簡(jiǎn)介
1982年沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主。
以惠特尼命名的三維曲面Whitney umbrella：x2 z - y2 = 0
學(xué)生時(shí)代
惠特尼的祖父是語(yǔ)言學(xué)家，外祖父是著名天文學(xué)家S．紐康門(Newcomb，1897—1898年曾任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主席)，父親是法官．他少時(shí)喜歡制作機(jī)械玩具，并沒(méi)有數(shù)學(xué)上的偏愛(ài)．據(jù)他自己講，唯一與數(shù)學(xué)家生涯 有關(guān)的是在9歲時(shí)思考能被9整除的數(shù)的公式，認(rèn)為與10有關(guān)，而且據(jù)此推出被11整除的數(shù)的公式．小學(xué)、中學(xué)期間只學(xué)一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)，1921—1923年他到瑞士上學(xué)，他學(xué)一年法文、一年德文之外就學(xué)爬山．1924年上耶魯大學(xué)學(xué)習(xí)物理，其間也沒(méi)聽(tīng)過(guò)數(shù)學(xué)，所用的微積分是他自修的，學(xué)完也就忘了．1928年取得物理學(xué)的學(xué)士學(xué)位后，又繼續(xù)專攻音樂(lè)，1929年取得音樂(lè)學(xué)士學(xué)位．他一生熱愛(ài)音樂(lè)，有高度音樂(lè)才華，會(huì)彈奏鋼琴，演奏小提琴、中提琴、 雙簧管等樂(lè)器，曾擔(dān)任 普林斯頓交響樂(lè)團(tuán)首席小提琴手．還愛(ài)好爬山，《全集》中有他14歲時(shí)站在險(xiǎn)峻的瑞士阿爾卑斯山峰頂端的照片．大學(xué)畢業(yè)后，由于對(duì)四色問(wèn)題感興趣，去哈佛大學(xué)考G．D． 伯克霍夫(Birkhoff)的博士研究生．但第一次考試沒(méi)有通過(guò)，這使伯克霍夫極為惱火．不過(guò)伯克霍夫還是收留了這位后來(lái)決不遜于自己的學(xué)生，而且在自己不專攻的領(lǐng)域指導(dǎo)他．不久，惠特尼的論文就一篇接一篇地出來(lái)了，在他1932年拿到博士學(xué)位時(shí)，他寫了近10篇論文，完全是 圖論的．博士論文的題目是“圖的著色”(The coloring of graphs)，其中定義及計(jì)算“色數(shù)”．工作生涯
由于他工作出色，1931—1933年任美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)研究員，1933年在哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系任講師，1946年升為教授．這時(shí)，他的方向也從圖論改為拓?fù)洌?935年9月參加在蘇聯(lián)莫斯科舉行的國(guó)際拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)．而這次大會(huì)成為拓?fù)鋵W(xué)史的里程碑，用他最后一篇論文的題目來(lái)說(shuō)就是“莫斯科1935：拓?fù)鋵W(xué)移向美國(guó)” (Moscow 1935：Topology moving toward America)．文中寫道，會(huì)上H．霍普夫 (Hopf)成為他最喜歡的拓?fù)鋵W(xué)家，當(dāng)時(shí)所有大人物都去了，拓?fù)鋵W(xué)的面貌正在改變：四個(gè)人不約而同地引進(jìn)上同調(diào)，同倫論也正式出現(xiàn)，在向量場(chǎng)問(wèn)題上的應(yīng)用導(dǎo)致纖維叢概念的產(chǎn)生，而這種大改變與惠特尼的工作密不可分，也決定了惠特尼后來(lái)10年的工作方向．
第二次世界大戰(zhàn)期間，他參與戰(zhàn)時(shí)研究工作，
1943—1945年在科學(xué)研究發(fā)展局國(guó)防研究委員會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)組搞研究．
戰(zhàn)后，他在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)作1946年度大會(huì)講演，題目是“光滑流形的拓?fù)鋵W(xué)”，
1948一1950年任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)副主席，
