馬爾科夫 - 不安份的早年

1856年6月14日，梁贊省林業(yè)廳六等文官馬爾科夫的妻子生下一個(gè)男孩，這就是我們將要認(rèn)識(shí)的主人公，19世紀(jì)末至20世紀(jì)初對(duì)俄國(guó)科學(xué)和民主進(jìn)步事業(yè)都作出巨大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家安德烈·安德列耶維奇·馬爾科夫（1856－1922）。

梁贊與莫斯科毗鄰，自古就是俄羅斯中部富饒的谷倉(cāng)。蒼綠的林海和金黃的麥田復(fù)蓋著廣袤的大地，蜿蜒的奧卡河靜靜地流過(guò)省會(huì)梁贊市，給這座城市帶來(lái)繁榮與生機(jī)。但是老馬爾科夫在生活上和官場(chǎng)中都不得意，他結(jié)過(guò)兩次婚，共生育了五男四女，一大家子的衣食溫飽，象座山似地壓在他瘦弱的肩上。然而命運(yùn)多蹇，老實(shí)人后來(lái)在官場(chǎng)遭人誣陷被迫辭職，一家人只好遷居彼得堡另謀生路，這一年馬爾科夫剛滿(mǎn)五歲。

父親先是在一個(gè)有錢(qián)的寡婦那里找到一份莊園管家的差事，后來(lái)靠自己的努力開(kāi)設(shè)了一個(gè)私人律師事務(wù)所，一家人總算在彼得堡定居下來(lái)。從此我們的主人公就和這座北方新興的都會(huì)結(jié)下了不解之緣，他的名字也同彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派緊密地聯(lián)系在一起，如同涅瓦河畔的北極光一樣輝映在19世紀(jì)末至20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)天空。

談到彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，我們就不能不提起另一個(gè)光榮的名字，那就是這一學(xué)派的奠基人和我們主人公的恩師巴夫盧提·里沃維奇·切比雪夫（1281－1894）。歷史上有許多巧合，命運(yùn)給彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的兩位大師安排了類(lèi)似的命運(yùn)：切比雪夫自幼跛足，當(dāng)其他的孩子們?cè)谇f園里活蹦亂跳地游戲時(shí)，他卻只能躲進(jìn)儲(chǔ)藏室里那些銹鎖和舊鐘；馬爾科夫也在五歲那年不幸患了骨結(jié)核，膝蓋腫得象面包一樣，一條腿完全不能彎曲。無(wú)獨(dú)有偶，當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)界的一對(duì)著名師徒華羅庚與陸啟鏗也都患有腿疾。也許是生理?xiàng)l件限制了其他方面的興趣，也許是不公平的命運(yùn)激發(fā)了向困難抗?fàn)幍挠職�，他們都成了蜚聲�?shù)壇的明星。的確，與疾病抗?fàn)幍慕?jīng)歷磨煉了少年馬爾科夫的意志，他堅(jiān)持拄拐行走，忍著劇痛活動(dòng)僵直的關(guān)節(jié)。十歲那年，他的腿疾經(jīng)手術(shù)治療好轉(zhuǎn)，只是稍稍留下了一點(diǎn)后遺癥，但是這段痛苦的經(jīng)歷在他心靈深處留下了終身難忘的印象。

中學(xué)時(shí)代開(kāi)始了，馬爾科夫被送到彼得堡第五中學(xué)。這是一所完全按照東正教的陳規(guī)陋俗來(lái)治理的學(xué)校。對(duì)于正在長(zhǎng)身體和求知欲不斷高漲的孩子們，學(xué)校的要求是連篇累犢地背誦希臘及拉丁文，外加各種祈禱與懺悔儀式。馬爾科夫厭惡這種令人窒息的環(huán)境，除了數(shù)學(xué)以外，他對(duì)學(xué)校里的其它課程都不感興趣。馬爾科夫有兩個(gè)姐姐也在這所學(xué)校讀書(shū)，她們的經(jīng)典和操行總是得到老師的表?yè)P(yáng)，唯獨(dú)桀驁不訓(xùn)的馬爾科夫總是不能引起老師的好感。為此父親常被校長(zhǎng)招到學(xué)校，為他承受那令人難堪的嘲諷與訓(xùn)斥。

但是馬爾科夫絕不是那種除了數(shù)學(xué)就什么都不懂的怪坯子，他對(duì)社會(huì)問(wèn)題的關(guān)心以及對(duì)于人文科學(xué)的熱愛(ài)貫穿其生命的始終。正是在第五中學(xué)時(shí)，他讀了大量課外作品──那既不是教師推薦的羅馬編年史，也不是廉價(jià)的法國(guó)愛(ài)情小說(shuō)，而是一些高年級(jí)學(xué)生偷偷帶到學(xué)校里來(lái)的進(jìn)步讀物。為此他與校方發(fā)生了嚴(yán)重的沖突。

十九世紀(jì)六十年代是俄國(guó)民主啟蒙運(yùn)動(dòng)空前高漲的時(shí)期，車(chē)爾尼雪夫斯基（1828－1889）、杜勃羅留波夫（1836－1861）、皮薩列夫（1840－1868）等人犀利的政論文章和生動(dòng)的文學(xué)評(píng)論象嚴(yán)冬過(guò)后的春風(fēng)一般受到青年學(xué)生的歡迎。馬爾科夫正是從這些作品中汲取了養(yǎng)料和批判的勇氣，開(kāi)始對(duì)沙皇專(zhuān)制制度和教會(huì)的思想禁錮產(chǎn)生懷疑。在一次文學(xué)課上，當(dāng)老師布置學(xué)生們寫(xiě)一篇評(píng)論來(lái)分析《葉甫蓋尼·奧涅金》的抒情風(fēng)格之后，馬爾科夫卻交上了一篇皮薩列夫式的書(shū)評(píng)，對(duì)普希金（1799－1837）筆下的俄國(guó)社會(huì)進(jìn)行了入木三分的分析。這一膽大妄為的舉動(dòng)忤犯了頑固守舊的教師，他在馬爾科夫的作業(yè)上批道：“你過(guò)多地閱讀了否認(rèn)人間一切美好感情的作家的作品�！�

馬爾科夫的言行逐漸引起了學(xué)校當(dāng)局的注意，父親被傳喚的次數(shù)越來(lái)越多了。就在臨近畢業(yè)的那個(gè)學(xué)期，危機(jī)終于爆發(fā)出來(lái)。在一次例行的祈禱儀式臨近結(jié)束時(shí)，心不在焉的馬爾科夫把《圣經(jīng)》匆匆地塞進(jìn)口袋，只盼著趕快跑到庭院里去輕松一下，一直在監(jiān)視他的學(xué)監(jiān)突然出現(xiàn)在他面前，氣勢(shì)洶洶地指責(zé)他破壞了宗教儀式的肅穆氣氛。學(xué)生中一片喧嘩，儀式草草收?qǐng)�。馬爾科夫則被帶到校長(zhǎng)室，被斥為無(wú)神論者和無(wú)政府主義分子，揚(yáng)言要立即開(kāi)除學(xué)籍。父親聞?dòng)嵹s來(lái)，再三地賠禮道歉才算平息了這場(chǎng)風(fēng)波。

丑小鴨不喜歡水草蔓生的池塘，因?yàn)樗�的未�?lái)不屬于那個(gè)地方。對(duì)于數(shù)學(xué)，馬爾科夫卻有著一種近乎天然的熱情。他獨(dú)立地學(xué)習(xí)了許多課外知識(shí)，數(shù)學(xué)水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過(guò)了一般的高中學(xué)生。當(dāng)別人還在為一元二次代數(shù)方程困惑不解的時(shí)候，他已在獨(dú)立地鉆研微分方程了。有一次他發(fā)現(xiàn)自己找到了一種與教科書(shū)不同的常系數(shù)線(xiàn)性常微分方程的解法，立即給當(dāng)時(shí)俄國(guó)最有資歷的數(shù)學(xué)家布尼亞科夫斯基（1804－1889）寫(xiě)了一封信，向他報(bào)告這一結(jié)果。布尼亞科夫斯基把信轉(zhuǎn)給了自己的學(xué)生科爾金（1837－1908）和佐洛塔廖夫(1847－1878 )，他們很快就給馬爾科夫回了信，鼓勵(lì)他投考彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，以數(shù)學(xué)作為自己的終身的事業(yè)。事實(shí)上，馬爾科夫發(fā)現(xiàn)的解法已由別人提出過(guò)了，但是他的創(chuàng)造性卻給兩位數(shù)學(xué)家留下了極為深刻的印象。若干年后，他們成了馬爾科夫的老師和同事。

馬爾科夫 - 良師益友

1874年，馬爾科夫考入了神往已久的彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，從此脫離那個(gè)令人感到壓抑的環(huán)境，開(kāi)始在絢麗多姿的數(shù)學(xué)王國(guó)里自由地呼吸。1878年，馬爾科夫以?xún)?yōu)異成績(jī)畢業(yè)并留校任教，畢業(yè)論文《以連分?jǐn)?shù)解微分方程》獲得當(dāng)年系里的金質(zhì)獎(jiǎng)。兩年后他完成了《關(guān)于雙正定二次型》的碩士論文，并正式給學(xué)生開(kāi)課。又過(guò)了兩年，他開(kāi)始考慮博士論文，后以《關(guān)于連分?jǐn)?shù)的某些應(yīng)用》于1884年通過(guò)正式答辯。

