波利亞 - 人物簡(jiǎn)介

波利亞（1887-1985），美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。生于布達(dá)佩斯，卒于美國(guó)。1914年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任教，1938年任數(shù)理學(xué)院院長(zhǎng)。1940年移居美國(guó)，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。1963年獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)功勛獎(jiǎng)。

波利亞 - 主要業(yè)績(jī)

他在函數(shù)論、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等方面都有重要貢獻(xiàn)。

波利亞 - 生平

喬治·波利亞的父親雅可布(Jakob)是一名律師。他的兄長(zhǎng)尤金(Eugene)比他大11歲，是著名的外科醫(yī)生，現(xiàn)在的一種胃外科手術(shù)就是以他命名的．年輕的波利亞在布達(dá)佩斯的一所預(yù)科學(xué)校(即大學(xué)預(yù)備中學(xué))讀書時(shí)，有濃厚的學(xué)習(xí)興趣，經(jīng)常名列前茅．曾參加過(guò)兩個(gè)自學(xué)小組——數(shù)理組和文學(xué)組．但數(shù)學(xué)教師給他的印象不好，所以他對(duì)數(shù)學(xué)并不十分感興趣。當(dāng)時(shí)，許多人參加一項(xiàng)頗有影響的埃特沃斯數(shù)學(xué)競(jìng)賽，它是以匈牙利杰出的物理學(xué)家L. 埃特沃斯(Etvs)命名的，這種競(jìng)賽的開展使匈牙利產(chǎn)生了一批世界第一流的數(shù)學(xué)家．波利亞在別人的勸說(shuō)下參加了這項(xiàng)競(jìng)賽，不但沒(méi)有獲勝，甚至連試卷都沒(méi)交上．他的拉丁語(yǔ)、匈牙利語(yǔ)教師都是些一流的教師，這使他對(duì)文學(xué)特別感興趣，尤其喜歡德國(guó)大詩(shī)人H．海涅(Heine)的作品，曾將海涅的詩(shī)作譯成匈牙利文而獲獎(jiǎng)．他因?yàn)榕c海涅有相同的生日——12月13日而感到自豪，后來(lái)甚至組織了一個(gè)「13日生日俱樂(lè)部」，將出生在13日的朋友與同事組織在一起． 　　

因?yàn)樗�的學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀，1905年波利亞進(jìn)入布達(dá)佩斯大學(xué)學(xué)習(xí)，他的母親安娜·波利亞(Anna Polya)竭力勸他從事他父親的法律職業(yè)，他便遵從母親的意愿到布達(dá)佩斯大學(xué)的法學(xué)院學(xué)習(xí)，但是只堅(jiān)持了一個(gè)學(xué)期，便對(duì)學(xué)習(xí)法律感到厭倦．一度想改學(xué)生物學(xué)，在他兄長(zhǎng)勸阻下，放棄了這個(gè)念頭，而改學(xué)語(yǔ)言與文學(xué)．兩年后他通過(guò)了教師資格證書考試，可以在預(yù)科學(xué)校低年級(jí)——學(xué)生年齡在10歲到14歲之間—— 教拉丁語(yǔ)和匈牙利語(yǔ)，但他從未使用過(guò)這個(gè)證書．此時(shí)，波利亞又將興趣轉(zhuǎn)向哲學(xué)，他的哲學(xué)課老師亞歷山大(Alexander)教授認(rèn)為學(xué)習(xí)物理與數(shù)學(xué)有助于對(duì)哲學(xué)的理解，因而勸他將這兩門課程作為他學(xué)習(xí)哲學(xué)的一部分，從此波利亞開始認(rèn)真學(xué)習(xí)物理與數(shù)學(xué)． 1977年他90歲時(shí)回憶這一段學(xué)習(xí)情況說(shuō)：「事實(shí)上，我不是直接選中數(shù)學(xué)這一行的．我對(duì)物理和哲學(xué)更有興趣，……我認(rèn)為我并不擅長(zhǎng)搞物理，但很適合于搞哲學(xué)，數(shù)學(xué)則介于兩者之間．」在布達(dá)佩斯大學(xué)讀書期間，物理學(xué)家埃特沃斯教授是他的物理課教師，給予波利亞以很大的影響． 但影響最大的是匈牙利數(shù)學(xué)家L． 費(fèi)耶爾(Fejér)，他在傅里葉級(jí)數(shù)方面有很大的貢獻(xiàn)． 費(fèi)耶爾經(jīng)常與他的學(xué)生們坐在布達(dá)佩斯的咖啡館里討論解決一些重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且講述他所知道的數(shù)學(xué)家的故事，結(jié)果吸引了相當(dāng)一部分天才學(xué)生進(jìn)入他的數(shù)學(xué)圈．這些學(xué)生中，除波利亞外，還有后來(lái)成為著名數(shù)學(xué)家的 P．愛爾特希(Erd s)、G．愛爾特希(Erd s)、G． 賽格(Szeg )、O．賽格(Szeg )、O． 薩斯(Szász)、M．薩斯(Szász)、M． 費(fèi)克特(Fe-kete)、M．費(fèi)克特(Fe-kete)、M． 里斯(Riesz)、J．里斯(Riesz)、J． 艾蓋爾瓦里(Egerváry)、F．艾蓋爾瓦里(Egerváry)、F． 盧卡茨(Lukacz)、T．盧卡茨(Lukacz)、T． 拉多(Rado)、P．拉多(Rado)、P． 圖蘭(Turán)等．圖蘭(Turán)等． 　　

