簡介
1982年沃爾夫數(shù)學獎得主。
以惠特尼命名的三維曲面Whitney umbrella：x2 z - y2 = 0
學生時代
惠特尼的祖父是語言學家，外祖父是著名天文學家S．紐康門(Newcomb，1897—1898年曾任美國數(shù)學會主席)，父親是法官．他少時喜歡制作機械玩具，并沒有數(shù)學上的偏愛．據(jù)他自己講，唯一與數(shù)學家生涯 有關的是在9歲時思考能被9整除的數(shù)的公式，認為與10有關，而且據(jù)此推出被11整除的數(shù)的公式．小學、中學期間只學一點點數(shù)學，1921—1923年他到瑞士上學，他學一年法文、一年德文之外就學爬山．1924年上耶魯大學學習物理，其間也沒聽過數(shù)學，所用的微積分是他自修的，學完也就忘了．1928年取得物理學的學士學位后，又繼續(xù)專攻音樂，1929年取得音樂學士學位．他一生熱愛音樂，有高度音樂才華，會彈奏鋼琴，演奏小提琴、中提琴、 雙簧管等樂器，曾擔任 普林斯頓交響樂團首席小提琴手．還愛好爬山，《全集》中有他14歲時站在險峻的瑞士阿爾卑斯山峰頂端的照片．大學畢業(yè)后，由于對四色問題感興趣，去哈佛大學考G．D． 伯克霍夫(Birkhoff)的博士研究生．但第一次考試沒有通過，這使伯克霍夫極為惱火．不過伯克霍夫還是收留了這位后來決不遜于自己的學生，而且在自己不專攻的領域指導他．不久，惠特尼的論文就一篇接一篇地出來了，在他1932年拿到博士學位時，他寫了近10篇論文，完全是 圖論的．博士論文的題目是“圖的著色”(The coloring of graphs)，其中定義及計算“色數(shù)”．工作生涯
由于他工作出色，1931—1933年任美國國家研究委員會研究員，1933年在哈佛大學數(shù)學系任講師，1946年升為教授．這時，他的方向也從圖論改為拓撲，1935年9月參加在蘇聯(lián)莫斯科舉行的國際拓撲學大會．而這次大會成為拓撲學史的里程碑，用他最后一篇論文的題目來說就是“莫斯科1935：拓撲學移向美國” (Moscow 1935：Topology moving toward America)．文中寫道，會上H．霍普夫 (Hopf)成為他最喜歡的拓撲學家，當時所有大人物都去了，拓撲學的面貌正在改變：四個人不約而同地引進上同調(diào)，同倫論也正式出現(xiàn)，在向量場問題上的應用導致纖維叢概念的產(chǎn)生，而這種大改變與惠特尼的工作密不可分，也決定了惠特尼后來10年的工作方向．
第二次世界大戰(zhàn)期間，他參與戰(zhàn)時研究工作，
1943—1945年在科學研究發(fā)展局國防研究委員會應用數(shù)學組搞研究．
戰(zhàn)后，他在美國數(shù)學會作1946年度大會講演，題目是“光滑流形的拓撲學”，
1948一1950年任美國數(shù)學會副主席，
1944—1949年任《美國數(shù)學雜志》(American Journal of Mathematics)的編輯，
1949—1954年任《數(shù)學評論》(Mathematical review)的編輯．
1950年他任在哈佛召開的國際數(shù)學家大會程序委員會委員，在大會上作“n維空間中的r維積分”的報告．
1952年他被任命為普林斯頓高級研究院教授，1977年退休．這個時期他曾任美國國家科學基金會數(shù)學組第一任主席，
1966一1967年任國家研究委員會支持數(shù)學科學研究委員會委員．
1967年起，他的興趣完全轉(zhuǎn)向數(shù)學教育，特別是中小學教育．他親自深入課堂，了解學生的思想及感覺，發(fā)現(xiàn)數(shù)學教學中許多問題．他指出小孩的直覺方式與數(shù)學家的方式十分接近．當時的學校教學目標狹窄，語言貧乏，學生碰到問題只會代公式，沒有學會思考．教學是灌輸莫名其妙的概念以及應付標準化的考試，學生只能被動接受．為此他制訂了教師進修計劃，寫了教師指導教材．他是美國、英國、比利時、巴西等國的數(shù)學教學的顧問．1979—1982年任國際數(shù)學教育委員會中心主席．
個人榮譽
