基本內(nèi)容
德國數(shù)學(xué)家。1862年1月23日生于柯尼斯堡（今屬立陶宛），1943年2月14日卒于格丁根。他1880年入柯尼斯堡大學(xué)，1885年獲博士學(xué)位，1892年任該校副教授，翌年為教授，1895年赴格丁根大學(xué)任教授，直至1930年退休。他自1902年起，一直是德國《數(shù)學(xué)年刊》主編之一。
希爾伯特是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是巨大的和多方面的。他典型的研究方式是專攻數(shù)學(xué)中的重大問題，開拓新的研究領(lǐng)域，并從中尋找?guī)毡樾缘姆椒ā?/p>
他的數(shù)學(xué)工作依年代次序大體上可分為：
①代數(shù)不變式問題。
②代數(shù)數(shù)域論。用新的統(tǒng)一的觀點(diǎn)，將以往代數(shù)數(shù)論的知識(shí)融為一個(gè)整體。
③幾何基礎(chǔ)。希爾伯特于1899年發(fā)表了著名的《幾何基礎(chǔ)》一書，第一次給出了完備的歐幾里得幾何公理系統(tǒng)。
④狄利克雷原理與變分法。希爾伯特用對(duì)角線方法證明并拯救了狄利克雷原理，解決了它的適用范圍問題。而在此之前，該原理因K.魏爾斯特拉斯的批評(píng)而被數(shù)學(xué)家們閑置不用。希爾伯特的工作大大豐富了變分法的經(jīng)典理論。
⑤積分方程與無窮維空間理論。希爾伯特發(fā)展了E.I.弗雷德霍姆的積分方程論，確立了這一理論與二次型主軸化代數(shù)理論之間的相似性，并綜合運(yùn)用分析、幾何和代數(shù)方法發(fā)展了特征函數(shù)與特征值理論。
⑥物理學(xué)。希爾伯特曾專注于理論物理領(lǐng)域，其目標(biāo)是用公理化手法整理近代物理學(xué)的重要部門。首先是成功地將積分方程論應(yīng)用于氣體理論，隨后又處理了初等輻射論、物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論和廣義相對(duì)論等。
⑦數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這方面的研究是希爾伯特早期關(guān)于幾何基礎(chǔ)工作的自然發(fā)展，其主要思想被概括為所謂“形式主義計(jì)劃”。按照這一計(jì)劃，整個(gè)數(shù)學(xué)理論被表現(xiàn)為僅由符號(hào)、公式和公理組成的相容的形式系統(tǒng)。他提出證明論（或稱元數(shù)學(xué)）作為證明形式系統(tǒng)相容性的途徑。元數(shù)學(xué)堅(jiān)持推理的有限性。1931年，K.哥德爾證明希爾伯特的上述想法是行不通的，但希爾伯特的形式主義計(jì)劃仍不失其重要性，它帶動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的發(fā)展。
1900年，希爾伯特在巴黎舉行的國際數(shù)學(xué)家會(huì)議上發(fā)表演說，提出了新世紀(jì)數(shù)學(xué)面臨的23個(gè)問題（見希爾伯特?cái)?shù)學(xué)問題）。對(duì)這些問題的研究有力地推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程。
希爾伯特 (David Hilbert）（1862～1943)
德國數(shù)學(xué)家,生于東普魯士哥尼斯堡(前蘇聯(lián)加里寧格勒)附近的韋勞。中學(xué)時(shí)代,希爾伯特就是一名勤奮好學(xué)的學(xué)生,對(duì)于科學(xué)特別是數(shù)學(xué)表現(xiàn)出濃厚的興趣,善于靈活和深刻地掌握以至應(yīng)用老師講課的內(nèi)容。1880年,他不顧父親讓他學(xué)法律的意愿,進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)。1884年獲得博士學(xué)位,后來又在這所大學(xué)里取得講師資格和升任副教授。1893年被任命為正教授,1895年,轉(zhuǎn)入格廷根大學(xué)任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于是1930年退休。在此期間,他成為柏林科學(xué)院通訊院士,并曾獲得施泰訥獎(jiǎng)、羅巴切夫斯基獎(jiǎng)和波約伊獎(jiǎng)。1930年獲得瑞典科學(xué)院的米塔格-萊福勒獎(jiǎng),1942年成為柏林科學(xué)院榮譽(yù)院士。希爾伯特是一位正直的科學(xué)家,第一次世界大戰(zhàn)前夕,他拒絕在德國政府為進(jìn)行欺騙宣傳而發(fā)表的《告文明世界書》上簽字。戰(zhàn)爭(zhēng)期間，他敢于公開發(fā)表文章悼念"敵人的數(shù)學(xué)家"達(dá)布。希特勒上臺(tái)后，他抵制并上書反對(duì)納粹政府排斥和迫害猶太科學(xué)家的政策。由于納粹政府的反動(dòng)政策日益加劇,許多科學(xué)家被迫移居外國,曾經(jīng)盛極一時(shí)的格廷根學(xué)派衰落了,希爾伯特也于1943年在孤獨(dú)中逝世。
希爾伯特是對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)有深刻影響的數(shù)學(xué)家之一。他領(lǐng)導(dǎo)了著名的格廷根學(xué)派,使格廷根大學(xué)成為當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)研究的重要中心,并培養(yǎng)了一批對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的杰出數(shù)學(xué)家。希爾伯特的數(shù)學(xué)工作可以劃分為幾個(gè)不同的時(shí)期,每個(gè)時(shí)期他幾乎都集中精力研究一類問題。按時(shí)間順序,他的主要研究?jī)?nèi)容有:不變式理論、代數(shù)數(shù)域理論、幾何基礎(chǔ)、積分方程、物理學(xué)、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、"希爾伯特空間"等。在這些領(lǐng)域中，他都做出了重大的或開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。希爾伯特認(rèn)為，科學(xué)在每個(gè)時(shí)代都有它自己的問題，而這些問題的解決對(duì)于科學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義。