》，其中解決了無窮區(qū)間上的矩問題，并且給出了所要尋找的函數(shù)的一切整數(shù)階矩的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。作為回答與對(duì)好友的紀(jì)念，馬爾科夫于1895年發(fā)表了《關(guān)于某些連分?jǐn)?shù)收斂性的兩個(gè)證明》，在其中給出了斯提吉斯連分?jǐn)?shù)收斂的充分條件。
十余年來，馬爾科夫和斯提吉斯共同研究矩的理論。他們都是從經(jīng)典分析中的問題出發(fā)，企圖對(duì)積分的上、下界給出一個(gè)精確的估計(jì)，工作中又都大量運(yùn)用了連分?jǐn)?shù)這一工具，所以不謀而合與互相啟發(fā)的現(xiàn)象常常出現(xiàn)在倆人之間。但是馬爾科夫?qū)_的結(jié)果特別感興趣，不憚?dòng)诜睆?fù)的數(shù)字運(yùn)算，并把對(duì)于積分的估值應(yīng)用到概率論中，這是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派風(fēng)格之體現(xiàn)。而斯提吉斯更注意從一般的原則上去考察矩問題，他更關(guān)心的是積分形式的意義，而不是其估值的結(jié)果，從而導(dǎo)致了一類應(yīng)用廣泛的斯提吉斯積分的出現(xiàn)，為實(shí)變函數(shù)論的日后發(fā)展開辟了道路，這又很有些法蘭西數(shù)學(xué)學(xué)派的味道。
如同他的導(dǎo)師切比雪夫一樣，馬爾科夫?qū)?shí)際問題具有濃厚的興趣，他在函數(shù)逼近論方面的工作就是一例。出于化學(xué)理論上的需要，彼得堡大學(xué)的著名化學(xué)家、也就是元素周期律的發(fā)現(xiàn)者門捷列夫（1834－1907）曾提出過一個(gè)問題，從數(shù)學(xué)上說相當(dāng)于找出定義在閉區(qū)間上的高次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)在某種條件下的最大值。1889年，馬爾夫在題為《關(guān)于一個(gè)門捷列夫問題》的論文中，解決了由多項(xiàng)式的上界來求其導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式上界的問題；這個(gè)問題也可表示為偏離零點(diǎn)的多項(xiàng)式的最大偏差的估計(jì)，因此與切比雪夫所建立的一系列結(jié)果都有關(guān)系。1892年，馬爾科夫的同父異母弟弟弗拉基米爾（1871－1897）曾把這一問題推廣到求導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式的上確界的情況，可惜這位頗有數(shù)學(xué)才華的弟弟二十六歲便死于肺結(jié)核。馬爾科夫還研究過許多其它的實(shí)際問題，其中包括將空間曲面部分最小變形地轉(zhuǎn)換到平面，以及鐵路彎道的曲率等問題。
馬爾科夫?qū)ξ⒎址匠痰呢暙I(xiàn)主要是關(guān)于拉梅（G. Lame.,1795－1870）方程和超幾何方程的研究。他確定了一個(gè)超幾何方程的兩個(gè)解的乘積可作為整函數(shù)的條件，研究了這些函數(shù)與拉梅函數(shù)的零點(diǎn)分布，這些工作還導(dǎo)致了以初等函數(shù)表示積分，并涉及了大量的近似計(jì)算方法。
2、把概率論推進(jìn)到現(xiàn)代化的門檻
把概率論從瀕臨衰亡的境地挽救出來，恢復(fù)其作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科的地位，并把它推進(jìn)到現(xiàn)代化的門檻，這是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派為人類作出的偉大貢獻(xiàn)。切比雪夫。馬爾科夫和李雅普諾夫師生三人為此付出了艱辛的勞動(dòng)，其中尤以馬爾科夫的工作最多。據(jù)統(tǒng)計(jì)，他生平發(fā)表的概率論方面的文章或?qū)Ｖ灿卸迤ú浚┲�；切比雪夫和李雅普諾夫在概率論方面的論文各為四篇和二篇。
