戴維·希爾伯特 - 戴維·希爾伯特

希爾伯特，D.(Hilbert,David，1862～1943)德國數學家。
希爾伯特于1900年8月8日在巴黎第二屆國際數學家大會上，提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的制高點，對這些問題的研究有力推動了20世紀數學的發(fā)展，在世界上產生了深遠的影響。希爾伯特領導的數學學派是19世紀末20世紀初數學界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數學界的無冕之王”。
（著名的歌德巴赫猜想也是問題之一，以陳景潤為代表的中國數學家獲得了重大突破，但還沒有徹底解決。）
生于東普魯士哥尼斯堡(前蘇聯(lián)加里寧格勒)附近的韋勞。中學時代,希爾伯特就是一名勤奮好學的學生,對于科學特別是數學表現出濃厚的興趣,善于靈活和深刻地掌握以至應用老師講課的內容。1880年,他不顧父親讓他學法律的意愿,進入哥尼斯堡大學攻讀數學。1884年獲得博士學位,后來又在這所大學里取得講師資格和升任副教授。1893年被任命為正教授,1895年,轉入格廷根大學任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于是1930年退休。在此期間,他成為柏林科學院通訊院士,并曾獲得施泰訥獎、羅巴切夫斯基獎和波約伊獎。1930年獲得瑞典科學院的米塔格-萊福勒獎,1942年成為柏林科學院榮譽院士。希爾伯特是一位正直的科學家,第一次世界大戰(zhàn)前夕,他拒絕在德國政府為進行欺騙宣傳而發(fā)表的《告文明世界書》上簽字。戰(zhàn)爭期間，他敢于公開發(fā)表文章悼念“敵人的數學家”達布。希特勒上臺后，他抵制并上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學家的政策。由于納粹政府的反動政策日益加劇,許多科學家被迫移居外國,曾經盛極一時的格廷根學派衰落了,希爾伯特也于1943年在孤獨中逝世。


希爾伯特是對二十世紀數學有深刻影響的數學家之一。他領導了著名的格廷根學派,使格廷根大學成為當時世界數學研究的重要中心,并培養(yǎng)了一批對現代數學發(fā)展做出重大貢獻的杰出數學家。希爾伯特的數學工作可以劃分為幾個不同的時期,每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。按時間順序,他的主要研究內容有:不變式理論、代數數域理論、幾何基礎、積分方程、物理學、一般數學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、“希爾伯特空間”等。在這些領域中，他都做出了重大的或開創(chuàng)性的貢獻。希爾伯特認為，科學在每個時代都有它自己的問題，而這些問題的解決對于科學發(fā)展具有深遠意義。他指出：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡和終止。”在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發(fā)展產生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數學問題都可以解決的信念，對于數學工作者是一種巨大的鼓舞。他說：“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個數學問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽市民稱號的講演中，針對一些人信奉的不可知論觀點，他再次滿懷信心地宣稱：“我們必須知道，我們必將知道。”希爾伯特的《幾何基礎》（1899）是公理化思想的代表作，書中把歐幾里得幾何學加以整理，成為建立在一組簡單公理基礎上的純粹演繹系統(tǒng)，并開始探討公理之間的相互關系與研究整個演繹系統(tǒng)的邏輯結構。1904年，又著手研究數學基礎問題，經過多年醞釀，于二十年代初，提出了如何論證數論、集合論或數學分析一致性的方案。他建議從若干形式公理出發(fā)將數學形式化為符號語言系統(tǒng)，并從不假定實無窮的有窮觀點出發(fā)，建立相應的邏輯系統(tǒng)。然后再研究這個形式語言系統(tǒng)的邏輯性質，從而創(chuàng)立了元數學和證明論。希爾伯特的目的是試圖對某一形式語言系統(tǒng)的無矛盾性給出絕對的證明，以便克服悖論所引起的危機，一勞永逸地消除對數學基礎以及數學推理方法可靠性的懷疑。然而，1930年，年青的奧地利數理邏輯學家哥德爾(K.G?del，1906～1978)獲得了否定的結果，證明了希爾伯特方案是不可能實現的。但正如哥德爾所說，希爾伯特有關數學基礎的方案“仍不失其重要性，并繼續(xù)引起人們的高度興趣”。希爾伯特的著作有《希爾伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《數論報告》）、《幾何基礎》、《線性積分方程一般理論基礎》等，與其他合著有《數學物理方法》、《理論邏輯基礎》、《直觀幾何學》、《數學基礎》。