1944—1949年任《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》(American Journal of Mathematics)的編輯，
1949—1954年任《數(shù)學(xué)評(píng)論》(Mathematical review)的編輯．
1950年他任在哈佛召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)程序委員會(huì)委員，在大會(huì)上作“n維空間中的r維積分”的報(bào)告．
1952年他被任命為普林斯頓高級(jí)研究院教授，1977年退休．這個(gè)時(shí)期他曾任美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)數(shù)學(xué)組第一任主席，
1966一1967年任國(guó)家研究委員會(huì)支持?jǐn)?shù)學(xué)科學(xué)研究委員會(huì)委員．
1967年起，他的興趣完全轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育，特別是中小學(xué)教育．他親自深入課堂，了解學(xué)生的思想及感覺(jué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中許多問(wèn)題．他指出小孩的直覺(jué)方式與數(shù)學(xué)家的方式十分接近．當(dāng)時(shí)的學(xué)校教學(xué)目標(biāo)狹窄，語(yǔ)言貧乏，學(xué)生碰到問(wèn)題只會(huì)代公式，沒(méi)有學(xué)會(huì)思考．教學(xué)是灌輸莫名其妙的概念以及應(yīng)付標(biāo)準(zhǔn)化的考試，學(xué)生只能被動(dòng)接受．為此他制訂了教師進(jìn)修計(jì)劃，寫了教師指導(dǎo)教材．他是美國(guó)、英國(guó)、比利時(shí)、巴西等國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)的顧問(wèn)．1979—1982年任國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)中心主席．
個(gè)人榮譽(yù)
由于他的非凡貢獻(xiàn)，他獲得很多榮譽(yù)．1945年他被選為美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士，1976年被授予美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)?wù)拢?982年獲 沃爾夫(Wolf)獎(jiǎng)，1985年以其一生成就獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)斯蒂爾(Steele)獎(jiǎng)．數(shù)學(xué)成就
惠特尼一生發(fā)表近80篇論文，三種專著，即《幾何積分論》(Geometric integration theory，1957)、《復(fù)解析簇》(Complexanalytic varieties，1972)和《數(shù)學(xué)活動(dòng)》(Math activities，1974)．他是一系列新概念、新理論的開(kāi)創(chuàng)者，其中最主要的是擬陣、上同調(diào)、纖維叢、示性類、分類空間、 分層等．圖論
惠特尼一生對(duì)四色問(wèn)題感興趣，他最早和最后的數(shù)學(xué)論文都是關(guān)于四色問(wèn)題的．他給出四色問(wèn)題的等價(jià)命題并研究可約性問(wèn)題．從四色問(wèn)題出發(fā)他研究一般圖論，特別是得出兩圖同胚的條件：如G和 Gu2019是兩連通圖，均不包含三個(gè)形如 ab，ac，ad的�。舸嬖谌我饩哂泄岔旤c(diǎn)的兩弧到另一圖的具有公共頂點(diǎn)的兩弧之間的一一對(duì)應(yīng)，則兩圖同胚．他定義圖的連通度，并給出n重連通的充分必要條件(所謂n重連通是指至少n+1個(gè)頂點(diǎn)的圖不可能因去掉n-1個(gè)或更少的頂點(diǎn)以及連接它們的弧而使所得的圖不連通．如果圖Gn重連通但不n+1重連通，則稱連通度為n)．他還定義圖G的對(duì)偶Gu2019，證明圖G可嵌入平面的充分必要條件是G具有對(duì)偶圖Gu2019，從而給著名的K．庫(kù)拉托夫斯基(Ku－ratowski)不可嵌入平面圖的定理一個(gè)直接的組合證明．
他的博士論文是關(guān)于圖的著色問(wèn)題，其中證明M(λ)的公式并進(jìn)行計(jì)算，這里M(λ)是用λ種顏色給一圖不同著色方法數(shù)，他引進(jìn)一組數(shù)mij，它們不僅可用來(lái)計(jì)算M(λ)，還可定義圖G的拓?fù)洳蛔兞浚?