大約從1883年起，馬爾科夫就開始考慮概率論中的基本問題了。十九世紀(jì)的八、九十年代，他主要是沿著切比雪夫開創(chuàng)的方向，致力于獨(dú)立隨機(jī)變量和古典極限理論的研究，從而改進(jìn)和完善了大數(shù)定律和中心極限定理。進(jìn)入二十世紀(jì)以后，他的興趣轉(zhuǎn)移到相依隨機(jī)變量序列上來，并創(chuàng)立了使他名垂千古的那個(gè)概率模型。
概率論中的一個(gè)基本問題就是探索概率接近于1時(shí)的規(guī)律。特別是大量獨(dú)立或弱相依因素累積結(jié)果所發(fā)生的規(guī)律，大數(shù)定律就是研究這種規(guī)律的命題之一。1845年，切比雪夫第一次嚴(yán)格地證明了貝努利形式的大數(shù)定律，次年他又把結(jié)果推廣到泊松形式的大數(shù)定律。在概率論門戶蕭條的年代里，切比雪夫的工作無疑起到了振聾發(fā)聵的作用。但是由于處理手法還不夠完善，所得結(jié)果還是比較粗糙的。馬爾科夫不滿意切比雪夫要求隨機(jī)變量的方差值一致有界的條件，經(jīng)過努力他找到了兩種更合理的條件，極大地改進(jìn)了切比雪夫的結(jié)果。
中心極限定理則是概率論中極限理論的又一重要內(nèi)容，它討論隨機(jī)變數(shù)和依分布收斂到正態(tài)分布的條件，在眾多的技術(shù)領(lǐng)域里具有重要意義。前文已經(jīng)提到，切比雪夫首先嘗試在概率論的背景中使用矩方法。1884年馬爾科夫證明了切比雪夫提出的不等式后，加快了工作步伐，于1887年得到中心極限定理的初步證明。說它是初步的，是因?yàn)闊o論在定理的陳述還是在證明過程中都有某些缺陷。馬爾科夫熱愛自己的導(dǎo)師，但他更熱愛真理，在給彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的另一成員，喀山大學(xué)的瓦西里耶夫（1853－1929）的信中，他特別稱老師的結(jié)果為“切比雪夫正在證明的定理”，這封信后來以《大數(shù)定律和最小二乘法》為題發(fā)表在1898年的《喀山大學(xué)數(shù)理學(xué)報(bào)》上。同年，馬爾科夫又在《關(guān)于方程ex (d n e-x /dxn ) = 0的解》一文中，盡力精確地陳述并證明了切比雪夫提出的命題。改進(jìn)后的方法被人稱作切比雪夫－馬爾科夫方法。馬爾科夫進(jìn)而把自己和老師的一系列結(jié)果，都寫進(jìn)1900年出版的《概率演算》一書之中。這部書是他在概率論方面的集大成的著作，以后每次再版他都增添一些新的內(nèi)容。
至此矩方法獲得了輝煌的勝利，但是出人意料的事情發(fā)生了。1902年春天，馬爾科夫的低班校友、也是他最敬重的同事和最有力的競爭者李雅普諾夫，在哈爾科夫工作了十七年后回到彼得堡。在此前的一、二年中，李雅普諾夫從一個(gè)全新的角度去考察中心極限定理，引入了特征函數(shù)這一有力工具，從而不僅避免了矩方法要求高階矩存在的苛刻條件，在相當(dāng)寬的條件下證明了中心極限定理，而且通過特征函數(shù)實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法上的革命，為這一定理的進(jìn)一步精確化準(zhǔn)備了條件。
3、隨機(jī)過程理論的開拓者