由于他的非凡貢獻，他獲得很多榮譽．1945年他被選為美國國家科學院院士，1976年被授予美國國家科學獎章，1982年獲 沃爾夫(Wolf)獎，1985年以其一生成就獲美國數(shù)學會斯蒂爾(Steele)獎．數(shù)學成就
惠特尼一生發(fā)表近80篇論文，三種專著，即《幾何積分論》(Geometric integration theory，1957)、《復解析簇》(Complexanalytic varieties，1972)和《數(shù)學活動》(Math activities，1974)．他是一系列新概念、新理論的開創(chuàng)者，其中最主要的是擬陣、上同調(diào)、纖維叢、示性類、分類空間、 分層等．圖論
惠特尼一生對四色問題感興趣，他最早和最后的數(shù)學論文都是關于四色問題的．他給出四色問題的等價命題并研究可約性問題．從四色問題出發(fā)他研究一般圖論，特別是得出兩圖同胚的條件：如G和 Gu2019是兩連通圖，均不包含三個形如 ab，ac，ad的�。舸嬖谌我饩哂泄岔旤c的兩弧到另一圖的具有公共頂點的兩弧之間的一一對應，則兩圖同胚．他定義圖的連通度，并給出n重連通的充分必要條件(所謂n重連通是指至少n+1個頂點的圖不可能因去掉n-1個或更少的頂點以及連接它們的弧而使所得的圖不連通．如果圖Gn重連通但不n+1重連通，則稱連通度為n)．他還定義圖G的對偶Gu2019，證明圖G可嵌入平面的充分必要條件是G具有對偶圖Gu2019，從而給著名的K．庫拉托夫斯基(Ku－ratowski)不可嵌入平面圖的定理一個直接的組合證明．
他的博士論文是關于圖的著色問題，其中證明M(λ)的公式并進行計算，這里M(λ)是用λ種顏色給一圖不同著色方法數(shù)，他引進一組數(shù)mij，它們不僅可用來計算M(λ)，還可定義圖G的拓撲不變量；
其中R為圖G的秩，N為G的零度．他利用這些不變量研究圖的分類問題．
惠特尼在組合論方面的最大成就是他引進擬陣(matroid)理論，這是一種抽象的線性相關性理論，它不僅包含圖論為其特例，而且還包括網(wǎng)絡理論、綜合幾何以及橫截(transversal)理論等．他的出發(fā)點很簡單，考慮矩陣M的列C1，C2，…，Cn，這些列的子集或者線性獨立或者線性相關，從而所有子集可劃分為兩類，這些類并非任意，它必須滿足下面兩個條件：
(1)一個獨立集的任何子集也是獨立的；
(2)如果Np及Np+1分別是p個列及p+1個列的獨立集，則Np加上Np+1中的某個列構(gòu)成一個獨立的p+1集．
他把滿足這兩個條件的系統(tǒng)稱為擬陣，并把許多圖的性質(zhì)推廣到擬陣上．
可微映射和奇點理論
(1)可微函數(shù)的解析延拓 惠特尼對拓撲學的主要貢獻是建立微分拓撲學，為此，必須將拓撲學考慮的連續(xù)映射推廣到可微情形．惠特尼在他早期工作中(1932—1942)就為此奠定基礎．
1925年蘇聯(lián)數(shù)學家П．C．烏雷松(Улысон)證明，如A是n維歐氏空間E中的閉集(有界或無界)，f(x)為A中定義的連續(xù)函數(shù)，則f可延拓成為整個E上的連續(xù)函數(shù)F．惠特尼在1932年證明，存在F不僅連續(xù)，而且在E—A上可微，甚至解析；如果f(x)在A中屬于Cm，則在A中F與f相等，且F的到m階的各階導數(shù)與f的各階導數(shù)對應相等．其后他又考慮A為任意子集合的情形．此時在包含A的開集上可微階降1．他還研究泰勒展開的余項的可微性問題，這些對研究奇點理論很重要．
(2)奇點理論 奇點理論是惠特尼最重要的創(chuàng)造之一，它來源于微分嵌入及浸入問題，奇點是臨界點的推廣．1942年他首先
研究n維歐幾里得空間En到E2n-1的微分映射f的奇點，發(fā)現(xiàn)使f微小變化，可得f*，它的奇點是弧立奇點，并可化為標準型：
yi=xi(i=2，…，n)，
ym+i-1=xixi(i=2，…，n)．
1955年，他首先對于平面E2到E的奇點類型進行分類；結(jié)果只有兩類，一類是折點(fold)，其標準型為另一類是尖點(Cusp)，其標準型為
