芝諾 - 生平

芝諾生活在古代希臘的埃利亞城邦．他是埃利亞學(xué)派的著名哲學(xué)家巴門尼德(Parmenides)的學(xué)生和朋友

 ．關(guān)于他的生平，缺少可靠的文字記載．柏拉圖在他的對話《巴門尼德》篇中，記敘了芝諾和巴門尼德于公元前5世紀(jì)中葉去雅典的一次訪問．其中說：“巴門尼德年事已高，約65歲；頭發(fā)很白，但儀表堂堂．那時芝諾約40歲，身材魁梧而美觀，人家說他已變成巴門尼德所鐘愛的了。”按照以后的希臘著作家們的意見，這次訪問乃是柏拉圖的虛構(gòu)．然而柏拉圖在書中記述的芝諾的觀點，卻被普遍認(rèn)為是相當(dāng)準(zhǔn)確的．據(jù)信芝諾為巴門尼德的“存在論”辯護(hù)．

但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是“一”不是“多”，是“靜”不是“動”，他常常用歸謬法從反面去證明：“如果事物是多數(shù)的，將要比是‘一’的假設(shè)得出更可笑的結(jié)果�！彼�用同樣的方法，巧妙地構(gòu)想出一些關(guān)于運動的論點．他的這些議論，就是所謂“芝諾悖論”．芝諾有一本著作《論自然》．在柏拉圖的《巴門尼德》篇中，當(dāng)芝諾談到自己的著作時說：“由于青年時的好勝著成此篇，著成后，人即將它竊去，以致我不能決斷，是否應(yīng)當(dāng)讓它問世．”公元5世紀(jì)的評論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評注中說，芝諾從“多”和運動的假設(shè)出發(fā)，一共推出了40個各不相同的悖論．芝諾的著作久已失傳，亞里士多德的《物理學(xué)》和辛普里西奧斯(Simplici－us)為《物理學(xué)》作的注釋是了解芝諾悖論的主要依據(jù)，此外還有少量零星殘篇可提供佐證．現(xiàn)存的芝諾悖論至少有 8個，其中關(guān)于運動的4個悖論尤為著名． 　　關(guān)于芝諾之死,有一則廣為流傳但情節(jié)說法不一的故事說，芝諾因蓄謀反對埃利亞(另一說為敘拉古)的僭主，而被拘捕、拷打，直至處死．

芝諾 - 悖論

下面來考察芝諾關(guān)于運動的4個悖論．引號內(nèi)的是亞里士多德的《物理學(xué)》中的原話，前面的小標(biāo)題是為了便于研究加上的．

二分說

“運動不存在．理由是：位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處．”J．伯內(nèi)特(Burnet)解釋說：即不可能在有限的時間內(nèi)通過無限多個點．在你走完全程之前必須先走過給定距離的一半，為此又必須走過一半的一半，等等，直至無窮．亞里士多德批評芝諾在這里犯了錯誤：“他主張一個事物不可能在有限的時間里通過無限的事物，或者分別地和無限的事物相接觸．須知長度和時間被說成是“無限的”有兩種涵義，并且一般地說，一切連續(xù)事物被說成是“無限的”都有兩種涵義：或分起來的無限，或延伸上的無限．因此，一方面，事物在有限的時間里不能和數(shù)量上無限的事物相接觸，另一方面，卻能和分起來無限的事物相接觸，因為時間本身分起來也是無限的．因此，通過一個無限的事物是在無限的時間里而不是在有限的時間里進(jìn)行的，和無限的事物接觸是在無限數(shù)的而不是在有限數(shù)的現(xiàn)在上進(jìn)行的．”

追龜說

◆阿基里斯(Achilles，并非荷馬史詩《伊里亞特》中的英雄阿基里斯，而是古希臘奧運會中的一名長跑冠軍)追龜說．“這個論點的意思是說：一個跑得最快的人永遠(yuǎn)追不上一個跑得最慢的人．因為追趕者首先必須跑到被追者的起跑點，因此走得慢的人永遠(yuǎn)領(lǐng)先．”伯內(nèi)特解釋說，當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了．這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它．亞里士多德指出這個論證和前面的二分法是一回事．“區(qū)別只在于：這里加上的距離不是用二分法劃分的．由這個論證得到的結(jié)論是：跑得慢的人不可能被趕上．而這個結(jié)論是根據(jù)和二分法同樣的原理得到的——因為在這兩個論證里得到的結(jié)論都是因為無論以二分法還是以非二分法取量時都達(dá)不到終結(jié)．在第二個論證里說最快的人也追不上最慢的人，這樣說只是把問題說得更明白些罷了——因此，對這個論證的解決方法也必然是同一個方法．認(rèn)為在運動中領(lǐng)先的東西不能被追上這個想法是錯誤的．因為在它領(lǐng)先的時間內(nèi)是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規(guī)定的有限的距離的話，那么它也是可以被趕上的．”