在當(dāng)代科學(xué)與社會(huì)的廣闊天地里，人們都可以看到一種叫作隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型：從銀河亮度的起伏到星系空間的物質(zhì)分布、從分子的布朗運(yùn)動(dòng)到原子的蛻變過程，從化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)到電話通訊理論、從謠言的傳播到傳染病的流行、從市場預(yù)測到密碼破譯，隨機(jī)過程理論及其應(yīng)用幾乎無所不在。人類歷史上第一個(gè)從理論上提出并加以研究的過程模型是馬爾科夫鏈，它是馬爾科夫?qū)Ω怕收撃酥寥祟愃枷氚l(fā)展作出的又一偉大貢獻(xiàn)。
出于擴(kuò)大極限定理應(yīng)用范圍的目的，馬爾科夫在本世紀(jì)初開始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律，并從中選出了最重要的一類加以研究。1906年他在《大數(shù)定律關(guān)于相依變量的擴(kuò)展》一文中，第一次提到這種如同鎖鏈般環(huán)環(huán)相扣的隨機(jī)變量序列，其中某個(gè)變量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一個(gè)變量來決定，而與它更前面的那些變量無關(guān)。這就是被后人稱作馬爾科夫鏈的著名概率模型。也是在這篇論文里，馬爾科夫建立了這種鏈的大數(shù)定律。
用一個(gè)通俗的比喻來形容，一只被切除了大腦的白鼠在若干個(gè)洞穴間的躥動(dòng)就構(gòu)成一個(gè)馬爾科夫鏈。因?yàn)檫@只白鼠已沒有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個(gè)洞穴躥到另一個(gè)洞穴；當(dāng)其所在位置確定時(shí)，它下一步躥往何處與它以往經(jīng)過的路徑無關(guān)。這一模型的哲學(xué)意義是十分明顯的，用前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽（1894－1959〕的話來說，就是承認(rèn)客觀世界中有這樣一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關(guān)于過去的知識(shí)絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨(dú)立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程就叫做馬爾科夫過程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈。
這即是對(duì)荷蘭數(shù)學(xué)家 克里斯蒂安·惠更斯（Ch. Huygens,1629－1659）提出的無后效原理的概率推廣，也是對(duì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P. S. Laplace,1749－1827）機(jī)械決定論的否定。
這里應(yīng)該指出，馬爾科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲學(xué)意義，而且具有真實(shí)的物質(zhì)背景，在他的工作之前或同時(shí)，一些馬爾科夫鏈或更復(fù)雜的隨機(jī)過程的例子已出現(xiàn)在某些人的研究中，只不過這些人沒有自覺地認(rèn)識(shí)到這類模型的普遍意義或用精確的數(shù)學(xué)語言表述出來罷了。例如蘇格蘭植物學(xué)家布朗 ( R. Brown,1773－1858） 于1827年發(fā)現(xiàn)的懸浮微粒的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)、英格蘭遺傳學(xué)家高爾頓（F.Galton,1822－1911） 于1889年提出的家族遺傳規(guī)律、荷蘭物理學(xué)家 保羅·埃倫費(fèi)斯特 ( P. Ehrenfest,1880－1933） 于1907年關(guān)于容器中分子擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)，以及傳染病感染的人數(shù)，謠言的傳播，原子核中自由電子的躍遷，人口增長的過程等等，都可用馬爾科夫鏈或過程來描述。也正是在統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué)、遺傳學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的若干新課題、新事實(shí)面前，決定論的方法顯得百孔千瘡、踵決肘見。