對(duì)于一個(gè)決心終身奉獻(xiàn)數(shù)學(xué)的年輕人來(lái)說(shuō)，彼得堡大學(xué)具有足夠的魅力：一大批富有激情和才華的俄羅斯數(shù)學(xué)家正集結(jié)在切比雪夫身邊，以他們獨(dú)特的風(fēng)格與在若干領(lǐng)域里的開(kāi)拓性工作引起了全世界數(shù)學(xué)家的矚目，一個(gè)屬于俄羅斯的數(shù)學(xué)學(xué)派正在彼得堡大學(xué)悄然崛起。青年馬爾科夫如饑似渴地向前輩們學(xué)習(xí)，很快成了這個(gè)數(shù)學(xué)團(tuán)體中的一個(gè)新的重要成員。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)就是學(xué)派的興起。誕生在法蘭西大革命風(fēng)暴中的巴黎學(xué)派仍雄踞數(shù)壇，他們勇于開(kāi)拓新的研究方向，富有創(chuàng)造激情，在函數(shù)論、數(shù)學(xué)物理、幾何、拓?fù)渑c群論等領(lǐng)域總是走在別人的前面。長(zhǎng)于哲學(xué)思辨的德國(guó)人則特別重視數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，“算術(shù)化”成了柏林學(xué)派的戰(zhàn)斗旗幟；當(dāng)然，柏林人不象巴黎人那樣輕視“外省人”，在波恩、萊比錫和格廷根都出現(xiàn)了引入注意的數(shù)學(xué)家群體──特別是最后那座小城，不久就要取代巴黎成為數(shù)學(xué)的耶路撒冷。自負(fù)的英國(guó)人也開(kāi)始從固步自封的舊夢(mèng)中覺(jué)醒，在牛頓( I. Newton, 1642－1727 ) 的母校冒出了一個(gè)“分析學(xué)會(huì)”，會(huì)中的年輕人竟敢頂著褻瀆神圣的罪名去推廣德國(guó)人萊布尼茨( G.W.Leibniz, 1646－1716 ) 的微積分符號(hào)，19世紀(jì)英國(guó)人在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就于此不無(wú)關(guān)系。在文藝復(fù)興的故鄉(xiāng)，一個(gè)以幾何與拓?fù)錇橥黄瓶诘男乱獯罄麑W(xué)派正在成長(zhǎng)。

按照新意大利學(xué)派第二代領(lǐng)袖沃爾特拉（V.Volterra, 1860－1940）的說(shuō)法，這一學(xué)派的誕生可以溯源于布廖斯奇 ( E. Brioschi, 1824－1897) 和貝蒂 ( E. Betti, 1823－1892) 1858年的德、法之行。但是在俄國(guó)歷史上卻很難找到一個(gè)足以標(biāo)志彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派呱呱落地的事件。有人將俄國(guó)數(shù)學(xué)的進(jìn)步追溯到1727年瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉( L. Euler, 1707－1783) 前來(lái)彼得堡科學(xué)院供職，也有人將之歸因于布尼亞科夫斯基、奧斯特洛格拉特斯基(1801-1862 ) 等人從法國(guó)留學(xué)回來(lái)從事數(shù)學(xué)教育，然而真正使彼得堡與數(shù)學(xué)結(jié)緣的卻是切比雪夫和他的弟子們。

彼得堡所在的地方原先只是波羅的海芬蘭灣東端的一個(gè)小漁村，為了顯示其向西方學(xué)習(xí)的決心并打開(kāi)通向波羅的海的通道，彼得大帝( Peter I The Great, 1672－1725) 于1703年在此建立了一個(gè)軍事要塞，更于1712年將首都從莫斯科遷到這里。在彼得大帝宏偉的政治經(jīng)濟(jì)改革藍(lán)圖中，有一項(xiàng)仿效西方建立科學(xué)院的計(jì)劃，但是由于種種原因，直到他去世的1725年，這個(gè)柏林科學(xué)院的翻版才正式問(wèn)世。早期的院士中不乏知名的數(shù)學(xué)家，如貝努利家族的尼古拉第三 ( Nicolaus III Bernoulli) 和丹尼爾 ( Daniel Bernoulli, 1700－1782)、哥德巴赫 ( C.Goldbach, 1690－1764) 以及歐拉( L. Euler, 1707－1783) 等，但是他們都是外國(guó)人。當(dāng)時(shí)俄羅斯數(shù)學(xué)的土壤是貧瘠的：沒(méi)有土生土長(zhǎng)的數(shù)學(xué)家，沒(méi)有能夠引起其他國(guó)家數(shù)學(xué)家注意的成果，沒(méi)有一所大學(xué)，甚至連一本象樣的初等數(shù)學(xué)教科書(shū)都沒(méi)有。馬格尼茨基 ( 1669－1739 ) 是當(dāng)時(shí)致力于數(shù)學(xué)教育的學(xué)者，他在自己那本著名的《算術(shù)》的扉頁(yè)中寫(xiě)道：

讓所有的人都得到智慧和地位，

真正是俄羅斯的而不是外國(guó)的。

它清除地表達(dá)了當(dāng)時(shí)一部分先進(jìn)的知識(shí)分子渴望祖國(guó)盡快擺脫愚昧落后狀態(tài)的心情，和建設(shè)俄羅斯新科學(xué)的決心。

經(jīng)過(guò)一百多年的建設(shè)，彼得堡早已不象當(dāng)年那樣空曠和荒涼。涅瓦河上架起了數(shù)十座鐵橋，市區(qū)和彼得羅巴夫洛夫斯克要塞之間鋪成了俄國(guó)第一條鐵路，凝聚著古典美與俄羅斯風(fēng)格的海軍大廈的尖頂直指蒼穹，冬宮和夏園堪與凡爾賽媲美。1804年在彼得堡建立了一所國(guó)立師范，1819年改名為彼得堡大學(xué)。

彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派是伴隨著切比雪夫幾十年的舌耕筆耘成長(zhǎng)壯大的。自1846年接受助教職位到1882年以終身榮譽(yù)教授的身份退休，切比雪夫在彼得堡大學(xué)執(zhí)鞭達(dá)三十五年之久，即使退休之后他還繼續(xù)從事研究并培養(yǎng)研究生。他的講課深受學(xué)生們的歡迎，那絕不是經(jīng)院式的說(shuō)教，而是充滿(mǎn)啟發(fā)性評(píng)論的對(duì)基本原理和方法的敘述，正如他的高足李雅普諾夫 (1857－1918) 描述的那樣，“他在課堂上即興給出的一個(gè)評(píng)論，往往與聽(tīng)講者冥冥求索的某個(gè)問(wèn)題有關(guān)，因?yàn)樗麑?duì)弟子們的水平和思想活動(dòng)了如指掌。因而他的講課極具感染力，每堂課都使學(xué)生們獲益良多�！苯虒W(xué)之外，切比雪夫本人在數(shù)學(xué)的若干領(lǐng)域也作出了開(kāi)拓性的貢獻(xiàn)，特別是在數(shù)論、概率論和函數(shù)逼近論方面。他是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派當(dāng)之無(wú)愧的領(lǐng)袖。

除了切比雪夫之外，科爾金在代數(shù)與函數(shù)逼近論、索霍茨基 (1842－1929) 在復(fù)變函數(shù)論、佐洛塔廖夫在數(shù)論和逼近論、波瑟(1847－1928) 在正交函數(shù)和積分運(yùn)算方面成果累累，他們都是彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生，分別畢業(yè)于1858、1866、1867和1868年。稍晚的畢業(yè)生中在數(shù)學(xué)中作出重要成績(jī)的，有開(kāi)拓俄國(guó)代數(shù)與群論研究的格拉維(1863－1939)，以及創(chuàng)立數(shù)的幾何學(xué)的沃羅諾伊(1868－1908) 等。

一些非彼得堡大學(xué)畢業(yè)的青年同樣屬于彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派：交通道路學(xué)校的沙圖諾夫斯基(1859－1929) 是切比雪夫的旁聽(tīng)生，后來(lái)在敖德薩創(chuàng)建了另一個(gè)數(shù)學(xué)中心；海洋學(xué)院的克雷諾夫(1863－1945) 利用切比雪夫提出的近似公式得到船舶設(shè)計(jì)方面的重要結(jié)果；莫斯科大學(xué)的茹可夫斯基 (1847－1921) 在解析函數(shù)與偏微分方程方面得益于切比雪夫的指點(diǎn)，后來(lái)成為現(xiàn)代流體力學(xué)的開(kāi)創(chuàng)人與俄羅斯航空之父；斯捷克洛夫 (1864－1926) 在哈爾科夫跟隨李雅普諾夫?qū)W習(xí)，在函數(shù)論、微分方程和數(shù)學(xué)物理方面均有建樹(shù)，后來(lái)成為彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派在十月革命后的重要傳人。