通過這篇論文，開創(chuàng)了奇點理論．1956年他又對En→Em的微分映射奇點的一些情形進行分類并得出標準型，其中包括n≥m=2，3以及(n，m)=(4，4)，(5，5)，(5，4)，(n，2n-2)等情形．對于其他的En→Em，其中n=3，4，m=4，…，2n-3，在當時所知甚少．這個基本的奇點分類問題連同其他問題形成了奇點理論的熱門．同年R．托姆(Thorm)運用自己的橫截理論以及普遍開折理論首先取得突破，這項研究成為后來他的突變理論的基礎．其后1968—1971年J．麥澤(Mather)建立穩(wěn)定性理論及決定性理論，1967年起以蘇聯(lián)數(shù)學家B．И．阿諾爾德(Арнолъв)為首的蘇聯(lián)學派在理論及應用方面取得輝煌的成就．
1948年他還發(fā)表了“論可微函數(shù)的理想”(On ideals of di－fferentiable functions)，這開辟了奇點理論另一個新方向．后來B．馬格朗日(Malgrange)等對這方面有很大突破，包括證明“預備定理”．
(3)分層理論 分層理論是惠特尼最后創(chuàng)造的理論，從某種意義上說，也是奇點理論的自然延續(xù)．通常研究的歐氏空間及流形均有很好的齊性結(jié)構(gòu)(局部具有相同的結(jié)構(gòu))，但這點即使對代數(shù)簇也不滿足，特別是由解析幾何延續(xù)下來的實代數(shù)簇一般存在奇點．從1957年到1965年惠特尼研究實代數(shù)簇的拓撲學，并討論把簇分解為流形，1957年引進惠特尼層化的概念，并且對代數(shù)簇及解析簇進行層化分解，這概念后來被托姆發(fā)展成分層集理論，在奇點的局部及大范圍研究中起重要作用．1965年S．武雅謝維茨(ojasiewica)證明任何半解析集均有惠特尼分層．1965年惠特尼對解析簇定義了切向量、切平面族及切錐的概念，并考慮剖分時切集的協(xié)調(diào)問題．
微分流行的拓撲學
雖然 龐加萊甚至 黎曼已研究微分流形的拓撲學，但是由于工具不足，真正創(chuàng)立微分流形的拓撲學以及微分拓撲學的是惠特尼，他在1936年的論文“微分流形”(Differentiable manifolds)中，奠定了微分流形理論基礎．他給出微分流形的內(nèi)蘊定義，定義其上的Cr結(jié)構(gòu)(1≤r≤∞)，他證明所有Cr流形的Cr結(jié)構(gòu)都包含C∞坐標系，且其C∞結(jié)構(gòu)唯一確定．這個C∞結(jié)構(gòu)稱為該流形的可微結(jié)構(gòu)或微分結(jié)構(gòu)或光滑結(jié)構(gòu)，相應的流形稱為可徽流形或微分流形或光滑流形，微分流形與 拓撲流形有本質(zhì)的差別，即一個拓撲流形上可以不容許任何微分結(jié)構(gòu)也可以容許多個微分結(jié)構(gòu)，但是任何微分結(jié)構(gòu)部容許實解析結(jié)構(gòu)，而且還容許黎曼度量，這些也是惠特尼證明的．在這篇論文中，他證明了一些最基本的定理，特別是嵌入及浸入定理：任何n維微分流形均可微分嵌入在R2n+1(2n+1維歐氏空間)中，均可微分浸入在R2n中．1944年他又改進為n維微分流形可嵌入于R2n中，可浸入于R2n-1中．對于某些流形，這些結(jié)果已臻至善．這個工作開拓了微分流形的一個重要領域，其后， 吳文俊等許多拓撲學家做出了貢獻．纖維叢及示性類
惠特尼在1935年首次定義真正的“纖維空間”，當時他稱為“球空間”，1940年他改稱為“球叢”，在1937年及1941年他對此作兩個報告，包括許多根本的結(jié)果，他還打算對此寫一本書，始終沒有完成．他的興趣一直集中于“示性類”(Characteristic class)上．他于1936年和瑞士數(shù)學家E．施蒂費爾(Stiefel)在1935年獨立地定義這種示性類，后來稱為施蒂費爾-惠特尼示性類．他的目的是用示性類來研究微分流形的拓撲學．對此，纖維叢只是一個工具，所以他的定義并非每一細節(jié)都講得很清楚，但是他的定義是很一般的．1940—1950年間，纖維叢成為研究許多拓撲問題(特別是同倫、同調(diào)及微分幾何問題)的主要工具．1949／1950年度的嘉當討論班以纖維叢為專題進行系統(tǒng)討論，1951年N．E．斯廷洛德(Steenrod)的專著《纖維叢的拓撲學》(Topology of fi－ber bundles)的出版，標志著纖維叢理論的成熟，其中惠特尼做出突出貢獻．