1910—1911年整整一學(xué)年，波利亞是在維也納大學(xué)度過(guò)的． 1912年回布達(dá)佩斯大學(xué)接受哲學(xué)博士學(xué)位，學(xué)位論文的題目是「概率論計(jì)算中的一些問(wèn)題及其有關(guān)的定積分」(Some questions ofthe calculus of probability，and some definite integrals asso-ciated with it)．獲得博士學(xué)位后，波利亞先后在格丁根大學(xué)(1912—1913年)以及巴黎大學(xué)(1914年)從事博士后研究工作．結(jié)識(shí)了格丁根大學(xué)的著名數(shù)學(xué)家F． 克萊因(Klein)、D．克萊因(Klein)、D． 希爾伯特(Hilbert)、K．希爾伯特(Hilbert)、K． 龍格(Runge)、E．龍格(Runge)、E． 蘭道(Landau)等，在巴黎見到了法國(guó)數(shù)學(xué)家E．蘭道(Landau)等，在巴黎見到了法國(guó)數(shù)學(xué)家E． 皮卡(Picard)和J．皮卡(Picard)和J． 阿達(dá)馬(Hada-mard)．阿達(dá)馬(Hada-mard)． 這些數(shù)學(xué)家對(duì)波利亞后來(lái)的研究工作都產(chǎn)生了很大影響． 　　

1914年秋，他接受了德國(guó)數(shù)學(xué)家A．胡爾維茨(Hurwitz)的邀請(qǐng)，去蘇黎世的瑞士聯(lián)邦工學(xué)院任教，從此開始了他的教學(xué)生涯． 　　

第一次世界大戰(zhàn)期間，他曾想入伍服兵役． 但因年幼時(shí)，踢足球腿部受傷而留下后遺癥，兵役檢查后，被拒絕參軍．后來(lái)局勢(shì)嚴(yán)重起來(lái)，兵源大量缺乏，匈牙利軍方要求他從瑞士回來(lái)申請(qǐng)入伍，但他已經(jīng)深受英國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家、公開的反戰(zhàn)論者B．羅素(Russell)的影響，拒絕服兵役，這使他長(zhǎng)期不能再回匈牙利． 　　