其中R為圖G的秩，N為G的零度．他利用這些不變量研究圖的分類問(wèn)題．
惠特尼在組合論方面的最大成就是他引進(jìn)擬陣(matroid)理論，這是一種抽象的線性相關(guān)性理論，它不僅包含圖論為其特例，而且還包括網(wǎng)絡(luò)理論、綜合幾何以及橫截(transversal)理論等．他的出發(fā)點(diǎn)很簡(jiǎn)單，考慮矩陣M的列C1，C2，…，Cn，這些列的子集或者線性獨(dú)立或者線性相關(guān)，從而所有子集可劃分為兩類，這些類并非任意，它必須滿足下面兩個(gè)條件：
(1)一個(gè)獨(dú)立集的任何子集也是獨(dú)立的；
(2)如果Np及Np+1分別是p個(gè)列及p+1個(gè)列的獨(dú)立集，則Np加上Np+1中的某個(gè)列構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的p+1集．
他把滿足這兩個(gè)條件的系統(tǒng)稱為擬陣，并把許多圖的性質(zhì)推廣到擬陣上．
可微映射和奇點(diǎn)理論
(1)可微函數(shù)的解析延拓 惠特尼對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的主要貢獻(xiàn)是建立微分拓?fù)鋵W(xué)，為此，必須將拓?fù)鋵W(xué)考慮的連續(xù)映射推廣到可微情形．惠特尼在他早期工作中(1932—1942)就為此奠定基礎(chǔ)．
1925年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家П．C．烏雷松(Улысон)證明，如A是n維歐氏空間E中的閉集(有界或無(wú)界)，f(x)為A中定義的連續(xù)函數(shù)，則f可延拓成為整個(gè)E上的連續(xù)函數(shù)F．惠特尼在1932年證明，存在F不僅連續(xù)，而且在E—A上可微，甚至解析；如果f(x)在A中屬于Cm，則在A中F與f相等，且F的到m階的各階導(dǎo)數(shù)與f的各階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)相等．其后他又考慮A為任意子集合的情形．此時(shí)在包含A的開(kāi)集上可微階降1．他還研究泰勒展開(kāi)的余項(xiàng)的可微性問(wèn)題，這些對(duì)研究奇點(diǎn)理論很重要．
(2)奇點(diǎn)理論 奇點(diǎn)理論是惠特尼最重要的創(chuàng)造之一，它來(lái)源于微分嵌入及浸入問(wèn)題，奇點(diǎn)是臨界點(diǎn)的推廣．1942年他首先
研究n維歐幾里得空間En到E2n-1的微分映射f的奇點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)使f微小變化，可得f*，它的奇點(diǎn)是弧立奇點(diǎn)，并可化為標(biāo)準(zhǔn)型：
yi=xi(i=2，…，n)，
ym+i-1=xixi(i=2，…，n)．
1955年，他首先對(duì)于平面E2到E的奇點(diǎn)類型進(jìn)行分類；結(jié)果只有兩類，一類是折點(diǎn)(fold)，其標(biāo)準(zhǔn)型為另一類是尖點(diǎn)(Cusp)，其標(biāo)準(zhǔn)型為
通過(guò)這篇論文，開(kāi)創(chuàng)了奇點(diǎn)理論．1956年他又對(duì)En→Em的微分映射奇點(diǎn)的一些情形進(jìn)行分類并得出標(biāo)準(zhǔn)型，其中包括n≥m=2，3以及(n，m)=(4，4)，(5，5)，(5，4)，(n，2n-2)等情形．對(duì)于其他的En→Em，其中n=3，4，m=4，…，2n-3，在當(dāng)時(shí)所知甚少．這個(gè)基本的奇點(diǎn)分類問(wèn)題連同其他問(wèn)題形成了奇點(diǎn)理論的熱門．同年R．托姆(Thorm)運(yùn)用自己的橫截理論以及普遍開(kāi)折理論首先取得突破，這項(xiàng)研究成為后來(lái)他的突變理論的基礎(chǔ)．其后1968—1971年J．麥澤(Mather)建立穩(wěn)定性理論及決定性理論，1967年起以蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家B．И．阿諾爾德(Арнолъв)為首的蘇聯(lián)學(xué)派在理論及應(yīng)用方面取得輝煌的成就．
1948年他還發(fā)表了“論可微函數(shù)的理想”(On ideals of di－fferentiable functions)，這開(kāi)辟了奇點(diǎn)理論另一個(gè)新方向．后來(lái)B．馬格朗日(Malgrange)等對(duì)這方面有很大突破，包括證明“預(yù)備定理”．