然而作為彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的中流砥柱而堪稱(chēng)切比雪夫之左膀右臂的，則非馬爾科夫與李雅普諾夫這一對(duì)師兄弟莫屬了。李雅普諾夫僅比馬爾科夫年輕一歲，但在事業(yè)的開(kāi)始階段卻沒(méi)有他的師兄順當(dāng)：與馬爾科夫相比，他遲兩年進(jìn)入彼得堡大學(xué)，遲兩年畢業(yè)，遲五年取得碩士學(xué)位，遲六年取得博士學(xué)位，遲五年被選為科學(xué)院院士；倆人雖然同于1893年成為教授，但馬爾科夫早在1886年就已成為彼得堡大學(xué)的副教授，而李雅普諾夫在完成了碩士論文的次年就離開(kāi)了彼得堡，于1885年應(yīng)聘為哈爾科夫大學(xué)數(shù)學(xué)系講師。盡管有這些差距，馬爾科夫卻深知這位師弟的能力，視其為學(xué)術(shù)上的知音和畏友。李雅普諾夫在常微分方程定性理論和天體力學(xué)方面的工作使他贏(yíng)得了國(guó)際聲譽(yù)。他在概率論中心極限定理的研究中引進(jìn)了一種似乎是“異端”的方法，暴露了切比雪夫和馬爾科夫一脈相承的工作中的弱點(diǎn)，而馬爾科夫?qū)ψ约悍椒ǖ母倪M(jìn)再次帶來(lái)概率論研究方法的變革，對(duì)這門(mén)學(xué)科的現(xiàn)代化產(chǎn)生了巨大的影響。關(guān)于這一經(jīng)過(guò)我們后面還要講到。

馬爾科夫 - 從數(shù)論到經(jīng)典分析

馬爾科夫入學(xué)不久就表現(xiàn)出其獨(dú)特的數(shù)學(xué)天賦，因此當(dāng)柯?tīng)柦鸷妥袈逅�廖夫這兩位教師組織代數(shù)與數(shù)論的討論班時(shí)，他們毫不猶豫地把這個(gè)在中學(xué)時(shí)代就敢于向大權(quán)威談?wù)撟约喊l(fā)現(xiàn)的學(xué)生吸收進(jìn)來(lái)。馬爾科夫不負(fù)眾望，他的第一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)工作，就是沿著柯?tīng)柦鸷妥袈逅�廖夫倆人所開(kāi)辟的道路完成的。

型的理論是代數(shù)數(shù)論中的一個(gè)重要課題，歐拉、拉格朗日( J . L. Lagrange, 1736－1813）、高斯（C. F. Gauss, 1777－1855）這些大數(shù)學(xué)家都曾為它付出艱辛的勞動(dòng)。二元二次型（亦稱(chēng)雙二次型）是二次型中最簡(jiǎn)單的一種形式，在給定其判別式的條件下，尋找二次型的極值是一件十分有意義而又相當(dāng)棘手的工作，若干年來(lái)雖然有一些進(jìn)展，但是疑點(diǎn)仍然不少�？�?tīng)柦鸷妥袈逅�廖夫給出了與判別式相關(guān)的兩類(lèi)雙二次型的最小值的近似估計(jì)，這一結(jié)果得到當(dāng)時(shí)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家埃爾米特（C. Hermite, 1822－1901）的高度評(píng)價(jià)。

馬爾科夫1880年的碩士論文就是對(duì)這一結(jié)果的徹底完善化。他證明了兩位老師找到的數(shù)值不過(guò)是一個(gè)收斂于常數(shù)的正無(wú)窮遞減數(shù)列中的前兩項(xiàng)，而該數(shù)列通項(xiàng)的值則取決于一個(gè)三元二次不定方程在某些附加條件下的整數(shù)解。他還給出了由此類(lèi)不定方程的解來(lái)計(jì)算通項(xiàng)的具體方法，從而建立了二次型表示論與著名的丟番圖方程的聯(lián)系。這樣，馬爾科夫就徹底地搞清了判別式大于零時(shí)不定雙二次型最小值的分布情況，極大地推進(jìn)了柯?tīng)柦鸷妥袈逅�廖夫的結(jié)果。

在這項(xiàng)研究中，馬爾科夫已表現(xiàn)出了切比雪夫等前輩學(xué)者對(duì)他的影響，那就是善于聯(lián)系經(jīng)典問(wèn)題、充分利用初等工具、追求解的精確性、實(shí)用性以及不畏繁復(fù)計(jì)算等鮮明的彼得堡風(fēng)格。論文附有一個(gè)包括前20個(gè)通項(xiàng)值計(jì)算程序和結(jié)果的大表，每一行數(shù)據(jù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)雜的丟番圖方程。甚至早期彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的一個(gè)缺點(diǎn)在這項(xiàng)研究中也有所反映，那就是馬爾科夫完全排斥了幾何背景，因?yàn)樗�同切比雪夫一樣懷疑幾何語(yǔ)言的嚴(yán)密性。其實(shí)，在型表示論中借用幾何語(yǔ)言是最自然不過(guò)了，高斯關(guān)于三元二次型幾何意義的說(shuō)明被認(rèn)為是閔可夫斯基（H. Minkowski, 1864－1909）關(guān)于數(shù)的幾何理論的開(kāi)端，早期彼得堡數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域可謂失之交臂。

不管怎么說(shuō)，馬爾科夫這項(xiàng)工作的完成，表現(xiàn)了他超乎尋常的數(shù)學(xué)直覺(jué)和洞察力。這種能力加上堅(jiān)韌不拔的毅力，使他很快就超過(guò)了自己的許多老師和同輩，成為彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的杰出代表和中堅(jiān)分子。

雙二次型最小值的分布搞清楚以后，馬爾科夫開(kāi)始注意多個(gè)變?cè)�的二次型，只是由于教�?wù)倥傯，直到十一年后才發(fā)表了進(jìn)一步的研究成果。1901年，他在《關(guān)于不定三元二次型》中給出了該類(lèi)型的前四種極值形式（其中一種也為柯?tīng)柦鹚�得到）�?909年，他匯集了自己關(guān)于三元二次型的成果，出版了包括所有判別式不大于50的三元二次型最新數(shù)據(jù)在內(nèi)的專(zhuān)著。這些工作都是伴隨著大量復(fù)雜的計(jì)算進(jìn)行的，馬爾科夫不僅通過(guò)計(jì)算提供了問(wèn)題的解，而且對(duì)于發(fā)展計(jì)算方法也做出了貢獻(xiàn)。以后他又研究了四元二次型，并得到其極值的前兩種形式。

代數(shù)數(shù)論中的另一個(gè)重要課題是關(guān)于理想的理論。1843年，德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷獱?( E. E. Kummer, 1810－1893) 在企圖證明費(fèi)爾馬大定理的壯舉中被一道小河溝擋住了�？催^(guò)他手稿的狄里克萊 ( P. L. Dirichlet, 1805－1859) 不客氣地指出，代數(shù)域上的素因子分解唯一性定理對(duì)代數(shù)數(shù)不一定成立，而素因子唯一分解的假定對(duì)于他的證明又是絕對(duì)必要的。為了克服這一障礙，庫(kù)莫爾開(kāi)始在一系列論文中創(chuàng)立和發(fā)展一種叫做理想的理論，借助理想數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)代數(shù)域上素因子的唯一分解，從此對(duì)理想的研究在一個(gè)時(shí)期內(nèi)達(dá)到高潮。佐洛塔廖夫曾致力于三次方根域上理想素因子的分解，可惜這位英華早發(fā)的學(xué)者三十一歲就逝世了。在為紀(jì)今佐洛塔廖夫而出版的文集中，馬爾科夫給出了三次方根域上理想素因子分解的當(dāng)時(shí)最好結(jié)果。

馬爾科夫等人在代數(shù)數(shù)論方面的工作與切比雪夫在解析數(shù)論方面的工作一起，確立了彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派在數(shù)論領(lǐng)域的領(lǐng)先地位。但他并不以此為滿(mǎn)足，而是很快地把目標(biāo)轉(zhuǎn)向一系列更廣的數(shù)學(xué)題材，特別是在經(jīng)典分析領(lǐng)域做出了新的貢獻(xiàn)。

經(jīng)典分析是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派擅長(zhǎng)的又一個(gè)領(lǐng)域，馬爾科夫廣泛涉獵了這一領(lǐng)域中的若干分支：從矩的理論到積分運(yùn)算、從函數(shù)逼近論到微分方程、從內(nèi)插法到近似計(jì)算，處處都有他辛勤耕耘的足跡。而這一系列工作是從切比雪夫的一篇論文開(kāi)始的。

1833年，法國(guó)一個(gè)不太出名的數(shù)學(xué)家比內(nèi)梅（J. Bienayme, 1796－1878) 向巴黎科學(xué)院遞交的一篇論文中，將力學(xué)中矩的概念作了推廣，但文章直到三十四年后才在劉維爾 ( J. Liouville, 1809－1882）的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上刊登出來(lái)。切比雪夫立即意識(shí)到矩的研究具有重要意義，并試圖在對(duì)概率論極限定理的證明中應(yīng)用這一工具。他在1874年寫(xiě)成的論文《關(guān)于積分的極限值》中，借助于矩給出了某類(lèi)非負(fù)函數(shù)積分以連分?jǐn)?shù)形式表達(dá)的極值不等式，但沒(méi)有證明。1884年馬爾科夫在《某些切比雪夫積分的證明》一文中，給出了這些不等式的嚴(yán)格證明，并在同年通過(guò)的博士論文的第三部分給出了切比雪夫問(wèn)題的完整解答。