有趣的是，馬爾科夫本人沒有提到他的概率模型在物理世界的應(yīng)用，但是他利用了語言文學(xué)方面的材料來說明鏈的性質(zhì)。在《概率演算》第四版中，他統(tǒng)計(jì)了長詩《葉甫蓋尼·奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律：這是長詩開頭的兩句，意為：“我不想取悅驕狂的人生，只希望博得朋友的欣賞�！痹娙四腔鹨话愕脑娖跀�(shù)學(xué)家那里變成了一條冷冰冰的鎖鏈：在這條鎖鏈上只有兩種鏈環(huán)，C代表輔音、 代表元音（為了使問題簡化起見，不仿把兩個(gè)無音字母算作輔音）。馬爾科夫分別統(tǒng)計(jì)了在C后面出現(xiàn)C和 的概率p和1－p，以及在 后出現(xiàn)C和 的概率q和1－q，把結(jié)果與按照俄語拼音規(guī)則計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了語言文字中隨機(jī)的（從概率的意義上講）字母序列符合他所建立的概率模型。
完成了關(guān)于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又開始在一系列論文中研究鏈的中心極限定理。1907年他在《一種不平常的相依試驗(yàn)》中證明了齊次馬爾科夫鏈的漸近正態(tài)性；1908年在《一個(gè)鏈中變量和的概率計(jì)算的極限定理推廣》中作了進(jìn)一步的推廣；1910年他發(fā)表了重要的論文《成連鎖的試驗(yàn)》，在其中證明了兩種情況的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理。與此同時(shí)他在一些假定的前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為在統(tǒng)計(jì)物理中具有重要作用的遍歷理論中第一個(gè)被嚴(yán)格證明的結(jié)果。遍歷理論亦稱ergodic理論，是奧地利物理學(xué)家玻耳茲曼（L. Boltzmann,1844－1906） 于1781年提出來的，其大意是：一個(gè)系統(tǒng)必將經(jīng)過或已經(jīng)經(jīng)過其總能量與當(dāng)時(shí)狀態(tài)相同的另外的任何狀態(tài)。
4、為科學(xué)與民主而斗爭
1886年，經(jīng)切比雪夫提名，馬爾科夫成為彼得堡科學(xué)院候補(bǔ)成員，1890年當(dāng)選為副院士，1896年成為正院士。對(duì)于這一俄國科學(xué)界的最高榮譽(yù)，他抱著一種十分淡泊的態(tài)度，而為了伸張真理與正義，他可以拋棄一切功名利祿。他不是一個(gè)把自己關(guān)在書齋里不問天下事的學(xué)者，他提倡科學(xué)，反對(duì)迷信，關(guān)心哲學(xué)和社會(huì)問題，憎恨教會(huì)與沙皇的專制統(tǒng)治。在十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初俄國先進(jìn)知識(shí)分子爭取科學(xué)與民主運(yùn)動(dòng)的潮流中，他是一個(gè)勇敢無畏的斗士。