1918年波利亞與斯特拉·韋伯(Stella Vera Weber)結(jié)婚，斯特拉是瑞士人，納沙泰爾大學(xué)的一位物理教授的女兒，從此，波利亞建立了一個(gè)美滿的家庭，夫婦共同生活長(zhǎng)達(dá)67年．波利亞沒(méi)有子女． 斯特拉生長(zhǎng)于講法語(yǔ)的瑞士西部，因此她講法語(yǔ)，婚后波利亞夫婦居住在講德語(yǔ)的瑞士北部地區(qū)，于是波利亞生活在三種語(yǔ)言環(huán)境中，正投合他對(duì)語(yǔ)言的愛好．波利亞能夠用匈牙利語(yǔ)、法語(yǔ)、德語(yǔ)、意大利語(yǔ)、英語(yǔ)和丹麥語(yǔ)6種語(yǔ)言寫作論文，此外，他還在學(xué)校里正規(guī)地學(xué)習(xí)過(guò)拉丁語(yǔ)和希臘語(yǔ)． 　　

1924年在英國(guó)數(shù)學(xué)家G． H． 哈代(Hardy)的推薦下，波利亞作為國(guó)際洛克菲勒學(xué)會(huì)成員去英國(guó)逗留了一年，曾先后訪問(wèn)牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)等著名高等學(xué)府.在此期間參加了由哈代與J． E． E． 李特爾伍德(Littlewood)主持的經(jīng)典著作《不等式》(Inequalities)的寫作，此書在1934年由劍橋大學(xué)出版社出版． 　　

1928年在瑞士聯(lián)邦工學(xué)院，波利亞破格直接晉升為教授． 　　

在20世紀(jì)30年代，波利亞就一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題與法國(guó)數(shù)學(xué)家G． 朱利亞(Julia)進(jìn)行過(guò)密切合作． 1933年他再次獲得洛克菲勒的資助去美國(guó)普林斯頓大學(xué)訪問(wèn)．這一年夏天，又接受了丹麥出生的美國(guó)數(shù)學(xué)家H． F．布利克弗爾特(Blichfeldt)的邀請(qǐng)，訪問(wèn)了美國(guó)加利福尼亞的斯坦福大學(xué)． 　　

1940年，歐洲正在卷入第二次世界大戰(zhàn)，波利亞決定離開瑞士，經(jīng)葡萄牙首都里斯本轉(zhuǎn)道去了美國(guó)．當(dāng)時(shí)歐洲各國(guó)學(xué)術(shù)界人士為躲避納粹德國(guó)的迫害，紛紛逃離歐洲蜂擁入美國(guó)，使得在美國(guó)找到合適的工作很困難．波利亞先在布朗大學(xué)任客座教授兩年，然后接受了斯坦福大學(xué)的聘任． 1942年1月，他的夫人去美國(guó)西海岸加利福尼亞的帕洛阿爾托購(gòu)買了他們的寓所，開始了他們?cè)诿绹?guó)的定居生活． 　　

1953年，波利亞從斯坦福大學(xué)退職．但他繼續(xù)從事教學(xué)與寫作，對(duì)教師的培訓(xùn)工作越來(lái)越感興趣，并在一些師范院校任教他熱愛教學(xué)工作． 直至1978年93歲高齡時(shí)，仍親自講課除了本文在后面還要詳述的幾部解題研究與數(shù)學(xué)方法論的書以外， 1974年他與G． 拉塔(Latta) 合作撰寫了復(fù)變量的教科書，與J． 基爾帕特里克(Kilpatrick)合著《斯坦福數(shù)學(xué)問(wèn)題集》(The stanfordmathematics problem book，1974)． 他還著有《科學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》(Mathematical methods in science，1963)、《組合學(xué)導(dǎo)引的札記》(Notes on introductory combinatorics，1984)等．

波利亞 - 晚年

波利亞漫長(zhǎng)一生的最后幾年里視力極度下降，就借助于有放大作用的閱讀機(jī)繼續(xù)堅(jiān)持閱讀并回答別人的問(wèn)題，甚至還想學(xué)習(xí)計(jì)算器．他不斷地向別人述說(shuō)：「我的數(shù)學(xué)興趣還沒(méi)有完！」 　