后來(lái)在概率論的研究中，馬爾科夫一再回到矩的問(wèn)題上來(lái)，并對(duì)切比雪夫的矩問(wèn)題作了許多深入的拓廣。他的這些工作，最初見(jiàn)于1876年發(fā)表的《連分?jǐn)?shù)的一些新應(yīng)用》，而后又在1897年的一系列論文中作了進(jìn)一步的闡述，其中最為重要的一篇是《關(guān)于矩的一個(gè)L問(wèn)題》

幾乎在馬爾科夫證明切比雪夫不等式的同時(shí)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯提吉斯（Th. J. Stieltjes, 1856－1894) 也開(kāi)始了同樣的研究，他在《關(guān)于所謂力學(xué)積分法的研究》一文中給出了與馬爾科夫類(lèi)似的結(jié)果。一開(kāi)始俄國(guó)數(shù)學(xué)界宣稱(chēng)擁有優(yōu)先權(quán)，斯提吉斯則聲稱(chēng)自己沒(méi)看到馬爾科夫的論文，也不知道切比雪夫原先提出的問(wèn)題。事實(shí)也的確是這樣。問(wèn)題搞清楚以后，馬爾科夫與斯提吉斯成了很好的朋友，他們寄書(shū)鴻雁，頻繁地交流各自在矩理論以及有關(guān)內(nèi)插法、構(gòu)造積分、余項(xiàng)估價(jià)和連分?jǐn)?shù)等方面的新成果，這種關(guān)系一直持續(xù)到斯提吉斯逝世。就在去世前不外，斯提吉斯發(fā)表了帶有綜述性質(zhì)的《關(guān)于連分?jǐn)?shù)的研究》，其中解決了無(wú)窮區(qū)間上的矩問(wèn)題，并且給出了所要尋找的函數(shù)的一切整數(shù)階矩的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。作為回答與對(duì)好友的紀(jì)念，馬爾科夫于1895年發(fā)表了《關(guān)于某些連分?jǐn)?shù)收斂性的兩個(gè)證明》，在其中給出了斯提吉斯連分?jǐn)?shù)收斂的充分條件。

十余年來(lái)，馬爾科夫和斯提吉斯共同研究矩的理論。他們都是從經(jīng)典分析中的問(wèn)題出發(fā)，企圖對(duì)積分的上、下界給出一個(gè)精確的估計(jì)，工作中又都大量運(yùn)用了連分?jǐn)?shù)這一工具，所以不謀而合與互相啟發(fā)的現(xiàn)象常常出現(xiàn)在倆人之間。但是馬爾科夫?qū)�精確的結(jié)果特別感興趣，不憚?dòng)诜睆?fù)的數(shù)字運(yùn)算，并把對(duì)于積分的估值應(yīng)用到概率論中，這是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派風(fēng)格之體現(xiàn)。而斯提吉斯更注意從一般的原則上去考察矩問(wèn)題，他更關(guān)心的是積分形式的意義，而不是其估值的結(jié)果，從而導(dǎo)致了一類(lèi)應(yīng)用廣泛的斯提吉斯積分的出現(xiàn), 為實(shí)變函數(shù)論的日后發(fā)展開(kāi)辟了道路，這又很有些法蘭西數(shù)學(xué)學(xué)派的味道。

如同他的導(dǎo)師切比雪夫一樣，馬爾科夫?qū)��?shí)際問(wèn)題具有濃厚的興趣，他在函數(shù)逼近論方面的工作就是一例。出于化學(xué)理論上的需要，彼得堡大學(xué)的著名化學(xué)家、也就是元素周期律的發(fā)現(xiàn)者門(mén)捷列夫（1834－1907）曾提出過(guò)一個(gè)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)上說(shuō)相當(dāng)于找出定義在閉區(qū)間上的高次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)在某種條件下的最大值。1889年，馬爾夫在題為《關(guān)于一個(gè)門(mén)捷列夫問(wèn)題》的論文中，解決了由多項(xiàng)式的上界來(lái)求其導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式上界的問(wèn)題；這個(gè)問(wèn)題也可表示為偏離零點(diǎn)的多項(xiàng)式的最大偏差的估計(jì)，因此與切比雪夫所建立的一系列結(jié)果都有關(guān)系。1892年，馬爾科夫的同父異母弟弟弗拉基米爾（1871－1897）曾把這一問(wèn)題推廣到求導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式的上確界的情況，可惜這位頗有數(shù)學(xué)才華的弟弟二十六歲便死于肺結(jié)核。馬爾科夫還研究過(guò)許多其它的實(shí)際問(wèn)題，其中包括將空間曲面部分最小變形地轉(zhuǎn)換到平面，以及鐵路彎道的曲率等問(wèn)題。

馬爾科夫?qū)ξ⒎址匠痰呢暙I(xiàn)主要是關(guān)于拉梅（G. Lame., 1795－1870）方程和超幾何方程的研究。他確定了一個(gè)超幾何方程的兩個(gè)解的乘積可作為整函數(shù)的條件，研究了這些函數(shù)與拉梅函數(shù)的零點(diǎn)分布，這些工作還導(dǎo)致了以初等函數(shù)表示積分，并涉及了大量的近似計(jì)算方法。

馬爾科夫在博士論文中就給出過(guò)關(guān)于高斯積分余項(xiàng)的表達(dá)式，在《關(guān)于級(jí)數(shù)收斂的加速變換》一文中又首次引入一種加快級(jí)數(shù)收斂速度的方法，這種方法被人稱(chēng)為“馬爾科夫變換”。他對(duì)計(jì)算的偏愛(ài)最明顯地表現(xiàn)在1888年發(fā)表的具有八位小數(shù)的《積分 exp{-  t2}dt 數(shù)值表》中。他的更多的關(guān)于近似計(jì)算理論和方法的成果則被匯集到《有限演算》這一專(zhuān)著之中，這本書(shū)是計(jì)算方法從以古典分析為主要工具的時(shí)期向以廣泛采用函數(shù)論工具的新時(shí)期過(guò)渡的代表作。

馬爾科夫在經(jīng)典分析領(lǐng)域里的工作，顯示了他扎實(shí)的基礎(chǔ)和廣博的知識(shí)，這對(duì)于繼承和發(fā)展切比雪夫所開(kāi)創(chuàng)的事業(yè)來(lái)說(shuō)是極其可貴的。我們也可以看出，從代數(shù)數(shù)論到經(jīng)典分析，馬爾科夫的一個(gè)主要目標(biāo)就在于完善對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的估計(jì)：無(wú)論是二次型還是多項(xiàng)式，無(wú)論是積分還是導(dǎo)數(shù)，他都希望給出一個(gè)盡量精確的關(guān)于上、下限的表達(dá)式；當(dāng)他后來(lái)巧妙地把自己對(duì)積分界的估計(jì)用于概率論中古典極限定理的證明時(shí)，就引起了這門(mén)學(xué)科面目的極大改觀(guān)。

馬爾科夫 - 把概率論推進(jìn)到現(xiàn)代化的門(mén)檻

把概率論從瀕臨衰亡的境地挽救出來(lái)，恢復(fù)其作為一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科的地位，并把它推進(jìn)到現(xiàn)代化的門(mén)檻，這是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派為人類(lèi)作出的偉大貢獻(xiàn)。切比雪夫。馬爾科夫和李雅普諾夫師生三人為此付出了艱辛的勞動(dòng)，其中尤以馬爾科夫的工作最多。據(jù)統(tǒng)計(jì)，他生平發(fā)表的概率論方面的文章或?qū)Ｖ�共有二十五篇（部）之多；切比雪夫和李雅普諾夫在概率論方面的論文各為四篇和二篇。

大約從1883年起，馬爾科夫就開(kāi)始考慮概率論中的基本問(wèn)題了。十九世紀(jì)的八、九十年代，他主要是沿著切比雪夫開(kāi)創(chuàng)的方向，致力于獨(dú)立隨機(jī)變量和古典極限理論的研究，從而改進(jìn)和完善了大數(shù)定律和中心極限定理。進(jìn)入二十世紀(jì)以后，他的興趣轉(zhuǎn)移到相依隨機(jī)變量序列上來(lái)，并創(chuàng)立了使他名垂千古的那個(gè)概率模型。

概率論中的一個(gè)基本問(wèn)題就是探索概率接近于1時(shí)的規(guī)律。特別是大量獨(dú)立或弱相依因素累積結(jié)果所發(fā)生的規(guī)律，大數(shù)定律就是研究這種規(guī)律的命題之一。1845年，切比雪夫第一次嚴(yán)格地證明了貝努利形式的大數(shù)定律，次年他又把結(jié)果推廣到泊松形式的大數(shù)定律。在概率論門(mén)戶(hù)蕭條的年代里，切比雪夫的工作無(wú)疑起到了振聾發(fā)聵的作用。但是由于處理手法還不夠完善，所得結(jié)果還是比較粗糙的。馬爾科夫不滿(mǎn)意切比雪夫要求隨機(jī)變量的方差值一致有界的條件，經(jīng)過(guò)努力他找到了兩種更合理的條件，極大地改進(jìn)了切比雪夫的結(jié)果。