馬爾科夫的代表作《概率演算》，不但是概率論學(xué)科中不朽的經(jīng)典文獻(xiàn)，而且可以看成是一篇唯物主義者的戰(zhàn)斗檄文。這部巨著帶有強(qiáng)烈的論戰(zhàn)性質(zhì)，而論戰(zhàn)的主要對(duì)手竟是他恩師切比雪夫的老師，被認(rèn)為是俄國數(shù)學(xué)元宿的布尼亞科夫斯基。
把概率論的方法應(yīng)用到社會(huì)科學(xué)中，這本來是法國大革命時(shí)代一些數(shù)學(xué)家的大膽嘗試，但是由于拉普拉斯機(jī)械決定論的影響，這些學(xué)者們往往把復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象歸結(jié)為服從牛頓力學(xué)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，因而這種應(yīng)用反而損壞了概率論的聲譽(yù)。布尼亞科夫斯基在自己的著作中以長達(dá)六十頁的篇幅敘述“把概率分析應(yīng)用到供詞、傳說、候選人與不同意見之間的各種選擇和依多數(shù)表決的司法判決”。其中一個(gè)典型的例子是這樣的：“由全部俄文字母中任取六個(gè)并按取出順序排列起來，有兩個(gè)證人說組成了MOCKBA（莫斯科）這個(gè)詞，問u2018證詞是真的u2019這件事的概率是多少？”在假定六個(gè)俄文字母所組成的詞共5萬而證人說真話的傾向?yàn)?/10的條件下，布尼亞科夫斯基算得一個(gè)小于1/300的概率，這當(dāng)然大大低于一般人按常識(shí)判斷出的結(jié)果。如果法庭以此來判定證詞的真?zhèn)危瑑蓚�(gè)“基本上誠實(shí)”的證人豈不冤哉枉也？馬爾科夫在《概率演算》中尖刻地嘲諷了這個(gè)概率論應(yīng)于“倫理科學(xué)”的例子，他寫道：“（這個(gè)例子）充分闡明在解類似我們所討論的這種本質(zhì)上很不確定的問題時(shí)，不可避免要引出許多任性的假設(shè)。如果容許證人能有錯(cuò)誤并且取消其證詞的獨(dú)立性，則所考慮的問題還會(huì)有更不確定的性質(zhì)。”這就一針見血地道破了這種應(yīng)用的荒誕不經(jīng)。
1896年，俄國末代沙皇 尼古拉二世（1868－1918）粉墨登基。這是一個(gè)殘酷暴虐的家伙，被人稱作“血腥的尼古拉”。從青年時(shí)代就受到民主啟蒙運(yùn)動(dòng)熏陶的馬爾科夫，對(duì)沙皇的專制統(tǒng)治非常鄙夷，在接納進(jìn)步文學(xué)家高爾基（1868－1936）為科學(xué)院名譽(yù)院士的斗爭中，馬爾科夫與許多富有正義感的院士們一起，與尼古拉二世的粗暴干涉進(jìn)行了勇敢的斗爭。
1902年2月25日，科學(xué)院文學(xué)部聯(lián)席會(huì)議通過了一項(xiàng)決議，接納不久以前因?yàn)榘l(fā)表了《海燕之歌》而遭到憲兵搜捕和流放的 高爾基為名譽(yù)院士。這一藐視沙皇專制統(tǒng)治的事件引起了尼古拉二世的極度恐慌，他公然給國民教育大臣發(fā)布了一道手諭：“委托你宣布，按照朕的命令，高爾基的當(dāng)選無效。”受到壓力的科學(xué)院院務(wù)委員會(huì)于3月12日發(fā)布了一個(gè)取消高爾基當(dāng)選資格的文告。
對(duì)于沙皇的這一粗暴干涉，科學(xué)院中的進(jìn)步人士表示了強(qiáng)烈的憤慨，柯羅連科（1853－1921）、契訶夫（1860－1904）等人以宣布退出科學(xué)院表示抗議。身在數(shù)理學(xué)部的馬爾科夫于4月6日向院務(wù)委員會(huì)遞交了如下聲明：“我認(rèn)為科學(xué)院關(guān)于取消高爾基當(dāng)選資格的文告是無效的和被強(qiáng)加的；第一，文告盜用了科學(xué)院的名義，但事實(shí)上科學(xué)院并無意取消這一資格；第二，文告所借用的理由是毫無意義的。”雖然馬爾科夫在院務(wù)委員會(huì)上要求宣讀這一聲明，但是遭到執(zhí)行主席的拒絕。于是他又采取了進(jìn)一步的行動(dòng)，兩天以后，他向沙皇的叔父、充任科學(xué)院院長之職的康斯坦丁大公遞交了辭去院士稱號(hào)的聲明。這個(gè)根本不懂科學(xué)的院長一面勸告馬爾科夫收回成命，一面竭力向報(bào)界隱瞞事件的真相，害怕更多的科學(xué)家效法馬爾科夫采取對(duì)抗行動(dòng)。只是由于當(dāng)時(shí)馬爾科夫在科學(xué)院里正擔(dān)負(fù)著編輯切比雪夫文集的工作，他才沒有采取更激烈的措施。但是直到1905年，他還不忘上書院委會(huì)，提請(qǐng)撤消其1902年的錯(cuò)誤文告。