由于科學(xué)上所取得的眾多成就，他先后成為法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)研究院、匈牙利科學(xué)院、美國(guó)科學(xué)院的院士以及布魯塞爾的國(guó)際哲學(xué)與科學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)員．他還是倫敦?cái)?shù)學(xué)協(xié)會(huì)、瑞士數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)、紐約科學(xué)院等的名譽(yù)成員． 　　

為了表彰波利亞的特殊貢獻(xiàn)，1963年美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)(MAA)授予他數(shù)學(xué)杰出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)(The award for distinguished serviceto mathematics)．1968年在美國(guó)教育影片圖書館協(xié)會(huì)(Educa-tional film library association)舉辦的第10屆電影節(jié)上，因?yàn)橛盟�的講演制作的影片「讓我們教猜想」(Let us teach guessing)而授予他藍(lán)綬最高獎(jiǎng)． 　　

為了紀(jì)念波利亞，美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)設(shè)立了組合理論及其應(yīng)用的波利亞獎(jiǎng)，由美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)提供了大學(xué)數(shù)學(xué)雜志的波利亞寫作獎(jiǎng)，由美國(guó)數(shù)學(xué)教師委員會(huì)提供了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的波利亞獎(jiǎng)(1978—1980)． 他曾長(zhǎng)期工作的斯坦福大學(xué)命名了一座「波利亞樓」(Polya Hall)，在數(shù)學(xué)圖書館里懸掛了他的肖像，這是館內(nèi)唯一的科學(xué)家肖像．斯坦福大學(xué)還出版了他的論文集． 1977年《圖論雜志》(Journal of Graph Theory)為慶祝他90壽辰而專門發(fā)行特刊.

波利亞 - 數(shù)學(xué)研究

建樹
　　波利亞的數(shù)學(xué)研究的最顯著特點(diǎn)是他有極為廣泛的興趣，他在概率論、組合數(shù)學(xué)、圖論、幾何、代數(shù)、數(shù)論、函數(shù)論、微分方程、數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域都有過(guò)建樹．他撰寫(包括與他人合作)的250多篇論文，被收集整理成四卷本的論文集，由美國(guó)麻省理工學(xué)院出版社出版(前兩卷在1974年出版，后兩卷在1984年出版)． 當(dāng)有人問(wèn)及為什么他對(duì)差異如此之大的數(shù)學(xué)分支進(jìn)行研究時(shí)，他回答說(shuō)：「是受了我的老師以及當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)風(fēng)尚的影響，后來(lái)又受到自己發(fā)現(xiàn)興趣的驅(qū)使．」
概率論
　　如前所述，1912年他提交了概率論方面的博士論文，由于當(dāng)時(shí)在布達(dá)佩斯沒(méi)有人對(duì)概率論感興趣，因此他的這篇論文是在沒(méi)有得到導(dǎo)師幫助的情況下寫成的．此后，他開始了對(duì)概率論的一系列富有成效的研究．早期工作主要涉及幾何概率方面． 有人認(rèn)為，波利亞是第一個(gè)在論著中使用「中心極限定理」這一術(shù)語(yǔ)的人．波利亞還進(jìn)一步研究了概率論中的特征函數(shù)，提出所謂的「波利亞準(zhǔn)則」．他的一個(gè)典型的例子——罐子模型(the Polya urn sche-me)，即在一個(gè)罐子中，放有r個(gè)紅球和b個(gè)黑球，當(dāng)隨機(jī)取出一個(gè)球后，就另外取來(lái)與其同色的c個(gè)球代替它而放入罐子中．這個(gè)模型經(jīng)常用來(lái)描述蔓延現(xiàn)象，它的一個(gè)分支就是所謂的波利亞分布． 　　