中心極限定理則是概率論中極限理論的又一重要內(nèi)容，它討論隨機(jī)變數(shù)和依分布收斂到正態(tài)分布的條件，在眾多的技術(shù)領(lǐng)域里具有重要意義。前文已經(jīng)提到，切比雪夫首先嘗試在概率論的背景中使用矩方法。1884年馬爾科夫證明了切比雪夫提出的不等式后，加快了工作步伐，于1887年得到中心極限定理的初步證明。說(shuō)它是初步的，是因?yàn)闊o(wú)論在定理的陳述還是在證明過(guò)程中都有某些缺陷。馬爾科夫熱愛(ài)自己的導(dǎo)師，但他更熱愛(ài)真理，在給彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的另一成員，喀山大學(xué)的瓦西里耶夫（1853－1929）的信中，他特別稱(chēng)老師的結(jié)果為“切比雪夫正在證明的定理”，這封信后來(lái)以《大數(shù)定律和最小二乘法》為題發(fā)表在1898年的《喀山大學(xué)數(shù)理學(xué)報(bào)》上。同年，馬爾科夫又在《關(guān)于方程ex (d n e-x /dxn ) =  0的解》一文中，盡力精確地陳述并證明了切比雪夫提出的命題。 改進(jìn)后的方法被人稱(chēng)作切比雪夫－馬爾科夫方法。馬爾科夫進(jìn)而把自己和老師的一系列結(jié)果，都寫(xiě)進(jìn)1900年出版的《概率演算》一書(shū)之中。這部書(shū)是他在概率論方面的集大成的著作，以后每次再版他都增添一些新的內(nèi)容。

至此矩方法獲得了輝煌的勝利，但是出人意料的事情發(fā)生了。1902年春天，馬爾科夫的低班校友、也是他最敬重的同事和最有力的競(jìng)爭(zhēng)者李雅普諾夫，在哈爾科夫工作了十七年后回到彼得堡。在此前的一、二年中，李雅普諾夫從一個(gè)全新的角度去考察中心極限定理，引入了特征函數(shù)這一有力工具，從而不僅避免了矩方法要求高階矩存在的苛刻條件，在相當(dāng)寬的條件下證明了中心極限定理，而且通過(guò)特征函數(shù)實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法上的革命，為這一定理的進(jìn)一步精確化準(zhǔn)備了條件。

與矩方法相比，特征函數(shù)法顯得更靈活、更具一般性。據(jù)說(shuō)馬爾科夫曾經(jīng)不無(wú)苦澀地對(duì)李雅普諾夫講，你老弟的這個(gè)玩笑開(kāi)得太大了；言外之意是說(shuō)這位師弟掘了自家的祖墳。其實(shí)他一直在暗中奮斗，以求恢復(fù)矩方法的聲譽(yù)。經(jīng)過(guò)八年的努力他獲得成功，在《在關(guān)于概率極限的定理與院士李雅普諾夫的論辯》一文中，他創(chuàng)造了一種“截尾術(shù)”，即在適當(dāng)?shù)牡胤浇財(cái)嚯S機(jī)變量使其有界，這樣就可以既不改變它們和的極限分布，又能保證其任意階矩的存在。這一成果在方法論上的意義是巨大的，它不僅克服了特征函數(shù)法過(guò)份依賴(lài)獨(dú)立性的弱點(diǎn)，開(kāi)辟了通向非獨(dú)立隨機(jī)變量研究的道路，而且突破了特征函數(shù)僅適用于弱極限理論范疇的局限，為強(qiáng)極限理論發(fā)展提供了有力的手段。應(yīng)用這一技術(shù)，馬爾科夫一舉實(shí)現(xiàn)了他多年來(lái)精確論證中心極限定理的理想，他的研究成果被收入《概率演算》的第三版中。馬爾科夫和李雅普諾夫關(guān)于方法論的競(jìng)爭(zhēng)，極大地豐富了本世紀(jì)初概率論的內(nèi)容，對(duì)這門(mén)學(xué)科的現(xiàn)代化產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。今天，“截尾術(shù)”已經(jīng)與“對(duì)稱(chēng)化”、“中心化”一起，成為現(xiàn)代極限理論中的三大技術(shù)，它們連同特征函數(shù)一道，在這一領(lǐng)域發(fā)揮著難以估量的作用。

馬爾科夫在概率論方面還有其它一些成就，如最小二乘法、方差系數(shù)的估計(jì)等等。他不愧為概率論現(xiàn)代化進(jìn)程中偉大的設(shè)計(jì)師和先行者。他對(duì)古典極限理論和相依隨機(jī)變量序列的研究則構(gòu)成了彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派歷史上最輝煌的一章，下一節(jié)就專(zhuān)門(mén)介紹他的這一成果。

馬爾科夫 - 隨機(jī)過(guò)程理論的開(kāi)拓者

在當(dāng)代科學(xué)與社會(huì)的廣闊天地里，人們都可以看到一種叫作隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型：從銀河亮度的起伏到星系空間的物質(zhì)分布、從分子的布朗運(yùn)動(dòng)到原子的蛻變過(guò)程，從化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)到電話(huà)通訊理論、從謠言的傳播到傳染病的流行、從市場(chǎng)預(yù)測(cè)到密碼破譯，隨機(jī)過(guò)程理論及其應(yīng)用幾乎無(wú)所不在。人類(lèi)歷史上第一個(gè)從理論上提出并加以研究的過(guò)程模型是馬爾科夫鏈，它是馬爾科夫?qū)Ω怕收撃酥寥祟?lèi)思想發(fā)展作出的又一偉大貢獻(xiàn)。

出于擴(kuò)大極限定理應(yīng)用范圍的目的，馬爾科夫在本世紀(jì)初開(kāi)始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律，并從中選出了最重要的一類(lèi)加以研究。1906年他在《大數(shù)定律關(guān)于相依變量的擴(kuò)展》一文中，第一次提到這種如同鎖鏈般環(huán)環(huán)相扣的隨機(jī)變量序列，其中某個(gè)變量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一個(gè)變量來(lái)決定，而與它更前面的那些變量無(wú)關(guān)。這就是被后人稱(chēng)作馬爾科夫鏈的著名概率模型。也是在這篇論文里，馬爾科夫建立了這種鏈的大數(shù)定律。

用一個(gè)通俗的比喻來(lái)形容，一只被切除了大腦的白鼠在若干個(gè)洞穴間的躥動(dòng)就構(gòu)成一個(gè)馬爾科夫鏈。因?yàn)檫@只白鼠已沒(méi)有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個(gè)洞穴躥到另一個(gè)洞穴；當(dāng)其所在位置確定時(shí)，它下一步躥往何處與它以往經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。這一模型的哲學(xué)意義是十分明顯的，用前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽（1894－1959〕的話(huà)來(lái)說(shuō)，就是承認(rèn)客觀(guān)世界中有這樣一種現(xiàn)象，其未來(lái)由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關(guān)于過(guò)去的知識(shí)絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來(lái)”與“過(guò)去”彼此獨(dú)立的特性就被稱(chēng)為馬爾科夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程就叫做馬爾科夫過(guò)程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈。

這即是對(duì)荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（Ch. Huygens, 1629－1659）提出的無(wú)后效原理的概率推廣，也是對(duì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P. S. Laplace, 1749－1827）機(jī)械決定論的否定。

這里應(yīng)該指出，盡管拉普拉斯對(duì)概率論的早期發(fā)展作出過(guò)重大貢獻(xiàn)，但是他的部分哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)是不利于這門(mén)學(xué)科的深入發(fā)展的。十八世紀(jì)以來(lái)，隨著牛頓力學(xué)的徹底勝利，一種機(jī)械唯物主義的決定論思潮開(kāi)始在歐洲科學(xué)界蔓延，鼓吹最力者就是拉普拉斯。1759年他在巴黎高等師范學(xué)院發(fā)表了一篇題為《概率論的哲學(xué)探討》的演講，淋漓盡致地表達(dá)出了這種思想。他說(shuō)：“假如有人知道了某一時(shí)刻支配自然的一切力，以及它的一切組成部分的相對(duì)位置，又假如他的智力充分發(fā)達(dá)，能把這一切數(shù)據(jù)加以充分的分析，把整個(gè)宇宙中從最巨大的天體到最微小的原子的一切運(yùn)動(dòng)完全包括在一個(gè)公式里面，這樣對(duì)他就沒(méi)有什么東西是不確定的了，未來(lái)也好，過(guò)去也好，他都能縱覽無(wú)遺。”1812年，拉普拉斯又進(jìn)一步提出“神圣計(jì)算者”的觀(guān)念，認(rèn)為這個(gè)理想的數(shù)學(xué)家只須知道世界某一時(shí)刻的初始狀態(tài)，就可以從一個(gè)無(wú)所不包的微分方程中算出過(guò)去和未來(lái)的一切狀態(tài)。換句話(huà)說(shuō)，他認(rèn)為任意系統(tǒng)在 t > t0時(shí)的狀態(tài) x可由其初始時(shí)刻 t0和初始狀態(tài) x0唯一決定。這可真是筆判終身、細(xì)評(píng)流年，數(shù)學(xué)家可以擺個(gè)卦攤了。馬爾科夫的概率模型從根本上否定了系統(tǒng)中任一狀態(tài) x與其初始狀態(tài) x0之間的因果必然性，從而也否定了“神圣計(jì)算者”的神話(huà)。