在這一事件中，馬爾科夫?qū)茖W(xué)院上層集團(tuán)屈服于沙皇的淫威深感失望。1903年初，他以院委會(huì)要從其成員所得科學(xué)獎(jiǎng)金中抽稅一事為借口遞交了一份備忘錄，上面寫著，“我最誠懇地提請(qǐng)?jiān)何瘯?huì)注意，我決不申報(bào)任何獎(jiǎng)勵(lì)，也決不期望得到任何獎(jiǎng)勵(lì)�！瘪R爾科夫的這一舉動(dòng)的真正目的不在于反對(duì)征稅，而是以此顯示自己絕不同聽任沙皇擺布的院委會(huì)同流合污。
1905年的民主革命失敗以后，俄國政治上開始了一個(gè)極端反動(dòng)時(shí)期。1907年6月3日，沙皇的走卒 彼得·阿爾卡季耶維奇·斯托雷平（1862－1911）悍然解散有社會(huì)民主黨人參加的第二屆國家杜馬，隨后組織代表地主和資產(chǎn)階級(jí)利益的第三屆杜馬。為此，馬爾科夫照會(huì)科學(xué)院理事會(huì)說：“第三屆國家杜馬的建立完全違背了憲法，因而它根本不是一個(gè)代表人民意愿的議會(huì)，而只是一個(gè)非法的團(tuán)體，因此我最堅(jiān)決地請(qǐng)求理事會(huì)不要將我的名字列入選民的名單之中。”
在斯托雷平反動(dòng)時(shí)期，大學(xué)里的民主進(jìn)步力量遭到了破壞。1908年國民教育部發(fā)表通告，重申取消大學(xué)自治、恢復(fù)學(xué)監(jiān)制度、封閉一切社團(tuán)。馬爾科夫?qū)Υ朔浅鈶�。他立即給教育大臣寫了一封信，信中聲稱：“我最堅(jiān)決地拒絕在彼得堡大學(xué)充當(dāng)沙皇政府走卒的角色，但我將保留開設(shè)概率論課程的權(quán)利�！�
在與反動(dòng)政權(quán)的一系列沖突之后，馬爾科夫與沙皇專制的重要精神支柱東正教教會(huì)實(shí)行了決裂。東正教最高會(huì)議的頭子是尼古拉二世的私人教師和謀臣，他們?cè)谂鄱韲髯迦嗣�、�?zhèn)壓日益高漲的民主運(yùn)動(dòng)等一系列問題上是沆瀣一氣的。沙皇當(dāng)局不便直接出面干的壞事，就由東正教會(huì)來干，1901年東正教最高裁判所就宣布大文豪 托爾斯泰（1828－1910）為異教徒而開除了他的教籍。馬爾科夫從青年時(shí)代就具有無神論的傾向，托爾斯泰的思想對(duì)他也有一定的影響。1912年2月12日，馬爾科夫致信東正教最高會(huì)議，信中寫道：“我最誠摯地請(qǐng)求革除我的教籍。我希望以下所摘引的本人所寫的《概率演算》一書中的言論足以成為除籍的理由，因?yàn)檫@些言論已經(jīng)充分表明我對(duì)成為猶太教和基督教義之基礎(chǔ)的那些傳說所持的反對(duì)態(tài)度。”
晚年生活
1883年，馬爾科夫與自幼相識(shí)的女友瓦里瓦契耶瓦婭結(jié)為伉儷，新娘的母親就是他父親當(dāng)年的女雇主。大學(xué)時(shí)代的馬爾科夫曾給讀高中的瓦里瓦契耶瓦婭當(dāng)過業(yè)余家庭教師，正是這種頻繁的接觸催開了這一對(duì)年輕人心中的愛情花朵。但是一開始，那位富孀是不贊成這門婚事的，因?yàn)樗幌肫甬?dāng)年那個(gè)在花園里拄著拐杖踽踽獨(dú)行的可憐孩子和經(jīng)常使他忠厚的管家心緒不寧的桀驁少年，心里總是有一種靠不住的感覺。然而事實(shí)最終戰(zhàn)勝了偏見，面對(duì)這個(gè)事業(yè)上不斷獲得成功的英俊青年助教，她終于感到無可挑剔了。