       波利亞對(duì)概率論最重要的貢獻(xiàn)是他在1921年發(fā)表的有關(guān)隨機(jī)游動(dòng)的論文．他首創(chuàng)了術(shù)語(yǔ)「隨機(jī)游動(dòng)」(random walk)．所謂隨機(jī)游動(dòng)問(wèn)題指的是，在一個(gè)無(wú)窮大平面內(nèi)，有兩組等距離的平行直線，這兩組直線互相垂直，這像一幅規(guī)則整齊的城市街道圖：所有樓區(qū)大小一樣，街道交叉成直角．設(shè)有一個(gè)人站在街道中的某一個(gè)拐角處． 他可以有四個(gè)不同的走向：東、西、南、北． 選擇一個(gè)樓區(qū)時(shí)，仍面臨同樣的情況，這就是二維的隨機(jī)游動(dòng)．而一維的隨機(jī)游動(dòng)是在一條數(shù)軸上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從整數(shù)點(diǎn)開始的向前或向后走動(dòng)，方動(dòng)，賭幣的兩個(gè)面中的哪一個(gè)面向上相當(dāng)于點(diǎn)的向前或向后，因而決定了賭博的贏或輸． 一般地，考慮用互相正交的直線將d維格點(diǎn)(d個(gè)坐標(biāo)都是整數(shù)的d維空間的點(diǎn))連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成d維格網(wǎng)，在每一個(gè)格點(diǎn)上都有d條直線相交，因而有2d個(gè)方向可供選擇，選擇每一方向的概率是1／2d．在1921年的論文中，他證明了一個(gè)引人注意的定理：在一維與二維格網(wǎng)中，只要次數(shù)足夠大，任意游動(dòng)的點(diǎn)必定返回到它的起始點(diǎn)；但在更高維的格網(wǎng)中，這并不是必然發(fā)生的．波利亞曾將二維隨機(jī)游動(dòng)的這一結(jié)論形象地說(shuō)成：「平面上的道路條條通羅馬！」1964年在紐約世界博覽會(huì)上，國(guó)際商用機(jī)器公司(IBM)在它的展覽廳內(nèi)當(dāng)眾演示了隨機(jī)游動(dòng)．
函數(shù)論
　　雖然波利亞在概率論方面的成就是引人注目的，但他的最深?yuàn)W、最艱難的工作要算復(fù)變函數(shù)論了．特別是全平面內(nèi)沒(méi)有奇點(diǎn)的單值整函數(shù)的研究．在這個(gè)領(lǐng)域中所使用的術(shù)語(yǔ)，例如「波利亞峰」、「波利亞表示」和「波利亞間隙定理」就表明了波利亞在這一領(lǐng)域中所做出的貢獻(xiàn)． 　

      1914年他和德國(guó)猶太數(shù)學(xué)家I．舒爾(Schur)合作引進(jìn)了波利亞-舒爾函數(shù)，包括J．舍恩伯格(Schoenberg)樣條函數(shù)逼近工作． 1957年，波利亞與舍恩伯格提出了一個(gè)有關(guān)冪級(jí)數(shù)的猜想：能夠?qū)�單位圓映入凸區(qū)域的兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的阿達(dá)馬積，仍是一個(gè)具有同樣性質(zhì)的冪級(jí)數(shù)．這就是著名的波利亞-舍恩伯格猜想．經(jīng)過(guò)一些數(shù)學(xué)家的不懈努力，15年后，在1973年由德國(guó)維爾茨堡的S．路什科威(Ruscheweyh)和英國(guó)約克的T．小希爾(Sheil-small)合作下最后獲得證明．舍恩伯格在1947年解決了一個(gè)矩問(wèn)題，它與波利亞在1915年的一篇論文有關(guān)，為此舍恩伯格引進(jìn)了一些頻率函數(shù)，并稱之為波利亞頻率函數(shù)． 　　