飛箭靜止說

“如果任何事物，當(dāng)它是在一個和自己大小相同的空間里時(沒有越出它)，它是靜止著．如果位移的事物總是在‘現(xiàn)在’里占有這樣一個空間，那么飛著的箭是不動的．”亞里士多德接著批駁說：“他的這個說法是錯誤的，因為時間不是由不可分的‘現(xiàn)在’組成的，正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣．”又說：“這個結(jié)論是因為把時間當(dāng)作是由‘現(xiàn)在’組成的而引起的，如果不肯定這個前提，這個結(jié)論是不會出現(xiàn)的．”

運動場悖論

“第四個是關(guān)于運動場上運動物體的論點：跑道上有兩排物體，大小相同且數(shù)目相同，一排從終點排到中間點，另一排從中間點排到起點．它們以相同的速度沿相反方向作運動．芝諾認(rèn)為從這里可以說明：一半時間和整個時間相等”．亞里士多德接著指出：“這里錯誤在于他把一個運動物體經(jīng)過另一運動物體所花的時間，看做等同于以相同速度經(jīng)過相同大小的靜止物體所花的時間．事實上這兩者是不相等的．”他的證明可用下面的圖解來表示，其中A，B，C代表大小相同的物體．A A A A　A A A A 　　B B B B—→　B B B B—→ 　　←— C C C C ←—C C C C 　　AAAA為一排靜止物體，而BBBB和CCCC分別代表以相同速度作相反方向運動的物體．于是當(dāng)?shù)谝粋�B到達(dá)最末一個C的同時，第一個C也達(dá)到了最末一個B．這時第一個C已經(jīng)經(jīng)過了所有的B，而第一個B只經(jīng)過了所有的A中的一半．因為經(jīng)過每個物體的時間是相等的，所以一半時間和整個時間相等．這個錯誤結(jié)論是從上述錯誤假定得出的．

芝諾 - 相關(guān)分析與研究

引文

現(xiàn)在把這3個悖論聯(lián)系起來分析．誠如亞里士多德所說，阿基里斯追龜說其實可以歸結(jié)為二分說．按照二分說，阿基里斯在到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c之前，必須先走過這段距離的1/2，為此，又必須先走過1/4，1/8，等等，即必須在有限的時間內(nèi)通過無限多個點，因此按芝諾的理由，阿基里斯根本就動彈不了．亞里士多德克服這個困難的辦法是說，“時間本身分起來也是無限的”，而在解決飛箭靜止說時又說，“時間不是由不可分的‘現(xiàn)在’組成的，正如別的任何量也都不是由不可分的部分組合成的那樣．”亞里士多德曾明確地論證過“在時間里確有一種不可分的東西，我們把它稱之為‘現(xiàn)在’．”

于是問題的癥結(jié)在于亞里士多德所說的不可分的“現(xiàn)在”究竟是什么？如果用區(qū)間表示時間，所謂“現(xiàn)在”是長度很短的線段呢，還是長度為零的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)上的點？如果是前者，那么時間就是由“現(xiàn)在”組成的，飛箭就是不動的了．亞里士多德的意思顯然是指后者．但按照亞里士多德對二分說的分析，線段(距離)被分割為和無限數(shù)的“現(xiàn)在”相對應(yīng)的無限數(shù)的點．又按照二分法的含義，這里的無限是可數(shù)的，那么，由可數(shù)的無限個長度為零的點組成的線段，其長度必為零，這又矛盾了．因此，芝諾悖論揭示的是事物內(nèi)部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無限可分和有限長度之間的矛盾，亞里士多德沒有能覺察到這一點，當(dāng)然實際上沒有能駁倒芝諾．P．湯納利(Tannery)在1885年指出，芝諾悖論所反對的是那種認(rèn)為空間是點的總和、時間是瞬刻的總和的概念．換句話說，芝諾并不否認(rèn)運動，但是他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的． 　　

芝諾的類似觀點還表現(xiàn)在他的兩個針對“多”的悖論中．其中一個見于失傳的芝諾原著的如下一段殘篇： 　　

如果有許多事物，那就必須與實際存在的事物相符，既不多也不少．可是如果有象這樣多的事物，事物(在數(shù)目上)就是有限的了．如果有許多事物，存在物(在數(shù)目上)就是無窮的．因為在各個事物之間永遠(yuǎn)有一些別的事物，而在這些事物之間又有別的事物．這樣一來，存在物就是無窮的了．