從1880年馬爾科夫就開始在彼得堡大學(xué)任教，先是擔(dān)任助教和講師，1886年成為副教授，1893年升為正教授，1905年退休并榮獲終身榮譽(yù)教授的稱號(hào)。二十五年來，他先后講授過微積分、數(shù)論、函數(shù)論、矩論、計(jì)算方法、微分方程、概率論等課程，為祖國培養(yǎng)了許多出色的數(shù)學(xué)人才。
關(guān)于馬爾科夫的講課風(fēng)格毀譽(yù)不一。他與切比雪夫和李雅普諾夫不同，講課時(shí)既不在乎板書的工整也不注意表情的生動(dòng)，而且經(jīng)常有意略去教科書中的傳統(tǒng)題材，因此一般的學(xué)生抱怨不好懂。但是優(yōu)秀的學(xué)生發(fā)現(xiàn)他的課程從邏輯上來看具有無可指責(zé)的嚴(yán)密性，內(nèi)容充實(shí)無華，其中往往還有些他本人最新的研究成果。
他從教授席位上退休以后，仍然以科學(xué)院院士的資格在彼得堡大學(xué)開設(shè)概率論課程，講義用的就是傾注了他半生心血的《概率演算》。為了開好這門課，他反復(fù)地對(duì)這部書進(jìn)行了修改，直到臨終前還在進(jìn)行第四版的校訂工作。這一最后的修訂本于他逝世兩年以后出版。
十月革命前夕，彼得堡的局勢動(dòng)蕩不定，科學(xué)院與大學(xué)已無正常的工作秩序。在這種情況下，馬爾科夫請(qǐng)求科學(xué)院派他到外省去從事中學(xué)教育。1917年9月，年過花甲的馬爾科夫來到梁贊省一個(gè)叫薩蘭斯克的縣城，無償?shù)負(fù)?dān)負(fù)了縣中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作。他有個(gè)十四歲的兒子也一同來到這里，恰好就插班在他任課的年級(jí)。這個(gè)小馬爾科夫（ 1903－1979）的名字及父名與父親完全相同，后來也成了有名的數(shù)學(xué)家，先研究理論物理和天體力學(xué)，后轉(zhuǎn)向動(dòng)力體系理論、測度論、拓樸學(xué)、代數(shù)等，并于1953年當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士。
1918年秋，馬爾科夫因患青光眼回到彼得堡治療，手術(shù)后他返回闊別已久的母校繼續(xù)開設(shè)他的概率論講座。這時(shí)候他的體力已遠(yuǎn)不如從前了，每次講課都要兒子攙扶著進(jìn)出教室。然而當(dāng)他一站到講臺(tái)上，就感到有了精神。在幾十年的教學(xué)生涯，他比其他任何人都更忠實(shí)地向?qū)W生們灌輸彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的信條和理想。他繼承了切比雪夫?qū)唧w問題的興趣，不斷地追求數(shù)學(xué)方法的簡單化和盡可能精確的結(jié)果，他善于向經(jīng)典課題汲取養(yǎng)料，同時(shí)把自己的事業(yè)深深地札根在大學(xué)這塊沃土之中。在彼得堡數(shù)學(xué)家團(tuán)體中，沒有人比他更“彼得堡化”了。有一次別人向他請(qǐng)教數(shù)學(xué)的定義，他不無驕傲地說：“數(shù)學(xué)，那就是高斯、切比雪夫、李雅普諾夫、斯捷克洛夫和我所研究的東西”。
1921年秋天，馬爾科夫的病情開始嚴(yán)重起來，他只得離開心愛的大學(xué)。在生命的最后一年里，他還抓緊時(shí)間修訂了《概率演算》。1922年7月20日，這位在眾多數(shù)學(xué)分支里留下足跡和為科學(xué)與民主事業(yè)奮斗了一生的老人辭別了人世。馬爾科夫的遺體被安葬在彼得堡的米特羅方耶夫斯基公墓，他的墓碑沒有過多的修飾，就象他的文章和講課一樣樸素?zé)o華。然而他的思想、他的成就、他的品德就象一座巍峨的豐碑，永遠(yuǎn)矗立在真理求索者的心中。