      波利亞在函數(shù)論方面最重要的工作是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)果，它與著名的黎曼猜想密切相關(guān)．1919年的論文「數(shù)論的種種評(píng)論」(Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheone)提出了一個(gè)猜想，被稱為波利亞猜想，即：「對(duì)每個(gè)x＞1，在不超過(guò)x的正整數(shù)中，含有奇數(shù)個(gè)素?cái)?shù)因子(不一定是不同的)的整數(shù)個(gè)數(shù)不少于含有偶數(shù)個(gè)素?cái)?shù)因子的整數(shù)個(gè)數(shù)．」在很長(zhǎng)時(shí)期里，人們都認(rèn)為波利亞猜想是正確的．直到1958年，C． B． B． 哈茲爾格羅夫(Haselgrove)從理論上證明了存在著無(wú)窮多個(gè)反例， 1962年R． S． S． 萊曼(Lehman)找到了一個(gè)具體反例：906 180 359，從而推翻了波利亞猜想．發(fā)表于1926年的波利亞的另一篇論文「關(guān)于黎曼ξ函數(shù)的積分表示的評(píng)論」(Bemerkung ber die Integraldarstellung derRiemannschen ξ-Funktion)明顯地涉及了黎曼猜想，雖然失敗了，但卻導(dǎo)致了統(tǒng)計(jì)方法的重大進(jìn)展．
組合數(shù)學(xué)
　　1935年，波利亞對(duì)化學(xué)中同分異構(gòu)體進(jìn)行了研究，表現(xiàn)了他對(duì)對(duì)稱性的極大興趣．自從19世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)了同分異構(gòu)體后，關(guān)于同分異構(gòu)體的計(jì)數(shù)問(wèn)題長(zhǎng)期得不到解決． 直到1874年，同時(shí)出現(xiàn)了三篇有關(guān)的論文，其一是德國(guó)籍化學(xué)家W． 孔那(Korner)的，討論苯的取代物的同分異構(gòu)體；其二是荷蘭化學(xué)家J． H． H． 范霍夫(Van’thoff)的，討論有機(jī)化合物的同分異構(gòu)體；其三是英國(guó)數(shù)學(xué)家A． 凱萊(Cayley)的，運(yùn)用樹圖并引入母函數(shù)來(lái)研究同分異構(gòu)體的計(jì)數(shù)問(wèn)題．到了20世紀(jì)30年代，美國(guó)化學(xué)家又在這方面做了更多的計(jì)算． 但是這些方法都是針對(duì)個(gè)別情況而缺乏普遍性． 在前人研究同分異構(gòu)體計(jì)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，波利亞在1937年以「關(guān)于群、圖與化學(xué)化合物的組合計(jì)算方法」(KombinatorischeAnzahlbestimmungen fr Gruppen，Graphen und ChemischeVerbindungen)為題，發(fā)表了長(zhǎng)達(dá)110頁(yè)、在組合數(shù)學(xué)中具有深遠(yuǎn)意義的著名論文．在這篇論文中推廣了伯恩賽德(Burnside)引理，給出了普遍適用的一般計(jì)數(shù)方法．實(shí)際上，第一個(gè)提出這一理論的是美國(guó)一位工程師J． H． 雷德菲爾德(Redfield)，他在1927年發(fā)表的論文「群化分布的理論」(The theory of groupredu-ced distribution)中解決了某種矩陣的計(jì)數(shù)問(wèn)題．由于雷德菲爾德所使用的數(shù)學(xué)名詞不普遍，因而這篇論文幾乎沒(méi)有引起人們的注意．波利亞的工作更全面、更豐富，其主要定理現(xiàn)已稱為「波利亞計(jì)數(shù)定理」(Polya’s enumeration theorem)寫入組合數(shù)學(xué)的教材中，它提供了強(qiáng)有力的和巧妙的(對(duì)于那些僅有初等數(shù)學(xué)知識(shí)的人來(lái)說(shuō)又是易于理解的)方法，對(duì)圖及化合物進(jìn)行計(jì)數(shù)．
等周問(wèn)題
　　在20世紀(jì)40年代后期，波利亞撰寫了一些有關(guān)微分方程的論文以及數(shù)學(xué)物理方面的一系列論文．其中有些內(nèi)容，后來(lái)出現(xiàn)在與賽格合著的書《數(shù)學(xué)物理中的等周不等式》(Isoperimetricinequalities in mathematical physics)中． 他的有關(guān)等周問(wèn)題、振動(dòng)模以及特征值的一系列工作一直持續(xù)到1960年．最古老的等周問(wèn)題要追溯到遠(yuǎn)古，即所謂狄多(Dido)①(①狄多，希臘傳說(shuō)中迦太基著名的建國(guó)者，古代泰爾(Tyre)國(guó)古腓尼基南部之一海港，在今黎巴嫩)國(guó)王的女兒．)題：在面積給定的情況下，求周長(zhǎng)最小的平面區(qū)域，或等價(jià)地說(shuō)成，用給定的周長(zhǎng)圍成最大面積的平面區(qū)域． 隨著數(shù)學(xué)物理的發(fā)展，產(chǎn)生了許多類似的問(wèn)題.最著名的一個(gè)是由L． 雷利(Rayleigh)提出來(lái)的：在鼓膜面積給定的條件下，它應(yīng)具有什么形狀，使震動(dòng)的頻率最小？很明顯，這個(gè)問(wèn)題與狄多問(wèn)題一樣，應(yīng)取圓形．但是要證明它卻并非易事．狄多問(wèn)題的最精巧的、直觀的解法是由瑞士幾何學(xué)家J． 斯坦納(Steiner)給出的「對(duì)稱法」．波利亞認(rèn)為同樣的方法也可以運(yùn)用于類似的幾何與數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中，并給出了雷利問(wèn)題的最優(yōu)美的解答．
幾何與數(shù)論
　　早在1913年，波利亞就描述了下面這樣一條皮亞諾(Peano)曲線，它通過(guò)一個(gè)區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)至多三次．眾所周知，這樣的曲線必須有至少三重點(diǎn)，但波利亞證明了，這樣的曲線并不必須有更高重?cái)?shù)的點(diǎn)，這一結(jié)論是很重要的． 　　波利亞對(duì)于數(shù)論的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在解析數(shù)論領(lǐng)域、各種漸近公式、k冪剩余以及非剩余問(wèn)題等．