還應(yīng)該指出，馬爾科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲學(xué)意義，而且具有真實(shí)的物質(zhì)背景，在他的工作之前或同時(shí)，一些馬爾科夫鏈或更復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程的例子已出現(xiàn)在某些人的研究中，只不過(guò)這些人沒(méi)有自覺(jué)地認(rèn)識(shí)到這類(lèi)模型的普遍意義或用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)罷了。例如蘇格蘭植物學(xué)家布朗 ( R. Brown, 1773－1858) 于1827年發(fā)現(xiàn)的懸浮微粒的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)、英格蘭遺傳學(xué)家高爾頓（F.Galton, 1822－1911) 于1889年提出的家族遺傳規(guī)律、荷蘭物理學(xué)家埃倫費(fèi)斯特 ( P. Ehrenfest, 1880－1933) 于1907年關(guān)于容器中分子擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)，以及傳染病感染的人數(shù)，謠言的傳播，原子核中自由電子的躍遷，人口增長(zhǎng)的過(guò)程等等，都可用馬爾科夫鏈或過(guò)程來(lái)描述。也正是在統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué)、遺傳學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的若干新課題、新事實(shí)面前，決定論的方法顯得百孔千瘡、踵決肘見(jiàn)。

有趣的是，馬爾科夫本人沒(méi)有提到他的概率模型在物理世界的應(yīng)用，但是他利用了語(yǔ)言文學(xué)方面的材料來(lái)說(shuō)明鏈的性質(zhì)。在《概率演算》第四版中，他統(tǒng)計(jì)了長(zhǎng)詩(shī)《葉甫蓋尼·奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律：這是長(zhǎng)詩(shī)開(kāi)頭的兩句，意為：“我不想取悅驕狂的人生，只希望博得朋友的欣賞�！痹�(shī)人那火一般的詩(shī)篇在數(shù)學(xué)家那里變成了一條冷冰冰的鎖鏈：在這條鎖鏈上只有兩種鏈環(huán)，C代表輔音、 代表元音（為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化起見(jiàn)，不仿把兩個(gè)無(wú)音字母算作輔音）。馬爾科夫分別統(tǒng)計(jì)了在C后面出現(xiàn)C和  的概率p和1－p，以及在  后出現(xiàn)C和  的概率q和1－q，把結(jié)果與按照俄語(yǔ)拼音規(guī)則計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了語(yǔ)言文字中隨機(jī)的（從概率的意義上講）字母序列符合他所建立的概率模型。

完成了關(guān)于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又開(kāi)始在一系列論文中研究鏈的中心極限定理。1907年他在《一種不平常的相依試驗(yàn)》中證明了齊次馬爾科夫鏈的漸近正態(tài)性；1908年在《一個(gè)鏈中變量和的概率計(jì)算的極限定理推廣》中作了進(jìn)一步的推廣；1910年他發(fā)表了重要的論文《成連鎖的試驗(yàn)》，在其中證明了兩種情況的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理。與此同時(shí)他在一些假定的前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為在統(tǒng)計(jì)物理中具有重要作用的遍歷理論中第一個(gè)被嚴(yán)格證明的結(jié)果。遍歷理論亦稱(chēng)ergodic理論, 是奧地利物理學(xué)家玻耳茲曼（L. Boltzmann, 1844－1906) 于1781年提出來(lái)的，其大意是：一個(gè)系統(tǒng)必將經(jīng)過(guò)或已經(jīng)經(jīng)過(guò)其總能量與當(dāng)時(shí)狀態(tài)相同的另外的任何狀態(tài)。

馬爾科夫鏈的引入，在物理、化學(xué)、天文、生物、經(jīng)濟(jì)、軍事等科學(xué)領(lǐng)域都產(chǎn)生了連鎖性的反應(yīng)，很快地涌現(xiàn)出一系列新的課題、新的理論和新的學(xué)科，并揭開(kāi)了概率論中一個(gè)重要分支－－隨機(jī)過(guò)程理論蓬勃發(fā)展的序幕。

馬爾科夫 - 為科學(xué)與民主而斗爭(zhēng)

1836年，經(jīng)切比雪夫提名，馬爾科夫成為彼得堡科學(xué)院候補(bǔ)成員，1890年當(dāng)選為副院士，1896年成為正院士。對(duì)于這一俄國(guó)科學(xué)界的最高榮譽(yù)，他抱著一種十分淡泊的態(tài)度，而為了伸張真理與正義，他可以?huà)仐壱磺泄γ�利祿。他不是一個(gè)把自己關(guān)在書(shū)齋里不問(wèn)天下事的學(xué)者，他提倡科學(xué)，反對(duì)迷信，關(guān)心哲學(xué)和社會(huì)問(wèn)題，憎恨教會(huì)與沙皇的專(zhuān)制統(tǒng)治。在十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初俄國(guó)先進(jìn)知識(shí)分子爭(zhēng)取科學(xué)與民主運(yùn)動(dòng)的潮流中，他是一個(gè)勇敢無(wú)畏的斗士。

馬爾科夫的代表作《概率演算》，不但是概率論學(xué)科中不朽的經(jīng)典文獻(xiàn)，而且可以看成是一篇唯物主義者的戰(zhàn)斗檄文。這部巨著帶有強(qiáng)烈的論戰(zhàn)性質(zhì)，而論戰(zhàn)的主要對(duì)手竟是他恩師切比雪夫的老師，被認(rèn)為是俄國(guó)數(shù)學(xué)元宿的布尼亞科夫斯基。

把概率論的方法應(yīng)用到社會(huì)科學(xué)中，這本來(lái)是法國(guó)大革命時(shí)代一些數(shù)學(xué)家的大膽嘗試，但是由于拉普拉斯機(jī)械決定論的影響，這些學(xué)者們往往把復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象歸結(jié)為服從牛頓力學(xué)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，因而這種應(yīng)用反而損壞了概率論的聲譽(yù)。布尼亞科夫斯基在自己的著作中以長(zhǎng)達(dá)六十頁(yè)的篇幅敘述“把概率分析應(yīng)用到供詞、傳說(shuō)、候選人與不同意見(jiàn)之間的各種選擇和依多數(shù)表決的司法判決”。其中一個(gè)典型的例子是這樣的：“由全部俄文字母中任取六個(gè)并按取出順序排列起來(lái)，有兩個(gè)證人說(shuō)組成了MOCKBA（莫斯科）這個(gè)詞，問(wèn)‘證詞是真的’這件事的概率是多少？”在假定六個(gè)俄文字母所組成的詞共5萬(wàn)而證人說(shuō)真話(huà)的傾向?yàn)?/10的條件下，布尼亞科夫斯基算得一個(gè)小于1/300的概率，這當(dāng)然大大低于一般人按常識(shí)判斷出的結(jié)果。如果法庭以此來(lái)判定證詞的真?zhèn)�，兩個(gè)“基本上誠(chéng)實(shí)”的證人豈不冤哉枉也？馬爾科夫在《概率演算》中尖刻地嘲諷了這個(gè)概率論應(yīng)于“倫理科學(xué)”的例子，他寫(xiě)道：“（這個(gè)例子）充分闡明在解類(lèi)似我們所討論的這種本質(zhì)上很不確定的問(wèn)題時(shí)，不可避免要引出許多任性的假設(shè)。如果容許證人能有錯(cuò)誤并且取消其證詞的獨(dú)立性，則所考慮的問(wèn)題還會(huì)有更不確定的性質(zhì)�！边@就一針見(jiàn)血地道破了這種應(yīng)用的荒誕不經(jīng)。

如果說(shuō)布尼亞科夫斯基在概率論的某些應(yīng)用方面的錯(cuò)誤是受法國(guó)數(shù)學(xué)家影響的話(huà)，那么他在認(rèn)識(shí)論方面的錯(cuò)誤則是從拉普拉斯等人的機(jī)械唯物論退到了濫用終極理由的神學(xué)和不可知論。他宣稱(chēng)概率論“所考慮和估值的是這樣的現(xiàn)象：它們依據(jù)我們完全不知道的原因，并且由于我們的無(wú)知，我們對(duì)這些原因也無(wú)法作任何假設(shè)�！彼�又說(shuō)：“有些哲學(xué)家以極不體面的方式，試圖把關(guān)于證據(jù)和傳說(shuō)弱化的概率公式應(yīng)用到宗教信仰上，以此來(lái)動(dòng)搖它們�！睂�(duì)于這種宗教衛(wèi)道士式的言論，馬爾科夫在《概率演算》中進(jìn)行了針?shù)h相對(duì)的批判，他說(shuō)：“不管數(shù)學(xué)公式如何，對(duì)不大可能的事件的敘述就仿佛對(duì)久遠(yuǎn)年代以前發(fā)生的事件一樣，顯然應(yīng)該予以極端的懷疑。因此我們無(wú)論如何不能同意布尼亞科夫斯基院士的意見(jiàn)，仿佛必須劃分出某一類(lèi)敘述，對(duì)這類(lèi)敘述懷疑一下就認(rèn)為是大逆不道的了�！� 明眼人都知道“這類(lèi)敘述”指的是什么。布尼亞科夫斯基的原意是要在《圣經(jīng)》等宗教經(jīng)典中的傳說(shuō)與一般世俗傳聞之間劃一條明確的界限，對(duì)于前者絕對(duì)不允許使用概率論的手段去分析。馬爾科夫和布尼亞科夫斯基的這段論戰(zhàn)，成了他與教會(huì)徹底決裂戰(zhàn)斗中的一顆重磅炸彈。