他指出："只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止。"在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個(gè)問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動(dòng)作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個(gè)數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念，對(duì)于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。他說："在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個(gè)數(shù)學(xué)問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒有不可知。"三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽(yù)市民稱號(hào)的講演中，針對(duì)一些人信奉的不可知論觀點(diǎn)，他再次滿懷信心地宣稱："我們必須知道，我們必將知道。"希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》（1899）是公理化思想的代表作，書中把歐幾里得幾何學(xué)加以整理，成為建立在一組簡(jiǎn)單公理基礎(chǔ)上的純粹演繹系統(tǒng)，并開始探討公理之間的相互關(guān)系與研究整個(gè)演繹系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)。1904年，又著手研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，經(jīng)過多年醞釀，于二十年代初，提出了如何論證數(shù)論、集合論或數(shù)學(xué)分析一致性的方案。他建議從若干形式公理出發(fā)將數(shù)學(xué)形式化為符號(hào)語言系統(tǒng)，并從不假定實(shí)無窮的有窮觀點(diǎn)出發(fā)，建立相應(yīng)的邏輯系統(tǒng)。然后再研究這個(gè)形式語言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)，從而創(chuàng)立了元數(shù)學(xué)和證明論。希爾伯特的目的是試圖對(duì)某一形式語言系統(tǒng)的無矛盾性給出絕對(duì)的證明，以便克服悖論所引起的危機(jī)，一勞永逸地消除對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)推理方法可靠性的懷疑。然而，1930年，年青的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾(Kurt Godel，1906～1978)獲得了否定的結(jié)果，證明了希爾伯特方案是不可能實(shí)現(xiàn)的。但正如哥德爾所說，希爾伯特有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的方案"仍不失其重要性，并繼續(xù)引起人們的高度興趣"。希爾伯特的著作有《希爾伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《數(shù)論報(bào)告》）、《幾何基礎(chǔ)》、《線性積分方程一般理論基礎(chǔ)》等，與其他合著有《數(shù)學(xué)物理方法》、《理論邏輯基礎(chǔ)》、《直觀幾何學(xué)》、《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。
希爾伯特問題研究進(jìn)展
問 題 推動(dòng)發(fā)展的領(lǐng)域 解 決 情 況
1.連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 公理化集合論 1963年,Paul J.Cohen[美國]在下述意義下證明了第一問題是不可解的,即:連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo-Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判明。
2.算術(shù)公理的相容性 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Hilbert證明算術(shù)公理相容性的設(shè)想,后來發(fā)展為系統(tǒng)"Hilbert計(jì)劃",但1931年Godel的"不完備定理"提出用"元數(shù)學(xué)"證明算術(shù)公理相容性之不可能。數(shù)學(xué)相容性問題至今尚未解決。
3.兩等高等底的四面體體積之相等 幾何基礎(chǔ) 這問題很快(1900年)即由Hilbert的學(xué)生M.Dehn給出肯定解答。
4.直線作為兩點(diǎn)間最短距離問題 幾何基礎(chǔ) 這問題提得過于一般。Hilbert之后,許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探討各種特殊的度量幾何,在研究第四問題上取得很大進(jìn)展,但問題并未完全解決。
5.不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念 拓?fù)淙赫?經(jīng)過漫長(zhǎng)的努力,這個(gè)問題于1952年由Glenson、Montgomery、Zippin等人[美國]最后解決,答案是肯定的。
6.物理公式的數(shù)學(xué)處理 數(shù)學(xué)物理 在量子力學(xué)、熱力學(xué)等部門,公理化方法已獲很大成功,但一般地說,公理化的物理意味著什么,仍是需探討的問題。至于概率論的公理化,已由Ａ.Ｈ.Ｋ o лМ o r o p oB[前蘇聯(lián),1933]等人建立。
7.某些數(shù)的無理性與超越性 超越數(shù)論 1934年,Ａ.Ｏ.г e M ж o H д[前蘇聯(lián)]和Schneider[德國]各自獨(dú)立解決了這問題的后半部分,即對(duì)于任意代數(shù)數(shù)α≠0,1和任意代數(shù)無理數(shù)β≠0證明了α攩β攪的超越性,1966年這一結(jié)果又被A.Baker等人大大推廣和發(fā)展