波利亞 - 工作

波利亞曾經(jīng)教過(guò)中學(xué)，長(zhǎng)期從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作．退休后，又從事中學(xué)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)工作．在漫長(zhǎng)的歲月中，他的精湛的教學(xué)藝術(shù)與杰出的數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，產(chǎn)生了他特有的豐富的數(shù)學(xué)教育思想． 　　

波利亞數(shù)學(xué)教育思想有兩個(gè)基點(diǎn)：其一是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識(shí)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)有二重性，它既是歐幾里得式的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造與認(rèn)識(shí)過(guò)程中，它又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．其二是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)，他認(rèn)為生物發(fā)生律(也稱重演律)可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)與智力開發(fā)，為此他在1962年發(fā)表了題為「數(shù)學(xué)教學(xué)與生物發(fā)生律」(The teaching of mathematics and the biogeneticlaw)的論文， 1965年又在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》(Mathematical disco-very)一書中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)人類的后代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)重走人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重大幾步．基于這種思想他對(duì)數(shù)學(xué)史、對(duì)許多著名數(shù)學(xué)家如歐幾里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes)、R． 笛卡兒(De-scartes)、C．笛卡兒(De-scartes)、C． F． F． 高斯(Gauss)，尤其是L．高斯(Gauss)，尤其是L．歐拉(Euler)的論文進(jìn)行了深入研究，認(rèn)真剖析他本人及當(dāng)代人發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理及其證明的認(rèn)識(shí)過(guò)程，體察人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想、方法與途徑，從而提出了一些重大的數(shù)學(xué)教育思想與方法論原理． 　　