(3)分層理論 分層理論是惠特尼最后創(chuàng)造的理論，從某種意義上說(shuō)，也是奇點(diǎn)理論的自然延續(xù)．通常研究的歐氏空間及流形均有很好的齊性結(jié)構(gòu)(局部具有相同的結(jié)構(gòu))，但這點(diǎn)即使對(duì)代數(shù)簇也不滿足，特別是由解析幾何延續(xù)下來(lái)的實(shí)代數(shù)簇一般存在奇點(diǎn)．從1957年到1965年惠特尼研究實(shí)代數(shù)簇的拓?fù)鋵W(xué)，并討論把簇分解為流形，1957年引進(jìn)惠特尼層化的概念，并且對(duì)代數(shù)簇及解析簇進(jìn)行層化分解，這概念后來(lái)被托姆發(fā)展成分層集理論，在奇點(diǎn)的局部及大范圍研究中起重要作用．1965年S．武雅謝維茨(ojasiewica)證明任何半解析集均有惠特尼分層．1965年惠特尼對(duì)解析簇定義了切向量、切平面族及切錐的概念，并考慮剖分時(shí)切集的協(xié)調(diào)問(wèn)題．
微分流行的拓?fù)鋵W(xué)
雖然 龐加萊甚至 黎曼已研究微分流形的拓?fù)鋵W(xué)，但是由于工具不足，真正創(chuàng)立微分流形的拓?fù)鋵W(xué)以及微分拓?fù)鋵W(xué)的是惠特尼，他在1936年的論文“微分流形”(Differentiable manifolds)中，奠定了微分流形理論基礎(chǔ)．他給出微分流形的內(nèi)蘊(yùn)定義，定義其上的Cr結(jié)構(gòu)(1≤r≤∞)，他證明所有Cr流形的Cr結(jié)構(gòu)都包含C∞坐標(biāo)系，且其C∞結(jié)構(gòu)唯一確定．這個(gè)C∞結(jié)構(gòu)稱為該流形的可微結(jié)構(gòu)或微分結(jié)構(gòu)或光滑結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的流形稱為可徽流形或微分流形或光滑流形，微分流形與 拓?fù)淞餍斡斜举|(zhì)的差別，即一個(gè)拓?fù)淞餍紊峡梢圆蝗菰S任何微分結(jié)構(gòu)也可以容許多個(gè)微分結(jié)構(gòu)，但是任何微分結(jié)構(gòu)部容許實(shí)解析結(jié)構(gòu)，而且還容許黎曼度量，這些也是惠特尼證明的．在這篇論文中，他證明了一些最基本的定理，特別是嵌入及浸入定理：任何n維微分流形均可微分嵌入在R2n+1(2n+1維歐氏空間)中，均可微分浸入在R2n中．1944年他又改進(jìn)為n維微分流形可嵌入于R2n中，可浸入于R2n-1中．對(duì)于某些流形，這些結(jié)果已臻至善．這個(gè)工作開(kāi)拓了微分流形的一個(gè)重要領(lǐng)域，其后， 吳文俊等許多拓?fù)鋵W(xué)家做出了貢獻(xiàn)．纖維叢及示性類
惠特尼在1935年首次定義真正的“纖維空間”，當(dāng)時(shí)他稱為“球空間”，1940年他改稱為“球叢”，在1937年及1941年他對(duì)此作兩個(gè)報(bào)告，包括許多根本的結(jié)果，他還打算對(duì)此寫一本書，始終沒(méi)有完成．他的興趣一直集中于“示性類”(Characteristic class)上．他于1936年和瑞士數(shù)學(xué)家E．施蒂費(fèi)爾(Stiefel)在1935年獨(dú)立地定義這種示性類，后來(lái)稱為施蒂費(fèi)爾-惠特尼示性類．他的目的是用示性類來(lái)研究微分流形的拓?fù)鋵W(xué)．對(duì)此，纖維叢只是一個(gè)工具，所以他的定義并非每一細(xì)節(jié)都講得很清楚，但是他的定義是很一般的．1940—1950年間，纖維叢成為研究許多拓?fù)鋯?wèn)題(特別是同倫、同調(diào)及微分幾何問(wèn)題)的主要工具．1949／1950年度的嘉當(dāng)討論班以纖維叢為專題進(jìn)行系統(tǒng)討論，1951年N．E．斯廷洛德(Steenrod)的專著《纖維叢的拓?fù)鋵W(xué)》(Topology of fi－ber bundles)的出版，標(biāo)志著纖維叢理論的成熟，其中惠特尼做出突出貢獻(xiàn)．
(1)分類問(wèn)題 從一開(kāi)始，惠特尼就主要研究纖維叢的分類問(wèn)題，1937年他對(duì)球叢得出分類空間，即格拉斯曼流形Gn，r，并斷言底空間為B、秩為r的球叢同構(gòu)類為〔B，Gn，r〕，即B到Gn,r映射的同倫類(nr)，他給出證明概要，1943年斯廷洛德完成了證明，后稱惠特尼-斯廷洛德定理．