分析

芝諾認(rèn)為存在若是“多”就會導(dǎo)致無窮的論證，也表達(dá)在另一個悖論里．它被辛普里西奧斯至少是部分地逐字逐句記述下來．這些記述不象阿基里斯追龜說和飛箭靜止說那樣經(jīng)后人或多或少地修改過，雖然表達(dá)得沒有那么清楚，但是卻更接近于芝諾的原話．辛普里西奧斯在他的引言里說，芝諾首先論證既無“大小”又無厚度的東西是不能存在的．“因為如果這樣，它加在某物之上不能使其變大，從某物減去也不能使其變�。�但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因減少它而使一物減小，這就明顯地看出，所增加或所減少的是零．”接著就逐字引用以下一段： 如果是這樣，它就必須每一個部分與別的部分有一定的距離．對于位于這一部分前面的那個部分也是如此．那個部分也會有大小，也會有位于其前面的部分．依此類推，永無止境．這樣，它的任何一個部分都不會是最外面的邊界，也不會有任何一個部分不分割為其它部分．所以，如果存在是多，那么它必然既是小的又是大的：小會小到?jīng)]有大小，大會大到無窮． 　　

這段引文比較費解，特別是他只逐字引用了后半部分，以證明大會大到無窮．至于證明小會小到?jīng)]有大小，芝諾依據(jù)的是物體的無限可分性，由此假定出發(fā)，他容易證明隨著分割的繼續(xù)，各部分越來越小，以至將會小到?jīng)]有止境．如果有一個最后元素，那就只能是沒有大小的“無”．因此，把任意數(shù)目的這些“無”元素加在任何東西上都不會使它增大，反之從任何東西里減去它們也不會使它變小；當(dāng)然，把這些“無”元素通通加起來，即使其數(shù)目有無限多個，其總和還是“無”．上述悖論和關(guān)于運動的前三個悖論的共同點，在于假定了空間、時間和物體的無限可分性，實際上還討論了無窮小和連續(xù)性．

兩個假設(shè)

芝諾在這里其實還援引了如下兩個假設(shè)： i)無限多個相等的任意小的正量的總和必然是無窮大； ii)無限多個沒有大小的量的總和仍然是沒有大小的量． 　　

其中假設(shè)ii)是芝諾反對把線段(時間、空間)看成是一個無限點集(無限多個沒有大小的量的總和)的主要依據(jù)．因此解決芝諾悖論的一個關(guān)鍵就是證明假設(shè)ii)不成立．A．格蘭巴姆(Grünbaum)于1952年詳盡地討論了這個問題．

結(jié)論

他把只含有一個點的子區(qū)間定義為退化子區(qū)間，從而得出下列結(jié)論： 　　

1)有限區(qū)間(a，b)是退化子區(qū)間的連續(xù)統(tǒng)的并集； 　　

2)每個退化子區(qū)間的長度是零； 　　

3)區(qū)間(a，b)的長度是b—a； 　　

4)一個區(qū)間的長度不是它的基數(shù)的函數(shù)． 　　

因此，芝諾的假設(shè)ii)不能成立．事實上，將一個線段(或別的量)按二分法進(jìn)行無限分割，不可能有最后元素．因為既是無限分割，它就是一個沒有最后一項的永遠(yuǎn)不能完成的過程．在取極限的意義上，按結(jié)論1)，有限區(qū)間(a，b)成為不可數(shù)的無限個退化子區(qū)間的并集，這時雖然每個退化子區(qū)間(或每個點)的長度為0，但整個并集的長度不是0，而是b—a(按結(jié)論3))．這樣，作為對芝諾和亞里士多德的回答，時間和距離都是作為無長度元素(點)的無窮集合的線性連續(xù)統(tǒng)．換言之，線段是點的無窮集合，而時間是無廣延的瞬刻的無窮集合，它們都是線性連續(xù)統(tǒng)．這樣，飛箭靜止說這一悖論，原來指在任一給定的瞬刻是不動的但在由無限多瞬刻組成的連續(xù)體上卻是動的，現(xiàn)在轉(zhuǎn)換成一個新的“悖論”：由無廣延的點組成的無窮集卻有廣延． 　　