1896年，俄國(guó)末代沙皇尼古拉二世（1868－1918）粉墨登基。這是一個(gè)殘酷暴虐的家伙，被人稱(chēng)作“血腥的尼古拉”。從青年時(shí)代就受到民主啟蒙運(yùn)動(dòng)熏陶的馬爾科夫，對(duì)沙皇的專(zhuān)制統(tǒng)治非常鄙夷，在接納進(jìn)步文學(xué)家高爾基（1868－1936）為科學(xué)院名譽(yù)院士的斗爭(zhēng)中，馬爾科夫與許多富有正義感的院士們一起，與尼古拉二世的粗暴干涉進(jìn)行了勇敢的斗爭(zhēng)。

1902年2月25日，科學(xué)院文學(xué)部聯(lián)席會(huì)議通過(guò)了一項(xiàng)決議，接納不久以前因?yàn)榘l(fā)表了《海燕之歌》而遭到憲兵搜捕和流放的高爾基為名譽(yù)院士。這一藐視沙皇專(zhuān)制統(tǒng)治的事件引起了尼古拉二世的極度恐慌，他公然給國(guó)民教育大臣發(fā)布了一道手諭：“委托你宣布，按照朕的命令，高爾基的當(dāng)選無(wú)效�！笔艿綁毫Φ目茖W(xué)院院務(wù)委員會(huì)于3月12日發(fā)布了一個(gè)取消高爾基當(dāng)選資格的文告。

對(duì)于沙皇的這一粗暴干涉，科學(xué)院中的進(jìn)步人士表示了強(qiáng)烈的憤慨，柯羅連科（1853－1921）、契訶夫（1860－1904）等人以宣布退出科學(xué)院表示抗議。身在數(shù)理學(xué)部的馬爾科夫于4月6日向院務(wù)委員會(huì)遞交了如下聲明：“我認(rèn)為科學(xué)院關(guān)于取消高爾基當(dāng)選資格的文告是無(wú)效的和被強(qiáng)加的；第一，文告盜用了科學(xué)院的名義，但事實(shí)上科學(xué)院并無(wú)意取消這一資格；第二，文告所借用的理由是毫無(wú)意義的�！彪m然馬爾科夫在院務(wù)委員會(huì)上要求宣讀這一聲明，但是遭到執(zhí)行主席的拒絕。于是他又采取了進(jìn)一步的行動(dòng)，兩天以后，他向沙皇的叔父、充任科學(xué)院院長(zhǎng)之職的康斯坦丁遞交了辭去院士稱(chēng)號(hào)的聲明。這個(gè)根本不懂科學(xué)的院長(zhǎng)一面勸告馬爾科夫收回成命，一面竭力向報(bào)界隱瞞事件的真相，害怕更多的科學(xué)家效法馬爾科夫采取對(duì)抗行動(dòng)。只是由于當(dāng)時(shí)馬爾科夫在科學(xué)院里正擔(dān)負(fù)著編輯切比雪夫文集的工作，他才沒(méi)有采取更激烈的措施。但是直到1905年，他還不忘上書(shū)院委會(huì)，提請(qǐng)撤消其1902年的錯(cuò)誤文告。

在這一事件中，馬爾科夫?qū)�科學(xué)院上層集團(tuán)屈服于沙皇的淫威深感失望。1903年初，他以院委會(huì)要從其成員所得科學(xué)獎(jiǎng)金中抽稅一事為借口遞交了一份備忘錄，上面寫(xiě)著，“我最誠(chéng)懇地提請(qǐng)?jiān)何瘯?huì)注意，我決不申報(bào)任何獎(jiǎng)勵(lì)，也決不期望得到任何獎(jiǎng)勵(lì)�！瘪R爾科夫的這一舉動(dòng)的真正目的不在于反對(duì)征稅，而是以此顯示自己絕不同聽(tīng)任沙皇擺布的院委會(huì)同流合污。

1905年的民主革命失敗以后，俄國(guó)政治上開(kāi)始了一個(gè)極端反動(dòng)時(shí)期。1907年6月3日，沙皇的走卒斯托雷平（1862－1911）悍然解散有社會(huì)民主黨人參加的第二屆國(guó)家杜馬，隨后組織代表地主和資產(chǎn)階級(jí)利益的第三屆杜馬。為此，馬爾科夫照會(huì)科學(xué)院理事會(huì)說(shuō)：“第三屆國(guó)家杜馬的建立完全違背了憲法，因而它根本不是一個(gè)代表人民意愿的議會(huì)，而只是一個(gè)非法的團(tuán)體，因此我最堅(jiān)決地請(qǐng)求理事會(huì)不要將我的名字列入選民的名單之中�！�

在斯托雷平反動(dòng)時(shí)期，大學(xué)里的民主進(jìn)步力量遭到了破壞。1908年國(guó)民教育部發(fā)表通告，重申取消大學(xué)自治、恢復(fù)學(xué)監(jiān)制度、封閉一切社團(tuán)。馬爾科夫?qū)Υ朔浅�氣憤。他立即給教育大臣寫(xiě)了一封信，信中聲稱(chēng)：“我最堅(jiān)決地拒絕在彼得堡大學(xué)充當(dāng)沙皇政府走卒的角色，但我將保留開(kāi)設(shè)概率論課程的權(quán)利�！�

在與反動(dòng)政權(quán)的一系列沖突之后，馬爾科夫與沙皇專(zhuān)制的重要精神支柱東正教教會(huì)實(shí)行了決裂。東正教最高會(huì)議的頭子是尼古拉二世的私人教師和謀臣，他們?cè)谂�役俄�?guó)各族人民、鎮(zhèn)壓日益高漲的民主運(yùn)動(dòng)等一系列問(wèn)題上是沆瀣一氣的。沙皇當(dāng)局不便直接出面干的壞事，就由東正教會(huì)來(lái)干，1901年?yáng)|正教最高裁判所就宣布大文豪托爾斯泰（1828－1910）為異教徒而開(kāi)除了他的教籍。馬爾科夫從青年時(shí)代就具有無(wú)神論的傾向，托爾斯泰的思想對(duì)他也有一定的影響。1912年2月12日，馬爾科夫致信東正教最高會(huì)議，信中寫(xiě)道：“我最誠(chéng)摯地請(qǐng)求革除我的教籍。我希望以下所摘引的本人所寫(xiě)的《概率演算》一書(shū)中的言論足以成為除籍的理由，因?yàn)檫@些言論已經(jīng)充分表明我對(duì)成為猶太教和基督教義之基礎(chǔ)的那些傳說(shuō)所持的反對(duì)態(tài)度�！�

下面馬爾科夫整段地摘引了我們?cè)谇拔乃�提到的他與布尼亞科夫斯基之間的論戰(zhàn)，為了使那些不懂得什么是概率論的教士們了解他的意思，他又火上加油地寫(xiě)下了以下的話(huà)：“如果上述言論還不足以構(gòu)成開(kāi)除我教籍的理由的話(huà)，那么我再次懇切地提請(qǐng)你們注意：我已經(jīng)不認(rèn)為在圣像和木偶之間有什么本質(zhì)的區(qū)別。它們當(dāng)然不是上帝們，而只是上帝們的偶像；我也早就不贊成任何其它宗教，它們也都如同東正教一樣，是靠火與劍來(lái)維持并為其服務(wù)的。”

這無(wú)疑是向教會(huì)神權(quán)的宣戰(zhàn)。教會(huì)在反動(dòng)報(bào)刊上對(duì)他組織了圍攻，同時(shí)彼得堡教區(qū)的總主教還派代表企圖說(shuō)服他放棄這一聲明，但馬爾科夫表示“只與來(lái)人談數(shù)學(xué)”。萬(wàn)般無(wú)奈的教會(huì)只好革除了他的教籍。

