阿特利·西爾伯格 - 概述
阿特利·西爾伯格是挪威數(shù)學(xué)家，素?cái)?shù)定理有些初等證明只需用數(shù)論的方法。第一個(gè)初等證明於1949年由匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·艾狄胥（“愛爾多斯”，或“愛爾多�！保┖团餐䲠�(shù)學(xué)家阿特利·西爾伯格合作得出。 在此之前一些數(shù)學(xué)家不相信能找出不需借助艱深數(shù)學(xué)的初等證明。像英國數(shù)學(xué)家哈代便說過素?cái)?shù)定理必須以復(fù)分析證明，顯出定理結(jié)果的「深度」。他認(rèn)為只用到實(shí)數(shù)不足以解決某些間題，必須引進(jìn)復(fù)數(shù)來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素?cái)?shù)定理的初等證明動(dòng)搖了這論調(diào)。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數(shù)學(xué)，威力也可以很大。 category:數(shù)論 ja:素?cái)?shù)定理。
證明思路：初等證明的思路一般是利用歐拉恒等式，從中找到素?cái)?shù)分布與自然對數(shù)的關(guān)系。
阿特利·西爾伯格 - 相關(guān)內(nèi)容
定理描述素?cái)?shù)素?cái)?shù)的大致分布情況。 素?cái)?shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個(gè)個(gè)地看，素?cái)?shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律�？墒强傮w地看，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)竟然有規(guī)可循。對正實(shí)數(shù)x，定義π(x)為不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。數(shù)學(xué)家找到了一些函數(shù)來估計(jì)π(x)的增長。以下是第一個(gè)這樣的估計(jì)。 :pi(x)approxfrac 其中l(wèi)n x為x的自然對數(shù)。上式的意思是當(dāng)x趨近∞，π(x) 和x/ln x的比趨近1（注：該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計(jì)： :pi(x)= (x) + O left(x e^ ight)，當(dāng) x 趨近∞。 其中 (x) = int_2^x frac，而關(guān)系式右邊第二項(xiàng)是誤差估計(jì)，詳見大O符號。 下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)
素?cái)?shù)定理可以給出第n個(gè)素?cái)?shù)p(n)的漸近估計(jì)： :p(n)sim nln,n. 它也給出從整數(shù)中抽到素?cái)?shù)的概率。從不大于n的自然數(shù)隨機(jī)選一個(gè)，它是素?cái)?shù)的概率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國數(shù)學(xué)家勒讓德提出。1896年法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪(Jacques Hadamard)和比利時(shí)數(shù)學(xué)家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨(dú)立給出證明。證明用到了復(fù)分析，尤其是黎曼ζ函數(shù)。 因?yàn)槔杪坪瘮?shù)與π(x)關(guān)系密切，關(guān)于黎曼ζ函數(shù)的黎曼猜想對數(shù)論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進(jìn)素?cái)?shù)定理誤差的估計(jì)。1901年瑞典數(shù)學(xué)家Helge von Koch證明出，假設(shè)黎曼猜想成立，以上關(guān)系式誤差項(xiàng)的估計(jì)可改進(jìn)為 : pi(x) = (x) + Oleft(sqrt x ln,x ight) 至於大O項(xiàng)的常數(shù)則還未知道。