關(guān)于運動場悖論,值得指出的是，這是古代文獻(xiàn)中第一個涉及相對運動的問題．在現(xiàn)存的芝諾悖論中，它是唯一的和連續(xù)統(tǒng)問題無關(guān)的問題．不過也有學(xué)者(例如P．湯納利等人)認(rèn)為它和連續(xù)統(tǒng)問題是有著某種聯(lián)系的．這樣，我們一共討論了六個芝諾悖論．在古代傳說中保存下來的還有另外幾個據(jù)信是屬于芝諾的悖論，由于內(nèi)容不那么深刻，也比較容易解決，這里就不作介紹了．

芝諾 - 對芝諾的評價、研究及其對后世的影響

芝諾因其悖論而著名，并因此在數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩方面享有不朽的聲譽(yù)．?dāng)?shù)學(xué)史家F．卡約里(Cajori)說，“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續(xù)性、無限大和無限小這些概念的歷史．”但遺憾的是，芝諾的著作沒有能流傳下來，我們是通過批評他的亞里士多德及其注釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的．直到19世紀(jì)中葉，人們對于亞里士多德關(guān)于芝諾悖論的引述及批評幾乎是深信不疑的，普遍認(rèn)為芝諾悖論只不過是一些有趣的謬見．英國數(shù)學(xué)家B．羅素(Russell)感慨地說：“在這個變化無常的世界上，沒有什么比死后的聲譽(yù)更變化無常了．死后得不到應(yīng)有的評價的最顯眼的犧牲品莫過于埃利亞的芝諾了．他雖然發(fā)明了4個無限微妙、無限深邃的悖論，后世的大批哲學(xué)家們卻宣稱他只不過是一個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯．

遭到兩千多年的連續(xù)駁斥之后，這些“詭辯”才得以正名，…．”19世紀(jì)下半葉以來，學(xué)者們開始重新研究芝諾．他們推測芝諾的理論在古代就沒有得到完整的、正確的報道，而是被詭辯家們用作倡導(dǎo)懷疑主義和否定知識的工具，從而背離了芝諾的真正宗旨．而亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的．然而，迄今為止，學(xué)者們還找不出可靠的證據(jù)足以推翻亞里士多德和辛普里西奧斯關(guān)于芝諾悖論的記述．由于目前對希臘哲學(xué)史了解得還不夠，對于芝諾提出這些悖論的目的何在尚不清楚．比較一致的意見是：芝諾關(guān)于運動的悖論并不是簡單地否認(rèn)運動，芝諾責(zé)難“多”也不是簡單地把兩只羊說成一只羊．在這些悖論后面有著更深層的內(nèi)涵．亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意，功不可沒，但是他對于芝諾悖論的分析和批評并非十分成功，是值得重新研究的． 　　

關(guān)于芝諾悖論對于古代希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性，在科學(xué)史學(xué)者中的意見是很不一致的．P．湯納利首先提出，芝諾和巴門尼德哲學(xué)的關(guān)系并不如古代傳說中所肯定的那樣密切．相比之下，因畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量而出現(xiàn)的一些問題，對于芝諾具有更加深刻的影響．基于同樣的假設(shè)，H．赫斯(Hasse)和H．斯科爾斯(Scholz)想把芝諾說成是對古代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向起決定影響的人物．他們試圖證明，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾假定存在無限小的基本線段(初等線段)，想以此來克服因發(fā)現(xiàn)不可公度量而引起的困難．芝諾所反對的正是這種處理無窮小的不準(zhǔn)確的做法，從而迫使下一代的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家去探求更好、更準(zhǔn)確的基礎(chǔ)．另有一些學(xué)者持有完全不同的意見．B．L．范德瓦爾登(van der Waerden)指出，我們已知的關(guān)于公元前五世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)理論——不可公度量的發(fā)現(xiàn)無疑是那個時代作出的——并不支持芝諾曾經(jīng)對那個時代的數(shù)學(xué)發(fā)展作過任何重大貢獻(xiàn)的說法． 　　