(1)分類問題 從一開始，惠特尼就主要研究纖維叢的分類問題，1937年他對球叢得出分類空間，即格拉斯曼流形Gn，r，并斷言底空間為B、秩為r的球叢同構(gòu)類為〔B，Gn，r〕，即B到Gn,r映射的同倫類(nr)，他給出證明概要，1943年斯廷洛德完成了證明，后稱惠特尼-斯廷洛德定理．
惠特尼還知道以B為底空間的球叢的叢空間只依賴于B的同倫型．這事實于1939年為J．費爾德波(Feldbau)所證明，另一方面，惠特尼早在1935年，對纖維叢ξ及連續(xù)映射g：Bu2019→B構(gòu)造新纖維叢g *(ξ)并稱為g的拉回(Pull－back)，在研究纖維叢的分類中至關重要．1959年在和A．道爾德(Dold)合作的論文(文獻中)，對4維復形上的定向球叢進行分類．
(2)示性類 施蒂費爾只考慮微分流形的切叢的示性類，而惠特尼考慮的要廣得多，他考慮任意球叢(E，B，P)的底空間B也可以是任意局部有限的單純復合形．他把示性類定義為施蒂費爾流形Sn，m的整系數(shù)同調(diào)類．他指出，Sn，m的同調(diào)群
1937年，他改用上同調(diào)定義未性類．1940年他指出，對于連續(xù)映射
g：Bu20190→B，
如果Eu2019=g*(E)為E的拉回，則
Wr(Eu2019)=g*(Wr(E))．
同時他給出惠特尼的和公式：定義同一底空間上兩球叢Eu2032，E〃的惠
其中∪表上積，他指出當r≥4，證明“極難”，1941年他只給出E及Eu2032都是線叢的證明．公開發(fā)表的第一個證明是吳文俊在1948年給出的．他還用向量叢取代球叢，同年陳省身也發(fā)表另一個證明．
惠特尼還給出示性類的形式冪級數(shù)以及偶示性類的概念．至此，施蒂費爾-惠特尼示性類的理論基礎正式建立．其后，J．米爾諾(Milnor)以惠特尼提出的四個定理為公理開展示性類理論，而且其他的示性類特別是Л．C．龐特里亞金(Понтрягин)示性類及陳省身示性類（簡稱陳類）也是依據(jù)施蒂費爾-惠特尼示性類的模式定義及研究的．
(3)示性類的應用 示性類在拓撲學及幾何學巾起著極為重要的作用，惠特尼本人主要應用示性類來研究浸入問題．例如，他證明8維實射影空間P8(R)不能浸入到R14中，但能浸入在R15中，他的理論后來為吳文俊等所發(fā)展．
代數(shù)拓撲學
1935年是代數(shù)拓撲學的轉(zhuǎn)折點，其主要標志是上同調(diào)理論與同倫理論的建立．在龐加萊引入同調(diào)概念40年后，四位數(shù)學家?guī)缀跬瑫r獨立地引入上同調(diào)概念，他們是J．W．亞歷山大(Alexander)、惠特尼、E．切赫(Céch)、A．H．柯爾莫哥洛夫(Колмогоров)．當其他三位在1935年莫斯科會議宣布結(jié)果時，惠特尼的結(jié)果已經(jīng)發(fā)表，上同調(diào)類由于有上積，從而有環(huán)結(jié)構(gòu)，比同調(diào)包含更多的拓撲信息．
同倫論中，1937年惠特尼用上同調(diào)來表述霍普夫-胡列維茨(Hurewicz)判據(jù)，如果X是n維局部有限胞腔復形，Y是n維(n-1)連通空間，則f，g：X→Y同倫當且僅當
Hn(Y；Z)→Hn(X；Z)．
由此推出
〔X，x0；Y，y0〕→Hn(X；πn(Y))
是一一對應．對于不同維的映射，這些條件不一定成立，惠特尼在1936年給出過2維復形到2維或3維射影空間的映射同倫的代數(shù)條件，但未發(fā)表．1941年，H．E．羅賓斯(Robbins)推廣到2維復形到任何空間的映射的同倫分類，后來P．奧蘭姆(Olum)又大規(guī)模地予以簡化及推廣．對3維復形，龐特里亞金在1941年考慮它到S2的映射同倫分類，其中首先應用新出現(xiàn)的上積．其實惠特尼早在1936年已得出相應結(jié)果．1948年，他研究單連通空間R的第二及第三同倫群的關系，并據(jù)此給出3維復形k到R中兩個連續(xù)映射同倫的充分必要條件以及映射擴張的阻礙類．還應該指出，1938年惠特尼引進阿貝爾群的張量積概念，這對代數(shù)拓撲學及同調(diào)代數(shù)是必不可少的工具．