惠特尼還知道以B為底空間的球叢的叢空間只依賴于B的同倫型．這事實(shí)于1939年為J．費(fèi)爾德波(Feldbau)所證明，另一方面，惠特尼早在1935年，對(duì)纖維叢ξ及連續(xù)映射g：Bu2019→B構(gòu)造新纖維叢g *(ξ)并稱為g的拉回(Pull－back)，在研究纖維叢的分類中至關(guān)重要．1959年在和A．道爾德(Dold)合作的論文(文獻(xiàn)中)，對(duì)4維復(fù)形上的定向球叢進(jìn)行分類．
(2)示性類 施蒂費(fèi)爾只考慮微分流形的切叢的示性類，而惠特尼考慮的要廣得多，他考慮任意球叢(E，B，P)的底空間B也可以是任意局部有限的單純復(fù)合形．他把示性類定義為施蒂費(fèi)爾流形Sn，m的整系數(shù)同調(diào)類．他指出，Sn，m的同調(diào)群
1937年，他改用上同調(diào)定義未性類．1940年他指出，對(duì)于連續(xù)映射
g：Bu20190→B，
如果Eu2019=g*(E)為E的拉回，則
Wr(Eu2019)=g*(Wr(E))．
同時(shí)他給出惠特尼的和公式：定義同一底空間上兩球叢Eu2032，E〃的惠
其中∪表上積，他指出當(dāng)r≥4，證明“極難”，1941年他只給出E及Eu2032都是線叢的證明．公開(kāi)發(fā)表的第一個(gè)證明是吳文俊在1948年給出的．他還用向量叢取代球叢，同年陳省身也發(fā)表另一個(gè)證明．
惠特尼還給出示性類的形式冪級(jí)數(shù)以及偶示性類的概念．至此，施蒂費(fèi)爾-惠特尼示性類的理論基礎(chǔ)正式建立．其后，J．米爾諾(Milnor)以惠特尼提出的四個(gè)定理為公理開(kāi)展示性類理論，而且其他的示性類特別是Л．C．龐特里亞金(Понтрягин)示性類及陳省身示性類（簡(jiǎn)稱陳類）也是依據(jù)施蒂費(fèi)爾-惠特尼示性類的模式定義及研究的．
(3)示性類的應(yīng)用 示性類在拓?fù)鋵W(xué)及幾何學(xué)巾起著極為重要的作用，惠特尼本人主要應(yīng)用示性類來(lái)研究浸入問(wèn)題．例如，他證明8維實(shí)射影空間P8(R)不能浸入到R14中，但能浸入在R15中，他的理論后來(lái)為吳文俊等所發(fā)展．
代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)
1935年是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其主要標(biāo)志是上同調(diào)理論與同倫理論的建立．在龐加萊引入同調(diào)概念40年后，四位數(shù)學(xué)家?guī)缀跬瑫r(shí)獨(dú)立地引入上同調(diào)概念，他們是J．W．亞歷山大(Alexander)、惠特尼、E．切赫(Céch)、A．H．柯?tīng)柲缏宸?Колмогоров)．當(dāng)其他三位在1935年莫斯科會(huì)議宣布結(jié)果時(shí)，惠特尼的結(jié)果已經(jīng)發(fā)表，上同調(diào)類由于有上積，從而有環(huán)結(jié)構(gòu)，比同調(diào)包含更多的拓?fù)湫畔ⅲ?
同倫論中，1937年惠特尼用上同調(diào)來(lái)表述霍普夫-胡列維茨(Hurewicz)判據(jù)，如果X是n維局部有限胞腔復(fù)形，Y是n維(n-1)連通空間，則f，g：X→Y同倫當(dāng)且僅當(dāng)
Hn(Y；Z)→Hn(X；Z)．
由此推出
〔X，x0；Y，y0〕→Hn(X；πn(Y))
是一一對(duì)應(yīng)．對(duì)于不同維的映射，這些條件不一定成立，惠特尼在1936年給出過(guò)2維復(fù)形到2維或3維射影空間的映射同倫的代數(shù)條件，但未發(fā)表．1941年，H．E．羅賓斯(Robbins)推廣到2維復(fù)形到任何空間的映射的同倫分類，后來(lái)P．奧蘭姆(Olum)又大規(guī)模地予以簡(jiǎn)化及推廣．對(duì)3維復(fù)形，龐特里亞金在1941年考慮它到S2的映射同倫分類，其中首先應(yīng)用新出現(xiàn)的上積．其實(shí)惠特尼早在1936年已得出相應(yīng)結(jié)果．1948年，他研究單連通空間R的第二及第三同倫群的關(guān)系，并據(jù)此給出3維復(fù)形k到R中兩個(gè)連續(xù)映射同倫的充分必要條件以及映射擴(kuò)張的阻礙類．還應(yīng)該指出，1938年惠特尼引進(jìn)阿貝爾群的張量積概念，這對(duì)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)及同調(diào)代數(shù)是必不可少的工具．