1963年，他在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》(The American Mathemati-cal Monthly)撰文提出了著名的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的心理三原則，即主動(dòng)學(xué)習(xí)原則、最佳動(dòng)機(jī)原則以及階段循序原則． 波利亞認(rèn)為教師在學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)中，僅僅是「助產(chǎn)士」，他的主導(dǎo)作用在于引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西；引導(dǎo)學(xué)生積極地參與提出問(wèn)題、解決問(wèn)題．他認(rèn)為科學(xué)地提出問(wèn)題需要更多的洞察力和創(chuàng)造性，很可能成為一項(xiàng)發(fā)現(xiàn)的重要組成部分，而學(xué)生一旦提出了問(wèn)題，那么他們解決問(wèn)題的注意力更集中，主動(dòng)性會(huì)更強(qiáng)烈．教師的教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，這就是主動(dòng)性原則．但他又認(rèn)為如果學(xué)習(xí)者缺少活動(dòng)的動(dòng)機(jī)，那么也不會(huì)有所行動(dòng)． 波利亞認(rèn)為對(duì)所學(xué)材料產(chǎn)生興趣是最好的學(xué)習(xí)刺激，而緊張的思維活動(dòng)后所感受到的快樂(lè)是對(duì)這種活動(dòng)的最好獎(jiǎng)賞．這就是最佳動(dòng)機(jī)原則．這就是最佳動(dòng)機(jī)原則． 波利亞根據(jù)生物發(fā)生律的思想，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程由低級(jí)到高級(jí)分成三個(gè)不同階段：(1)探索階段，是人類的活動(dòng)與感受階段，處于直觀水平；(2)形式化階段，引入術(shù)語(yǔ)、定義、證明，上升到概念水平；(3)同化階段，將所學(xué)的知識(shí)消化、吸收、融匯于學(xué)習(xí)者的整體智力結(jié)構(gòu)中．每一個(gè)人的思維必須有序地通過(guò)這三個(gè)階段，這就是階段循序原則． 　　

他認(rèn)為在課程設(shè)計(jì)及其教學(xué)時(shí)，「生物發(fā)生律」不僅可以決定應(yīng)教什么內(nèi)容與理論，而且還可以預(yù)見到用什么樣的先后順序和適當(dāng)方法來(lái)講授這些內(nèi)容與理論．據(jù)此，1965年正當(dāng)「新數(shù)運(yùn)動(dòng)」方興未艾時(shí)，他提出了尖銳的反對(duì)意見．他說(shuō)先講集合、群論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的東西，再學(xué)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，無(wú)異于讓嬰兒先學(xué)開汽車，再讓他學(xué)會(huì)走路． 直到1977年在回答「你希望今后若干年內(nèi)數(shù)學(xué)教育應(yīng)朝什么方向發(fā)展」的問(wèn)題時(shí)，仍激烈地堅(jiān)持「離開新數(shù)學(xué)軌道，離得越遠(yuǎn)越好」．

波利亞 - 評(píng)價(jià)

由于他在數(shù)學(xué)教育上的杰出工作，1980年被邀請(qǐng)擔(dān)任第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的名譽(yù)主席，并發(fā)表了題為「數(shù)學(xué)增進(jìn)智力」的書面致詞． 　　

當(dāng)代數(shù)學(xué)家N． G、德布魯因(de Bruijn)這樣評(píng)價(jià)他：“波利亞是對(duì)我的數(shù)學(xué)活動(dòng)影響最大的數(shù)學(xué)家．他的所有研究都體現(xiàn)出使人愉快的個(gè)性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法論、簡(jiǎn)捷的手段、有力的結(jié)果．如果有人問(wèn)我，想成為什么樣的數(shù)學(xué)家，我會(huì)毫不遲疑地回答：波利亞。” 　　——摘自賀賢孝 (遼寧師范大學(xué))，《波利亞》，世界著名數(shù)學(xué)家傳記，1995，1407-141