馬爾科夫的一生與大文豪托爾斯泰有什么關(guān)系，我們手頭沒(méi)有更多的材料。不過(guò)根據(jù)馬爾科夫的兒子所寫(xiě)的傳記，他父親當(dāng)年的行動(dòng)正是為了揭露教會(huì)于1901年開(kāi)除托爾斯泰教籍“這一散發(fā)著中世紀(jì)霉臭的荒唐舉動(dòng)”而作出的。有一點(diǎn)是十分明確的，那就是馬爾科夫和托爾斯泰在宗教與科學(xué)的關(guān)系上的看法有驚人的相似之處。在托爾斯泰的作品中我們能發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)家感興趣的內(nèi)容：《戰(zhàn)爭(zhēng)與和平》中那個(gè)教女兒幾何學(xué)、自己演算高等數(shù)學(xué)的老保爾康斯基公爵的原型據(jù)說(shuō)就是托爾斯泰的外祖父。在這部名著的尾聲我們還可以讀到有關(guān)概率論的一段議論。托爾斯泰在談到當(dāng)代科學(xué)與舊的宗教、法律、道德規(guī)范之間的關(guān)系時(shí)寫(xiě)道：“自從有人說(shuō)出了并且證明了出生率和犯罪率服從數(shù)學(xué)定律，一定的地理和政治經(jīng)濟(jì)的條件決定這種或那種政府形式，人口和土地的一定關(guān)系產(chǎn)生人民的移動(dòng)，從那個(gè)時(shí)候起，歷史所寄托的那些基礎(chǔ)便在實(shí)際上被毀壞了�！边@不正是布尼亞科夫斯基感到惱火的“有些哲學(xué)家”的言論嗎？

1913年，沙皇政府為了轉(zhuǎn)移國(guó)內(nèi)日益高漲的革命情緒和準(zhǔn)備帝國(guó)主義戰(zhàn)爭(zhēng)，決定以1613年全俄貴族會(huì)議選舉米哈依爾·羅曼諾夫（1596－1645〕為沙皇這一歷史事件為標(biāo)志，舉行浮華的羅曼諾夫王朝建立三百周年慶典。與此針?shù)h相對(duì)，馬爾科夫決定以瑞士數(shù)學(xué)家雅各·貝努利 ( Jacob Bernoulli, 1654－1705) 于1713年出版的《猜度術(shù)》為標(biāo)志，在科學(xué)界發(fā)起慶祝大數(shù)定律發(fā)現(xiàn)二百周年的活動(dòng)（《猜度術(shù)》中載有世界上第一個(gè)大數(shù)定律，該書(shū)于雅各·貝努利去世八年后才出版，所以實(shí)際上大數(shù)定律的發(fā)現(xiàn)應(yīng)在1705年之前）。這一行動(dòng)清楚地表明了馬爾科夫立場(chǎng)，即對(duì)建立在奴役與壓迫基礎(chǔ)上的沙皇家族統(tǒng)治的極端蔑視，和對(duì)作為人類(lèi)精神財(cái)富創(chuàng)造者的科學(xué)偉人的無(wú)比崇敬。

馬爾科夫就是這樣一個(gè)剛直不阿的學(xué)者，一個(gè)不畏強(qiáng)暴的勇士，一個(gè)堅(jiān)定的無(wú)神論者和民主運(yùn)動(dòng)的斗士。

家庭和大學(xué)

1883年，馬爾科夫與自幼相識(shí)的女友瓦里瓦契耶瓦婭結(jié)為伉儷，新娘的母親就是他父親當(dāng)年的女雇主。大學(xué)時(shí)代的馬爾科夫曾給讀高中的瓦里瓦契耶瓦婭當(dāng)過(guò)業(yè)余家庭教師，正是這種頻繁的接觸催開(kāi)了這一對(duì)年輕人心中的愛(ài)情花朵。但是一開(kāi)始，那位富孀是不贊成這門(mén)婚事的，因?yàn)樗�一想起�?dāng)年那個(gè)在花園里拄著拐杖踽踽獨(dú)行的可憐孩子和經(jīng)常使他忠厚的管家心緒不寧的桀驁少年，心里總是有一種靠不住的感覺(jué)。然而事實(shí)最終戰(zhàn)勝了偏見(jiàn)，面對(duì)這個(gè)事業(yè)上不斷獲得成功的英俊青年助教，她終于感到無(wú)可挑剔了。

從1880年馬爾科夫就開(kāi)始在彼得堡大學(xué)任教，先是擔(dān)任助教和講師，1886年成為副教授，1893年升為正教授，1905年退休并榮獲終身榮譽(yù)教授的稱(chēng)號(hào)。二十五年來(lái)，他先后講授過(guò)微積分、數(shù)論、函數(shù)論、矩論、計(jì)算方法、微分方程、概率論等課程，為祖國(guó)培養(yǎng)了許多出色的數(shù)學(xué)人才。

關(guān)于馬爾科夫的講課風(fēng)格毀譽(yù)不一。他與切比雪夫和李雅普諾夫不同，講課時(shí)既不在乎板書(shū)的工整也不注意表情的生動(dòng)，而且經(jīng)常有意略去教科書(shū)中的傳統(tǒng)題材，因此一般的學(xué)生抱怨不好懂。但是優(yōu)秀的學(xué)生發(fā)現(xiàn)他的課程從邏輯上來(lái)看具有無(wú)可指責(zé)的嚴(yán)密性，內(nèi)容充實(shí)無(wú)華，其中往往還有些他本人最新的研究成果。  

他從教授席位上退休以后，仍然以科學(xué)院院士的資格在彼得堡大學(xué)開(kāi)設(shè)概率論課程，講義用的就是傾注了他半生心血的《概率演算》。為了開(kāi)好這門(mén)課，他反復(fù)地對(duì)這部書(shū)進(jìn)行了修改，直到臨終前還在進(jìn)行第四版的校訂工作。這一最后的修訂本于他逝世兩年以后出版。

十月革命前夕，彼得堡的局勢(shì)動(dòng)蕩不定，科學(xué)院與大學(xué)已無(wú)正常的工作秩序。在這種情況下，馬爾科夫請(qǐng)求科學(xué)院派他到外省去從事中學(xué)教育。1917年9月，年過(guò)花甲的馬爾科夫來(lái)到梁贊省一個(gè)叫薩蘭斯克的縣城，無(wú)償?shù)負(fù)?dān)負(fù)了縣中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作。他有個(gè)十四歲的兒子也一同來(lái)到這里，恰好就插班在他任課的年級(jí)。 這個(gè)小馬爾科夫（ 1903－1979）的名字及父名與父親完全相同，后來(lái)也成了有名的數(shù)學(xué)家，先研究理論物理和天體力學(xué)，后轉(zhuǎn)向動(dòng)力體系理論、測(cè)度論、拓樸學(xué)、代數(shù)等，并于1953年當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士。

據(jù)小馬爾科夫回憶，父親在縣中學(xué)的第一堂課是十分嚇人的。一個(gè)成績(jī)一向優(yōu)秀的學(xué)生被叫到黑板前演算，當(dāng)他按照原任課教師的要求用圓規(guī)和三角板在黑板上畫(huà)圖時(shí)，馬爾科夫大為惱火，狠狠地批評(píng)了這種在枝節(jié)問(wèn)題上精雕細(xì)琢的作法。他講課時(shí)總是隨手畫(huà)出一個(gè)示意圖，而把重點(diǎn)放在解題的思路和方法上。為了彌補(bǔ)學(xué)生們的知識(shí)缺陷，他經(jīng)常利用課余時(shí)間輔導(dǎo)他們做難度較大的習(xí)題。

馬爾科夫父子到薩蘭斯克不久，十月革命就爆發(fā)了。由于內(nèi)戰(zhàn)和饑荒，他們?cè)谶@里度過(guò)了一個(gè)艱苦的學(xué)年。但是馬爾科夫不介意生活條件的艱苦，他把相當(dāng)大的精力用在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)上，為此學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)和當(dāng)?shù)靥K維埃對(duì)他十分感謝。

1918年秋，馬爾科夫因患青光眼回到彼得堡治療，手術(shù)后他返回闊別已久的母校繼續(xù)開(kāi)設(shè)他的概率論講座。這時(shí)候他的體力已遠(yuǎn)不如從前了，每次講課都要兒子攙扶著進(jìn)出教室。然而當(dāng)他一站到講臺(tái)上，就感到有了精神。在幾十年的教學(xué)生涯，他比其他任何人都更忠實(shí)地向?qū)W生們灌輸彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的信條和理想。他繼承了切比雪夫?qū)�具體問(wèn)題的興趣，不斷地追求數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單化和盡可能精確的結(jié)果，他善于向經(jīng)典課題汲取養(yǎng)料，同時(shí)把自己的事業(yè)深深地札根在大學(xué)這塊沃土之中。在彼得堡數(shù)學(xué)家團(tuán)體中，沒(méi)有人比他更“彼得堡化”了。有一次別人向他請(qǐng)教數(shù)學(xué)的定義，他不無(wú)驕傲地說(shuō)：“數(shù)學(xué)，那就是高斯、切比雪夫、李雅普諾夫、斯捷克洛夫和我所研究的東西”。

1921年秋天，馬爾科夫的病情開(kāi)始嚴(yán)重起來(lái)，他只得離開(kāi)心愛(ài)的大學(xué)。在生命的最后一年里，他還抓緊時(shí)間修訂了《概率演算》。1922年7月20日，這位在眾多數(shù)學(xué)分支里留下足跡和為科學(xué)與民主事業(yè)奮斗了一生的老人辭別了人世。馬爾科夫的遺體被安葬在彼得堡的米特羅方耶夫斯基公墓，他的墓碑沒(méi)有過(guò)多的修飾，就象他的文章和講課一樣樸素?zé)o華。然而他的思想、他的成就、他的品德就象一座巍峨的豐碑，永遠(yuǎn)矗立在真理求索者的心中。