雖然芝諾時代已經(jīng)過去二千四百多年了，但是圍繞芝諾的爭論還沒有休止．不論怎樣，人們無須擔(dān)心芝諾的名字會從數(shù)學(xué)史上一筆勾銷．正如美國數(shù)學(xué)史家E．T．貝爾(Bell)所說，芝諾畢竟曾“以非數(shù)學(xué)的語言，記錄下了最早同連續(xù)性和無限性格斗的人們所遭遇到的困難．”芝諾的功績在于把動和靜的關(guān)系、無限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系惹人注意地擺了出來，并進(jìn)行了辯證的考察．雖然不能肯定他對古典希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展有無直接的重要影響，但是有一點決不是偶然的巧合：柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇的時候，因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點，芝諾也是書中的主角之一，因此在柏拉圖學(xué)園中很自然地?zé)崃矣懻撈鹬ブZ悖論來．當(dāng)時歐多克索斯(Eudoxus)正在柏拉圖學(xué)園中攻讀和研究數(shù)學(xué)與哲學(xué)．歐多克索斯在稍后的時間里創(chuàng)立了新的比例論(《幾何原本》第五卷中的主要內(nèi)容)，從而克服了因發(fā)現(xiàn)不可公度量而出現(xiàn)的數(shù)學(xué)危機(jī)；并完善了窮竭法，巧妙地處理了無窮小問題．因此，在希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的這個關(guān)鍵時刻，很難說芝諾沒有對它的發(fā)展作出過有意義的貢獻(xiàn)． 　　芝諾在哲學(xué)上被亞里士多德譽(yù)為辯證法的發(fā)明人．黑格爾在他的《哲學(xué)史講演錄》中指出：“芝諾主要是客觀地辯證地考察了運動”，并稱芝諾是“辯證法的創(chuàng)始人”．

芝諾 - 斯多葛學(xué)派的芝諾

芝諾(約公元前336～約前264年)塞浦路斯島人，于公元前300年左右在雅典創(chuàng)立斯多葛學(xué)派，因芝諾在雅典意為“彩繪有頂柱廊”的畫廊講學(xué),故稱之為畫廊學(xué)派或斯多葛派。芝諾是一個唯物主義者，他的學(xué)說大體上是犬儒主義與赫拉克利特的結(jié)合品；但是斯多葛學(xué)派則由于參入了柏拉圖主義而逐漸放棄了唯物主義。他重視物理學(xué)與形而上學(xué)，提出了宇宙決定論，但僅僅是因為它們有助于解釋德行，他認(rèn)為重要的只是德行。

芝諾 - 芝諾的宇宙決定論

芝諾相信并沒有偶然這樣一種東西，自然的過程是嚴(yán)格地為自然律所決定的。起初只有火；然后其它的元素——氣、水、土，就順序逐漸形成了。但是遲早終將有一場宇宙大燃燒，于是一切有變成火。按照大多數(shù)斯多葛派的說法，這場火并不是最后的終結(jié)，像是基督教學(xué)說中所說的世界末日那樣，而只是一度循環(huán)的結(jié)束；整個的過程將是永無休止的重演。現(xiàn)在所出現(xiàn)的萬物以前就曾經(jīng)出現(xiàn)過，而且將來還要出現(xiàn)，并不是一次而是無數(shù)次。自然過程是被一個“立法者”所規(guī)定的，而這個“立法者”同時也就是一個仁慈的天意。整個宇宙知道最為微小的細(xì)節(jié)，都是被設(shè)計成要以自然的手段達(dá)到某種目的的。這些目的，除了色即到神鬼的而外，都可以在人生中找到。萬物都有一個與人類相關(guān)聯(lián)的目的。至高無上的威力叫做“神”或“宙斯”�！吧瘛迸c世界是分不開的；他就是世界的靈魂，而我們每個人都包含有一部分神圣的火。一切事物都是那個叫做“自然”的單一體系的各個部分；個體的生命當(dāng)與“自然”相和諧的時候，就是好的。就一種意義來說，每一個生命都與“自然”和諧，因為它的存在正是自然律所造成的；但是就另一種意義來說，則唯有當(dāng)個體意志的方向是朝著屬于整個“自然”的目的之內(nèi)的那些目的時，人的生命才是與“自然”相調(diào)和的。

芝諾 - 芝諾的德行論

德行就是與“自然”相一致的意志（參見宇宙決定論）。壞人雖然也不得不遵守上帝的法律，但卻不是自愿的；用克雷安德的比喻來說，他們就像是被拴在車后面的一條狗，不得不隨著車子一起走。在一個人生命里，只有德行才是唯一的善；像健康、幸福、財產(chǎn)這些東西都是微不足道的。既然德行在于意志，所以人生中一切真正好的和壞的東西就都僅僅取決于自己。旁人只能有力量左右身外之物；而德行（唯有它才是真正的善）則完全靠個人自己。所以每個人只要能把自己從世俗的欲望之中解脫出來，就有完全的自由。而這些世俗的愿望之得以流行，都是由于虛假的判斷的緣故；圣賢的判斷是真實的判斷，所以圣賢在他所診視的一切事物上都是自己命運的主人，因為沒有外界的力量能夠剝奪他的德行。