希爾伯特23個問題及解決情況

1900年希爾伯特應邀參加巴黎國際數學家大會并在會上作了題為《數學問題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：
正如人類的每一項事業(yè)都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現新觀點，達到更為廣闊的自由的境界。

希爾伯特特別強調重大問題在數學發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對最近的將來數學知識可能的發(fā)展有一個概念，那就必須回顧一下當今科學提出的，希望在將來能夠解決的問題�！� 同時又指出：“某類問題對于一般數學進程的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認的。只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿生命力，而問題缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡或中止�！�

他闡述了重大問題所具有的特點，好的問題應具有以下三個特征：

清晰性和易懂性；
雖困難但又給人以希望；
意義深遠。
同時他分析了研究數學問題時常會遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會議上他提出了在新世紀里數學家應努力去解決的23個問題，即著名的“希爾伯特23個問題”。

編號 問題 推動發(fā)展的領域 解決的情況
1 連續(xù)統(tǒng)假設 公理化集合論 1963年，Paul J.Cohen 在下述意義下證明了第一個問題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內判定。
2 算術公理的相容性 數學基礎 希爾伯特證明算術公理的相容性的設想，后來發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計劃（“元數學”或“證明論”）但1931年歌德爾的“不完備定理”指出了用“元數學”證明算術公理的相容性之不可能。數學的相容性問題至今未解決。
3 兩等高等底的四面體體積之相等 幾何基礎 這問題很快（1900）即由希爾伯特的學生M.Dehn給出了肯定的解答。
4 直線作為兩點間最短距離問題 幾何基礎 這一問題提得過于一般。希爾伯特之后，許多數學家致力于構造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問題上取得很大進展，但問題并未完全解決。
5 不要定義群的函數的可微性假設的李群概念 拓撲群論 經過漫長的努力，這個問題于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解決，答案是肯定的。
6 物理公理的數學處理 數學物理 在量子力學、熱力學等領域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些數的無理性與超越性 超越數論 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自獨立地解決了這問題的后半部分。
8 素數問題 數論 一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問題中的Goldbach問題至今也未解決。中國數學家在這方面做了一系列出色的工作。
9 任意數域中最一般的互反律之證明 類域論 已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決.
10 Diophantius方程可解性的判別 不定分析 1970年由蘇、美數學家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系數為任意代數數的二次型 二次型理論 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在這問題上獲得了重要的結果。
12 Abel域上 kroneker定理推廣到任意代數有理域。 復乘法理論 尚未解決。
13 不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程。 方程論與實函數論 連續(xù)函數情形于1957年由蘇數學家否定解決，如要求是解析函數，則問題仍未解決。
14 證明某類完全函數系的有限性 代數不變式理論 1958年永田雅宜給出了否定解決。
15 Schubert記數演算的嚴格基礎 代數幾何學 由于許多數學家的努力，Schubert演算的基礎的純代數處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數幾何的基礎，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)與 A.Weil(1950)建立。
16 代數曲線與曲面的拓撲 曲線與曲面的拓撲學、常微分方程的定性理論 問題的前半部分，近年來不斷有重要結果。
17 正定形式的平方表示式 域（實域）論 已由Artin 于1926年解決。
18 由全等多面體構造空間 結晶體群理論 部分解決。
19 正則變分問題的解是否一定解析 橢圓型偏微分方程理論 這個問題在某種意義上已獲解決。
20 一般邊值問題 橢圓型偏微分方程理論 偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發(fā)展。
21 具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性 線性常微分方程大范圍理論 已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解決。
22 解析關系的單值化 Riemann 曲面體 一個變數的情形已由 P.Koebe (德，1907)解決。
23 變分法的進一步發(fā)展 變分法 Hilbert本人和許多數學家對變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻。
詳細參見希爾伯特問題。

希爾伯特軼事

1. 以希爾伯特命名的數學名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。比如有一次希爾伯特曾問系里的同事“請問什么叫做希爾伯特空間？”
2.1916年，埃米·諾特這位卓有才華的青年婦女來到哥廷根大學。希爾伯特對她的學識倍加欣賞，立即決定讓她留下來當講師，輔助相對論的研究工作。但當時歧視婦女的現象相當嚴重，希爾伯特的建議遭到語言學、歷史學等教授們的強烈反對。希爾伯特拍案而起，大聲疾呼：“先生們，這里是學校，不是澡堂！”于是因此激怒了他的對手，希爾伯特對此不為所動，毅然決定讓諾特以自己的名義代課。